专题二 第13讲　函数的图象课件 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的图象”专题，依据课标要求覆盖函数表示方法、图象变换（平移、对称、翻折）、图象应用（性质、零点、不等式）三大核心考点，通过知识梳理、常用结论、热身练习对接高考评价体系，分析识图辨图等高频考点分布，归纳作图象、辨图象、用图象三类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引路+方法建模+变式训练”，如2024全国甲卷识图题用排除法（奇偶性、特殊值）培养数学思维，例3不等式恒成立问题以数形结合体现数学语言，设“规律与技巧”专栏总结图象应用策略，帮助学生掌握得分技巧，教师可依此系统教学，提升复习效率。

专题2　 函数与基本初等函数 1 第13讲　函数的图象 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> 返回目录 右 左 返回目录 上 下 返回目录 y轴 x轴 原点 直线y＝x 返回目录 翻折到x轴上方 不变 偶函数的图象关于y轴对称 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 夯基固本 返回目录 夯基固本 热身练习 >> C 2 3 4 5 1 返回目录 夯基固本 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 B 2 3 4 5 1 返回目录 A 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 ①②③ 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 新定义问题 返回目录 探究点1　作函数图象 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 变式探究 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 变式探究 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点2　函数图象的识图与辨图 D 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 A 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点3　函数图象的应用 (0，] 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 B 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 C 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 不等式的新定义问题 (－，0] 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 方法与技巧 探究点1 探究点3 新定义问题 探究点2 返回目录 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.掌握基本初等函数的图象特征；掌握函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换. 3.会运用函数图象研究函数的性质、函数的零点(方程的根)和不等式的解等数学问题． 1．函数作图的基本步骤 (1)确定函数的定义域． (2)化简函数的解析式． (3)讨论函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、最值(变化趋势). (4)画出函数的图象． 2．函数图象的常见变换 (1)平移变换 ①水平平移：y＝f(x－a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向________平移a个单位长度而得到；y＝f(x＋a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向_________平移a个单位长度而得到． ②竖直平移：y＝f(x)＋b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向____________平移b个单位长度而得到；y＝f(x)－b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向_________平移b个单位长度而得到． (2)对称变换 ①一个函数图象自身的对称：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． ②两个图象之间的对称： (ⅰ)y＝f(－x)与y＝f(x)关于____________对称． (ⅱ)y＝－f(x)与y＝f(x)关于____________对称． (ⅲ)y＝－f(－x)与y＝f(x)关于_____________对称． (ⅳ)y＝ax(a>0，且a≠1)与其反函数y＝logax(a>0，且a≠1)关于__________________对称． (3)翻折变换 ①y＝|f(x)|的图象：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴____________________，其x轴上方的部分__________． ②y＝f(|x|)的图象：将y＝f(x)的图象中x≥0的部分作出，再利用_________________________________，作出x＜0的图象． 1．函数图象平移的八字方针 (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量． (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值． 2．函数对称的重要结论 (1)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若函数f(x)对定义域内的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则f(x)的图象关于(a，b)对称． (3)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于(a，b)中心对称． 1．函数y＝(x2－1)e|x|的图象大致是(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do25(A)) eq \o(\s\up7(),\s\do25(B)) eq \o(\s\up7(),\s\do25(C)) eq \o(\s\up7(),\s\do25(D)) 解析：由题意得，易判断函数为偶函数． 由y＝0，得x＝±1，f(0)＝－1， 且当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0，故选C. 2．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ex+1 B．f(x)＝ex-1 C．f(x)＝e-x+1 D．f(x)＝e-x-1 解析：与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e-x. 依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e-x的图象，所以f(x)的图象由y＝e-x的图象向左平移1个单位长度得到，所以f(x)＝e-(x+1)＝e-x-1.故选D. 3．下图为函数y＝f(x)的图象，则该函数可能为(　　) A．y＝ eq \f(sin x,x) B．y＝ eq \f(cos x,x) C．y＝ eq \f(sin x,|x|) D．y＝ eq \f(|sin x|,x) 解析：由图可知，x＝π时，y<0， 而A、C、D选项，y＝0，故选B. 4．(2024·四川南充二模)已知函数f(x)＝ eq \f(3,x)，则函数y＝f(x－1)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称 C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称 解析：函数f(x)＝ eq \f(3,x)的定义域为{x|x≠0}，又f(－x)＝－ eq \f(3,x)＝－f(x)，所以f(x)＝ eq \f(3,x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，又y＝f(x－1)＋1的图象是由f(x)＝ eq \f(3,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A. 5．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t 的关系为W＝f(t)，用－ eq \f(f(b)－f(a),b－a) 的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是________. 解析：因为w＝f(t)用－ eq \f(f(b)－f(a),b－a)来评价污水处理能力，即用(a，f(a))与(b，f(b))两点连线的斜率与－1的乘积表示污水治理能力的强弱．在[t1，t2]上，甲的污水治理能力比乙强，故①对；t2时刻甲的污水治理能力比乙强，故②对；t3时刻都低于达标排放量，所以都达标，故③对；甲企业在[0，t1]的污水治理能力不是最强，故④错． 【例1】作出下列函数的图象： (1)y＝ eq \f(2－x,x＋1)； (2)y＝( eq \f(1,2))|x+1|； (3)y＝|log2x－1|. 解析：(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}． y＝ eq \f(2－x,x＋1)＝－1＋ eq \f(3,x＋1)， 因此由y＝ eq \f(3,x)的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝ eq \f(2－x,x＋1)的图象，如图1所示． (2)先作出y＝( eq \f(1,2))x，x∈[0，＋∞)的图象， 然后作其关于y轴的对称图象，再将整个图象向左平移1个单位长度，即得到y＝( eq \f(1,2))|x+1|的图象，如图2所示． (3)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得到y＝|log2x－1|的图象，如图3所示． 为了正确作出函数的图象，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点： (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋ eq \f(1,x)的函数． (2)掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等． 1．作出函数y＝|lg (x－1)|的图象． 解析：首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图所示(实线部分). 2．作出函数y＝|x－2|·(x＋1)的图象． 解析：当x≥2，即x－2≥0时， y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝(x－ eq \f(1,2))2－ eq \f(9,4)； 当x<2，即x－2<0时， y＝－(x－2)(x＋1) ＝－x2＋x＋2 ＝－(x－ eq \f(1,2))2＋ eq \f(9,4). 所以y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x－\f(1,2))2－\f(9,4)，x≥2，,－(x－\f(1,2))2＋\f(9,4)，x<2.)) 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数的图象作出(如图). 【例2】(1)(2024·百师联盟联考)函数f(x)＝ eq \f(x cos x,e|x|)的图象大致为(　　) 解析：(1)由题意知，f(x)的定义域为R，f(－x)＝ eq \f(－x cos (－x),e|－x|)＝ eq \f(－x cos x,e|x|)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除C；f(1)＝ eq \f(cos 1,e)>0，排除A；f(2)＝ eq \f(2cos 2,e2)<0，排除B.故选D. 【例2】(2)(2024·宁夏固原一模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ eq \f(ex－e－x,4|x|－3) B．f(x)＝ eq \f(ex－e－x,3－4|x|) C．f(x)＝ eq \f(ex＋e－x,4|x|－3) D．f(x)＝ eq \f(x,|x|－1) 解析：(2)对于B，当x>1时，f(x)＝ eq \f(ex－e－x,3－4x)，易知ex－e-x>0，3－4x<0，则f(x)<0，不满足图象，B错误； 对于C，f(x)＝ eq \f(ex＋e－x,4|x|－3)，定义域为(－∞，－ eq \f(3,4))∪(－ eq \f(3,4)， eq \f(3,4))∪( eq \f(3,4)，＋∞)， 又f(－x)＝ eq \f(e－x＋ex,4|－x|－3)＝ eq \f(ex＋e－x,4|x|－3)＝f(x)， 则f(x)的图象关于y轴对称，C错误； 对于D，当x>1时，f(x)＝ eq \f(x,|x|－1)＝ eq \f(x,x－1)＝1＋ eq \f(1,x－1)， 由反比例函数的性质可知， f(x)在(1，＋∞)上单调递减，D错误； 检验选项A，f(x)＝ eq \f(ex－e－x,4|x|－3)满足图中性质，A正确． 故选A. 有关函数图象的选择题，求解的基本方法是排除法． (1)通过观察特殊点的函数值的符号、大小，选取恰当的特殊值进行排除有时更有效． (2)研究函数的性质(奇偶性、单调性、极值等)，这些性质表现在图象上若和选项中所给图象不符，即可排除． 3．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　) 解析：f(－x)＝－x2＋(e-x－ex)·sin (－x) ＝－x2＋(ex－e-x)sin x＝f(x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，排除A、C， 又f(1)＝－1＋(e－ eq \f(1,e))sin 1>－1＋(e－ eq \f(1,e))sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(e,2)－1－ eq \f(1,2e)> eq \f(1,4)－ eq \f(1,2e)>0，排除D.故选B. 4．(2024·湖南二模)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝－ eq \f(2x2,|x|－1) B．f(x)＝－ eq \f(2x2,|x|＋1) C．f(x)＝－ eq \f(2x,|x|－1) D．f(x)＝－ eq \f(2|x|,x2－1) 解析：由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集，排除B； 由图可知，当x→＋∞时，y→－∞， 而对于D，当x→＋∞时，y→0，排除D.故选A. 【例3】(1)若关于x的不等式4ax-1＜3x－4(a＞0，且a≠1)对于任意的x＞2恒成立，则实数a的取值范围为______________． 解析：(1)不等式4ax-1＜3x－4等价于ax-1＜ eq \f(3,4)x－1. 令f(x)＝ax-1，g(x)＝ eq \f(3,4)x－1， 当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1、图2所示，由图知不满足条件； 当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图3所示， 由题意知，f(2)≤g(2)， 即a2-1≤ eq \f(3,4)×2－1，解得a≤ eq \f(1,2)， 所以实数a的取值范围是(0， eq \f(1,2)]. 【例3】(2)若直角坐标系内A，B两点满足：①点A，B都在f(x)的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“和谐点对”有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：(2)作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝ eq \f(2,ex)(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．故选B. 【例3】(3)(2024·辽宁大连阶段练习)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg x|－a，0<x≤3，,|lg (6－x)|－a，3<x<6))(其中a∈R)，若f(x)的四个零点从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则 ＝(　　) A．16 B．13 C．12 D．10 解析：(3)令f(x)＝0 ⇒a＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg x|，0<x≤3，,|lg (6－x)|，3<x<6，)) 设g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg x|，0<x≤3，,|lg (6－x)|，3<x<6，))图象如图所示． 所以有0<x1<1<x2<3<x3<5<x4<6， 且－lg x1＝lg x2＝－lg (6－x3)＝lg (6－x4)＝a， 因此可得x1＝10-a，x2＝10a，x3＝6－10-a，x4＝6－10a， 所以 ＝10-a＋10a＋6－10-a＋6－10a＝12，故选C. (1)对于易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、零点)的讨论常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系． (2)在利用函数的性质，求最值、确定方程的解的个数、求不等式的解集以及确定某些参数的取值范围时，要注意“数与形”的有机结合，充分发挥图象的直观作用．同时，如果图形不能准确地说明问题，可结合“数”的精确性再讨论其图象． 5．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．(－1，0) D．∅ 解析：不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|， 分别作出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象， 由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1).故选B. 6．(2024·湖北武汉模拟预测)已知x0是函数f(x)＝ eq \f(1,1－x)＋ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)>0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)<0，f(x2)>0 解析：令f(x)＝ eq \f(1,1－x)＋ln x＝0， 从而有ln x＝ eq \f(1,x－1)，此方程的解即为函数f(x)的零点． 在同一坐标系中作出函数y＝ln x与y＝ eq \f(1,x－1)的图象，如图所示． 由图象易知， eq \f(1,x1－1)>ln x1， 从而ln x1－ eq \f(1,x1－1)<0， 故ln x1＋ eq \f(1,1－x1)<0，即f(x1)<0. 同理f(x2)>0.故选D. 【典例剖析】(2024·全国模拟预测)若不等式f(x)>0或f(x)<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．已知不等式a(x＋1)2－|log2x|＋1>0为单元集不等式，则实数a的取值范围是______________． 解析：根据题意可转化为满足|log2x|<a(x＋1)2＋1的整数x的个数为1. 令f(x)＝|log2x|，g(x)＝a(x＋1)2＋1， 当a>0时，作出函数f(x)＝|log2x|和g(x)＝a(x＋1)2＋1的图象，如图所示． 数形结合得，f(x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意． 当a＝0时，g(x)＝1， 所以|log2x|<1，解得 eq \f(1,2)<x<2， 只有一个整数解x＝1，所以a＝0符合题意． 当a<0时，作出函数f(x)＝|log2x|和g(x)＝a(x＋1)2＋1的图象，如图所示． 要使|log2x|<a(x＋1)2＋1的整数解只有一个， 只需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(g(1)>0，,f(2)≥g(2)，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＋1>0，,1≥9a＋1，))结合a<0可得－ eq \f(1,4)<a<0. 综上所述，实数a的取值范围是(－ eq \f(1,4)，0]. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． $