专题 6.3 角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练- 2025-2026学年七年级数学上册（人教版）

本讲义系统梳理角的概念、表示方法、角度制等8个核心知识点，构建从基础定义（公共端点射线组成图形）到度量换算（度分秒六十进制），再到性质应用（角平分线、余角补角）及实际情境（钟面角、方位角），最终延伸至综合探究（折叠、旋转问题）的完整学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础篇通过概念辨析、角度换算等7类题型巩固核心知识，培优篇结合双角平分线、折叠旋转等问题培养推理意识与空间观念，情境化例题（如钟面角计算、方位角描述）强化模型意识，分层同步练习助力课中教学与课后查漏补缺。

专题 6.3 角 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】角的概念 1 【知识点二】角的表示方法 1 【知识点三】角度制 2 【知识点四】方位角 2 【知识点五】角的平分线 2 【知识点六】余角和补角 3 【知识点七】余角和补角的性质 3 二.题型精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】直线、射线、线段的辨析 3 【★题型2】点与直线的位置关系 5 【★题型3】画直线、射线、线段 7 【★题型4】尺规作图——画一条线段等于已知线段 8 【★题型5】两个基本事实 10 【★题型6】线段和差的简单计算 12 【★题型7】线段中点的简单计算 14 （二）培优篇 16 【★题型8】线段单中点与线段和差综合运算 16 【★题型9】线段双中点与线段和差综合运算 20 【★题型10】直线交点的规律问题探究 25 三．同步练习​ 30 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 30 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 30 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.我们把旋转一周的角叫周角，旋转半周的角叫平角。 【知识点二】角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 【知识点三】角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作，把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作 即：1°=， 【知识点四】方位角 以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）×× 度. 【知识点五】角的平分线 如图所示，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线.类似地,还有角的三等分线等 【知识点六】钟面角 钟面时针与分针有如下特点： 1.每个大格对应的角度为30度，每个小格对应的角度为5度； 2.分针每分钟转 1 小格，转速每分钟转6度；时针每小时转 1 大格，转速为每小时转30度，每分钟转0.5度； 3.转速差：分针与时针的转速差为（6-0.5）=5.5度/小时，这是计算追及类钟面角的关键。 4. 钟面角的计算公式：h时m分时针与分针夹角为： 【知识点七】余角和补角 一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角 互余，其中一个角是另一个角的余角. 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 【知识点八】余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】角的概念与分类辨析 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句中，不正确的个数是（   ） ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；③大于的角是钝角；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角的概念以及分类来判断即可． 解：①角是由公共端点的两条射线组成的图形，故①错误； ②角是由一条射线绕端点旋转形成的图形，故②正确； ③大于且小于的角是钝角，故③错误； ④大于且小于的角是钝角，设钝角为，则则，则钝角的一半是锐角，故④正确； 故不正确的个数是2个． 故选：B． 【点拨】本题考查了角的概念以及角的分类，解决问题的关键是注意角是由公共端点的两条射线组成的图形以及角的分类． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查角的定义，根据角的定义，进行判断即可． 解：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；故①错误； 角的大小与边的长短无关；故②错误； 角的两边是两条射线，无法比较长短；故③错误； 角的两边是两条射线．故④正确； 故选：D． 【小结归纳】判断角的概念与分类相关命题的正误，需紧扣角是由公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕端点旋转形成的图形 这一核心定义，明确角的大小与边的长短无关、角的两边是射线只能反向延长、周角和平角都是角而非射线等关键要点。 【★题型2】角的表示方法 【例题2】（根据人教版七上172页练习第2题改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来． 表示方法1 表示方法2 【答案】；或；；；或 【分析】本题考查了角的表示；角可以用三个大写英文字母来表示，表示顶点的字母必须写在中间，或表示顶点的一个大写英文字母表示，也可以用阿拉伯数字或希腊字母表示；熟悉这些表示角的方法是解题的关键；根据角的表示方法即可求解． 解： 表示方法1 表示方法2 或 或 故答案为：；或；；；或． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选C． 【小结归纳】 角的表示需根据图形中顶点处角的数量选择合适方法：单个角可用顶点字母、数字或希腊字母表示，多个角时必须用三个大写字母（顶点字母在中间），同时注意辨别表示同一角的不同写法及角的和差关系。 【★题型3】角度换算 【例题3】（根据人教版七上172页练习第3题改编）（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）等于多少分？等于多少秒？ （2）和相等吗？如不相等，哪一个大？ 【答案】（1）2100分，126000秒；（2）不相等，大． 【分析】（1）利用1°=60′=3600″即可得出答案； （2）将38.15°，转化为38°9′，进而比较得出答案． 解：（1）35°=（35×60）分=2100分 35°=（35×3600）秒=126000秒； （2）∵0.15°=（0.15×60） ′=9′ ∴38.15°=38°9′， ∴38°15′＞38°9′． ∴不相等，大． 【点拨】此题主要考查了度分秒的转换，正确转化度分秒是解题关键． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度单位的换算和计算，涉及度、分、秒之间的转换规则（，），通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 解：对于选项A：，正确； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，正确； 对于选项D：，正确； 故选：B． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查角度计算，注意度、分、秒进率为，满向前一个单位进1，不够相减时再向前借1当60． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； （3）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可． 解：（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 【小结归纳】 角度换算与计算需牢记1°=60′，1′=60″ 的六十进制规则，换算时大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率；计算时度、分、秒分别对应相加减，相加满 60 向高一级单位进 1，相减不够时向高一级单位借 1 当 60 再计算。 【★题型4】钟面角 【例题4】（根据人教版七上172页练习第1题改编）（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．一个小时钟表的时针转30° B．一个小时钟表的分针转 C．当9点整时，时针与分针成角 D．当6点整时，时针与分针成角 【答案】D 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握角的度数及钟面角解题的关键． 根据钟面角，可知一个小时时针转一大格为，一小时分针转一周，9点整时，时针与分针成角，6点整时，时针与分针成角． 解：解;一个小时钟表的时针转，故A正确，不符合题意； 一个小时钟表的分针转一周，故B正确，不符合题意； 当9点整时，时针与分针成角，故C正确，不符合题意； 当6点整时，时针与分针成角，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）经过，钟表的时针转过的角度是 ，分针转过的角度是 ；经过，分针转过的角度是 ，时针转过的角度是 ． 【答案】 /30度 /360度 /90度 【分析】题目主要考查钟面角的计算，熟练掌握是解题关键． 钟表圆周为，时针12小时转一圈，每小时转；分针60分钟转一圈，每分钟转，根据时间计算对应角度即可． 解：时针每小时转过的角度为，故1小时时针转； 分针每小时转，故1小时分针转； 分针每分钟转，故15分钟分针转； 时针每分钟转， 故15分钟时针转， 故答案为． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）如图，观察时钟，回答问题： （1）分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ （2）从0点（12时）开始到6时整，时针转动了多少度？ （3）从12时到12时30分，分针转动了多少度？ （4）中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 【答案】（1）60分钟，（度/分）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查钟面角． （1）分针60分钟转一圈，时钟的分针1min旋转一个“小格”，即； （2）时钟的时针旋转一个“大格”，即，从0点（12时）开始到6时整，走了六个“大格”，即可得出时针转动了， （3）从12时到12时30分，时间为30分钟，再乘以转速即可求解. （4）根据钟面角的定义以及钟面上时针、分针旋转过程中所成角度的变化规律进行计算即可． 解：（1）解：分针60分钟转一圈，时钟的分针旋转的度数为， 答：分针60分钟转一圈，它的转速是度/分； （2）解：时钟的时针旋转的度数为， 从0点（12时）开始到6时整，时针转动了， 答：从0点（12时）开始到6时整，时针转动了180°. （3）解：从12时到12时30分，分针转动了 答：从12时到12时30分，分针转动了180°. （4）解：从12时到12时15分时，时针转动了，分针转动了，中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 答：中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是. 【小结归纳】 解决钟面角问题需牢记核心规律：钟面圆周角为，时针 12 小时转一圈，每小时转、每分钟转；分针 60 分钟转一圈，每分钟转，计算特定时刻时针与分针夹角时，用两者转过的角度差的绝对值求解即可。 【★题型5】方位角 【例题5】（根据人教版七上179页习题6.3第9题改编）（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． （1）在图中确定船的位置； （2）请通过测量确定的度数． 【答案】（1）作图见分析；（2）． 【分析】本题考查的是方位角的画法，解题的关键是熟知方向角的描述方法， （1）据方向角的概念分别画出过点A与点B的射线，两条射线的交点即为这艘船的位置． （2）运用量角器测量即可解答． 解：（1）解：如图所示：作，，两射线相交于P点，则点P即为所求． （2）解：使用量角器，将量角器的中心与点重合，0刻度线与重合，读出所对应的刻度，测量可得． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，是北偏东，为南偏东，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，由题意可得，，再利用平角的定义计算即可得解，熟练掌握方向角的相关知识点是解此题的关键． 解：如图： ∵是北偏东，为南偏东， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·上海·月考）如图，点A、B的位置如图所示，其中，则下述描述中正确的是（   ） A．点位于点的南偏东； B．点位于点的南偏西； C．点位于点的北偏东； D．点位于点的北偏西． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的确定， 根据两个点的位置可知点B位于点A的北偏东方向，点A位于点B的南偏西方向，再确定夹角即可得出答案； 解：因为， 所以， 所以点B位于点A的北偏东方向，点A位于点B的南偏西方向． 故选：B． 【小结归纳】 解决方位角问题需先明确正北、正南方向为基准线，根据方位描述画出对应射线（北偏东（西）、南偏东（西）均以南北向为起始边），再结合图形中角的和差关系或平角、周角的性质计算角度，同时注意观测点互换时方位角的方向相反、角度相等。 【★题型6】角平分线相关运算 【例题6】（根据人教版七上179页习题6.3第8题改编）（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在同一平面内有，，平分，平分． （1）请求出的度数． （2）请求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角的和差，角的平分线， （1）先求的度数，再根据角平分线的定义即可求解； （2）先根据角平分线的定义求的度数，再由题意求出的度数，再相加即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，先由角平分线的定义求出的度数，再分两种情况：射线在的内部和射线在的外部，根据角的和差关系讨论求解即可． 解：∵是的平分线， ∴； 当射线在的内部时，则， 当射线在的外部时，则， 综上所述，的度数为或， 故选：D． 【★题型7】余角与补角的简单计算 【例题7】（根据人教版七上179页习题6.3第11题改编）（24-25七年级上·吉林长春·期末）将一副三角尺按不同位置摆放，下面摆放方式中和互余的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查三角板以及余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键．观察三角板的位置即可得到答案． 解：，故选项A不符合题意； ，故选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选B． 【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将一副三角尺按此位置摆放，在此摆放方式中与关系一定成立的是（  ） A． B．相等 C．互余 D．互补 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的角度计算，互余，掌握相关概念是关键．根据题意得出即可． 解：由题意可知，， 即与互余， 故选：C 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的定义，一元一次方程的应用，解题关键是掌握余角和补角的定义． （1）设这个角为x，由题意，列出方程，即可求解； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意，列出方程，即可求解． 解：（1）设这个角为x，由题意得， ， 解得， 即这个角是， 故答案为：； （2）设这个角为x，则它的补角为，余角为，根据题意列方程，得： ， 解得， 则它的余角为，补角为． 故答案为：；． （二）培优篇 【★题型8】双角平分线与角的和差综合运算 【★★例题8】（2025六年级上·全国·专题练习）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， （1）若，，求的度数． （2）若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 解：（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． （3）如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3），与的大小无关 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线是解题的关键． （1）根据题意求出度数，根据角平分线求出和的度数，由求出即可； （2）与（1）同理，求出、和的关系，用表示； （3）与（1）同理，求出、和的关系，用、表示． 解：（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ； （2）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , , 即； （3）解：，与的大小无关，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ， , ， 即． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 【★题型9】折叠问题中角的探究 【★★例题9】（24-25七年级上·山东德州·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【答案】（1）90°；（2）①；② 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据、即可求解； （2）①根据、、即可求解；②根据题意得，结合①得推理过程即可求解； 解：（1）由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， 即：， 故答案为：； （2）①由折叠可知：， ∵ ∴ ∴， ∴； ②若， 则， ∴， ∴； 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）数学活动：折纸中的数学 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边，上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，，则的度数是 ； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，求的度数； ②若，求的度数 （用含α的式子表示）． 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线，折叠， 使点A， B， C分别落在点， B．处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图 （3）．若 请直接写出的度数 （用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查折叠的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，再根据平角的定义即可求解； （2）①得，，求出，即可得到答案； ②若，则，得到，即可求出答案． （3）由折叠的性质得到，即可求出答案． 解：（1）折叠的性质得到， ， ， ， 即； 故答案为：； （2）①由折叠的性质可知， ，， ， ， ， ； ②若，则， ， ； （3）由折叠的性质得到，， ， ， ． 【变式2】（23-24七年级上·广东广州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若，则 ； （2）折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 解：（1）解：由折叠知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 【★题型10】角与旋转问题探究 【★★例题10】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． （1）如图1，当在射线上时，的度数为 ； （2）如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； （3）如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【答案】（1）；（2）；（3）6秒或秒或13秒 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据求解即可得； （3）先求出，再分三种情况：①当是的角平分线时，②当是的角平分线时，③当是的角平分线时，利用的度数除以旋转速度即可得． 解：（1）解：∵平分，， ∴， ∵在射线上，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴， ∵三角尺在的内部，， ∴． （3）解：∵平分，， ∴， 由题意可知，当到达处停止旋转时，运动时间为秒， ∴． 分以下三种情况： ①当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ②当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； ③当是的角平分线时， ∴， ∴此时运动时间（秒），符合题意； 综上，的值为6秒或秒或13秒． 故答案为：6秒或秒或13秒． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： （1）图1中的度数为 ． （2）在旋转过程中，当平分时，求 的度数． （3）是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则，则有，进而问题可求解． 解：（1）解：由题意得： ； 故答案为； （2）解：因为平分， 所以， 所以； （3）解：存在，理由如下： 因为在内部， 所以， 设，则， 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． （1）如图1，已知，，是的相生角，求的度数； （2）某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． （3）若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）不是，理由见分析；（3）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据相生角的定义求得，再根据计算即可； （2）先根据旋转的性质得，再分别求出和，再根据相生角的定义即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当边在的上方时，设；当边在的下方时，设；分别根据相生角的定义的角的和差列方程计算． 解：（1）解：∵是的相生角，， ∴， ∵， ∴； （2）解：不是，理由如下： ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴不是的相生角； （3）解：分以下两种情况讨论： 当边在的上方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 当边在的下方时，设， ∵是的相生角， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，旋转过程中是的相生角时旋转角的度数为或． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 解：周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点拨】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查钟面角；钟面被12小时等分，每小时对应，下午3时整，分针指向12，时针指向3，两针相隔3小时，列式计算即可． 解：∵钟面一周，被12小时等分， ∴每小时对应角度为， ∵下午3时整，分针指向12，时针指向3， ∴两针相差3小时， ∴夹角为． 故选：A． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船的北偏东方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，掌握根据题意作出图形进行求解是解题的关键． 根据题意作出对应图形，得到，根据角的和差即可求解． 解：根据题意，作出图形如下， 可知， ． 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较，将的单位统一为度分形式，再进行比较大小，即可作答． 解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：B． 5．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）＝ ° ′ ″； 【答案】 52 21 36 【分析】本题考查角度的计算，将小数度转换为分和秒，使用，，即可得出结果． 解：的整数部分为， 小数部分， 整数部分， 小数部分， 故答案为：①，② ，③． 8．（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知，那么的补角为 ． 【答案】 【分析】根据补角的定义，两角之和为，因此用减去已知角即可得到补角． 解：的补角为： ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查方向角，角的计算，熟练掌握方向角的概念是解决问题的关键． 由题中所给条件，利用射线与射线所夹的角是，求出即可得到答案． 解：如图所示： ∵是北偏东方向的一条射线， ∴， ∵若射线与射线所夹的角是， ∴， ∴，即的方向角是南偏东． 故答案为：南偏东． 10．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为 ° 【答案】76 【分析】本题考查了角的计算，先根据求出的度数，然后根据计算即可． 解：∵，， ∴， 又， ∴， 故答案为∶76． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形ABC和三角形中，．若，则，理由是 ． 【答案】等角的余角相等 【分析】本题考查了余角的性质：等角或同角的余角相等，掌握余角的性质是解题的关键． 解： ， （等角的余角相等） 故答案为：等角的余角相等． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将 ． A．变大        B．变小        C．不变        D．不确定 【答案】 A 【分析】本题考查了余角和补角，以及角的计算，解决本题的关键是掌握相关的计算． （1）根据题意得，，求出的度数，然后即可求出的度数； （2）根据同角的余角相等进行求解即可； （3）根据，可得，进而得到逐渐变小，则逐渐变大． 解：（1）根据题意得， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵ ， ∴， ∴逐渐变小，逐渐变大． 故答案为：A． 三、解答题 13．（10-11七年级上·河北·期末）计算下列各式 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查度分秒的换算． （1）直接进行角度的减法运算，当低位不够减时，向高位借； （2）直接进行角度的加法运算，满进，满进． 解：（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将一副直角三角尺如图放置． （1）若，求的大小； （2）求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键； （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 解：（1）解：，， ， ； （2）解：， ∴， ∴． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【答案】与互余的角有；与互补的角 【分析】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是正确“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”． 由得到，以及角平分线得到，即可得到与互余的角；由，，且，即可得到与互补的角． 解：∵， ∴， ∴与互余， ∵平分， ∴， ∴与互余； ∵，，且， ∴与互补的角． 16．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． （1）根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补 ∴ 又∵___________ 根据___________， ∴______________________． （备注：符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”） （2）若，求的度数． 【答案】（1），同角的补角相等，， ；（2） 【分析】本题考查补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算，掌握补角性质，同角的补角性质，角平分线定义，角的和差倍分计算是解题关键． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据角平分线的定义可得，，然后计算出，进而得到． 解：（1）解：∵与互补 ∴ 又∵ 根据同角的补角相等， ∴． 故答案为：，同角的补角相等，； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 解：A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点拨】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 2．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角．用乘以两针相距的份数的占比是解题关键． 根据钟面的特点，钟面平均分成12份，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 解：． 故选：A． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论． 解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 5．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 6．（2024七年级上·吉林·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了补角，新定义，一元一次方程，解决问题的关键是理解新定义． 根据补角的概念，先求出这个角的垂角，由垂角的定义列方程，再解答即可； 解：设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为． 根据题意，分两种情况：①当这个角大于它的“垂角”时，这个角的“垂角”度数为． 此时， 解得：； ②当这个角小于它的“垂角”时，这个角的“垂角”的度数为， 此时， 解得：． 综上所述，这个角的度数为或． 故选：D． 二、填空题 7．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）在分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，根据钟面角度的计算，时针每分钟转，分针每分钟转，分别计算时时针和分针的角度，然后求差得到夹角． 解：时，时针从点位置转动了， 分针转动了， 时针与分针的夹角为． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【答案】 【分析】本题考查方向角． 根据方向角和等边三角形的知识，结合角之间的关系计算即可． 解：， ∴这个三角形旋转了， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴点位于C点西偏北的方向． 故答案为：，． 10．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差运算，利用三角板已知角的度数，先求出的度数，再可求出的度数解题即可． 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为： 11．（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，这是一块含角的直角三角板，其中．现过点引射线，交于点，使；引射线，使平分，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的概念，角的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．本题需要分类讨论，当射线在的内部时或者当射线在 的外部时，设，则，两种情况分别根据图形列出方程求解出，因为平分，则，则可求． 解： 如图1， 设，则． ， ， 解得， ∴． ∵平分， ∴ ， ∴； 当射线在 的外部时，如图2， 设，则． ∵， ∴， 解得， ∴， ∵ 平分， ∴ ， ∴． 综上，的度数为或． 故答案为：或 12．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查余角，补角，角平分线的定义，解一元一次方程，解题的关键是灵活运用余角，补角，角平分线的定义，根据，设，则，求得，利用列方程，即可求解． 解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，平面上有，，，四个点． （1）画直线，射线，线段； （2）写出图中所有以点为顶点的角．（不添加其他的点） 【答案】（1）见分析；（2），， 【分析】本题考查了作图，解题的关键是正确理解直线，射线，线段，角的定义． （）根据直线，射线，线段画法即可； （）根据角的表示方法即可求解； 解：（1）解：如图所示： （2）解：如图，以点为顶点的角为：，，． 14．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． （1）若，求的大小； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键. （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 解：（1）解：，， ， ； （2）证明：， ∴， ∴． 15．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； （1）如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； （2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】（1）；（2）不变， 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解． 解：（1）解：∵平分，， ∴， ∴； （2）解：不变，，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． （1）若是的差余角，求． （2）将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，理由见分析；②的差余角有，，理由见分析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 解：（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.3 角 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】角的概念 2 【知识点二】角的表示方法 2 【知识点三】角度制 2 【知识点四】方位角 2 【知识点五】角的平分线 3 【知识点六】钟面角 3 【知识点七】余角和补角 3 【知识点八】余角和补角的性质 3 二.题型精析 3 （一）基础篇 3 【★题型1】角的概念与分类辨析 4 【★题型2】角的表示方法 4 【★题型3】角度换算 5 【★题型4】钟面角 5 【★题型5】方位角 6 【★题型6】角平分线相关运算 7 【★题型7】余角与补角的简单计算 8 （二）培优篇 8 【★题型8】双角平分线与角的和差综合运算 8 【★题型9】折叠问题中角的探究 10 【★题型10】角与旋转问题探究 11 三．同步练习​ 13 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 13 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 16 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.我们把旋转一周的角叫周角，旋转半周的角叫平角。 【知识点二】角的表示方法 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 【知识点三】角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作，把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作 即：1°=， 【知识点四】方位角 以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）×× 度. 【知识点五】角的平分线 如图所示，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线.类似地,还有角的三等分线等 【知识点六】钟面角 钟面时针与分针有如下特点： 1.每个大格对应的角度为30度，每个小格对应的角度为5度； 2.分针每分钟转 1 小格，转速每分钟转6度；时针每小时转 1 大格，转速为每小时转30度，每分钟转0.5度； 3.转速差：分针与时针的转速差为（6-0.5）=5.5度/小时，这是计算追及类钟面角的关键。 4. 钟面角的计算公式：h时m分时针与分针夹角为： 【知识点七】余角和补角 一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角 互余，其中一个角是另一个角的余角. 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 【知识点八】余角和补角的性质 同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】角的概念与分类辨析 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句中，不正确的个数是（   ） ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；③大于的角是钝角；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列说法中，正确的是（   ） ①两条射线组成的图形叫作角；    ②角的大小与边的长短有关； ③角的两边可以一样长，也可以一长一短；    ④角的两边是两条射线． A．① B．② C．③ D．④ 【小结归纳】判断角的概念与分类相关命题的正误，需紧扣角是由公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕端点旋转形成的图形 这一核心定义，明确角的大小与边的长短无关、角的两边是射线只能反向延长、周角和平角都是角而非射线等关键要点。 【★题型2】角的表示方法 【例题2】（根据人教版七上172页练习第2题改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来． 表示方法1 表示方法2 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（   ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【小结归纳】 角的表示需根据图形中顶点处角的数量选择合适方法：单个角可用顶点字母、数字或希腊字母表示，多个角时必须用三个大写字母（顶点字母在中间），同时注意辨别表示同一角的不同写法及角的和差关系。 【★题型3】角度换算 【例题3】（根据人教版七上172页练习第3题改编）（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）等于多少分？等于多少秒？ （2）和相等吗？如不相等，哪一个大？ 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）． 【小结归纳】 角度换算与计算需牢记1°=60′，1′=60″ 的六十进制规则，换算时大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率；计算时度、分、秒分别对应相加减，相加满 60 向高一级单位进 1，相减不够时向高一级单位借 1 当 60 再计算。 【★题型4】钟面角 【例题4】（根据人教版七上172页练习第1题改编）（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．一个小时钟表的时针转30° B．一个小时钟表的分针转 C．当9点整时，时针与分针成角 D．当6点整时，时针与分针成角 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）经过，钟表的时针转过的角度是 ，分针转过的角度是 ；经过，分针转过的角度是 ，时针转过的角度是 ． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）如图，观察时钟，回答问题： （1）分针多长时间转一圈？它的转速是多少？ （2）从0点（12时）开始到6时整，时针转动了多少度？ （3）从12时到12时30分，分针转动了多少度？ （4）中午12时15分时，钟表上的时针和分针所成的角是多少度？ 【小结归纳】 解决钟面角问题需牢记核心规律：钟面圆周角为，时针 12 小时转一圈，每小时转、每分钟转；分针 60 分钟转一圈，每分钟转，计算特定时刻时针与分针夹角时，用两者转过的角度差的绝对值求解即可。 【★题型5】方位角 【例题5】（根据人教版七上179页习题6.3第9题改编）（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，地和地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东方向上有一艘船，同时，从地发现这艘船在它北偏东方向上． （1）在图中确定船的位置； （2）请通过测量确定的度数． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，是北偏东，为南偏东，则等于 ． 【变式2】（25-26九年级上·上海·月考）如图，点A、B的位置如图所示，其中，则下述描述中正确的是（   ） A．点位于点的南偏东； B．点位于点的南偏西； C．点位于点的北偏东； D．点位于点的北偏西． 【小结归纳】 解决方位角问题需先明确正北、正南方向为基准线，根据方位描述画出对应射线（北偏东（西）、南偏东（西）均以南北向为起始边），再结合图形中角的和差关系或平角、周角的性质计算角度，同时注意观测点互换时方位角的方向相反、角度相等。 【★题型6】角平分线相关运算 【例题6】（根据人教版七上179页习题6.3第8题改编）（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在同一平面内有，，平分，平分． （1）请求出的度数．（2）请求出的度数． 【变式1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【★题型7】余角与补角的简单计算 【例题7】（根据人教版七上179页习题6.3第11题改编）（24-25七年级上·吉林长春·期末）将一副三角尺按不同位置摆放，下面摆放方式中和互余的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，将一副三角尺按此位置摆放，在此摆放方式中与关系一定成立的是（  ） A． B．相等 C．互余 D．互补 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意计算： （1）一个角的余角比它的补角的多，则这个角的度数为 ； （2）一个角的补角加上的和等于这个角的余角的3倍，这个角的余角为 ，补角为 ． （二）培优篇 【★题型8】双角平分线与角的和差综合运算 【★★例题8】（2025六年级上·全国·专题练习）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， （1）若，，求的度数． （2）若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当，时，尝试发现与的数量关系． （3）如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？直接写出结论即可． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【★题型9】折叠问题中角的探究 【★★例题9】（24-25七年级上·山东德州·期末）数学活动：折纸中的数学 【知识背景】我们在第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，则的度数是______； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，，求的度数； ②若，求的度数（用含的式子表示）； 【变式1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）数学活动：折纸中的数学 【知识初探】 （1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片的对边，上的点，连结，将和分别对折，使点A，B都分别落在上的和处，点C落在处，分别得折痕，，则的度数是 ； 【类比再探】 （2）如图（2），将长方形纸片分别沿直线，折叠，使点A，B分别落在点，处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分． ①若，求的度数； ②若，求的度数 （用含α的式子表示）． 【拓展探究】 （3）将长方形纸片分别沿直线，折叠， 使点A， B， C分别落在点， B．处，和不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图 （3）．若 请直接写出的度数 （用含α的式子表示）． 【变式2】（23-24七年级上·广东广州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若，则 ； （2）折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【★题型10】角与旋转问题探究 【★★例题10】（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，，将一个直角三角尺的顶点与点O重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与，重合）． （1）如图1，当在射线上时，的度数为 ； （2）如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； （3）如图3，三角尺从与重合开始，以每秒的速度绕点O按图中的方向旋转，当到达处停止旋转．在三角尺旋转过程中，作为角平分线时，的值为 （直接写出答案）． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，将一副三角板中一块含有角的三角板的顶点和另一块含角的三角板的顶点重合于一点O，将含有角的三角板绕点O按顺时针方向旋转为如图2所示的情况（在内部），请回答问题： （1）图1中的度数为 ． （2）在旋转过程中，当平分时，求 的度数． （3）是否存在某一时刻，满足？若存在，求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·河北唐山·期中）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“相生角”．如图1，若，则是的相生角． （1）如图1，已知，，是的相生角，求的度数； （2）某同学将绕点O按顺时针方向旋转得到，如图2．若，判断是否是的相生角，并说明理由． （3）若，把含有角的三角板与顶点O重合放置，如图3所示，让三角板的边与边重合开始绕顶点O按顺时针方向旋转一周，请直接写出在旋转过程中是的相生角时旋转角的度数． 三．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 2．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）下午3时整的钟面，时针和分针所夹的角的度数是（） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）轮船C在航行过程中，灯塔A在轮船的北偏东方向上，此时灯塔B在轮船的东南方向上，则（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 5．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·山东济南·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）＝ ° ′ ″； 8．（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知，那么的补角为 ． 9．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，是北偏东方向的一条射线，若射线与射线成角，则的方位角是 ． 10．（24-25七年级上·北京西城·期末）如图，，，，则的度数为 ° 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形ABC和三角形中，．若，则，理由是 ． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，和都是直角． （1）如果，则 ； （2）找出图中一组相等的锐角为： ； （3）选择，若变小，将 ． A．变大        B．变小        C．不变        D．不确定 三、解答题 13．（10-11七年级上·河北·期末）计算下列各式 （1） （2） 14．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）将一副直角三角尺如图放置． （1）若，求的大小； （2）求与的数量关系． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 16．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． （1）根据题意，补全下列说理过程： ∵与互补 ∴ 又∵___________ 根据___________， ∴______________________． （备注：符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”） （2）若，求的度数． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（23-24七年级上·北京房山·期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西九江·月考）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 6．（2024七年级上·吉林·专题练习）如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“垂角”，例如：，，，则和互为“垂角”（本题中所有角都是指大于且小于的角）．如果有一个角的“垂角”等于这个角的补角的，那么这个角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（2025·广东深圳·二模）一个锐角是，它的余角是 度． 8．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）在分，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是 度． 9．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 10．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则 ． 11．（25-26七年级上·山西运城·月考）如图，这是一块含角的直角三角板，其中．现过点引射线，交于点，使；引射线，使平分，则的度数为 ． 12．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）如图，点是直线上一点，，是的平分线，且，则 °． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，平面上有，，，四个点． （1）画直线，射线，线段； （2）写出图中所有以点为顶点的角．（不添加其他的点） 14．（25-26七年级上·江西吉安·期中）将一副直角三角尺如图放置． （1）若，求的大小； （2）求证：． 15．（25-26七年级上·江西吉安·期中）已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点O，，； （1）如图1，将三角尺绕点O逆时针方向转动，当恰好平分时，求度数； （2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果，三角尺在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． （1）若是的差余角，求． （2）将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $