6.2 直线、射线、线段（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“直线、射线、线段”核心知识点，系统梳理三者的概念、区别联系及“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”两个基本事实，通过定义辨析、实际应用、计算拓展构建递进式学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如手电筒光线、隧道路程）培养数学眼光，通过计数规律推导、动点问题分类讨论发展数学思维，规范作图与符号表达强化数学语言，课中辅助教学，课后分层练习助力学生查漏补缺。

第六章 几何图形初步 6.2 直线、射线、线段 课标要点 1. 三者核心区分看端点：线段2个、射线1个、直线无端点。 2. 延伸规则不同：线段不可延长，射线单向无限延伸，直线双向无限延伸。 3. 长度度量有差异：只有线段能测量长度，射线、直线无法量长短。 4. 读写规范要牢记：射线端点必须写在前面，直线、线段两点不分先后。 5. 基础公理：两点确定一条直线；两点之间线段最短。 学习重难点 重点： 分清直线、射线、线段的端点数量、延伸特点，能准确区分三种图形。 掌握三种图形规范读法与书写，牢记射线表示端点在前的规则。 熟记两大基础公理：两点确定一条直线、两点之间线段最短。 难点： 容易混淆射线 AB 与射线 BA，分不清两条射线不是同一条。 理解无限延伸的抽象概念，难以明白直线、射线不能度量长度。 结合生活实例、画图题型灵活判断三类图形，做题易判断出错。 知识点 基本概念与表示方法 直线： 直线是没有端点，可以向两端无限延伸的直的线，无法测量长度。 表示方法有两种： 1. 用直线上两个大写字母表示，例如直线AB（或直线BA），字母顺序不影响； 2. 用一个小写字母表示，例如直线l。 射线： 射线是有一个端点，只能向一端无限延伸的直的线，也无法测量长度。 表示方法：用端点和射线上任意一点的大写字母表示，端点字母必须写在前面，例如射线OA，不能写成射线AO；也可以用一个小写字母表示，例如射线l。 线段： 线段是有两个端点，不能延伸的直的线，可以测量长度。 表示方法也有两种： 1. 用两个端点的大写字母表示，例如线段AB（或线段BA）； 2. 用一个小写字母表示，例如线段a。 特别提醒 1.直线没有长度，因此不能说“延长直线AB”“测量直线AB的长度”，直线本身已经无限延伸，无需延长。 2.判断两条射线是否为同一条射线，需要同时满足两个条件：①端点相同；②延伸方向相同，只要有一个条件不满足，就不是同一条射线。比如端点相同方向不同的两条射线不是同一条射线，端点不同方向相同的射线也不是同一条射线。 3.线段有固定长度，可以延长，延长线段AB指的是从A向B的方向延长，延长线段BA是从B向A的方向延长，二者方向不同。 随学随练 1．在下列各图中，直线的表示法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．手电筒发出的光线，给我们的感觉是一条（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．弧线 3．在下面选项中，属于线段的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图形中，表示“射线”的是（　　） A． B． C． D． 5．下列几何图形有两个端点的是（   ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 知识点 直线、射线、线段的区别与联系 类型 端点个数 延伸性 能否测量长度 直线 0个 向两端无限延伸 不能 射线 1个 向一端无限延伸 不能 线段 2个 不能延伸 能 联系： 1. 射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作直线上两点间的部分，射线可以看作直线上一点一旁的部分； 2. 反向延长射线可以得到直线，延长线段的一端可以得到射线，延长线段的两端可以得到直线。 特别提醒 不要混淆“延伸”和“延长”，延伸是图形本身的性质，直线和射线本身就具备无限延伸的特点，延长是人为对线段进行操作，将线段向一端或两端拉长得到射线或直线。 随学随练 1．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 2．下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 4．下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（   ） A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成 5．如图所示，有直线、射线和线段，根据图中的特征判断其中能相交的是（　　） A． B． C． D． 知识点 两个基本事实 1. 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线，简单说就是两点确定一条直线。 生活中常见应用：钉木条时钉两个钉子就能固定木条、植树时定出两个树坑的位置就能确定同一行树坑所在的直线、建筑工人拉基准线确定直墙位置，都是利用了这个原理。 2. 两点之间，线段最短：两点之间的所有连线中，线段最短，简单说就是两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，距离是一个数量，不是线段本身，线段是图形，长度才是距离。 特别提醒 1. 经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线，经过三点如果三点共线只能画一条，不共线则能画三条； 2. 距离是长度，不能说“连接两点的线段叫做两点间的距离”，必须是线段的长度才是距离，概念表述不能少了“长度”两个字。 随学随练 1．彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 2．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 3．如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 4．凸四边形各边的长度如图所示，则x不可能是（   ） A．10 B．9 C．7 D．3 5．如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（    ） A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 拓展 中点与线段的和差计算 线段中点： 如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 几何表达式：，或者。 类似还有三等分点、四等分点等，三等分点将线段分成相等的三段，四等分点分成相等的四段。 线段的和差： 若点C在线段AB上，则，，。 计算线段长度时，一定要先确定点的位置，多个点的位置不确定时需要分类讨论，避免漏解。 示例：已知，，求AC的长度。这里点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，因此，或者，两个结果，不能只算一种。 活学活用 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 2．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 3．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 5．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 拓展 画法与计数规律 画法 1. 过两点画直线：用直尺连接两点并向两端延长即可； 2. 画射线：先确定端点，再从端点出发向一个方向延长； 3. 画线段：直接用直尺连接两个端点即可。 计数规律 1. 直线上有n个点，线段的总条数为：； 推导：每个点和其余(n-1)个点形成(n-1)条线段，n个点就是，每条线段被重复计算两次，所以除以2； 2.n条直线相交，最多有个交点。 活学活用 1．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 2．平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 4．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 5．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 题型 直线、射线、线段的定义与特征 解题贴士 · 牢记“端点数量定类型”的口诀：两个端点是线段，一个端点是射线，零个端点是直线，拿到题目先数端点，再判断延伸方向，就能快速排除错误选项 · 只要题目中出现“直线比射线长”“射线长XX厘米”这类描述，直接判定错误，因为直线和射线都是无限延伸的，无法度量长度，自然不能比较大小 · 判断射线是否为同一条时，必须同时满足两个条件：端点相同，延伸方向相同，只要有一个条件不满足，就是不同的射线 ▌例1 下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 ▌例2．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 ▌对点练1-1下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 ▌对点练1-2．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． ▌对点练1-3．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 题型 计数问题——数直线、射线、线段的数量 解题贴士 · 直线的计数：过两点确定一条直线，如果所有点都不在同一条直线上，总数量是，如果有k个点在同一条直线上，需要减去重复计数的部分，再加上这1条共线的直线 · 射线的计数：如果所有点都在同一条直线上，每个点可以向左、向右各引出1条射线，因此总数量为点的数量×2；如果点不在直线上，只需要数出从端点出发的射线，注意方向不同即为不同射线 · 线段的计数：当直线上有n个点时，线段总数量公式为，推导逻辑是从第一个点出发可以和后面n-1个点连n-1条线段，第二个点可以和后面n-2个点连n-2条，依此类推，总和就是，数的时候可以按照“从左到右、依次计数、不重复不遗漏”的原则，避免多数或漏数 ▌例1．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 ▌例2．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 ▌对点练1-1．如图，线段表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个点表示行驶途中共有6个站点（包括端点），则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是（   ） A．15种 B．20种 C．30种 D．45种 ▌对点练1-2．平面内有不重合的4个点，过每两个点可以画一条直线，则共能画出______条直线． ▌对点练1-3．在线段之间加入了5个点，则共增加了___________条线段． 题型 作图题——根据要求作直线、射线、线段 解题贴士 · 作图必须使用直尺保证线条笔直，严格按照概念要求延伸：作射线时要从端点出发向要求的方向画出出头部分，作直线要保证两个方向都出头，线段只画到两个端点即可，不要额外延伸 · 遇到“延长线段AB”，是从A向B的方向延伸，在B端画出延长部分；“反向延长线段AB”则是从B向A的方向延伸，在A端画出延长部分，不要搞反方向 · 作线段和差的时候，要注意标注字母和长度，和的作法是在已知线段的基础上再接一段，差的作法是从线段上截去一段，保留剩余部分即可 ▌例1根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2如图，已知平面内的三个点，画出线段、射线、直线，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． ▌对点练1-2如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． ▌对点练1-3如图，是线段外两点．请在线段上任意找一点，并根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接． 题型 “两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的实际应用 解题贴士 · 凡是题目中出现“钉木条需要两个钉子”“植树定两个树坑确定一条直线”“砌墙拉参照线”这类场景，用到的都是两点确定一条直线的性质 · 凡是题目中出现“走捷径”“把弯曲的道路改直缩短路程”“架桥选最短路径”这类场景，用到的都是两点之间线段最短的性质，答题时直接对号入座即可 ▌例1如图，A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是（     ） A．经过一点可以作无数条直线 B．经过两点有且只有一条直线 C．两点之间，有若干种连接方式 D．两点之间，线段最短 ▌例2“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间直线最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 D．两点之间，线段最短 ▌对点练1-1下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． ▌对点练1-2在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（   ）       A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-3如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 题型 线段相关计算——线段长度求解与和差倍分问题 解题贴士 · 拿到题目先画示意图，把已知点的位置、已知线段的长度标注在图上，理清线段之间的和差关系，再代入计算，数形结合不容易出错 · 遇到中点直接用中点性质转换线段关系，若题目中有多个中点，可以依次推导，逐步把未知线段用已知线段表示出来 · 如果题目没有给出点的具体位置，只说“点P在直线AB上”或者“点C在射线AB上”，一定要注意分类讨论：比如点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，两种情况得到的结果不一样，不能漏解 · 如果遇到比例关系，比如，可以用设未知数的方法，设，，再根据总长度列方程求解，比直接计算更清晰 牢 ▌例1如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． ▌例2若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练1-1如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． ▌对点练1-2如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． ▌对点练1-3如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 题型 线段动点问题——动态点位置变化下的线段长度计算 解题贴士 · 首先设定运动时间为t，根据速度计算动点运动的路程，路程就是起点到动点的距离，再结合初始点的位置，表示出动点所在位置到其他定点的线段长度 · 题目要求两点重合、某段长度为定值时，直接根据线段长度的等量关系列一元一次方程，求解t即可 · 遇到线段中点或者某点分线段的比例不变的问题时，可以把对应线段用含t的代数式表示出来，化简后如果t被消去，就说明长度是定值，与运动时间无关 · 动点在直线上运动时要注意方向，可能会运动到线段的延长线上，同样需要分类讨论不同位置下的线段关系，不要只考虑动点在线段上的情况 解 ▌例1如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 ▌对点练1-1已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． ▌对点练1-2如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个． ▌对点练1-3已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 题型 最短路径问题 解题贴士 1. 区分三者核心定义 直线无端点、无限长；射线1个端点、单向无限；线段2个端点、可测量。求长度、比较长短只看线段，射线直线不能度量。 2. 两点之间核心定理 两点之间，线段最短。所有折线、曲线、射线/直线路径，都比两点直接相连的线段长。 3. 最短路径作图通用方法 遇同侧两点求线上最短路径，用对称点法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为最短路径转折点。 解 ▌例1七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? ▌例2作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． ▌对点练1-1如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． ▌对点练1-2操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 基础通关 1．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 2．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 3．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 4．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 6．“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 7．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 8．往返于泰安到北京的列车，中途停靠个站，则要准备____种不同的车票． 9．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 10．平面内的四个点，其中有3个点在同一直线上，第4个点不在这条直线上，那么可以确定_____条直线． 11．如图，，为的中点，点在线段上，且，则线段的长为____________． 12．已知D是线段的中点，C是线段的中点，若，则_____． 13．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 14．如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它的长等于． 15．如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 素养提升 1．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 2．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 3．已知线段，下列说法能确定点为线段中点的是（   ） ①；②；③；④ A．①③④ B．②③④ C．②④ D．② 4．如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 5．同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 6．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 7．“福厦高铁”串联起福州都市圈与厦漳泉都市圈，若线路一共有8个站点，则车站单程需要准备车票_____种（站A到站B和站B到站A属于同一种车票）． 8．如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：），用这把直尺能直接量出的不同长度有______个． 9．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 10．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 迁移创新 1．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 2．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 6.2 直线、射线、线段 课标要点 1. 三者核心区分看端点：线段2个、射线1个、直线无端点。 2. 延伸规则不同：线段不可延长，射线单向无限延伸，直线双向无限延伸。 3. 长度度量有差异：只有线段能测量长度，射线、直线无法量长短。 4. 读写规范要牢记：射线端点必须写在前面，直线、线段两点不分先后。 5. 基础公理：两点确定一条直线；两点之间线段最短。 学习重难点 重点： 分清直线、射线、线段的端点数量、延伸特点，能准确区分三种图形。 掌握三种图形规范读法与书写，牢记射线表示端点在前的规则。 熟记两大基础公理：两点确定一条直线、两点之间线段最短。 难点： 容易混淆射线 AB 与射线 BA，分不清两条射线不是同一条。 理解无限延伸的抽象概念，难以明白直线、射线不能度量长度。 结合生活实例、画图题型灵活判断三类图形，做题易判断出错。 知识点 基本概念与表示方法 直线： 直线是没有端点，可以向两端无限延伸的直的线，无法测量长度。 表示方法有两种： 1. 用直线上两个大写字母表示，例如直线AB（或直线BA），字母顺序不影响； 2. 用一个小写字母表示，例如直线l。 射线： 射线是有一个端点，只能向一端无限延伸的直的线，也无法测量长度。 表示方法：用端点和射线上任意一点的大写字母表示，端点字母必须写在前面，例如射线OA，不能写成射线AO；也可以用一个小写字母表示，例如射线l。 线段： 线段是有两个端点，不能延伸的直的线，可以测量长度。 表示方法也有两种： 1. 用两个端点的大写字母表示，例如线段AB（或线段BA）； 2. 用一个小写字母表示，例如线段a。 特别提醒 1.直线没有长度，因此不能说“延长直线AB”“测量直线AB的长度”，直线本身已经无限延伸，无需延长。 2.判断两条射线是否为同一条射线，需要同时满足两个条件：①端点相同；②延伸方向相同，只要有一个条件不满足，就不是同一条射线。比如端点相同方向不同的两条射线不是同一条射线，端点不同方向相同的射线也不是同一条射线。 3.线段有固定长度，可以延长，延长线段AB指的是从A向B的方向延长，延长线段BA是从B向A的方向延长，二者方向不同。 随学随练 1．在下列各图中，直线的表示法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线的表示方法：用直线上任意两点的大写字母表示或单独用一个小写字母表示；根据表示方法进行逐项判断，即可求解． 【详解】解：A.直线不能用一个大写字母和一个小写字母组合表示，故不符合题意； B.直线能用两个大写字母组合表示，故符合题意； C.直线不能用两个小写字母组合表示，故不符合题意； D.直线不能用一个大写字母和一个小写字母组合表示，故不符合题意； 故选：B． 2．手电筒发出的光线，给我们的感觉是一条（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．弧线 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段的概念辨析，需结合三者的端点数量与延伸特性，联系实际场景判断即可． 【详解】解：因为直线无端点，向两方无限延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；线段有两个端点，长度有限；弧线是弯曲的线， 又因为手电筒发出的光线有一个端点（手电筒处），并向一个方向无限延伸， 所以其符合射线的特征， 故选：B． 3．在下面选项中，属于线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的定义，根据线段是直的，有两个端点，解答此题即可． 【详解】解：A．不是线段，不符合题意； B．不是线段，不符合题意； C．不是线段，不符合题意； D．是线段，符合题意． 故选：D． 4．下列图形中，表示“射线”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了射线的定义，射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线，据此求解即可． 【详解】解：表示“射线”的是： ． 故选：C． 5．下列几何图形有两个端点的是（   ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题考查直线，射线，线段的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据几何图形的定义，直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 【详解】解：∵ 直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点， ∴ 有两个端点的几何图形是线段． 故选：C． 知识点 直线、射线、线段的区别与联系 类型 端点个数 延伸性 能否测量长度 直线 0个 向两端无限延伸 不能 射线 1个 向一端无限延伸 不能 线段 2个 不能延伸 能 联系： 1. 射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作直线上两点间的部分，射线可以看作直线上一点一旁的部分； 2. 反向延长射线可以得到直线，延长线段的一端可以得到射线，延长线段的两端可以得到直线。 特别提醒 不要混淆“延伸”和“延长”，延伸是图形本身的性质，直线和射线本身就具备无限延伸的特点，延长是人为对线段进行操作，将线段向一端或两端拉长得到射线或直线。 随学随练 1．如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 2．下列选项中的线段、射线、直线之间能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段、射线、直线的定义及延伸性质进行判断．线段有两个端点，不能延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸；直线没有端点，向两方无限延伸． 【详解】解： A图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，能与线段相交，故A选项符合题意； B图中上方是线段，下方是射线，射线向左上方延伸，不能与线段相交，故B选项不符合题意； C图中左边是射线，右边是直线，射线向左上方延伸，直线向左下方延伸，两者不能相交，故C选项不符合题意； D图中上方是直线，下方是线段，直线向左下方延伸，线段不能延伸，两者不能相交，故D选项不符合题意． 3．如图，下列说法不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．射线和射线是同一条射线 C．线段与线段是同一条线段 D．直线与直线为同一条直线 【答案】B 【详解】解：、线段和射线都是直线的一部分，说法正确，故本选项不符合题意； 、射线和射线不是同一条射线，说法不正确，故本选项符合题意； 、线段与线段是同一条线段，说法正确，故本选项不符合题意； 、直线与直线为同一条直线，说法正确，故本选项不符合题意． 4．下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（   ） A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段的定义及基本性质，需根据相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：∵射线本身向方向无限延伸，无法延长，∴A选项错误； ∵线段是几何图形，点A到点B之间的距离是线段的长度（属于数量范畴），二者概念不同，∴B选项错误； ∵“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本事实（两点确定一条直线），∴C选项正确； ∵直线是向两方无限延伸的，不能表述为由两条射线组成，∴D选项错误． 故选：C． 5．如图所示，有直线、射线和线段，根据图中的特征判断其中能相交的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段、射线和直线的定义，根据线段、射线和直线的定义判定延伸方向是解题的关键． 首先根据图形判断线段、射线和直线的延伸方向，即可判断是否能相交． 【详解】解：对于A：直线向两端无限延伸，上面的射线无限向上延伸，∴不能相交，∴不符合题意； 对于B：线段长度固定，上面的射线无限向下延伸，但不经过线段，∴不能相交，∴不符合题意； 对于C：直线向两端无限延伸，上面的射线无限向右延伸，∴不能相交，∴不符合题意； 对于D：直线向两端无限延伸，上面的射线无限向下延伸，∴能相交，∴符合题意； 故选：D． 知识点 两个基本事实 1. 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线，简单说就是两点确定一条直线。 生活中常见应用：钉木条时钉两个钉子就能固定木条、植树时定出两个树坑的位置就能确定同一行树坑所在的直线、建筑工人拉基准线确定直墙位置，都是利用了这个原理。 2. 两点之间，线段最短：两点之间的所有连线中，线段最短，简单说就是两点之间，线段最短。 连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离，距离是一个数量，不是线段本身，线段是图形，长度才是距离。 特别提醒 1. 经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线，经过三点如果三点共线只能画一条，不共线则能画三条； 2. 距离是长度，不能说“连接两点的线段叫做两点间的距离”，必须是线段的长度才是距离，概念表述不能少了“长度”两个字。 随学随练 1．彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 2．在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 3．如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”即可解答． 【详解】解：∵从A到B有多条道路，其中中间的直路是线段，其余道路是曲线或折线． ∴根据线段的性质：两点之间线段最短，可知：走中间的直路路程最短． 4．凸四边形各边的长度如图所示，则x不可能是（   ） A．10 B．9 C．7 D．3 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短得到，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， 即， 故x不可能是10． 5．如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（    ） A．经过一点有无数条直线 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】D 【详解】解：用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是两点之间线段最短． 拓展 中点与线段的和差计算 线段中点： 如果点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 几何表达式：，或者。 类似还有三等分点、四等分点等，三等分点将线段分成相等的三段，四等分点分成相等的四段。 线段的和差： 若点C在线段AB上，则，，。 计算线段长度时，一定要先确定点的位置，多个点的位置不确定时需要分类讨论，避免漏解。 示例：已知，，求AC的长度。这里点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，因此，或者，两个结果，不能只算一种。 活学活用 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 2．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据线段中点的性质分别求出的长，再根据，即可表示出点D表示的数． 【详解】解： O为原点，A点表示的数为， ， 点O为线段中点， ，即B点表示的数为6， 点C为线段中点， ，即C点表示的数为3， 点B为线段中点， ， ， 则点D表示的数为9． 3．如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 4．如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 5．如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 拓展 画法与计数规律 画法 1. 过两点画直线：用直尺连接两点并向两端延长即可； 2. 画射线：先确定端点，再从端点出发向一个方向延长； 3. 画线段：直接用直尺连接两个端点即可。 计数规律 1. 直线上有n个点，线段的总条数为：； 推导：每个点和其余(n-1)个点形成(n-1)条线段，n个点就是，每条线段被重复计算两次，所以除以2； 2.n条直线相交，最多有个交点。 活学活用 1．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用线段的数量求解． 【详解】解：该图形中线段的条数为（条）， ∴需印制车票的种类数量是． 2．平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】当四点在一条直线上时，可画1条，当任意三点不在同一条直线上时，可画出6条直线，据此得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：如图所示： 平面上有四个点最少画1条直线，最多画6条直线， ∴，， ∴． 3．如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 【详解】解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 4．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【分析】（1）利用直尺即可作出图形； （2）利用直尺即可作出图形； （3）根据线段的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 5．如图，已知P、M、N三点，按下面要求画出图形； (1)画射线； (2)画直线； (3)连接，并延长至点R，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：如图所示． 题型 直线、射线、线段的定义与特征 解题贴士 · 牢记“端点数量定类型”的口诀：两个端点是线段，一个端点是射线，零个端点是直线，拿到题目先数端点，再判断延伸方向，就能快速排除错误选项 · 只要题目中出现“直线比射线长”“射线长XX厘米”这类描述，直接判定错误，因为直线和射线都是无限延伸的，无法度量长度，自然不能比较大小 · 判断射线是否为同一条时，必须同时满足两个条件：端点相同，延伸方向相同，只要有一个条件不满足，就是不同的射线 ▌例1 下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．延长线段到 B．点在直线上 C．直线与直线相交于点 D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】根据直线，射线和线段的相关知识，结合图形逐一判断即可． 【详解】解：A、所画图形表示的是延长到C，故此选项不符合题意； B、由图可知，点C在直线外，故此选项不符合题意； C、由图可知，直线与直线相交于点，故此选项符合题意； D、由图可知，射线与线段有交点（图中未画出），故此选项不符合题意 ． ▌例2．如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线上的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意． ▌对点练1-1下列关于画图的语言叙述正确的是（    ） A．画直线 B．画射线 C．延长线段到点 D．过，，三点画一条直线 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的基本性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：、∵直线两端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画直线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵射线一端无限延伸，没有长度，不可度量， ∴画射线的表述错误，选项错误，不符合题意； 、∵线段有固定端点，可延长， ∴延长线段到点是正确的作图叙述，符合题意； 、∵，，三点不一定在同一条直线上，只有三点共线时才能画出一条直线， ∴过，，三点画一条直线的表述错误，不符合题意． ▌对点练1-2．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 【答案】 2 1 【分析】根据线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点回答即可 【详解】解：线段有2个端点，射线有1个端点． ▌对点练1-3．关于直线，给出下列说法：①线段向两方无限延长就形成直线；②射线反向延长就形成直线；③直线没有端点；④直线有无数个端点．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的定义和性质，根据直线的定义和性质，直线是向两方无限延伸的，没有端点． 【详解】①线段向两方无限延长后，两端无限延伸，形成直线，正确；②射线反向延长后，变为向两方无限延伸，形成直线，正确；③直线没有端点，正确；④直线没有端点，因此说有无数个端点错误． 故答案为：①②③． 题型 计数问题——数直线、射线、线段的数量 解题贴士 · 直线的计数：过两点确定一条直线，如果所有点都不在同一条直线上，总数量是，如果有k个点在同一条直线上，需要减去重复计数的部分，再加上这1条共线的直线 · 射线的计数：如果所有点都在同一条直线上，每个点可以向左、向右各引出1条射线，因此总数量为点的数量×2；如果点不在直线上，只需要数出从端点出发的射线，注意方向不同即为不同射线 · 线段的计数：当直线上有n个点时，线段总数量公式为，推导逻辑是从第一个点出发可以和后面n-1个点连n-1条线段，第二个点可以和后面n-2个点连n-2条，依此类推，总和就是，数的时候可以按照“从左到右、依次计数、不重复不遗漏”的原则，避免多数或漏数 ▌例1．过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． ▌例2．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先确定总站点数，中途2个停靠站加甲，乙两地共4个站点，由于高铁票往返方向不同是不同的车票，且所有路程都不相等，先计算单向的不同车票数量，再乘2得到总票数． 【详解】解：∵甲，乙两地加中途2个停靠站，总站点数为 个， 又∵所有站之间路程都不相等，且往返方向不同，车票不同. ∴单向的不同车票种类为 种. ∴总的不同高铁票种类为 种． ▌对点练1-1．如图，线段表示某趟列车的行驶路线图，线段上的6个点表示行驶途中共有6个站点（包括端点），则这趟列车往返行驶途中共需印制车票的种数是（   ） A．15种 B．20种 C．30种 D．45种 【答案】C 【分析】本题考查线段的数量问题，根据图形求得线段个数即可求解． 【详解】解：根据题意，这段路线有 共15条线段， ∴在这段路线上往返行车，需印制种车票． 故选：C． ▌对点练1-2．平面内有不重合的4个点，过每两个点可以画一条直线，则共能画出______条直线． 【答案】 1或4或6 【分析】根据平面内四个不重合点的不同位置关系分类讨论，分为四点共线、三点共线、任意三点不共线三种情况，分别计算得到直线的总条数． 【详解】解：分三种情况讨论： 当四个点共线时，平面内只存在条直线； 当四个点中有三个点共线，另一个点不在该直线上时，共可画出条直线； 当四个点中任意三点都不共线时，任意两点确定一条直线，总条数为条直线． 综上，共能画出或或条直线． ▌对点练1-3．在线段之间加入了5个点，则共增加了___________条线段． 【答案】20 【分析】本题考查点与线段的数量关系，熟练掌握当一条直线上有n个点时，共有条线段，是解题的关键． 通过计算加入点后的总点数，再求所有点构成的线段总数，最后减去原线段数得出增加的数量． 【详解】解：在线段之间加入5个点后，总点数为7个点． 则共有条线段， 则增加了条线段． 故答案为：20． 题型 作图题——根据要求作直线、射线、线段 解题贴士 · 作图必须使用直尺保证线条笔直，严格按照概念要求延伸：作射线时要从端点出发向要求的方向画出出头部分，作直线要保证两个方向都出头，线段只画到两个端点即可，不要额外延伸 · 遇到“延长线段AB”，是从A向B的方向延伸，在B端画出延长部分；“反向延长线段AB”则是从B向A的方向延伸，在A端画出延长部分，不要搞反方向 · 作线段和差的时候，要注意标注字母和长度，和的作法是在已知线段的基础上再接一段，差的作法是从线段上截去一段，保留剩余部分即可 ▌例1根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，点与线的位置关系，根据题意画出的图形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点”，画出的图形正确的是， ， 故选：D． ▌例2如图，已知平面内的三个点，画出线段、射线、直线，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画线段，射线，直线，根据线段，射线，直线的特点画图即可判断． 【详解】解：按题意如下图： 故选：D． ▌对点练1-1如图，平面上有四个点，，，．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接； (3)画射线，并与直线交于点； (4)连接，并反向延长至，使． 【答案】(1) 如图所示，直线即为所求． (2) 如图所示，线段即为所求． (3) 如图所示，射线和点即为所求． (4) 如图所示，线段和即为所求． 【分析】本题主要考查线段、射线和直线： （1）线段向两个方向无限延伸得到直线，直线没有端点； （2）线段有两个端点； （3）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点； （4）线段向一个方向无限延伸得到射线，射线只有一个端点． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ▌对点练1-2如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，射线和线段． （1）根据直线的定义，画图即可； （2）画出线段，，交于点O即可； （3）根据射线的定义，画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，，，点O即为所求； （3）解：如图，射线，，点P即为所求． ． ▌对点练1-3如图，是线段外两点．请在线段上任意找一点，并根据下列语句画图： (1)画直线； (2)画射线； (3)连接． 【答案】(1) 如图所示，直线即为所求作： (2) 如图，射线即为所求作； (3) 如图，线段即为所求． 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线的定义作出图形； （2）根据射线的定义作出图形； （3）根据线段的定义画出图形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型 “两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”的实际应用 解题贴士 · 凡是题目中出现“钉木条需要两个钉子”“植树定两个树坑确定一条直线”“砌墙拉参照线”这类场景，用到的都是两点确定一条直线的性质 · 凡是题目中出现“走捷径”“把弯曲的道路改直缩短路程”“架桥选最短路径”这类场景，用到的都是两点之间线段最短的性质，答题时直接对号入座即可 ▌例1如图，A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是（     ） A．经过一点可以作无数条直线 B．经过两点有且只有一条直线 C．两点之间，有若干种连接方式 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【详解】解：A，B两地间修建曲路与修建直路相比，增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短． ▌例2“把弯曲的河道改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是（   ） A．两点之间直线最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】改直河道缩短路程，本质是比较两点间不同路径的长度，对应线段的基本性质． 【详解】解：∵ A选项“两点之间直线最短”说法错误，直线没有长度，无法比较长度，故A错误； ∵ B选项“两点确定一条直线”是直线的性质，与缩短路程的题意无关，故B错误； ∵ C选项是两点间距离的定义，不符合题意，故C错误； ∵ 把弯曲的河道改直后，两点间的路径变为线段，根据“两点之间，线段最短”，线段长度小于弯曲路径的长度，因此可以缩短路程，符合题意． ∴正确答案为D． ▌对点练1-1下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线，可得答案． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误； ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段架设，“两点之间，线段最短”，故③正确； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确； 故选D． ▌对点练1-2在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（   ）       A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】平板弹墨线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 建筑工人砌墙时拉直线找准线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 会场将茶杯摆成直线，先确定两端点，再确定直线，利用了“两点确定一条直线”，符合要求， 弯河道改直，利用的是“两点之间线段最短”，不符合要求， ∴ 符合题意的共有3个． ▌对点练1-3如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（    ） A．两直线相交只有一个交点 B．垂线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】将周长变化的问题转化为线段长度的比较，利用“两点之间，线段最短”的性质解释剩余木板周长变大的原因． 【详解】解：原三角形木板截去一部分后，其一条边被两段折线替代，根据线段的性质，两点之间，线段最短，可得这两段折线的长度之和大于被替换的原三角形的那条边的长度；原三角形的另外两条边长度未改变， 故剩余木板的周长比原三角形木板的周长大． 题型 线段相关计算——线段长度求解与和差倍分问题 解题贴士 · 拿到题目先画示意图，把已知点的位置、已知线段的长度标注在图上，理清线段之间的和差关系，再代入计算，数形结合不容易出错 · 遇到中点直接用中点性质转换线段关系，若题目中有多个中点，可以依次推导，逐步把未知线段用已知线段表示出来 · 如果题目没有给出点的具体位置，只说“点P在直线AB上”或者“点C在射线AB上”，一定要注意分类讨论：比如点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，两种情况得到的结果不一样，不能漏解 · 如果遇到比例关系，比如，可以用设未知数的方法，设，，再根据总长度列方程求解，比直接计算更清晰 牢 ▌例1如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． ▌例2若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． ▌对点练1-1如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 【答案】8 【分析】根据与的长度比为，求出，再根据线段的中点，得到，进而由线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵，若与的长度比为， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． ▌对点练1-2如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． ▌对点练1-3如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 题型 线段动点问题——动态点位置变化下的线段长度计算 解题贴士 · 首先设定运动时间为t，根据速度计算动点运动的路程，路程就是起点到动点的距离，再结合初始点的位置，表示出动点所在位置到其他定点的线段长度 · 题目要求两点重合、某段长度为定值时，直接根据线段长度的等量关系列一元一次方程，求解t即可 · 遇到线段中点或者某点分线段的比例不变的问题时，可以把对应线段用含t的代数式表示出来，化简后如果t被消去，就说明长度是定值，与运动时间无关 · 动点在直线上运动时要注意方向，可能会运动到线段的延长线上，同样需要分类讨论不同位置下的线段关系，不要只考虑动点在线段上的情况 解 ▌例1如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． ▌例2如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． ▌对点练1-1已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． ▌对点练1-2如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个． 【答案】5 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． ▌对点练1-3已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 题型 最短路径问题 解题贴士 1. 区分三者核心定义 直线无端点、无限长；射线1个端点、单向无限；线段2个端点、可测量。求长度、比较长短只看线段，射线直线不能度量。 2. 两点之间核心定理 两点之间，线段最短。所有折线、曲线、射线/直线路径，都比两点直接相连的线段长。 3. 最短路径作图通用方法 遇同侧两点求线上最短路径，用对称点法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为最短路径转折点。 解 ▌例1七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 【答案】见解析 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，点即为所求．本题考查轴对称最短问题，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决最短问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，小明的位置用点B表示用，点即为所求作的位置． ▌例2作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了射线、线段的定义，两点之间线段最短等知识，熟悉相关知识是解答本题的关键． （1）连接点，，即可； （2）根据射线的定义，作图即可； （3）连接交直线于点，即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）解：如图，射线即为所求： ； （3）解：如图，点即为所求： ． ▌对点练1-1如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)路线长相等，见解析 【分析】此题主要考查了圆柱侧面展开图，熟练掌握展开图长宽画法，圆周长公式，矩形面积公式，平面展开图中两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． （1）按甲乙两圆柱体等高，乙周长是甲周长的2倍画图； （2）按计算； （3）一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，另一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，根据两个矩形全等，对角线相等可得两只蚂蚁爬行的最短路程相等． 【详解】（1）解：下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： （2）； 故答案为：； （3）答：它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 ▌对点练1-2操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1)图见详解，两点之间线段最短 (2)图见详解 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． （2）解：如图，即为所求最短路线． 或 或 或 基础通关 1．2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 2．如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 【答案】B 【详解】解：打靶瞄准时，是通过准星和缺口两个点来确定射击方向（视线）， 这个现象解释了两点确定一条直线． 3．如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 4．如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 5．如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， ∵， ． 6．“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短． 7．如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 8．往返于泰安到北京的列车，中途停靠个站，则要准备____种不同的车票． 【答案】 【分析】结合线段的知识先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】解：泰安到北京的列车，中途停靠个站， 总站数为（个），每个站可到达站数为（个）， 要准备不同的车票种类数为（个）． 9．如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【答案】 点在直线上 点在直线上 点在直线外 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点在直线上；点在直线上；点在直线外． 10．平面内的四个点，其中有3个点在同一直线上，第4个点不在这条直线上，那么可以确定_____条直线． 【答案】4 【分析】依据两点确定一条直线的基本事实，先计算共线三点确定的直线条数，再计算第四个点与这三个点分别确定的直线条数，最后求和得到总直线数． 【详解】设共线的三个点为，它们在直线上，第四个点为且不在直线上． 根据两点确定一条直线的基本事实：共线的三点只能确定1条直线； 点分别与三点可确定直线，共3条直线； 将两类直线数量相加，条． 11．如图，，为的中点，点在线段上，且，则线段的长为____________． 【答案】5 【详解】解：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 12．已知D是线段的中点，C是线段的中点，若，则_____． 【答案】8 【分析】根据线段中点的定义，由点C是中点，结合的长度求出长度，再由点D是线段的中点，即可求出的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴． 13．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线，与线段的延长线交于点E； (3)找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线，线段的延长线的定义画出图形即可； （3）直线与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接，线段即为所求； （2）解：如图，连接并延长交线段的延长线于点E，射线，点E即为所求； （3）解：如图，直线与直线交于点P，点P即为所求． 14．如图，已知线段a，b，用圆规和直尺作线段，使它的长等于． 【答案】如图，为所作． 【分析】分三步进行作图：①作射线，②在射线上顺次截取，，③线段即为所求作的线段． 【详解】略 15．如图，已知点为线段上一点，，且，，分别为线段，的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】利用线段的和差以及数量关系求解． 【详解】解：，， ，， ，分别为线段，的中点， ，， ． 素养提升 1．我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 【答案】B 【分析】本题考查直线相交的交点规律问题，找出n条直线两两相交最多交点数的规律即可解题． 【详解】解：由题意可得， ∵2条直线相交交点数为， 3条直线两两相交最多交点数为， 4条直线两两相交最多交点数为， 5条直线两两相交最多交点数为， ∴可得n条直线两两相交最多交点数的规律为， 当时，代入得． 2．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 3．已知线段，下列说法能确定点为线段中点的是（   ） ①；②；③；④ A．①③④ B．②③④ C．②④ D．② 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义：若点在线段上，且，则是的中点，逐一判断． 【详解】①∵只要点在线段上，任意位置都满足，∴无法确定是中点，①错误； ②∵，，∴，即点在线段上，且，∴可以确定是中点，②正确； ③∵时，点可以在线段的延长线上，不在线段上，∴无法确定是中点，③错误； ④∵得，点可以在点左侧的延长线上，不在线段上，∴无法确定是中点，④错误； 因此只有②正确． 4．如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式得出与的等量关系，再根据线段的中点定义可得出的长， 求得的长． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 5．同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【答案】或 【分析】需要根据三点在同条一直线的位置关系分类讨论求解，先根据中点性质求出的长度，再结合已知条件求出和的长度，最后分情况计算的长度． 【详解】解：点是的中点，厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 当点位于点的左侧，三点顺序为时， 厘米； 当点位于点和点之间，三点顺序为时， 厘米； 综上所述，线段的长为或． 6．如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 7．“福厦高铁”串联起福州都市圈与厦漳泉都市圈，若线路一共有8个站点，则车站单程需要准备车票_____种（站A到站B和站B到站A属于同一种车票）． 【答案】28 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，将站点类比为直线上的点，单程车票对应两点间的线段，可利用直线上n个点的线段计数公式求解，即可作答． 【详解】解：依题意，将8个站点视为直线上的8个点，单程车票的种类等同于这8个点所确定的线段条数，则直线上n个点的线段总数公式， 当时，代入计算得：， 故答案为：28． 8．如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：），用这把直尺能直接量出的不同长度有______个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 【详解】解：图中共有条线段， 能直接量出6个长度，分别是：． 故答案为：6． 9．观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 (1)图中共有__________条线段； (2)若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； (3)【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 【答案】(1)； (2)； (3)枚徽章． 【分析】（）根据线段的定义求解即可； （）根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （）设共有名成员参加活动，由题意得，则要送出的徽章总数为，从而求解． 【详解】（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 10．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 迁移创新 1．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 2．如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $