第三章 图形的相似（六大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学“图形的相似”单元知识清单系统梳理了相似图形的核心内容，涵盖成比例线段、比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质、位似图形五大知识范畴，搭建了从概念定义到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“核心标注”“易错点分类”和“模型归纳”构建知识体系，如将比例基本性质标为核心，面积性质标为重中之重，培养学生的几何直观和推理意识。设计“动点相似多解问题”等易错点专项及对应训练，不同学生可针对性突破，教师可据此优化教学，提升复习效率。

第三章 图形的相似 知识点一 成比例线段 1. 线段的比：选用同一长度单位度量两条线段，所得长度的比叫做线段的比，比值为正数、无单位，线段比有顺序性，。 1. 成比例线段：在四条线段 、、、 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段。其中 、 为比例外项，、 为比例内项；若 ，则 是 、 的。 1. 黄金分割：点 把线段 分成 、 两段（），若 ，则称线段 被点 黄金分割，黄金比为 ，一条线段有两个黄金分割点。 知识点二 比例的性质 1. 基本性质（核心）：若 ()，则 ，是比例计算、解方程的核心依据，可逆用。 1. 反比性质：若 ，则 ，比例前后项同时取倒数，比例仍然成立，常用于化简分式比例。 1. 更比性质：若 ，则 交换比例内项或外项，比例成立，多用于调整线段对应关系。 1. 合比性质：若 ，则 ，比例左右两边分子加减分母，比值不变，常用于线段和差比例计算。 1. 等比性质：多组比值相等时，在分母和不为 0 的前提下，分子总和与分母总和的比值等于原比值，使用必须注意分母和不为 0 的前提，避免错解。 知识点三 平行线分线段成比例 1. 基本定理：一组平行线截两条直线，截得的___________成比例。核心关键是“对应”，上下线段一一对应，不可错位列式。 1. 三角形推论 1：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边延长线）__________，所得的对应线段成比例，是三角形相似的前置核心定理。 1. 三角形推论 2：平行于三角形一边的直线截三角形，所得的小三角形三边与原三角形三边对应成比例。 1. 解题关键：只要出现“平行”，优先考虑线段成比例，找准对应线段是解题核心。 知识点四 相似三角形的相关概念、判定 1. 相似三角形概念：__________相等、__________成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似符号“__________”书写时必须严格对应顶点顺序，否则边角对应关系全部错误。相似三角形的相似比具有顺序性，原三角形与新三角形的相似比，和反向相似比互为倒数。 1. 四大判定定理 0. 平行判定：平行于三角形__________的直线截三角形，所得三角形与原三角形相似； 0. 两角分别相等（AA）：__________对应相等即可判定相似，是考试最常用、最简便的判定方法； 0. 两边成比例且夹角相等（SAS）：必须是__________相等，非夹角相等无法判定相似； 0. 三边对应成比例（SSS）：三组__________比值全部相等，可判定相似。 知识点五 相似三角形的性质 1. 基础性质：相似三角形__________相等，__________成比例，是所有衍生性质的基础。 1. 对应线段性质：相似三角形对应__________、对应__________、对应__________的比值，全部等于相似比。 1. 周长性质：相似三角形的__________之比等于相似比。 1. 面积性质（重中之重）：相似三角形的面积之比等于相似比的__________，反向推导：已知面积比，相似比为面积比的算术平方根，考试高频易错。 1. 拓展：所有相似平面图形，均满足“线段比 = 相似比，面积比 = 相似比平方”。 知识点六 相似三角形判定定理的证明 1. 核心证明思想：转化思想，将相似判定问题，转化为平行线分线段成比例、三角形全等、内角和等已学知识证明。 1. AA 定理证明：利用三角形内角和__________，两角对应相等则第三角也相等，结合平行线截线段成比例，证得三边成比例，从而判定相似。 1. SAS 定理证明：在长边上截取线段构造全等三角形，结合平行线性质，推导角相等、边成比例，完成相似证明。 1. SSS 定理证明：通过比例线段作平行线，构造小三角形与原三角形相似，再结合边长相等证全等，间接证明原三角形相似。 1. 证明核心逻辑：先构__________，再推__________，最后证__________、形相似。 知识点七 图形的位似 1. 位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都相交于同一点，对应边互相平行（或共线），那么这两个图形是位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 1. 核心关系：位似图形一定是相似图形，但相似图形__________是位似图形，位似是特殊的相似。 1. 坐标位似变换（必考）：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为 ，原图形点坐标 ，位似后坐标为__________或 __________，正负代表位似方向。 1. 位似的作用：可以将图形进行放大或缩小，不改变图形的形状，只改变图形大小和位置。 1. 位似比性质：位似图形的对应边比、对应线段比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 易错点1 相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 不分类讨论对应顶点：题目未固定相似对应关系，只写一种比例式，直接漏解。 2. 忽略动点运动范围，解出的时间 t 超出线段运动区间、t 为负数、点已到达终点，不取舍直接保留错解。 3. 分不清动点在线段、折线、直线上运动，默认全程匀速，导致时间段列式错误。 4. 列相似比例式对应边写错位，方程列错，求出的时间全部无效。 注意事项总结 1. 动点相似无固定对应，必须双情况分类：锐角对应锐角、直角对应直角，两组比例分别列式。 2. 求出 t 后强制检验：t≥0、动点未超出边长范围，不合理解一律舍去。 3. 折线动点必须分段讨论时间区间，每一段单独列方程。 4. 写比例式严格对齐对应角、对应边，杜绝错位列式。 【对点训练】1．如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 易错点2 相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 只默认一组相似形态，忽略动点位置变化带来的多种相似结构，漏线段解。 2. 混淆“运动路程”和“剩余线段长”，含 t 的代数式表示线段出错。 3. 算出线段长度为负数、大于边长，不检验直接写答案。 4. 忽略图形对称性、内外位置差异，导致多解不全。 注意事项总结 1. 动点求线段：先用含 t 式子精准表示所有动线段，分清总长、已走、剩余长度。 2. 相似结构不唯一时，按不同对应关系分别求线段长，保证不丢解。 3. 线段长度必须为正数、且小于图形对应边长，异常值直接舍去。 4. 多解题型最后汇总所有合理解，完整作答。 【对点训练】2．如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 易错点3 由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 平行线分线段成比例找错对应线段，上下错位、交叉列式，比例完全写错。 2. A 型、X 型相似混淆，不会区分两种模型的比例结构。 3. 多条平行线叠加时，乱套比例，不会分层拆分图形。 4. 比例计算不交叉相乘、约分失误，比值算错，大小关系颠倒。 5. 忽略延长线情况，只考虑线段内部平行，漏外部延长线比例情况。 注意事项总结 1. 平行截线铁律：平行 → 找对应线段 → 上下成比例，先定位再列式。 2. 熟记模型：A 型平行截小三角形、X 型交叉平行，比例式固定结构。 3. 复杂图形拆分为单个基础平行模型，分层计算，不混算。 4. 比例计算必须交叉相乘，细心约分，比值前后顺序不乱换。 5. 无图题必须考虑：线段上、线段延长线两种情况，防止漏解。 【对点训练】3．如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 易错点4 相似三角形与几何图形综合易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 矩形、菱形、正方形、直角三角形综合题中，不会利用原有等角、直角条件证相似。 2. 面积计算习惯性忘记面积比 = 相似比平方，直接用相似比代替，大面积扣分。 3. 综合题中多次相似，只算一次，遗漏第二重、第三重相似关系。 4. 几何综合中边、角条件混用，不会结合勾股、平行、特殊图形性质推条件。 5. 位似、折叠、旋转综合题，忽略图形变换后的边角对应关系，相似判定出错。 注意事项总结 1. 综合题先找公共角、直角、等角，优先用 AA 判定相似（最快最稳）。 2. 只要出现面积比、周长比、线段比，立刻区分：线段/周长 = 相似比，面积 = 相似比平方。 3. 复杂图形逐步推导，每一组相似单独证明，不跳步、不混条件。 4. 结合特殊四边形、直角三角形性质补全边角条件，再列比例式。 5. 变换类综合题，先锁定对应关系，再判定相似，杜绝凭感觉做题。 【对点训练】4．如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 一、单选题 1．在中，，，，动点从点沿线段向点移动从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为cm/s，点的速度为cm/s．当到达点时两点同时停止运动．若此过程中有．则当时运动的时间是（　　） A．2s B．2.4s C．3s D．1s或3s 2．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 6．如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 7．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 8．如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 三、解答题 9．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 10．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 11．如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 12．如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求证：． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 14．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 15．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 知识点一 成比例线段 1. 线段的比：选用同一长度单位度量两条线段，所得长度的比叫做线段的比，比值为正数、无单位，线段比有顺序性，。 1. 成比例线段：在四条线段 、、、 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段。其中 、 为比例外项，、 为比例内项；若 ，则 是 、 的比例中项。 1. 黄金分割：点 把线段 分成 、 两段（），若 ，则称线段 被点 黄金分割，黄金比为 ，一条线段有两个黄金分割点。 知识点二 比例的性质 1. 基本性质（核心）：若 ()，则 ，是比例计算、解方程的核心依据，可逆用。 1. 反比性质：若 ，则 ，比例前后项同时取倒数，比例仍然成立，常用于化简分式比例。 1. 更比性质：若 ，则 交换比例内项或外项，比例成立，多用于调整线段对应关系。 1. 合比性质：若 ，则 比例左右两边分子加减分母，比值不变，常用于线段和差比例计算。 1. 等比性质：多组比值相等时，在分母和不为 0 的前提下，分子总和与分母总和的比值等于原比值，使用必须注意分母和不为 0 的前提，避免错解。 知识点三 平行线分线段成比例 1. 基本定理：一组平行线截两条直线，截得的对应线段成比例。核心关键是“对应”，上下线段一一对应，不可错位列式。 1. 三角形推论 1：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边延长线）相交，所得的对应线段成比例，是三角形相似的前置核心定理。 1. 三角形推论 2：平行于三角形一边的直线截三角形，所得的小三角形三边与原三角形三边对应成比例。 1. 解题关键：只要出现“平行”，优先考虑线段成比例，找准对应线段是解题核心。 知识点四 相似三角形的相关概念、判定 1. 相似三角形概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似符号“”书写时必须严格对应顶点顺序，否则边角对应关系全部错误。相似三角形的相似比具有顺序性，原三角形与新三角形的相似比，和反向相似比互为倒数。 1. 四大判定定理 0. 平行判定：平行于三角形一边的直线截三角形，所得三角形与原三角形相似； 0. 两角分别相等（AA）：两个角对应相等即可判定相似，是考试最常用、最简便的判定方法； 0. 两边成比例且夹角相等（SAS）：必须是夹角相等，非夹角相等无法判定相似； 0. 三边对应成比例（SSS）：三组对应边比值全部相等，可判定相似。 知识点五 相似三角形的性质 1. 基础性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，是所有衍生性质的基础。 1. 对应线段性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比值，全部等于相似比。 1. 周长性质：相似三角形的周长之比等于相似比。 1. 面积性质（重中之重）：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，反向推导：已知面积比，相似比为面积比的算术平方根，考试高频易错。 1. 拓展：所有相似平面图形，均满足“线段比 = 相似比，面积比 = 相似比平方”。 知识点六 相似三角形判定定理的证明 1. 核心证明思想：转化思想，将相似判定问题，转化为平行线分线段成比例、三角形全等、内角和等已学知识证明。 1. AA 定理证明：利用三角形内角和 ，两角对应相等则第三角也相等，结合平行线截线段成比例，证得三边成比例，从而判定相似。 1. SAS 定理证明：在长边上截取线段构造全等三角形，结合平行线性质，推导角相等、边成比例，完成相似证明。 1. SSS 定理证明：通过比例线段作平行线，构造小三角形与原三角形相似，再结合边长相等证全等，间接证明原三角形相似。 1. 证明核心逻辑：先构平行，再推比例，最后证角等、形相似。 知识点七 图形的位似 1. 位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线都相交于同一点，对应边互相平行（或共线），那么这两个图形是位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 1. 核心关系：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，位似是特殊的相似。 1. 坐标位似变换（必考）：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为 ，原图形点坐标 ，位似后坐标为 或 ，正负代表位似方向。 1. 位似的作用：可以将图形进行放大或缩小，不改变图形的形状，只改变图形大小和位置。 1. 位似比性质：位似图形的对应边比、对应线段比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 易错点1 相似三角形动点中求时间多解问题易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 不分类讨论对应顶点：题目未固定相似对应关系，只写一种比例式，直接漏解。 2. 忽略动点运动范围，解出的时间 t 超出线段运动区间、t 为负数、点已到达终点，不取舍直接保留错解。 3. 分不清动点在线段、折线、直线上运动，默认全程匀速，导致时间段列式错误。 4. 列相似比例式对应边写错位，方程列错，求出的时间全部无效。 注意事项总结 1. 动点相似无固定对应，必须双情况分类：锐角对应锐角、直角对应直角，两组比例分别列式。 2. 求出 t 后强制检验：t≥0、动点未超出边长范围，不合理解一律舍去。 3. 折线动点必须分段讨论时间区间，每一段单独列方程。 4. 写比例式严格对齐对应角、对应边，杜绝错位列式。 【对点训练】1．如图，在中，，，动点以秒的速度从点向终点运动，动点以秒的速度从点向终点运动．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是__________秒． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质时解题的关键． 设运动时间为，由题意可得，，，分与这两种情况，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可． 【详解】解：当动点、同时运动时间为时，则有，，， 是公共角， ①当时，， 有，即， 解得：； ②当时，， 有，即， 解得：； 故答案为：2或． 易错点2 相似三角形动点中求线段长多解问题易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 只默认一组相似形态，忽略动点位置变化带来的多种相似结构，漏线段解。 2. 混淆“运动路程”和“剩余线段长”，含 t 的代数式表示线段出错。 3. 算出线段长度为负数、大于边长，不检验直接写答案。 4. 忽略图形对称性、内外位置差异，导致多解不全。 注意事项总结 1. 动点求线段：先用含 t 式子精准表示所有动线段，分清总长、已走、剩余长度。 2. 相似结构不唯一时，按不同对应关系分别求线段长，保证不丢解。 3. 线段长度必须为正数、且小于图形对应边长，异常值直接舍去。 4. 多解题型最后汇总所有合理解，完整作答。 【对点训练】2．如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 【答案】或 【分析】根据题意分两种情况，根据折叠的性质分别求出的长，再证明，进而可知的长． 【详解】解析：∵， ∵将沿翻折，点的对应点为， 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的长为或． 易错点3 由平行截线求相关线段的长或比值易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 平行线分线段成比例找错对应线段，上下错位、交叉列式，比例完全写错。 2. A 型、X 型相似混淆，不会区分两种模型的比例结构。 3. 多条平行线叠加时，乱套比例，不会分层拆分图形。 4. 比例计算不交叉相乘、约分失误，比值算错，大小关系颠倒。 5. 忽略延长线情况，只考虑线段内部平行，漏外部延长线比例情况。 注意事项总结 1. 平行截线铁律：平行 → 找对应线段 → 上下成比例，先定位再列式。 2. 熟记模型：A 型平行截小三角形、X 型交叉平行，比例式固定结构。 3. 复杂图形拆分为单个基础平行模型，分层计算，不混算。 4. 比例计算必须交叉相乘，细心约分，比值前后顺序不乱换。 5. 无图题必须考虑：线段上、线段延长线两种情况，防止漏解。 【对点训练】3．如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】设，则，，根据平行线分线段成比例可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得：，即的长为． 易错点4 相似三角形与几何图形综合易错问题 易错提醒 易错点总结 1. 矩形、菱形、正方形、直角三角形综合题中，不会利用原有等角、直角条件证相似。 2. 面积计算习惯性忘记面积比 = 相似比平方，直接用相似比代替，大面积扣分。 3. 综合题中多次相似，只算一次，遗漏第二重、第三重相似关系。 4. 几何综合中边、角条件混用，不会结合勾股、平行、特殊图形性质推条件。 5. 位似、折叠、旋转综合题，忽略图形变换后的边角对应关系，相似判定出错。 注意事项总结 1. 综合题先找公共角、直角、等角，优先用 AA 判定相似（最快最稳）。 2. 只要出现面积比、周长比、线段比，立刻区分：线段/周长 = 相似比，面积 = 相似比平方。 3. 复杂图形逐步推导，每一组相似单独证明，不跳步、不混条件。 4. 结合特殊四边形、直角三角形性质补全边角条件，再列比例式。 5. 变换类综合题，先锁定对应关系，再判定相似，杜绝凭感觉做题。 【对点训练】4．如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②t的值为或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）分两种情形：当时，当时，分别求解． （3）①证明，由此构建方程，可得结论． ②分两种情形：当时，，此时，由此构建方程，即可解决问题．当时，过点Q作于H．然后根据相似三角形的性质与判定可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 由题意可分：当点在上时，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在外时，则， 同理可得：， ∴； 综上所述：． （3）解：①当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 解得． ②如图，当时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）及对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，过点Q作于H． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，t的值为或． 一、单选题 1．在中，，，，动点从点沿线段向点移动从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为cm/s，点的速度为cm/s．当到达点时两点同时停止运动．若此过程中有．则当时运动的时间是（　　） A．2s B．2.4s C．3s D．1s或3s 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，代值构建方程求解即可得到结论． 【详解】解：设运动时间为秒， ， ， ，，，， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理列出线段比例． 2．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 4．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 二、填空题 5．如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 7．如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出的长，用含t的式子表示出的长，根据题意只存在和这两种情况，据此利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴当与相似时，只存在和这两种情况， 当时，则，即， 解得， 当时，则，即， 解得， ∵， ∴， ∴和都符合题意， 故答案为：或． 8．如图，在四边形中，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】过作于，构造矩形，利用旋转性质求出长度；再构造辅助线，利用中点结合中位线及直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】提示：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 由题意可知，是的中点， 根据平行线分线段成比例，则， 是的中点， 是的中位线， ， ， ． 三、解答题 9．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 10．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 11．如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 12．如图所示，在中，，是边上一点，，为线段中点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：，， ， 又， ， ， ； (2)证明：过点作交于点， 为的中点， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作交于点，证明得出，进而证明，根据相似三角形的性质得，即可得证 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3) 的值等于 ．（直接写出结果，无需解答过程） 【答案】(1)证明：垂直平分， ， ， ， ， ； (2)证明：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由垂直平分线的性质得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出即可证明； （2）由DE垂直平分BC，得出，由相似三角形的性质得出，进而得出，由，即可得出； （3）过点作，交的延长线于点，证明，由，即可得出，由平行再证明，根据对应线段成比例得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作，交的延长线于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 【答案】(1) (2)证明：由运动可得， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ； (3)或 【分析】（1）根据正方形，点，得到，再根据，得到，； （2）由运动可得，结合得到，再根据正方形，得到，即可证明； （3）过作于，于，则四边形是矩形，，当时，点到达，点到达，此时；当时，，此时，是钝角三角形；当时，，此时，，，然后根据和分类讨论，利用一线三垂直模型证明相似，代入列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形，点， ∴，， ∵点在线段上，满足， ∴，； （2）略 （3）解：由运动可得，，，则，， ∵是直角三角形， ∴或或， 过作于，于，则四边形是矩形，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 当时，点到达，点到达，此时； 当时，，此时，是钝角三角形； 当时，，此时，，， 当时，，， ∴， ∴， 代入数值得， 解得， 满足的只有； 当时，同理可得， ∴， 代入数值得， 整理得，方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，或． 15．【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． (1)如图1，在正方形中，，交于点G，则______（填比值）； 【探究证明】 (2)如图2，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点A作交于点M，过点B作交于点 乙方案：过点E作交于点M，过点G作交于点 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明． 【结论应用】 (3)如图3，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合．若，，求折痕的长； 【拓展运用】 (4)如图4，在四边形中，，，，点E、F分别在线段上，且，求的值． 【答案】(1)1 (2)证明：甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N； 四边形是矩形， ，，， 四边形均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O， 四边形是矩形， ，，， 四边形均为矩形， ， ， ，， ，， ， ， 又， ， ， ∴． (3)折痕的长为 (4)的值为 【分析】（1）证明，则，即可得到答案； （2）甲方案：如图2，过点A作交于点M，过点B作交于点N；证明， ，，再证明，根据相似三角形的性质进行解答即可；乙方案：如图2，过点E作交于点M，过点G作交于点N，交于点O，证明，，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）由矩形的性质可得，，由勾股定理得，由（2）可知，，即可得到答案； （4）过点D作，交的延长线于，过点A作交EF于点，连接AC，过点F作于点，过点E作于点，证明，则，证明，最后证明 ，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ， ， 即折痕的长为； （4）解：如图4，过点D作，交的延长线于，过点A作于点，连接，过点F作于点，过点E作于点， ， ，， 四边形是矩形， ∴， ，，， ， ， ∴， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ， ， （不合题意舍去）或 ， ， 同（2）知， ， 又， ∴ ， ， ， ， ， 即的值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $