5.4 二元一次方程与一次函数 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用二元一次方程组确定一次函数表达式”核心知识点，通过逆向提问“能否用方程组确定函数表达式”导入，衔接“用函数求方程组解”的前置知识，搭建逆向思维学习支架。 其亮点在于结合行程、行李费等实际情境，以探究式学习培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理与运算）和数学语言（模型表达）。通过多种解法对比及待定系数法步骤总结，助力学生掌握方法，教师可提升教学效率。

第五章　二元一次方程组 5.4 二元一次方程与一次函数 北师大版八年级上册 第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式 导入新课 前面，我们已经学过利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解. 相反的，能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢? 2 探究新知 探究：A，B 两地相距 100 km，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行．假设他们都匀速行驶，则他们各自与 A 地的距离 s (单位：km) 都是骑车时间 t (单位：h) 的一次函数．骑行 1 h ，乙距 A 地 80 km，骑行 2 h ，甲距 A 地 30 km．经过多长时间两人相遇? 1 h 2 h甲距A地 30 km 乙距 A 地 80 km A B 乙 甲 可以分别画出两人 s 与 t 之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了. s/km t/ h 甲 乙 1.用图象法解决问题 2.用二元一次方程组的方法确定一次函数表达式 b1＝100， k1＋b1＝80 b1＝100 k1＝－20， 解得 ∴s＝－20t＋100. 对于乙，s 是 t 的一次函数，可设 s = k1t + b1. 当 t = 0 时，s = 100；当 t = 1 时，s = 80. 将它们分别代入 s = k1t + b1 中， s = －20t + 100， s = 15t 联立 解得 2k2＝30 k2＝15 s = 15t 对于甲，s 是 t 的正比例函数，可设 s = k2t . 当 t = 2 时，s = 30，代入 s = k2t 中， 3.用一元一次方程的方法解决问题 1 h 2 h甲距A地 30 km 乙距 A 地 80 km A B 乙 甲 骑行1 h 乙距 A 地 80 km，即乙的速度是20 km/h 骑行2 h 甲距 A 地 30 km，即甲的速度是15 km/h 设同时出发后 t 小时相遇，则 (15 + 20)t = 100． ∴t= 骑行1 h 乙距 A 地 80 km，即乙的速度是 20 km/h 骑行 2 h 甲距 A 地 30 km，即甲的速度是 15 km/h 用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法. 归纳总结 例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量则需购买行李票，且行李费 y (单位：元) 是行李质量 x (单位：kg) 的一次函数． 已知李明带了 60 kg 的行李，交了行李费 5 元；张华带了 90 kg 的行李，交了行李费 10 元． (1) 写出 y 与 x 之间的关系式； (2) 每名乘客最多可免费携带多少千克的行李? 典例精析 解：(1) 设 y = kx + b (k≠0)，根据题意，得 所以y=x-5 解得 所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李. (2) 令 y = 0，x-5=0，解得 x = 30. 当 x＞30 时，y＞0. 像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。 一次函数的表达式有两个参数 k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件! 归纳总结 （1）设：设一次函数的一般形式 ； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式，组成_________方程组； （3）解：解二元一次方程组得 k，b； （4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的解析式. y = kx + b (k ≠ 0) 二元一次 求一次函数解析式的步骤： 思考：已知函数 y = 2x + b 的图象经过点 (a，7) 和 (-2，a)，求这个函数的表达式. 解得 ∴这个函数的表达式是 y = 2x + 5. 解：将点 (a，7) 和 (-2，a) 代入函数 y = 2x + b 中， 得 1. 已知一个正比例函数的图象经过点 (-2，4)，则这个正比例函数的表达式是________. 2. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)，则 k =______. y = -2x 3 练一练 利用二元一次方程确定一次函数表达式 用含字母的系数设出一次函数的表达式： y = kx + b 将已知条件代入上述表达式中得关于 k，b的二元一次方程组 解这个二元一次方程组得 k，b 课堂小结 1.经过A(0，2)和B(3，0)两点的直线的函数表达式是( ) A.y＝2x＋3 B.y＝－x＋2 C.y＝3x＋2 D.y＝x－1 B 课堂练习 2.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(2，－1)，(－3，4)两点，则它的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 3.已知变量y与x的关系满足下表，那么y与x之间的函数表达式为　 　.  x … －2 －1 0 1 2 … y … 4 3 2 1 0 … y＝－x＋2 4.已知一次函数y＝kx＋b，当x＝－时，y＝－1，当x＝时，y＝2.求当x＝－时，y的值. 解：根据题意，得解得 所以y＝x＋. 当x＝－时，y＝. A.5 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 5.[教材P131随堂练习第2题改编]若弹簧的总长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示，则不挂物体时，弹簧的长度是( ) B (1)若小明所穿运动鞋的中码为245，则对应的美码为 　 　；  (2)若某篮球运动员的运动鞋美码为18，则该运动员运动鞋的中码为　 　.  　355　 6.小明在购物网站上买运动鞋时，看到下面的尺码对照表： 　7　 中码 225 230 … 250 255 260 … 美码 5 5.5 … 7.5 8 8.5 … 7.如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.背带的长度(其中调节扣所占长度忽略不计)可以通过调节扣调节.设双层部分长度为x cm，背带长度为y cm，且y与x是一次函数关系，若双层部分长度是30 cm时，背带长度为90 cm，若双层部分长度是20 cm时，背带长度为100 cm. (1)求出y与x的函数关系式； 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，将(30，90)，(20，100)代入， 得解得 所以y与x的函数关系式为y＝－x＋120. (2)若单层部分长度与双层部分长度相等时，求背带长度. 解：(2)由题意得y＝2x＝－x＋120，解得x＝40， 此时y＝－40＋120＝80(cm). 答：背带长度为80 cm. A.y＝x＋1 B.y＝x＋1 C.y＝x＋1 D.y＝x＋1 8.如图，将8个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线l经过小正方形的顶点A，B，则直线l的表达式为( ) A 9.若点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，a)在同一条直线上，则a的值是( ) A.6或－6 B.6 C.－6 D.6和3 B 10.已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数)，当自变量x的取值范围为1≤x≤5时，对应的函数值的范围为－2≤y≤2，则此一次函数的表达式为　 　.  y＝x－3或y＝－x＋3 11.如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D. (1)求一次函数的表达式； 解：(1)将点A(－2，－1)，B(1，3)代入y＝kx＋b，得解得 所以一次函数表达式为y＝x＋. (2)求点C和点D的坐标； (3)求△AOB的面积. 解：(2)点C的坐标为，点D的坐标为. 解：(3)△AOB的面积＝S△AOD＋S△BOD＝×2＋×1＝. 12.[情境题]A，B两地相距300千米，甲、乙两车先后从A地出发到B地.如图，线段OC表示甲车离A地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系；折线DEF表示乙车离A地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系.根据图象回答下列问题. (1)求线段EF对应的函数表达式； 解：(1)设线段EF对应的函数表达式为y＝kx＋b. 将E(2.5，80)，F(4.5，300)代入， 得解得 所以线段EF对应的函数表达式为y＝110x－195. (2)乙车到达B地后，甲车距B地多少千米? 解：(2)由图可得甲的速度为＝60(千米/小时)， 当x＝4.5时，甲行驶4.5×60＝270(千米)， 所以乙车到达B地后，甲车距B地300－270＝30(千米). (3)求点P的坐标，并说出点P的实际意义. 解：(3)易得线段OC对应的函数表达式为y＝60x， 联立解得 所以点P(3.9，234)， 所以点P的实际意义是甲出发3.9小时，在距A地234千米处，乙追上甲. $