课时16 导数的概念及其几何意义、导数的运算（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

主题二第三章导数及其应用 [选择性必修第二册] 第三章 导数及其应用 课时冲关16导数的概念及其几何意义、导数的运算 学生用书P267 [基础训练组 解析：B[,f(x)=xlnx,.f'(x)=1十lnx, 1.若函数f(.x)=e+ln(x十1)，f(0)=4,则a= ∴.f(1)=1+ln1=1,.k=1,.曲线y=f(x) 在A(1,0)处的切线方程为y=x一1，由 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：D[由f(.x)-er+ln(x+l),得f'(x) y=x1,得ax2-2x+1=0,由△=4-4a y=ax-x, ++,又f(0)=4,所以f(0)=a+1 -ae"+1 =0,解得a=1.] 6.曲线f(x)=x-1(x>0)上一动点P(x。, =4,则a=3.] 2.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则 f(x。)处的切线斜率的最小值为 ( f'(1)-f(1)= A.√3 B.3 C.23 D.6 解析：C[fx)=c-上(x>0)的导数f'(x) 3x十之在该曲线上点(f(x)处切线 2/01 斜率k=3x十三，由函数的定义域知x0>0, A.0 B.2 C.-2 D.-1 解析：C[设曲线y=f(x)在x=1处的切线方 k≥23x.=25,当且仅当3x=,即 程为y=x十b,则=2， {-26+6=0 解得=1，所 1b=2, 后=时，等号成立.k的最小值为25] 3 以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x 7.(多选)若函数f(x)的导函数f(x)的图象关于 +2,所以f'(1)=1,f(1)=1+2=3,因此， y轴对称，则f(x)的解析式可能为 ( f'(1)-f(1)=1-3=-2.] A.f(x)=3cos x B.f(x)=x+x 3.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x∈(a,b), D.f(x)=e"+x 则1imfo+h)-f-2的值为 ( C)=t上 h 解析：BC[对于A,f(x)=3cosx,其导数 A.f'(xo) B.2f'(xo) f(x)=一3sinx,其导函数为奇函数，图象不关 C.-2f(x) D.0 于y轴对称，不符合题意； 解析：B[由题意知，lim f(xo+h)-f(xo-h) 对于B,f(x)=x3+x,其导数f(x)=3x2+1, h-=0 h 其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合 -2lim.f(xo+h)-f(zo-h) 题意； h-0 2h 对于Cf(x)=x+其导数f(x)=1-, 四+h)-。h)=2f'(1.] =2lim f(xo+h)-f(x。-h) , 其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合 4.若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线，则这样的 题意； 切线共有 () 对于D,f(x)=e十x,其导数f'(x)=e+1, A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不 解析：C[设切点为(xox8),由y=x3, 符合题意.] 所以y'=3x2,所以y'1==3x, 8.(多选)已知函数f(x)=e,则下列结论正确 的是 ( ) 所以切线方程为y-x=3x(x-xo),即y= A.曲线y-f(x)的切线斜率可以是1 3.xx一2x,因为切线过点P(1,0), B.曲线y=f(x)的切线斜率可以是一1 所以0=3一2，解得=0支。=是，所以 C.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有 且只有1条 过点P(1,0)作曲线y=x3的切线可以作 D.过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有 2条.] 且只有2条 5.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=ax2-x.若经过 解析：AC[因为函数f(x)=e,所以f(x)=e. 点A(1,0)存在一条直线1与曲线y=f(x)和 A.令f(x)=e=1,得x=0,所以曲线y y=g(x)都相切，则a= () f(x)的切线斜率可以是1，故正确；B.令f(x) A.-1 B.1 C.2 D.3 =e=一1无解，所以曲线y=f(x)的切线斜率 ·427· 高考总复习数学(BS) 不可以是一1，故错误；C.因为(0,1)在曲线上， 所以，点(0,1)是切点，则f(0)=1,所以切线方 解桥：公-faa=1na+D-na a+1-a 程为y-1=x,即y=x十1，所以过点(0,1)且与 曲线y=f(x)相切的直线有且只有1条，故正 a》 确；D.设切点(xo,e。),则切线方程为y一e。= 因为a>1,所以ln1十 <ln(1+1)=ln2 e(x一xo),因为点(0,0)在切线上，所以e。= xoe,解得xo=1,所以过点(1，e)且与曲线y= <1,所以①错误，②正确. f(x)相切的直线有且只有1条，故错误.门 又当a>1时，1十上随着a的增大而减小， 9.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A处的切线经过点（一e,一1） (e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 n1+)随者1+合的减小而减小 ,切线方程为 所以Ay随着a的增大而减小，所以③错误，④ 解析：设点A(xoyo),则y%=lnxo △x 又因为=1，当x=时y=1, 正确. x。 答案：②④ 曲线y=lnx在，点A处的切线方程为y一yo= 12.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点 1(x一)，即y-ln0=工-1，代入点(-e,-1D, P(1,-2),过点P作直线1. (1)求使直线L和y=f(x)相切且以P为切点 得-1-lnxo=e-1,即x,ln=e, 的直线方程； (2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P 记H(x)=xlnx,当x∈(0,1)时，H(x)<0, 的直线方程 当x∈(1，十o∞)时，H(x)>0, 解：(1)由f(x)=x3-3.x,得f(x)=3.x2-3, 且H'(x)=lnx+1,当x>1时，H'(x)>0, 过点P且以P(1,一2)为切，点的直线的斜率 H(x)单调递增，注意到H(e)=e,故xoln x。=e f'(1)=0, 存在唯一的实数根xo=e,此时yo=1, .所求的直线方程为y=一2. 故点A的坐标为(e,l),切线方程为y= (2)设过P(1,一2)的直线1与y=f(x)切于另 e 一点(x0y0), 答案：(e,1)y= 则f（xo)=3.x一3.又直线过(xo, 10.已知函数f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R),则曲 yo),P(1,-2), 线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线L恒过定 故其斜率可表示为0-（-2)=x8-3x十2 点 x0-1 to-1 解析：函数f(x)=xlnx-a.x2十x(a∈R)的定 又8-3+2=3.x话-3， 义域为(0，十∞)， x0-1 由f(x)=xlnx-ax2十x,得f'(x)=lnx十2 即x8-3x0十2=3(.x8-1)(x0-1), -2ax,则f'(1)=2-2a. 解得x。=1(舍去)或xo=- 又f(1)=1-a,则曲线y=f(x)在点(1， 2 f(1))处的切线l的方程为y-(1-a) 故所求直线的斜率为k=3× 4 =2(1-a)(x-1), 0可得 ∴y-(-2)=- -10，即9z+4y-1=0 2 [能力提升组] 13.已知函数f(.x)=x2+ln2x-2m(x+lnx)+ 二所以直线1过定点（侵0 y=0, 2m+1,若存在x使得f(x。)≤号成立，则实 答案：(20） 数m的值为 A吉 B.1 c是 D.2 11.已知a>1,函数f(x)=lnx,则下面结论中正 确的有 (填上所有正确结论的序号). 解析：A[:函数f(x)=x2+ln2x-2m(x十 ①函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率 总是大于1； 1nx)+2m+1,若存在使得f(x)≤号成立 ②函数f(x)在区间[a,a十1]上的平均变化率 台存在x。使得x-2m.x。十m2+ln2x。-2 nIn o 总是小于1； ③函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率 十m<号成立， 随着a的增大而增大； 存在x。使得g(.x)=(.x。-m)2+(lnx。一m)2≤ ④函数f(x)在区间[a,a+1]上的平均变化率 随着a的增大而减小. 成这 ·428· 主题二第三章导数及其应用 可以看作是动，点M(xo,lnx。)与动点N(m,m) 之间距离的平方小于或等于是，动点M在函 当0<时h<-1P号nK号，2 e 数y=lnx的图象上，N在直线y=x的图象 <号，所以g(x)<0,g(x)单调递减， 上，问题转化为求直线y=x上的动点到曲线y =hx的最小距离，由y=nx,得=子=1，解 当x=上时，函数g(x)有最小值，即OP有最 得x=1,.曲线上点M(1,0)到直线y=x的 小，所以P) 距高最小，最小距高d-竖，即g)≥根 此时直线OP的方程为y=一x,设直线y 2 -x与曲线y=alnx相切于点(xo,aln zo), 据题意，要使g。)≤召则g,)=日此时 由y=alny=4→号=-1Pw=-a,足 N格好为垂足，由w=”气=-1，解得m 然(xo,alnx。)在直线y=-x上， 则aln xo=-xo,因此有aln(-a)=a→ a=一e. 答案：一e 14.已知直线y=a.x+b(a∈R,b>0)是曲线f(x) =e与曲线g(x)=lnx十2的公切线，则a十b= 16.设函数f)=a-,曲线y=fx)在点(2， x f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. A.2 B号 C.e (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与 解析：A[由题意知直线y=a.x十b(a∈R,b>0) 直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面 是曲线f(x)=e与曲线g(x)=lnx+2的公 切线， 积为定值，并求此定值. 设(t,e)是f(x)图象上的切点，f(x)=e, 解，山方程7红--12=0可化为y=子-3. 所以f(x)在点(t,e)处的切线方程为y一e= e(x-t),即y=ex+(1-t)e,① 当=2时y=受又f=a+会 令g)==心， 解得x=e‘,g(e)=lnet+2=2-t, 于是 解得∫a=1, {b=3. 即直线y=a.x十b(a∈R,b>0)与曲线g(x)= lnx十2的切点为(e,2-t), a+4=4 所以2-1-c=e,即1-1=(1-)e, 故f(x)=x一 e‘-t (2)证明：设P(xo,yo)为曲线上任一点， 解得t=0或t=1, 当t=1时，①为y=ex,b=0,不符合题意， 由y=1十是，知曲线在点P(xy)处的切线 舍去， 所以t=0,此时①可化为y=x十1，所以a十b 方程为y%=(+} =1+1=2.] 15.已知点P为曲线y=1血2上的动点，0为坐标 原点.当OP最小时，直线OP恰好与曲线y 令x=0,得y=- 6 =alnx相切，则实数a= 从而得切线与直线x=0的交点坐标 解析：设P(,n 所以oP=+(日) ·(lnx)2, 令y=x,得y=2.xo, 从而得切线与直线y=x的交点坐标 设g)=+(日) ·(lnx)2,g'(x)=2x+ 为(2x0,2x0). 所以，点P(x0,yo)处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 (日)2… 23 s--21=6 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0, y=x所围成的三角形的面积为定值，且此定 是，所以g)>0,gr)单调递增， 值为6. ·429·