26.3.1 二次函数与一元二次方程(第1课时）教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域要求学生：能根据具体问题中的数量关系列出二次函数，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要模型；体会一元二次方程与二次函数的内在联系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，感受数形结合思想的价值。
学生已经掌握了一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）和二次函数 
的图象与性质。本节课在此基础上，从“形”的角度审视一元二次方程的根——将方程 
的根与抛物线 和 
轴的交点建立对应关系，是函数与方程思想交汇的关键节点。
教材以“一次函数与一元一次方程的关系”为认知起点，通过类比迁移引出“二次函数与一元二次方程的关系”，体现了从特殊到一般、从已知到未知的编排逻辑。
九年级学生在知识层面已经会解一元二次方程，会画二次函数图象，具备基本的数形结合经验（一次函数与一元一次方程）。但学生的困难在于：一是看到二次函数图象时，难以主动将其与方程的根建立联系，“数”与“形”的切换意识不够强；二是面对实际问题（如抛体运动），不能迅速将文字语言翻译为函数表达式和方程。因此，教学中需要通过“画图—观察—归纳—验证”的活动链，帮助学生建立稳固的对应关系。
- 理解二次函数 的图象与 轴的交点个数与对应的一元二次方程 的根的情况之间的对应关系，能根据判别式
判断交点个数与根的情况。 - 能利用二次函数的图象与性质，解决与一元二次方程相关的实际问题（如抛体运动），体会数形结合与转化的数学思想。
- 经历“画图—观察交点—对应方程根—归纳结论”的探究过程，发展从“形”到“数”、再从“数”回到“形”的双向思维能力。
- 在小组合作与课堂练习中，养成严谨推理和主动检验的习惯。
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教学重点：二次函数图象与 轴的交点个数与一元二次方程 的根的判别式之间的关系。
教学难点：从图象上“看出”方程根的情况，并将其应用于实际问题（如判断抛体能否达到某一高度）。
多媒体课件、直尺、坐标纸（备用）、学生课堂练习单。
【教师活动】
在课件上出示两道复习题：
（1）若一次函数 
的图象经过点 
，
，则方程 
的解是 ______。
（2）一次函数 的图象如图所示（图中显示直线经过 和 
），则方程 
的解是 ______。
请学生口答，引导学生回顾：一次函数 的图象与 轴的交点的横坐标，就是一元一次方程 的解。
追问：那么，二次函数与一元二次方程之间，是否也有类似的关系呢？
【学生活动】
第（1）题：由 和 得 
，
，所以 
，方程 
的解为 
。
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第（2）题：由图象可知，当 
时，对应的 值为 
，所以方程 的解为 
。
学生回忆并表述一次函数与一元一次方程的关系：函数图象上纵坐标为某一值的点的横坐标，就是对应方程的解。
【设计意图】
从学生已有的一次函数与方程知识出发，通过两道小题激活旧知，为类比迁移到二次函数与一元二次方程做铺垫。第（2）题的图象题尤其重要——它让学生重温“从图上读方程的解”这一核心方法，这正是本节课的主线。
【教师活动】
第一步：画图观察
课件出示问题：如图，下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 取公共点的横坐标时，函数值是多少？
（1）
课件同步展示三个函数在同一坐标系中的图象（教材图26.3-1），引导学生逐一观察。
追问：与 轴有公共点，意味着函数值 
等于多少？
学生回答：
。
教师点拨：对，令 ，就是把二次函数问题变成了什么问题？
学生回答：一元二次方程。
第二步：对应方程的根
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