课时规范练15　导数的概念、几何意义及运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 《课时规范练15 导数的概念、几何意义及运算》以“基础巩固-综合提升-创新应用”三级分层设计，通过6:4:2题量配比，实现从单一知识点到综合应用再到拓展创新的知识巩固路径，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固组|导数概念、几何意义、基本求导运算|以多选（如第1题）、基础计算（如第2题切线斜率）为主，强化概念理解与运算能力| |综合提升组|导数与函数性质、切线综合问题|结合奇偶性（第5题）、切线与直线位置关系（第7题），培养逻辑推理与综合应用能力| |创新应用组|导数拓展与实际应用|引入泰勒公式估算（第11题）、绝对值函数切线垂直问题（第12题），发展创新意识与数学语言表达能力|

课时规范练15　导数的概念、几何意义及运算 基础巩固组 1.(多选)下列求导正确的是(　　) A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2 B.(x3ln x)'=3x2ln x+x2 C.'= D.(2x+cos x)'=2xln 2-sin x 2.已知函数f(x)的导数是f'(x),且满足f(x)=f'()cos x+2x,则f(0)=(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)-f(1)=(　　) A.0 B.2 C.-2 D.-1 4.函数f(x)=-2ex图象的切线斜率为k,则k的最小值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=x3-x,则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是(　　) A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0 C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0 6.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为　　　　　.  综合提升组 7.已知曲线C1:f(x)=ex+a和曲线C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,b∈R),若存在斜率为1的直线与C1,C2同时相切,则实数b的取值范围是(　　) A.[-,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,] 8.已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为(　　) A. B. C. D. 9.已知直线y=ax+b与曲线y=ln(ex)相切,则a+b的最小值为(　　) A. B.1 C. D. 10.(多选)已知过点A(a,0)作曲线C:y=的切线有且仅有两条,则实数a的值可以是(　　) A.-2 B.4 C.0 D.6 创新应用组 11.(2025陕西咸阳三模)数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时,f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+x3+…+xn.该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算sin 2的值为(　　)(精确到小数点后两位) 注:f″(x)表示f(x)的2阶导数,即为f'(x)的导数,f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数,即为f(n-1)(x)(n≥3)的导数.n!表示n的阶乘,即n!=1×2×3×…×n. A.0.85 B.0.88 C.0.91 D.0.95 12.已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是　　　　.  参考答案 1.ABD　解析 [(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正确; (x3ln x)'=(x3)'ln x+x3(ln x)'=3x2ln x+x2,故B正确; '=,故C错误; (2x+cos x)'=(2x)'+(cos x)'=2xln 2-sin x,故D正确.故选ABD. 2.B　解析因为f(x)=f'()cos x+2x,所以f'(x)=-f'()sin x+2.因为f'()=-f'()sin+2,所以f'()=1,所以f(x)=cos x+2x,所以f(0)=1.故选B. 3.C　解析设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,则解得所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x+2,所以f'(1)=1,f(1)=1+2=3,因此,f'(1)-f(1)=1-3=-2,故选C. 4.B　解析f(x)=-2ex,则f'(x)=e2x-2ex,即k=(ex-1)2-1,当ex=1,即x=0时,k有最小值,最小值为-1,故选B. 5.C　解析设x>0,则-x<0,由f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x3-x,可得f(x)=f(-x)=(-x)3-(-x)=x-x3,则f'(x)=1-3x2,所以f'(1)=1-3=-2,则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是y=-2(x-1),即2x+y-2=0.故选C. 6.2　解析 设切点为P(x0,y0),由y=ln(x+a)求导得y'=,依题意可得 由②得x0+a=1,代入③,得y0=0,代入①,得x0=-1,故a=1-x0=2. 7.D　解析f'(x)=ex,g'(x)=(x>-b),设斜率为1的切线在C1,C2上的切点横坐标分别为x1,x2.由题意知=1,即x1=0,x2=1-b,两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b),故a+1=a2-1+b,即b=2+a-a2=-(a-)2+,故选D. 8.C　解析如图,若使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行.对函数y=-sin x求导得y'=-cos x.令y'=,即cos x=-,又0≤x≤π,所以x=,故选C. 9.B　解析由y=ln(ex)知定义域为(0,+∞), 设切点为(x0,y0)=(x0,ln(ex0)),f'(x)=e·,∴k=, ∴=a,∴x0=,故切点为(,ln),代入直线方程y=ax+b, 则ln=a·+b=1+b,∴b=-ln a, ∴a+b=a-ln a=-ln-ln+ln x0, 令g(x)=+ln x,g'(x)=-,令g'(x)=0,解得x=1, 当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 则g(x)min=g(1)=1,故a+b的最小值为1.故选B. 10.AD　解析设切点为(x0,),则y',所以切线方程为y-(x-x0).由切线过点A(a,0),得-(a-x0),即方程-ax0+a=0有两个不同的实数解,则有Δ=a2-4a>0,解得a>4或a<0,故选AD. 11.C　解析 f(x)=sin x在x=0处n阶可导,f(0)=0. f'(x)=cos x⇒f'(0)=1;f″(x)=-sin x⇒f″(0)=0; f(3)(x)=-cos x⇒f(3)(0)=-1;f(4)(x)=sin x⇒f(4)(0)=0; f(5)(x)=cos x⇒f(5)(0)=1;f(6)(x)=-sin x⇒f(6)(0)=0; f(7)(x)=-cos x⇒f(7)(0)=-1; 则sin x=x-+…,令x=2, f(2)=2-×23+×25-×27+…=2-+…≈0.91.故选C. 12.(0,1)　解析当x<0时,f(x)=1-ex,则f'(x)=-ex.又x1<0,所以f(x1)=1-,f'(x1)=-.因此函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y-(1-)=-(x-x1),令x=0,得y=1-+x1,则点M的坐标为(0,1-+x1),又A(x1,1-),则|AM|=.当x>0时,f(x)=ex-1,则f'(x)=ex.又x2>0,所以f(x2)=-1,f'(x2)=,B(x2,-1).因此函数f(x)的图象在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-(-1)=(x-x2),令x=0,得y=-1-x2,则点N的坐标为(0,-1-x2).因为函数f(x)的图象在点A,B处的两条切线垂直,所以-=-1,则x2=-x1.所以|BN|=.所以,又x1<0,所以0<<1,则的取值范围是(0,1). 1 学科网（北京）股份有限公司 $