第五章 二次函数（九大考点+八大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学二次函数单元知识清单全面梳理了二次函数的概念、表达式、图像性质、变换规律、方程联系及实际应用，搭建了从“概念辨析”到“性质应用”再到“综合解题”的递进式学习架构。 清单采用“易错点专项突破”和“口诀化记忆”组织知识体系，如平移规律总结“左加右减自变量，上加下减常数项”，培养学生的数学思维与模型意识。设计“注意事项清单”和“对点训练题”，如判别式应用强调“有交点需Δ≥0”，助力学生精准突破重难点，教师可据此设计分层教学，提升复习实效。

第五章 二次函数 一、二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如 （ 均为常数，）的函数叫做二次函数。 1. 构成三大条件 ① 等号右边是整式； ② 自变量 的最高次数为 ； ③ 二次项系数 不能等于 （ 就退化为一次函数）。 1. 自变量取值范围：全体实数 1. 最简形式：（即 ） 二、二次函数三种表达式（解析式） 1. 一般式： 适用场景：已知抛物线上任意三组 对应点坐标，代入列三元一次方程组求解系数。 2. 顶点式： 顶点坐标：；对称轴：直线 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、函数最值时优先使用。 3. 交点式（两根式）： ：抛物线与 轴两个交点的横坐标 适用场景：已知抛物线与 轴两个交点坐标。 ⚠️ 前提：抛物线必须与 轴有交点（） 三、二次函数 的图像与性质 图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 1. 开口方向 · ：开口向上，抛物线有最低点，函数有最小值； · ：开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值； · 越大，抛物线开口越窄； 越小，开口越宽。 1. 对称轴 直线 1. 顶点坐标 1. 增减性（单调性） · ：对称轴左侧， 随 增大而减小；对称轴右侧， 随 增大而增大 · ：对称轴左侧， 随 增大而增大；对称轴右侧， 随 增大而减小 1. 最值 · ， 时， · ， 时， 四、抛物线的平移规律（只针对顶点式） 口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 1. · 向右平移 个单位： · 向左平移 个单位： · 向上平移 个单位：整体 · 向下平移 个单位：整体 ⚠️ 左右平移只改变括号内 ，上下平移改变整个式子末尾常数。 五、二次函数与一元二次方程的联系 判别式： 1. ：抛物线与 轴有2个不同交点，方程 有两个不相等实数根； 1. ：抛物线与 轴只有1个交点（顶点在x轴上），方程有两个相等实数根； 1. ：抛物线与 轴无交点，一元二次方程无实数根。 补充： 1. 抛物线与 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根； 2. 两根依旧满足韦达定理：； 3. 可利用图像求解一元二次不等式解集。 六、根据图像判断系数 及代数式符号 1. ：由开口方向直接判定正负； 1. 符号：口诀左同右异 · 对称轴在 轴左侧 同号； · 对称轴在 轴右侧 异号； · 对称轴是 轴 ； 1. ：抛物线与 轴交点纵坐标 · 交于 轴正半轴 ； · 交于负半轴 ； · 过原点 ； 1. 常用代数式： · 时，； · 时，； · 代入图像对应点纵坐标正负判断式子符号。 七、抛物线的对称变换 1. 关于 轴对称：开口反向，顶点横坐标不变，纵坐标取相反数； 变为 1. 关于 轴对称：开口不变，顶点纵坐标不变，横坐标取相反数； 变为 1. 关于原点中心对称： 全部变号（即 变为 ， 变为 ） 八、二次函数实际应用（必考大题） 1. 最值类问题 最大销售利润、矩形最大面积、用料最省等。 解题步骤： ① 根据题意列出二次函数关系式； ② 确定自变量 的实际取值范围； ③ 求出顶点处最值； ④ 若顶点横坐标不在取值范围内，在区间端点处取最大/最小值。 2. 抛物线轨迹模型 拱桥、喷泉、投篮、飞机滑行等实际抛物线场景。建立平面直角坐标系求解析式，再求解高度、水平距离。 3. 数形结合题型 比较函数值大小、解不等式、图像交点问题、动点与抛物线综合题。 易错点1 二次函数与x轴的交点问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆判别式含义：误以为 Δ=0 是无交点，Δ>0 只有一个交点，符号记反。 2. 求交点坐标时，解方程粗心、漏根、算错对称轴导致坐标错误。 3. 题目说“有交点”，只写 Δ>0，漏掉 Δ=0 的相切情况。 4. 忽略二次项系数 a≠0，含参题型直接漏掉限制条件。 5. 不会区分“两个交点”“两个不相等交点”“至少一个交点”的范围区别。 注意事项总结 1. 铁律背诵：Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点。 2. “有交点”必须写 Δ≥0；“两个不同交点”才写 Δ>0。 3. 含参题型：先锁死 a≠0，再算判别式范围。 4. 求交点必须解方程，不能凭图像目测坐标。 【对点训练】1．若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为零，再结合二次函数图象与轴交点个数和判别式的关系，列出不等式组求解即可． 【详解】解：是二次函数 ， ， 二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， ， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 易错点2 二次函数的平移问题 易错提醒 易错点总结 1. 平移口诀记反：左右平移搞成“左减右加”，大量丢分。 2. 一般式直接平移，不化成顶点式，平移坐标全部错误。 3. 平移后忘记重新整理解析式、看错顶点坐标。 4. 多步平移顺序颠倒，导致最终函数完全错误。 注意事项总结 1. 唯一正确口诀：左加右减（x内部），上加下减（整体）。 2. 所有平移题：必须先配方成顶点式再平移。 3. 平移只改变顶点位置，a 永远不变，开口大小方向不变。 4. 多步平移：先左右、后上下，一步一步操作，不跳步。 【对点训练】2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 易错点3 含参二次函数的图象与性质问题 易错提醒 易错点总结 1. 含参数题型默认是二次函数，不讨论 a=0 退化为一次函数的情况。 2. 对称轴含参，不会分类讨论开口方向、增减性。 3. 参数范围判断不全面，只看判别式，忽略开口、对称轴位置。 4. 误以为参数变化不改变图像性质，导致单调性、最值判断错误。 注意事项总结 1. 含参大题必做分类：a=0（一次函数）、a≠0（二次函数）两类讨论。 2. 对称轴含参，一定要根据开口方向判断增减区间。 3. 所有参数取值，最后必须检验图像合理性。 4. 恒成立问题优先看开口、最值、判别式三重条件。 【对点训练】3．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 【答案】(1)是， (2)0或 【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (，)，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数表达式； （2）因为直线经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标也满足直线方程，故而将其代入直线方程，求解即可； 【详解】（1）解：P是在某条抛物线上， ∵二次函数，m是常数， ∴ ， ∴顶点坐标是． 设 ， 则， ∴ ， ∴所在轨迹的函数表达式是； （2）解：∵直线经过该二次函数的顶点， ∴ ， ∴， ∴或， ∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是−2或0； 易错点4 区间内二次函数的最值问题 易错提醒 易错点总结 1. 最大误区：不管自变量范围，直接默认顶点就是最值，忽略区间限制。 2. 不会判断对称轴是否在取值区间内，乱套顶点公式。 3. 闭区间、开区间混淆，取不到端点值依旧带入计算。 4. 只找最小值，漏掉最大值；或只算一端端点，漏算另一端。 注意事项总结 1. 区间最值三步法： ① 判断对称轴是否在定义域内； ② 在区间内：顶点取一个最值，两端端点取另一个最值； ③ 不在区间内：最值全部在区间端点取得。 2. 顶点不一定是区间最值，脱离范围无效。 3. 必须同时比较左右端点函数值，再确定最大、最小。 【对点训练】4．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 易错点5 二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 易错提醒 易错点总结 1. 对称轴“左同右异”记反，a、b 符号判断错误。 2. 看错y轴交点，c 符号判断失误。 3. 不会判断 a+b+c、a-b+c、4a+2b+c 等特殊代数式正负。 4. 乱用 Δ 符号，不会结合图像判断式子大小。 注意事项总结 1. a 看开口，c 看y轴交点，ab 看对称轴（左同右异）。 2. 特殊值口诀：x=1⇒y=a+b+c；x=-1⇒ y=a-b+c；x=2⇒ y=4a+2b+c 3. 图像在x轴上方则 y>0，下方则 y<0，严格看图判符号。 4. 出现直接看与x轴交点个数。 【对点训练】5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 易错点6 二次函数中的线段长与周长问题 易错提醒 易错点总结 1. 抛物线上动点坐标表示错误，含t式子写错，导致线段全部算错。 2. 竖线段、横线段不会用坐标直接相减，乱用距离公式。 3. 求周长最值时，不会利用对称点转化线段，思路卡死。 4. 线段长度不加绝对值，出现负数、漏解。 注意事项总结 1. 竖线段长：；横线段长：，永远为正。 2. 动点题第一步：设点坐标，再表示线段。 3. 周长最值套路：定点+动点，用轴对称转化最短路径。 4. 所有线段结果必须为正数，负数直接舍去。 【对点训练】6．已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标； 【答案】(1)； (2)P点坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得抛物线的对称轴，连接与对称轴的交点即为P点，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：对于抛物线， 对称轴为， 令， 解得， ∴， 如图所示， 连接与对称轴的交点即为P点， ∵点C与点A关于直线对称， ∴最小． ∵的长是个定值， ∴的周长最小， 设直线的解析式为， 由点和点可得： ， 解得， ∴直线解析式为； 当时，， ∴P点坐标为． 易错点7 二次函数中的面积问题 易错提醒 易错点总结 1. 三角形乱找底和高，不会用铅垂高水平宽公式。 2. 割补法不会操作，多减、少减区域，面积偏差。 3. 动点面积最值忘记自变量范围，顶点解超范围不取舍。 4. 多个动点、不规则图形不会拆分基础图形。 注意事项总结 1. 二次函数面积万能公式：S=×铅垂高×水平宽（必考）。 2. 不规则图形一律用：外框矩形减周围三角形。 3. 面积最值求出顶点后，必须检验x是否在取值区间。 4. 分段动点必须分段求面积函数，不笼统计算。 【对点训练】7．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 易错点8 二次函数中的特殊图形存在性问题 易错提醒 易错点总结 1. 等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形存在性，不分类讨论直接漏解。 2. 等腰三角形只算一种腰相等情况，漏掉两外两种情况。 3. 直角三角形只默认一个直角顶点，不换顶点讨论。 4. 平行四边形分不清“定点、动点”，坐标平移公式用错。 5. 求出点坐标不验证是否在抛物线上、是否符合题意。 注意事项总结 1. 存在性题型铁律：无图必多解，必须全分类。 2. 等腰三角形：三条边轮流做底边，三情况讨论。 3. 直角三角形：三个顶点轮流做直角顶点，三情况讨论。 4. 平行四边形：利用中点坐标公式/平移法求动点坐标。 5. 所有解最后必须检验：点在抛物线上、符合图形结构，舍无效解。 【对点训练】8．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 一、单选题 1．已知a、b为实数，下列四个函数图像中，不可能是y关于x函数的图像的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像位置与系数的关系，配方法的应用，正确熟练掌握知识点是解决本题的关键．对于二次函数，当同号，对称轴在y轴左侧，当异号，对称轴在y轴右侧，先对二次项系数进行配方，然后分类讨论． 【详解】解： 当时，，故D符合题意； 当a，b均不为0时，， 而一次项系数为， ∴对称轴在y轴左侧； 当或时，，而一次项系数为， ∴对称轴在y轴左侧，因此C不符合题意， 故选：C． 2．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 4．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 5．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下，二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴．故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵对称轴为，且经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴，故③正确； ④观察图象得：当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④，共4个． 6．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 7．已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 【答案】D 【分析】先根据抛物线对称轴公式求出的值，再整理得到一元二次方程，结合的非负性验证选项得到结果． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， 将代入方程得， 整理得， 设方程的两根为，， 则，， ∵， ∴． A、∵，不满足，故此选项不符合题意； B、∵，不满足，故此选项不符合题意； C、∵，不满足，故此选项不符合题意； D、∵，，令，得，存在，符合条件，故此选项符合题意． 二、填空题 8．已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 三、解答题 11．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交，B两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为点E． (1)求抛物线的解析式； (2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标；设，直线解析式为,得出直线解析式为，依据，利用二次函数的性质解答即可得解； （3）设点M的坐标为（m,0），点N的坐标为，分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为． ， ∴点E的坐标为． 设过两点的直线解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为． ∴D点纵坐标为， ． 如图，与交于点M， 设，直线解析式为，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， ∴点M的纵坐标为：， ， ， ∴当时，最大， 的纵坐标为：， ∴此时点P的坐标为； （3）解：存在这样的点M与点N，使以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设点M的坐标为，点N的坐标为． 分三种情况考虑： ①如图2，当四边形为平行四边形时，得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； ②如图3，当四边形为平行四边形时，得：， 解得：， ∴此时点M的坐标为； ③如图4，当四边形为平行四边形时，得：， 解得：， ∴此时点的坐标为． 综上所述：存在这样的点M与点N，使以为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点的坐标；（3）分四边形为平行四边形、四边形为平行四边形及四边形为平行四边形三种情况求出点M的坐标． 13．已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数的解析式； (2)将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若是以为斜边的等腰直角三角形，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出平移后的抛物线表达式，即可求解顶点，再令，求解抛物线与轴坐标，再由等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：将向下平移个单位得：， ∴ 令， 解得或， ∴，（B、C坐标互换亦可） ∴， 过点A作于H， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴ 解得或（舍去）． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 15．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数 一、二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如_________________________（ 均为常数，）的函数叫做二次函数。 1. 构成三大条件 ① 等号右边是___________； ② 自变量 的最高次数为 ___________； ③ 二次项系数 不能等于 （ 就退化为一次函数）。 1. 自变量取值范围：全体实数 1. 最简形式：（即 ） 二、二次函数三种表达式（解析式） 1. 一般式：______________________ 适用场景：已知抛物线上任意三组 对应点坐标，代入列三元一次方程组求解系数。 2. 顶点式：______________________ 顶点坐标：；对称轴：直线 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、函数最值时优先使用。 3. 交点式（两根式）：______________________ ：抛物线与 轴两个交点的横坐标 适用场景：已知抛物线与 轴两个交点坐标。 ⚠️ 前提：抛物线必须与 轴有交点（） 三、二次函数 的图像与性质 图像是一条抛物线，属于轴对称图形。 1. 开口方向 · ：开口___________，抛物线有最低点，函数有最___________值； · ：开口___________，抛物线有最高点，函数有最___________值； · 越大，抛物线开口越窄； 越小，开口越宽。 1. 对称轴：直线___________ 1. 顶点坐标______________________ 1. 增减性（单调性） · ：对称轴左侧， 随 增大而_________；对称轴右侧， 随 增大而_________ · ：对称轴左侧， 随 增大而_________；对称轴右侧， 随 增大而_________ 1. 最值 · ， 时， · ， 时， 四、抛物线的平移规律（只针对顶点式） 口诀：左_______右_______自变量，上_______下_______常数项 1. · 向右平移 个单位： · 向左平移 个单位： · 向上平移 个单位：整体 · 向下平移 个单位：整体 ⚠️ 左右平移只改变括号内 ，上下平移改变整个式子末尾常数。 五、二次函数与一元二次方程的联系 判别式： 1. ：抛物线与 轴有___________，方程 有两个不相等实数根； 1. ：抛物线与 轴只有___________（顶点在x轴上），方程有两个相等实数根； 1. ：抛物线与 轴___________，一元二次方程无实数根。 补充： 1. 抛物线与 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的根； 2. 两根依旧满足韦达定理：； 3. 可利用图像求解一元二次不等式解集。 六、根据图像判断系数 及代数式符号 1. ：由开口方向直接判定正负； 1. 符号：口诀左同右异 · 对称轴在 轴左侧 ___________； · 对称轴在 轴右侧 ___________； · 对称轴是 轴 ； 1. ：抛物线与 轴交点纵坐标 · 交于 轴正半轴 ； · 交于负半轴 ； · 过原点 ； 1. 常用代数式： · 时，； · 时，； · 代入图像对应点纵坐标正负判断式子符号。 七、抛物线的对称变换 1. 关于 轴对称：开口___________，顶点横坐标不变，___________坐标取相反数； 变为 1. 关于 轴对称：开口___________，顶点纵坐标不变，___________坐标取相反数； 变为 1. 关于原点中心对称： 全部变号（即 变为 ， 变为 ） 八、二次函数实际应用（必考大题） 1. 最值类问题 最大销售利润、矩形最大面积、用料最省等。 解题步骤： ① 根据题意列出二次函数关系式； ② 确定自变量 的实际取值范围； ③ 求出顶点处最值； ④ 若顶点横坐标不在取值范围内，在区间端点处取最大/最小值。 2. 抛物线轨迹模型 拱桥、喷泉、投篮、飞机滑行等实际抛物线场景。建立平面直角坐标系求解析式，再求解高度、水平距离。 3. 数形结合题型 比较函数值大小、解不等式、图像交点问题、动点与抛物线综合题。 易错点1 二次函数与x轴的交点问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆判别式含义：误以为 Δ=0 是无交点，Δ>0 只有一个交点，符号记反。 2. 求交点坐标时，解方程粗心、漏根、算错对称轴导致坐标错误。 3. 题目说“有交点”，只写 Δ>0，漏掉 Δ=0 的相切情况。 4. 忽略二次项系数 a≠0，含参题型直接漏掉限制条件。 5. 不会区分“两个交点”“两个不相等交点”“至少一个交点”的范围区别。 注意事项总结 1. 铁律背诵：Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点。 2. “有交点”必须写 Δ≥0；“两个不同交点”才写 Δ>0。 3. 含参题型：先锁死 a≠0，再算判别式范围。 4. 求交点必须解方程，不能凭图像目测坐标。 【对点训练】1．若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是_____． 易错点2 二次函数的平移问题 易错提醒 易错点总结 1. 平移口诀记反：左右平移搞成“左减右加”，大量丢分。 2. 一般式直接平移，不化成顶点式，平移坐标全部错误。 3. 平移后忘记重新整理解析式、看错顶点坐标。 4. 多步平移顺序颠倒，导致最终函数完全错误。 注意事项总结 1. 唯一正确口诀：左加右减（x内部），上加下减（整体）。 2. 所有平移题：必须先配方成顶点式再平移。 3. 平移只改变顶点位置，a 永远不变，开口大小方向不变。 4. 多步平移：先左右、后上下，一步一步操作，不跳步。 【对点训练】2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 易错点3 含参二次函数的图象与性质问题 易错提醒 易错点总结 1. 含参数题型默认是二次函数，不讨论 a=0 退化为一次函数的情况。 2. 对称轴含参，不会分类讨论开口方向、增减性。 3. 参数范围判断不全面，只看判别式，忽略开口、对称轴位置。 4. 误以为参数变化不改变图像性质，导致单调性、最值判断错误。 注意事项总结 1. 含参大题必做分类：a=0（一次函数）、a≠0（二次函数）两类讨论。 2. 对称轴含参，一定要根据开口方向判断增减区间。 3. 所有参数取值，最后必须检验图像合理性。 4. 恒成立问题优先看开口、最值、判别式三重条件。 【对点训练】3．已知二次函数． (1)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由． (2)如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值． 易错点4 区间内二次函数的最值问题 易错提醒 易错点总结 1. 最大误区：不管自变量范围，直接默认顶点就是最值，忽略区间限制。 2. 不会判断对称轴是否在取值区间内，乱套顶点公式。 3. 闭区间、开区间混淆，取不到端点值依旧带入计算。 4. 只找最小值，漏掉最大值；或只算一端端点，漏算另一端。 注意事项总结 1. 区间最值三步法： ① 判断对称轴是否在定义域内； ② 在区间内：顶点取一个最值，两端端点取另一个最值； ③ 不在区间内：最值全部在区间端点取得。 2. 顶点不一定是区间最值，脱离范围无效。 3. 必须同时比较左右端点函数值，再确定最大、最小。 【对点训练】4．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 易错点5 二次函数的图象与系数a、b、c之间的关系 易错提醒 易错点总结 1. 对称轴“左同右异”记反，a、b 符号判断错误。 2. 看错y轴交点，c 符号判断失误。 3. 不会判断 a+b+c、a-b+c、4a+2b+c 等特殊代数式正负。 4. 乱用 Δ 符号，不会结合图像判断式子大小。 注意事项总结 1. a 看开口，c 看y轴交点，ab 看对称轴（左同右异）。 2. 特殊值口诀：x=1⇒y=a+b+c；x=-1⇒ y=a-b+c；x=2⇒ y=4a+2b+c 3. 图像在x轴上方则 y>0，下方则 y<0，严格看图判符号。 4. 出现直接看与x轴交点个数。 【对点训练】5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 易错点6 二次函数中的线段长与周长问题 易错提醒 易错点总结 1. 抛物线上动点坐标表示错误，含t式子写错，导致线段全部算错。 2. 竖线段、横线段不会用坐标直接相减，乱用距离公式。 3. 求周长最值时，不会利用对称点转化线段，思路卡死。 4. 线段长度不加绝对值，出现负数、漏解。 注意事项总结 1. 竖线段长：；横线段长：，永远为正。 2. 动点题第一步：设点坐标，再表示线段。 3. 周长最值套路：定点+动点，用轴对称转化最短路径。 4. 所有线段结果必须为正数，负数直接舍去。 【对点训练】6．已知抛物线的图象与x轴交于点和点C，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点P的坐标； 易错点7 二次函数中的面积问题 易错提醒 易错点总结 1. 三角形乱找底和高，不会用铅垂高水平宽公式。 2. 割补法不会操作，多减、少减区域，面积偏差。 3. 动点面积最值忘记自变量范围，顶点解超范围不取舍。 4. 多个动点、不规则图形不会拆分基础图形。 注意事项总结 1. 二次函数面积万能公式：S=×铅垂高×水平宽（必考）。 2. 不规则图形一律用：外框矩形减周围三角形。 3. 面积最值求出顶点后，必须检验x是否在取值区间。 4. 分段动点必须分段求面积函数，不笼统计算。 【对点训练】7．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 易错点8 二次函数中的特殊图形存在性问题 易错提醒 易错点总结 1. 等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形存在性，不分类讨论直接漏解。 2. 等腰三角形只算一种腰相等情况，漏掉两外两种情况。 3. 直角三角形只默认一个直角顶点，不换顶点讨论。 4. 平行四边形分不清“定点、动点”，坐标平移公式用错。 5. 求出点坐标不验证是否在抛物线上、是否符合题意。 注意事项总结 1. 存在性题型铁律：无图必多解，必须全分类。 2. 等腰三角形：三条边轮流做底边，三情况讨论。 3. 直角三角形：三个顶点轮流做直角顶点，三情况讨论。 4. 平行四边形：利用中点坐标公式/平移法求动点坐标。 5. 所有解最后必须检验：点在抛物线上、符合图形结构，舍无效解。 【对点训练】8．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 一、单选题 1．已知a、b为实数，下列四个函数图像中，不可能是y关于x函数的图像的为（    ） A．B．C． D． 2．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 3．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 4．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 5．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点，下列结论：①，②，③，④当时，，正确的有（     ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根可能是（     ） A．0，4 B．1，5 C．1， D．，5 二、填空题 8．已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 10．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 三、解答题 11．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交，B两点，与y轴交于点，抛物线的顶点为点E． (1)求抛物线的解析式； (2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由． 13．已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数的解析式； (2)将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点为B，C，若是以为斜边的等腰直角三角形，求m的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 15．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $