课时规范练26　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦y=Asin(ωx+φ)图象变换与应用，通过分层训练系统整合平移伸缩、解析式求解、性质应用等方法，构建“概念-推导-应用”逻辑链，培养几何直观、推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-9题|逆向平移求原函数、周期与对称中心计算、二倍角公式化简|从y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，参数A,ω,φ的几何意义及确定方法| |综合提升|10-11题|单调性与零点综合分析、平移重合条件转化|三角函数性质（单调性、周期性）的综合应用，参数范围确定的逻辑推理| |创新应用|12题|泛音频率整数倍模型构建|数学模型在实际问题中的应用，体现数学语言表达现实世界的能力|

课时规范练26　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用 基础巩固组 1.当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 2.将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin 3x的图象,则f(x)=(　　) A.cos 3x B.-cos 3x C.sin 3x D.-sin 3x 3.将函数y=cos2(2x+)的图象向左平移个单位长度后,得到的图象的一个对称中心为(　　) A. (-,0) B.(,0) C.() D.() 4.(2025广西玉林二模)将函数y=sin(3x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到函数f(x)的图象,则“φ=”是“f(x)是偶函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某质点的位移y(单位:cm)与运动时间x(单位:s)的关系式为y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-π,π)),其图象如图所示,图象与y轴交点坐标为(0,-),与直线y=的相邻三个交点的横坐标依次为,则下列说法正确的是(　　) A.ω=4 B.φ=- C.质点在[1,]s内的位移图象单调递减 D.质点在[0,]s内走过的路程为(3-)cm 6.(多选)已知f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<),f()=-f()=1,且∀x∈(),|f(x)|<1,则下列说法中正确的是(　　) A.f(x)=sin(4x+) B.y=f(x)的图象关于(-,0)中心对称 C.y=f(x)在(-,-)上单调递减 D.将y=f(x)的图象向左平移个单位后得到偶函数 7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象过点(,0),且相邻两个对称中心之间的距离为π.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为　.  8.一个半径为R的水车如图所示,一个水斗从点A(1,-)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ) (t≥0,ω>0,|φ|<),则当t∈[0,m)时,函数f(t)恰有2个极大值,则m的取值范围是　　　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若g(x)在区间[0,m]上不单调,求m的取值范围. 综合提升组 10.(2025广西南宁二模)已知函数f(x)=sin(ωx-) (ω>0)在区间()上单调递增且存在零点,则ω的取值范围是(　　) A.(]∪[5,6] B.() C.()∪[5,] D.[5,6] 11.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移个单位长度后与f(x)的图象重合,则ω的最小值为　　　　.  创新应用组 12.(2025上海浦东三模)著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如y=Asin ωx的正弦型函数之和来描述,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.研究表明,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.若对应于y=sin(+n)x+sin(-n)x的泛音是对应于y=sin的基本音的一个谐波,则正整数n的所有可能取值之和为　.  参考答案 1.C　解析在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin(3x-),如图所示. 由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)有6个交点. 2.B　解析由题意可知,将函数g(x)=sin 3x的图象向左平移个单位长度,可得到函数f(x)的图象,则f(x)=sin[3(x+)]=sin(3x+)=-cos 3x. 3.C　解析由于函数y=cos2(2x+)=[1+cos(4x+)]=cos(4x+)+,所以将函数的图象向左平移个单位长度后,可得f(x)=cos[4(x+)+]=cos(4x+)=sin 4x的图象.令4x=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).当k=1时,可得x=,所以图象的一个对称中心为(),故选C. 4.A　解析将函数y=sin(3x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为f(x)=sin[3(x+)+φ]=sin(3x++φ),若函数y=f(x)为偶函数,则+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z),当k=0时,φ=.因此,“φ=”是“y=f(x)是偶函数”的充分不必要条件.故选A. 5.C　解析由已知函数图象得,函数的周期T=,所以ω==3,故A错误; 令y=f(x),所以f(x)=sin(3x+φ),又f(0)=-,所以sin φ=-,因为φ∈(-π,π),所以φ=-或-. 又f()=,所以sin(+φ)=cos φ=,所以φ=-,故B错误; 由已知得f(x)图象相邻的两条对称轴分别为直线x=,x=,且f(x)在[]内单调递减,因为[1,]⊆[],所以f(x)在[1,]上单调递减,故C正确; 由图象得该质点在[0,]s内的路程为[1-(-)]+cm,故D错误.故选C. 6.BCD　解析因为f()=-f()=1,且∀x∈(),|f(x)|<1,所以,所以T=π,所以=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ), 又f()=1,所以sin(2×+φ)=sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+),故A错误; 因为f(-)=sin[2×(-)+]=0,所以y=f(x)的图象关于(-,0)中心对称,故B正确; 因为x∈(-,-),所以-<2x+<-,所以y=f(x)在(-,-)上单调递减,故C正确; 将y=f(x)的图象向左平移个单位得到的函数为g(x)=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos 2x,所以g(x)=cos 2x为偶函数,故D正确. 故选BCD. 7.g(x)=-sin x　解析∵f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离为π,∴f(x)的最小正周期T=2π,∴ω=1. 又f(x)的图象过点(,0),∴f()=sin(+φ)=0,故+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z), 又0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=sin(x+), ∴g(x)=f(x+)=sin(x+π)=-sin x. 8.(]　解析根据点A的坐标(1,-)可得圆周的半径R==2.又旋转一周用时6秒,即周期T=6,从而得ω=,∴f(t)=2sin(t+φ). 又当t=0时,f(t)=-, ∴f(0)=2sin(×0+φ)=-,即sin φ=-. 又|φ|<,∴φ=-,∴f(t)=2sin(t-).根据三角函数的性质,f(t)在区间[0,m)内恰有两个极大值时,有m-,解得<m≤. 9.解(1)由题图可知,A=2. 且f(x)的最小正周期T=×()=2π,所以ω==1.因为f()=2sin(+φ)=-2,所以+φ=+2kπ(k∈Z),则φ=+2kπ(k∈Z). 又|φ|<,所以φ=,故f(x)=2sin(x+). (2)由题可知,g(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-). 当0≤x≤m时,-≤2x-≤2m-. 因为g(x)在区间[0,m]上不单调,所以2m-,解得m>.故m的取值范围为(,+∞). 10.C　解析设函数f(x)的最小正周期为T,因为f(x)在区间()上单调递增,所以,解得T≥,所以0<ω≤6. 令t=ωx-,则当x∈()时,t∈(ω-ω-). 因为f(x)在区间()上单调递增且存在零点, 所以且k∈Z,解得k∈Z, 又0<ω≤6,k=0时,得<ω<,k=1时,得5≤ω≤,其他k值,均不符合要求,所以<ω<或5≤ω≤,所以ω的取值范围是()∪[5,]. 故选C. 11.4　解析把f(x)的图象向左平移个单位长度所得的图象对应的函数为y=2sin[ω(x+)+φ]=2sin(ωx++φ),∴φ=+φ+2kπ,即ω=-4k,k∈Z. ∵ω>0,故ω的最小值为4. 12.12　解析因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,所以k1,k2∈Z,可得解得(k1+k2),所以n2·(k1+k2)=400=24×52, 又因为k1+k2∈Z,且n∈N,n2∈N,所以n的可能值为1,2,4,5,10,20, 将上述n的可能值一一代入方程组中能同时使k1,k2为整数的n值即为正解. 经检验,n的值为2和10. 所以正整数n的所有可能取值之和为2+10=12. 1 学科网（北京）股份有限公司 $