26.3.1 二次函数与一元二次方程(第1课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程的内在联系，核心是二次函数图象与x轴交点个数和方程根的对应关系。通过复习一次函数与一元一次方程的关系，类比迁移引出新知，搭建从已知到未知的学习支架。 此资料以“画图—观察—归纳—验证”活动链展开，通过三个抛物线实例探究交点与判别式的关系，培养几何直观和推理意识。抛体问题应用将实际转化为函数方程，体现模型意识，助力学生建立数形双向思维，也为教师提供结构化教学路径，提升课堂效率。

26.3.1 二次函数与一元二次方程（第1课时）教学设计 一、课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域要求学生：能根据具体问题中的数量关系列出二次函数，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要模型；体会一元二次方程与二次函数的内在联系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，感受数形结合思想的价值。 二、教材分析 学生已经掌握了一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）和二次函数 的图象与性质。本节课在此基础上，从“形”的角度审视一元二次方程的根——将方程 的根与抛物线 和 轴的交点建立对应关系，是函数与方程思想交汇的关键节点。 教材以“一次函数与一元一次方程的关系”为认知起点，通过类比迁移引出“二次函数与一元二次方程的关系”，体现了从特殊到一般、从已知到未知的编排逻辑。 三、学情分析 九年级学生在知识层面已经会解一元二次方程，会画二次函数图象，具备基本的数形结合经验（一次函数与一元一次方程）。但学生的困难在于：一是看到二次函数图象时，难以主动将其与方程的根建立联系，“数”与“形”的切换意识不够强；二是面对实际问题（如抛体运动），不能迅速将文字语言翻译为函数表达式和方程。因此，教学中需要通过“画图—观察—归纳—验证”的活动链，帮助学生建立稳固的对应关系。 四、教学目标 1. 理解二次函数 的图象与 轴的交点个数与对应的一元二次方程 的根的情况之间的对应关系，能根据判别式 判断交点个数与根的情况。 1. 能利用二次函数的图象与性质，解决与一元二次方程相关的实际问题（如抛体运动），体会数形结合与转化的数学思想。 1. 经历“画图—观察交点—对应方程根—归纳结论”的探究过程，发展从“形”到“数”、再从“数”回到“形”的双向思维能力。 1. 在小组合作与课堂练习中，养成严谨推理和主动检验的习惯。 五、教学重点与难点 教学重点：二次函数图象与 轴的交点个数与一元二次方程 的根的判别式之间的关系。 教学难点：从图象上“看出”方程根的情况，并将其应用于实际问题（如判断抛体能否达到某一高度）。 六、教具准备 多媒体课件、直尺、坐标纸（备用）、学生课堂练习单。 七、教学过程 环节一：复习引入 【教师活动】 在课件上出示两道复习题： （1）若一次函数 的图象经过点 ，，则方程 的解是 ______。 （2）一次函数 的图象如图所示（图中显示直线经过 和 ），则方程 的解是 ______。 请学生口答，引导学生回顾：一次函数 的图象与 轴的交点的横坐标，就是一元一次方程 的解。 追问：那么，二次函数与一元二次方程之间，是否也有类似的关系呢？ 【学生活动】 第（1）题：由 和 得 ，，所以 ，方程 的解为 。 第（2）题：由图象可知，当 时，对应的 值为 ，所以方程 的解为 。 学生回忆并表述一次函数与一元一次方程的关系：函数图象上纵坐标为某一值的点的横坐标，就是对应方程的解。 【设计意图】 从学生已有的一次函数与方程知识出发，通过两道小题激活旧知，为类比迁移到二次函数与一元二次方程做铺垫。第（2）题的图象题尤其重要——它让学生重温“从图上读方程的解”这一核心方法，这正是本节课的主线。 环节二：探究新知 【教师活动】 第一步：画图观察 课件出示问题：如图，下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1） 课件同步展示三个函数在同一坐标系中的图象（教材图26.3-1），引导学生逐一观察。 追问：与 轴有公共点，意味着函数值 等于多少？ 学生回答：。 教师点拨：对，令 ，就是把二次函数问题变成了什么问题？ 学生回答：一元二次方程。 第二步：对应方程的根 教师引导学生分别写出对应的方程并求解： （1）令 ，则 。因式分解得 ，解得 ，。 （2）令 ，则 。配方得 ，解得 。 （3）令 ，则 。判别式 ，方程无实数根。 第三步：建立对应关系 教师用课件展示对照表格，引导学生填写： 二次函数 与 轴交点 对应方程的根 根的情况 两个：， ， 两个不相等的实数根 一个： 两个相等的实数根 无交点 无实数根 无实数根 追问：三种情况分别对应判别式 的什么取值？ 【学生活动】 学生在坐标纸上描点或对照课件图象，观察三个抛物线与 轴的交点情况：第（1）个有两个交点，第（2）个有一个交点（顶点在 轴上），第（3）个没有交点（整条抛物线在 轴上方）。 计算判别式： （1），两个交点，两个不等实根。 （2），一个交点，两个相等实根。 （3），无交点，无实根。 学生归纳结论：抛物线与 轴的交点个数，完全由判别式 决定。 【设计意图】 这是本节课最核心的探究环节。通过三个精心选择的例子（两个交点、一个交点、无交点），让学生经历“看图象→写方程→求根→对照→归纳”的完整过程，自己发现交点个数与判别式的关系。这种从具体到一般的归纳路径，比直接告诉结论更有思维含量，也让学生真正理解“数”与“形”为什么能互相转化。 环节三：归纳总结 【教师活动】 课件出示核心结论表格，带领学生一起填写并确认： 判别式 抛物线与 轴 方程的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 教师强调：这里的“数”和“形”说的是同一件事——方程的根是“数”的角度，交点是“形”的角度，本质是同一个问题。 追问：反过来，如果告诉你抛物线与 轴没有交点，你能立刻说什么？ 学生回答：对应的方程无实数根，。 【学生活动】 学生在课堂练习单上记录核心结论表格，同桌互相口述“三种情况的对应关系”，确认理解无误。 【设计意图】 将探究环节的发现凝练为结构化的表格，便于学生记忆和后续应用。“反过来”的追问训练逆向思维，确保学生不仅能从“方程→交点”，也能从“交点→方程”进行双向推理。 环节四：应用实践——抛体问题 【教师活动】 课件出示例1： 如图，以 的速度将小球沿与地面成 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。小球的飞行高度 （单位：）与飞行时间 （单位：）的关系近似为 。 小球的飞行高度能否达到 ？如果能，需要多长时间？ 教师引导分析：题目告诉我们 关于 的函数表达式，问“能否达到 ”，就是问是否存在 使 。 板书示范解题过程： 当 时，，即 。 ，解得 。 所以小球飞行 时，飞行高度为 。 结合图象解释：为什么只在一个时间小球高度为 ？ 课件展示抛物线 的图象，标注 的水平线，学生看到这条线恰好与抛物线相切于顶点 ，说明 恰好是小球的最大高度，所以只有一个时间点。 变式练习（教材P48练习） 教师依次出示4个变式，引导学生自主完成： （1）小球的飞行高度能否达到 ？ 令 ：，即 ，，，。 小球飞行 和 时，高度为 。结合图象： 的水平线与抛物线有两个交点（上升段和下降段各一次）。 （2）小球的飞行高度能否达到 ？ 令 ：，即 。 ，方程无实数根。 小球不能达到 。结合图象： 的水平线在抛物线最高点的上方，没有交点。 （3）小球从飞出到落地需要多长时间？ 令 ：，即 ，（起飞时刻），。 小球从飞出到落地需要 。 【学生活动】 学生在课堂练习单上完成例1的规范解题过程，然后依次完成4个变式。每个变式完成后，在图象上标注对应的水平线和交点位置，用图形验证代数计算的结果。 小组交流：为什么（1）有两个时间、（2）只有一个时间、（3）没有、（4）对应 ？ 【设计意图】 例1是本节课从“纯数学”走向“实际问题”的关键载体。抛体运动的情境让学生体会到：方程有没有解，对应的就是物理上“能不能达到某个高度”——这就是数形结合思想的现实威力。4个变式覆盖了 、、 三种情况以及令 求落地时间的经典模型，帮助学生在反复操练中内化方法。 环节五：当堂检测 【A层·基础巩固】 1. 已知二次函数 （ 为常数）的图象与 轴的一个交点为 ，则关于 的一元二次方程 的两实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 1. 二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 答案：B D 【B层·能力提升】 1. 下列选项中，不与 轴相交的抛物线是（ ） A. B. C. D. 1. 已知抛物线 与 轴有两个不同的交点，则关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 答案：D A 【C层·拓展挑战】 1. 已知关于 的二次函数 （）。 （1）求证：此抛物线与 轴总有交点。 （2）若此抛物线与 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 的值。 1. 已知函数 的图象与 轴有交点，求 的取值范围。 【教师活动】 学生独立完成练习单，教师巡视，重点关注第2题（是否注意到 的隐含条件）和第6题（是否注意到需要讨论 时为一次函数的情况）。 【学生活动】 学生独立完成检测题，完成后同桌互批。 第2题解析：与 轴有交点要求 ，即 ，；同时 （否则不是二次函数），选D。 第5题（1）：，故抛物线与 轴总有交点。 第5题（2）：令 ，因式分解得 ，，。要使 为整数且 为正整数， 或 。当 时 （只有一个交点），不合题意。所以 。 第6题：需分两种情况讨论。当 时， 是一次函数，与 轴有一个交点，符合。当 时，需 ，即 且 。综合得 。 【设计意图】 A层直接对应本节课核心结论（交点个数与根的关系），确保基础过关。B层加入了需要逆向推理的题目（由交点情况判断 的符号）。C层第5题要求证明含参抛物线的交点存在性并求参数，第6题是经典的“分类讨论”易错题——学生容易忽略 时为一次函数的情况，需要重点提醒。三层递进，兼顾不同水平的学生。 环节六：课堂小结 【教师活动】 课件出示本节课知识结构图，引导学生一起回顾： 二次函数与一元二次方程 ┌─────────┴─────────┐ 数的角度 形的角度 方程 ax²+bx+c=0 抛物线 y=ax²+bx+c │ │ 根的情况 ←——— Δ=b²-4ac ———→ 与x轴交点个数 │ │ Δ>0 → 两个不等实根 ←→ 两个交点 Δ=0 → 两个相等实根 ←→ 一个交点 Δ<0 → 无实数根 ←→ 无交点 应用：实际问题 → 列方程 → 用Δ判断 → 回到实际 教师总结： （1）本节课的核心知识：抛物线与 轴的交点个数由 决定，交点的横坐标就是方程的根。 （2）核心思想：数形结合——用“形”（图象）来理解“数”（方程的根），用“数”（计算）来验证“形”（交点位置）。 （3）应用模型：实际问题→列出函数表达式→令 等于目标值→转化为一元二次方程→用 判断是否有解。 【学生活动】 学生对照知识结构图，用自己的话复述“三种对应关系”。思考并回答：如果告诉你 ，你能画出抛物线与 轴的大致位置关系吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $