专题二 第9讲　函数的奇偶性、周期性与对称性课件 -2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性、周期性与对称性”专题，依据课标要求梳理了概念理解、性质判定、综合应用三大考查维度，通过知识体系构建（定义、图象特征、常用结论）和近5年高考真题分析，明确了奇偶性与单调性综合、周期性与对称性结合等高频考点，归纳出判定、求值、解不等式等典型题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题解析+规律提炼+素养培养”的复习策略，如以2023全国甲卷、新课标Ⅱ卷真题为例，深入讲解奇偶性判定的定义域优先法、周期性结论推导技巧，培养学生的逻辑推理和数学抽象素养。特设“易错点警示”（如忽略定义域对称）和“解题模板”，助力学生掌握得分关键，教师可依托此课件精准把握考点权重，实现高效复习教学。

专题2　 函数与基本初等函数 1 第9讲　函数的奇偶性、 周期性与对称性 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> f(－x)＝－f(x) 返回目录 f(－x)＝f(x) 必要 原点 y 返回目录 f(x＋T)＝f(x) 一个周期 存在一个最小 返回目录 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 夯基固本 夯基固本 夯基固本 热身练习 >> D 2 3 4 5 1 返回目录 夯基固本 2 3 4 5 1 返回目录 B 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 －2 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 函数的奇偶性判定与应用 ACD 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 B 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 B 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 －2 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 AC 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 2 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点2 函数的周期性与对称性 B 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 C 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 B 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点3 奇偶性与单调性的综合应用 x2－x－2 (－∞，) 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 －8 (－∞，－2)∪(2，＋∞) 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 (－2，0)∪(2，＋∞) 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 B 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点4　奇偶性与周期性的综合应用 ABC 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 C 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 变式探究 A 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 探究点1 探究点3 探究点4 探究点2 返回目录 1.了解函数奇偶性、周期性与对称性的含义及其几何意义. 2.会判定一些简单函数的奇偶性. 3.能综合运用函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性解决相关问题． 1．函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的． (1)函数的奇偶性的定义 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_______________成立，那么函数f(x)就叫做奇函数． ②设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且_______________成立，那么函数f(x)就叫做偶函数． 显然，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的___________条件． (2)奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于__________轴对称． 2．周期函数 (1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且______________________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数f(x)的_______________． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中__________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．函数的对称性 (1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(a＋b,2)对称． (2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点( eq \f(a＋b,2)，0)对称． 1．函数的奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内： ①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积都是偶函数； ③一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数． 2．函数的周期性常用结论 对f(x)的定义域内的任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝ eq \f(1,f(x))，则T＝2a(a>0). (4)若f(x＋a)＝－ eq \f(1,f(x))，则T＝2a(a>0). 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝ eq \r(x) B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e-x 解析：y＝ eq \r(x)的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性， 故y＝ eq \r(x)为非奇非偶函数． y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数． 对于D，f(x)＝ex－e-x的定义域为R， f(－x)＝e-x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e-x为奇函数． 故选D. 2．已知函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)－g(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：根据题意，f(x)＋g(x)＝x3＋x2＋1， 则f(－1)＋g(－1)＝(－1)＋1＋1＝1， 又由函数f(x)与函数g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 则f(－1)＋g(－1)＝f(1)－g(1)， 故f(1)－g(1)＝1.故选B. 3．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x(1＋x)，则当x>0时，f(x)＝(　　) A．x(1－x) B．－x(1＋x) C．－x(1－x) D．x(1＋x) 解析：当x>0时，－x<0， 所以f(－x)＝－(－x)(1－x)＝x(1－x)， 又y＝f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)， 故f(x)＝－x(1－x).故选C. 4．(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋ eq \f(π,2))为偶函数，则a＝________. 解析：因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin (x＋ eq \f(π,2)) ＝(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R， 所以f(－ eq \f(π,2))＝f( eq \f(π,2))， 即(－ eq \f(π,2)－1)2－ eq \f(π,2)a＋cos (－ eq \f(π,2))＝( eq \f(π,2)－1)2＋ eq \f(π,2)a＋cos eq \f(π,2)， 则πa＝( eq \f(π,2)＋1)2－( eq \f(π,2)－1)2＝2π，故a＝2. 此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x， 所以f(－x)＝(－x)2＋1＋cos (－x) ＝x2＋1＋cos x＝f(x)， 又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. 5．已知函数f(x)的定义域是R，f( eq \f(3,2)＋x)＝f( eq \f(3,2)－x)，f(x)＋f(6－x)＝0，当0≤x≤ eq \f(3,2)时，f(x)＝4x－2x2，则f(2026)＝________． 解析：由f( eq \f(3,2)＋x)＝f( eq \f(3,2)－x)得 f(x)＝f[ eq \f(3,2)－(x－ eq \f(3,2))]＝f(3－x). 又f(x)＋f(6－x)＝0，所以f(3－x)＋f(6－x)＝0， 所以f(x)＝－f[6－(3－x)]＝－f(x＋3)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以f(2026)＝f(6×337＋4) ＝f(4)＝－f(1)＝－4＋2＝－2. 【例1】(1)(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3) B．f(x)＝(x－1) eq \r(\f(1＋x,1－x)) C．f(x)＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1) D．f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0)) 解析：对于A，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|－3≠0，)) 得－2≤x≤2，且x≠0， 所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]， 关于原点对称， 所以f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x). 又f(－x)＝ eq \f(\r(4－(－x)2),－x)＝－ eq \f(\r(4－x2),x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数，A正确． 对于B，因为f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，B错误． 对于C，对于函数f(x)＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0，))所以x＝±1， 其定义域为{－1，1}，关于原点对称． 因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0， 所以f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝ eq \r(1－x2)＋ eq \r(x2－1)既是奇函数又是偶函数， C正确． 对于D，函数f(x)的定义域为R， 定义域关于原点对称． 当x＝0时，－x＝0，所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3 ＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3 ＝－(－x2－2x－3)＝－f(x). 综上，可知函数f(x)为奇函数，D正确．故选ACD. 【例1】(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． eq \f(1,2) D．1 解析：(2)因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)， 所以(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝x ln eq \f(2x－1,2x＋1)， 由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x> eq \f(1,2)或x<－ eq \f(1,2)， 则其定义域为{x|x> eq \f(1,2)或x<－ eq \f(1,2)}，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)ln eq \f(2(－x)－1,2(－x)＋1)＝(－x)ln eq \f(2x＋1,2x－1) ＝(－x)ln ( eq \f(2x－1,2x＋1))-1＝x ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝f(x)， 故此时f(x)为偶函数，故选B. 【例1】(3)已知函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)－2x为偶函数，函数f(x)－x2为奇函数，则f(1)＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 解析：(3)函数f(x)的定义域为R， 设函数g(x)＝f(x)－2x，h(x)＝f(x)－x2， 则g(－x)＝f(－x)＋2x＝g(x)＝f(x)－2x， h(x)＋h(－x)＝f(x)－x2＋f(－x)－x2＝0， 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(x)－f(－x)＝4x，,f(x)＋f(－x)＝2x2，)) 解得f(x)＝x2＋2x，所以f(1)＝3，故选B. (1)研究函数的奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)判断函数的奇偶性除定义法外，还有以下几种方法． ①图象法：f(x)的图象关于原点对称⇔f(x)为奇函数，关于y轴对称⇔f(x)为偶函数． ②性质法：如“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×奇”是偶，“偶×偶”是偶，“奇×偶”是奇等． (3)利用函数的奇偶性解决有关问题时，要充分利用化归与转化的思想方法．利用奇偶性可以解决如下问题： ①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中的参数的值；④画函数图象确定单调性等． 1．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex，则f(ln eq \f(1,2))＝________． 解析：由题意知，f(ln eq \f(1,2))＝f(－ln 2)＝－f(ln 2). 又ln 2>0，所以f(ln eq \f(1,2))＝－eln 2＝－2. 2．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(－x) B．y＝ eq \f(f(x),x) C．y＝f(x)＋x3 D．y＝ eq \r(x3)f(x) 解析：对于A，设g(x)＝f(－x)， 则g(－x)＝f(x)＝－f(－x)＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数； 对于B，定义域为{x|x≠0}，令h(x)＝ eq \f(f(x),x)， 则h(－x)＝ eq \f(f(－x),－x)＝ eq \f(f(x),x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数； 对于C，因为g(x)＝x3为奇函数， f(x)是定义在R上的奇函数， 奇函数＋奇函数＝奇函数， 所以y＝f(x)＋x3为奇函数； 对于D，定义域为{x|x≥0}， 所以y＝ eq \r(x3)f(x)为非奇非偶函数．故选AC. 3．设函数f(x)＝ eq \f((x＋1)2＋sin x,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. 解析：因为f(x)＝ eq \f(x2＋2x＋1＋sin x,x2＋1)＝1＋ eq \f(2x＋sin x,x2＋1)， 设g(x)＝ eq \f(2x＋sin x,x2＋1)， 易知g(x)为奇函数． 又f(x)＝g(x)＋1， 所以f(x)max＝g(x)max＋1， f(x)min＝g(x)min＋1， 所以f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋g(x)min＋2 ＝2(奇函数的最大值、最小值互为相反数)， 所以M＋m＝2. 【例2】(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2.则f(2025)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2025 解析：(1)因为f(x－2)＝－f(x)， 所以f(x)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以函数f(x)的周期为4. 所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝1.故选B. 【例2】(2)设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当 x∈[－2，0] 时，f(x)＝(　　) A．x＋4 B．2－x C．3－|x＋1| D．2＋|x＋1| 解析：(2)当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2，3]， f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝3＋(x＋1). 当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]， 因为函数f(x)为偶函数， 则f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－(x＋1)， 综上所述，当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|. 故选C. 【例2】(3)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝6－f(x)，若函数y＝ eq \f(3x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 ＝(　　) A．4m B．3m C．2m D．m 解析：(3)由f(－x)＋f(x)＝6， 即f(x)关于点(0，3)对称， 而y＝ eq \f(3x＋1,x)＝3＋ eq \f(1,x)也关于点(0，3)对称， 所以y＝ eq \f(3x＋1,x)与y＝f(x)在(0，3)两侧交点个数相同， 且一侧交点在另一侧均有对称的交点存在， 所以 ＝0， ＝ eq \f(m,2)×6＝3m， 故 ＝3m.故选B. (1)函数周期性的应用技巧 ①熟记函数周期常见的几种表达形式，能够由已知条件准确地推得函数的最小正周期． ②熟练运用结论“若T是函数的周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期”，对自变量的值进行转化． ③注意通过“区间变换法”，结合函数的周期，由局部的解析式得到函数在整个定义域内的解析式． (2)函数对称性、周期性常用结论： ①f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于x＝a对称． ②f(x＋a)＋f(a－x)＝2b⇔f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔f(x)的图象关于(a，b)对称． ③若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期． ④若函数f(x)的图象既关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且2(b－a)是它的一个周期． ⑤若函数f(x)的图象既关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期函数，且4(b－a)是它的一个周期． 4．函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2025)＝________． 解析：因为f(x)f(x＋2)＝13， 所以f(x)，f(x＋2)均不为0， 所以f(x＋2)＝ eq \f(13,f(x))，所以f(x＋4)＝ eq \f(13,f(x＋2))＝ eq \f(13,\f(13,f(x)))＝f(x)， 所以f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(1)＝ eq \f(13,f(3))＝ eq \f(13,2). 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2，x≤0，,f(x－1)－f(x－2)，x>0，))则f(2025)＋f(2026)＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， 所以f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋1)＝－f(x－2)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 所以当x>0时，f(x)的周期为6， 所以f(2025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝－f(0)＝0， f(2026)＝f(6×337＋4)＝f(4)＝－f(1) ＝－f(0)＋f(－1)＝－1， 故f(2025)＋f(2026)＝－1.故选D. 6．已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则 ＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：由g(x)的图象关于直线x＝2对称， 可知g(x)＝g(4－x). 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5. 又g(2－x)＝g(2＋x)，所以f(x)＝f(－x). 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(4－x)－f(－x)＝7. 又g(x)＝g(4－x)，所以f(x－4)＝f(－x)＝f(x)， 所以f(x)的周期为4. 当x＝0时，f(0)＋g(2)＝5，所以f(0)＝5－g(2)＝1， 所以f(4)＝f(0)＝1. 当x＝2时，g(2)－f(－2)＝7， 所以f(－2)＝g(2)－7＝－3，所以f(2)＝f(－2)＝－3. 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝5，g(1)－f(－3)＝7， 又f(－3)＝f(1)，所以g(1)－f(1)＝7， 所以f(1)＝－1， 所以f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(3)＝f(－1)＝－1. 所以 ＝5[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2) ＝5×(－1－3－1＋1)－1－3＝－24.故选D. 【例3】(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2.则当x<0时，f(x)＝__________，若f(m＋1)<f(2－m)，则实数m的取值范围是_________． 解析：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2， 则当x<0时，－x>0， f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2. 依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f(m＋1)<f(2－m)⇔f(|m＋1|)<f(|2－m|) ⇔|m＋1|<|m－2|， 解得m< eq \f(1,2)， 所以实数m的取值范围是(－∞， eq \f(1,2)). 【例3】(2)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时f(x)<0，且f(－1)＝2.则f(x)在区间[－2，4]上的最小值为________；若f(x)<m2－2am＋2对所有的x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，则实数m的取值范围是_____________________． 解析：根据题意，f(x)的定义域为R，关于原点对称． 又任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 取x＝y＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 取y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R恒成立， 所以f(x)为奇函数． 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1<x2， 则x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)<－f(－x1)， 又f(x)为奇函数，所以f(x1)>f(x2). 故f(x)为R上的减函数． 因为x∈[－2，4]，所以f(x)≥f(4)， 因为f(4)＝2f(2)＝4f(1)＝－4×f(－1)＝－8， 故f(x)在[－2，4]上的最小值为－8. 因为f(x)在[－1，1]上是减函数， 所以f(x)≤f(－1)＝2. 因为f(x)<m2－2am＋2对所有x∈[－1，1]， a∈[－1，1]恒成立， 所以m2－2am＋2>2对∀a∈[－1，1]恒成立， 即m2－2am>0对∀a∈[－1，1]恒成立． 令g(a)＝－2am＋m2， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(g(－1)>0，,g(1)>0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＋m2>0，,－2m＋m2>0，)) 解得m<－2或m>2. 所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞). (1)奇偶性与单调性常综合进行考查，求解的关键是利用奇偶性变成f(M)<f(N)(或f(M)>f(N))的形式，再利用单调性进行处理． (2)掌握以下结论，会给解决此类问题带来方便： ①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)； f(x)为奇函数⇔f(x)＝－f(－x). ②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. ③奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，满足对∀x1，x2∈[0，＋∞)，其中x1≠x2，都有(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0，且f(2)＝3，则不等式f(x)> eq \f(6,x)的解集为__________________. 解析：因为(x1－x2)[x1f(x1)－x2f(x2)]>0， 所以当x1<x2时，x1f(x1)<x2f(x2)， 令F(x)＝xf(x)，则F(x)＝xf(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以F(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减． 因为f(2)＝3，所以F(－2)＝F(2)＝2f(2)＝6， f(x)> eq \f(6,x)等价于 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,F(x)>6＝F(2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<0，,F(x)<6＝F(－2)，)) 所以x>2或－2<x<0， 即不等式f(x)> eq \f(6,x)的解集为(－2，0)∪(2，＋∞). 8．已知函数f(x)＝ex＋e-x(其中e是自然对数的底数)，若a＝f(21.5)，b＝f(40.8)，c＝f(log2 eq \f(1,5))，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 解析：函数f(x)＝ex＋e-x是偶函数， f′(x)＝ex－e-x， 当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0， 即函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增． 因为2log25＝log225<log232＝5， 5<4 eq \r(2)＝22.5＝2×21.5， 所以2log25<5<2×21.5， 则log25<21.5<21.6＝40.8， 所以f(log2 eq \f(1,5))＝f(－log25)＝f(log25)<f(21.5)<f(40.8)， 即c<a<b.故选B. 【例4】(1)(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)＝0 B．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(3)<f(－4) 解析：(1)因为y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数，B正确； 在f(x)＝f(x＋4)＋f(2)中，令x＝－2，得f(－2)＝2f(2)，又f(－2)＝f(2)，所以f(2)＝2f(2)，解得f(2)＝0，A正确； 又f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，所以f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的周期函数，C正确； 对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，故f(x)在[0，2]上单调递增， 又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数， 故f(0)＝f(－4)，f(3)＝f(－1)＝f(1)，因为f(1)>f(0)， 所以f(3)>f(－4)，D错误．故选ABC. 【例4】(2)(2025·陕西渭南月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－1为奇函数，则f(198)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：(2)因为f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)的周期为6. 又因为g(x)＝f(x)－1为奇函数， 所以g(x)＋g(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0， 即f(x)＋f(－x)＝2， 令x＝0，则2f(0)＝2，即f(0)＝1. 所以f(198)＝f(6×33＋0)＝f(0)＝1，故选C. (1)解答奇偶性与周期性的综合问题，常需要利用化归与转化的思想，将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)注意掌握函数的奇偶性、对称性、周期性的常用结论： ①f(x)关于x＝a对称⇔f(x＋a)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x＋a)是偶函数． f(x)关于(a，0)对称⇔f(x＋a)＝－f(a－x) ⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(x＋a)是奇函数． ②若对于函数f(x)的定义域内的任一x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝ eq \f(1,f(x))或f(x＋a)＝－ eq \f(1,f(x))(a是常数，且a≠0)，则f(x)是一个周期为2|a|的周期函数． 若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是以T＝|a－b|为周期的周期函数． 9．(2024·山东济南二模)已知函数f(x)的定义域为R，若f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则f(2024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)， 所以f(1＋(1＋x))＝f(1－(1＋x))，即f(2＋x)＝f(－x). 又f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的定义域为R， 所以f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0，f(x)＝－f(2＋x)， 所以f(2＋x)＝－f(4＋x)， 故f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(2024)＝f(506×4＋0)＝f(0)＝0.故选A. 10．(2025·福建厦门期中)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时， eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0(x1≠x2)恒成立．则f(－ eq \f(15,2))，f(4)，f( eq \f(11,2))的大小关系正确的是(　　) A．f(－ eq \f(15,2))>f(4)>f( eq \f(11,2)) B．f(－ eq \f(15,2))>f( eq \f(11,2))>f(4) C．f( eq \f(11,2))>f(4)>f(－ eq \f(15,2)) D．f(4)>f( eq \f(11,2))>f(－ eq \f(15,2)) 解析：由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)的周期为2. 因为f(x－2)为奇函数，则f(－x－2)＝－f(x－2)， 又因为f(x)的周期为2， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． 因为x∈[0，1)时， eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0， 所以f(x)在x∈[0，1)上单调递增． 因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1，0]上单调递增， 所以f(x)在(－1，1)上单调递增， 因为f(x)的周期为2， f(－ eq \f(15,2))＝f(－ eq \f(15,2)＋2×4)＝f( eq \f(1,2))，f(4)＝f(0)， f( eq \f(11,2))＝f( eq \f(11,2)－2×3)＝f(－ eq \f(1,2))， 所以f( eq \f(1,2))>f(0)>f(－ eq \f(1,2))， 即f(－ eq \f(15,2))>f(4)>f( eq \f(11,2)).故选A. $