专题一 第3讲 等式性质与不等式性质课件—2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等式性质与不等式性质”专题，依据课标要求覆盖不等式概念、性质应用及代数式大小比较等核心考点，通过知识梳理与热身练习对接高考评价体系，明确不等式性质应用、作差作商法比较大小等高频考点，归纳选择、填空及综合应用等常考题型。 课件亮点在于“考点探究+变式训练+技巧总结”的实战设计，如例3结合不等式性质与待定系数法解决取值范围问题，培养学生的数学思维与推理能力，通过高考母题改编及易错点分析（如倒数性质应用误区），帮助学生掌握作差变形、分类讨论等得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升学生应试能力。

专题1　集合、常用逻辑 用语、不等式 1 第3讲　等式性质与不等式性质 目 录 课标要求 夯基固本 考点探究 01 03 02 课标要求 返回目录 夯基固本 知识梳理 >> a>b a<b a=b 返回目录 夯基固本 a>b a=b a<b a＝c b＝a ac＝bc a±c＝b±c 返回目录 b<a a>c a＋c>b＋d a＋c>b＋c 返回目录 ac>bc ac<bc ac>bd 返回目录 夯基固本 常用结论 >> 返回目录 夯基固本 热身练习 >> A 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 C 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 D 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 2 3 4 5 1 返回目录 考点探究 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 不等式的基本性质 ACD 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 ACD 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 BC 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点2 数(式)的大小比较 C>A>B 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 M<N 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 ②③ 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 D 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点3 不等式性质的综合应用 3 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 规律与技巧 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 C 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 变式探究 [e，7] 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 探究点1 探究点2 探究点3 返回目录 了解不等式的概念，掌握等式性质，理解不等式性质. 会比较两个代数式的大小. 3.能应用不等式的性质解决有关问题． 1．不等式的定义 用不等号“>”“≥”“<”“≤”“≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较 (1)作差法 设a，b∈R，则a－b>0⇔　 　；a－b<0⇔　　 　；a－b＝0⇔　 　． eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c) (2)作商法 设a>0，b>0，则 eq \f(a,b)>1⇔ ； eq \f(a,b)＝1⇔ ； eq \f(a,b)<1⇔ ． 3．等式的基本性质 (1)对称性：a＝b⇔　 　． (2)传递性：a＝b，b＝c⇒　 　． (3)可加性：a＝b⇒　 　． (4)可乘性：a＝b⇒　 　． (5)可除性：a＝b，c≠0⇒　 　． 4.不等式的基本性质 (1)对称性：a>b⇔ ； (2)传递性：a>b，b>c⇒ ； (3)可加性：a>b⇒ ； (4)不等式加法：a>b，c>d⇒ ； eq \r(n,a)> eq \r(n,b) (5)可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； (6)不等式乘法：a>b>0，c>d>0⇒ ； (7)不等式乘方：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)； (8)不等式开方：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2). an>bn 1.倒数性质 (1)a>b，ab>0⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)；(2)a<0<b⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b). 2.分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质： eq \f(b,a)< eq \f(b＋m,a＋m)； eq \f(b,a)> eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)； (2)假分数性质： eq \f(a,b)> eq \f(a＋m,b＋m)； eq \f(a,b)< eq \f(a－m,b－m)(b－m>0). 1．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：因为M－N＝x2＋x＋1＝（x＋ eq \f(1,2)）2＋ eq \f(3,4)>0，所以M>N.故选A. 2．若 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3.则不正确的不等式的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确； a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立， ③正确；a3>b3，④正确． 故不正确的不等式的个数为2.故选C. 3．(教材母题必修习题2.1T8改编)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A． eq \f(1,a)< eq \f(1,b) B．a2>b2 C． eq \f(a,c2＋1)> eq \f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c| 解析：对于A，若a>0>b，则 eq \f(1,a)>0， eq \f(1,b)<0，此时 eq \f(1,a)> eq \f(1,b)，所以A不成立； 对于B，若a＝1，b＝－2，则a2<b2，所以B不成立； 对于C，因为c2＋1≥1，且a>b，所以 eq \f(a,c2＋1)> eq \f(b,c2＋1)恒成立，所以C成立； 对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，所以D不成立．故选C. 4．下列不等式正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若 eq \f(c,a)> eq \f(c,b)，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则 eq \f(a＋m,b＋m)> eq \f(a,b) 解析：对于A，当c＝0，a＝－1，b＝2时满足ac2≥bc2，但a<b，A错误； 对于B，当c＝－1，a＝－2，b＝－3时，满足 eq \f(c,a)> eq \f(c,b)，但a>b，B错误； 对于C，当a＝－1，b＝ eq \f(3,2)，c＝2时满足a＋b>0，c－b>0，但a<c，C错误； 对于D， eq \f(a＋m,b＋m)－ eq \f(a,b)＝ eq \f((a＋m)b－a(b＋m),(b＋m)b)＝ eq \f((b－a)m,(b＋m)b)>0，所以 eq \f(a＋m,b＋m)> eq \f(a,b)，D正确．故选D. 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 eq \f(1,3)，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为____________________． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N*) 解析：由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(y,2)≤z≤\f(x,3)，,y＋z≥55))(x，y，z∈N*) 【例1】 (1)(多选)若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则 eq \r(3,a)> eq \r(3,b) B．若a>b，则ac2>bc2 C．若a<b<0，则 eq \f(1,a)> eq \f(1,b) D．若ac2<bc2，则a<b 解析：(1)对于A，若a>b，则a－b＝( eq \r(3,a))3－( eq \r(3,b))3＝( eq \r(3,a)－ eq \r(3,b))[( eq \r(3,a))2－ eq \r(3,a) eq \r(3,b)＋( eq \r(3,b))2]>0， 而( eq \r(3,a))2－ eq \r(3,a) eq \r(3,b)＋( eq \r(3,b))2＝( eq \r(3,a)－ eq \f(1,2) eq \r(3,b))2＋ eq \f(3,4)( eq \r(3,b))2>0， 因此 eq \r(3,a)－ eq \r(3,b)>0，即 eq \r(3,a)> eq \r(3,b)，A正确； 对于B，若a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，B错误； 对于C，若a<b<0，有ab>0，两边同时除以ab，则有 eq \f(1,b)< eq \f(1,a)，C正确； 对于D，若ac2<bc2，则c≠0，此时c2>0，于是a<b，D正确．故选ACD. 【例1】(2)(多选)若实数a，b，c，d满足a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ad<bc D． eq \f(c,a)> eq \f(d,b) 解析：(2)因为a>b>0>c>d，所以c2<cd，A正确； 令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b>0>c>d，此时a－c＝b－d，B错误； 因为a>b>0>c>d，所以ad<bd，bd<bc，所以ad<bc，C正确； 因为a>b>0>c>d，则 eq \f(c,a)－ eq \f(d,b)＝ eq \f(cb－ad,ab)，因为cb－ad>0，ab>0，所以 eq \f(c,a)－ eq \f(d,b)＝ eq \f(cb－ad,ab)>0，即 eq \f(c,a)> eq \f(d,b)，D正确． 故选ACD. (1)要判定一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判定一个不等式成立，一般需要证明． (2)判定大小关系，常用的方法有：①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)；③利用函数的单调性或借助函数的图象． 1．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是(　　) A． eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b) B．ab＜b2 C．－ab＜－a2 D．－ eq \f(1,a)＜－ eq \f(1,b) 解析：由于a＜b＜0，不妨令a＝－2，b＝－1，可得 eq \f(1,a)＝－ eq \f(1,2)， eq \f(1,b)＝－1，所以 eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)，A错误； 可得ab＝2，b2＝1，所以ab＞b2，B错误； 可得－ab＝－2，－a2＝－4，所以－ab＞－a2，C错误； eq \f(1,b)－ eq \f(1,a)＝ eq \f(a－b,ab)，因为ab>0，a－b<0，所以 eq \f(1,b)－ eq \f(1,a)<0，即－ eq \f(1,a)<－ eq \f(1,b)，D正确．故选D. 2．(多选)设a<b<c，且a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac<bc C． eq \f(1,a)< eq \f(1,c) D． eq \f(c－a,c－b)<1 解析：因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，A错误； 因为a<b，c>0，所以ac<bc，B正确； 因为a<0<c，所以 eq \f(1,a)< eq \f(1,c)，C正确； 因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以 eq \f(c－a,c－b)>1，D错误．故选BC. 【例2】 (1)(2025·河南开学考试)已知a>b>c>0，A＝ab＋bc，B＝ac＋b2，C＝a2＋b2，则A，B，C的大小关系是　　　　　　． 解析：(1)由a>b>c>0，得a2>ab，b2>bc，因此C＝a2＋b2>ab＋bc＝A， 显然A－B＝(ab＋bc)－(ac＋b2)＝(a－b)(b－c)>0，则A>B， 所以A，B，C的大小关系是C>A>B. 【例2】 (2)如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2 解析：(2)x2－y2＝(x－y)(x＋y)，因为x＋y<0，且y>0，所以x<0，所以x－y<0，所以x2－y2>0，所以x2>y2， 又xy＋y2＝y(x＋y)， 因为x＋y<0，y>0，所以y(x＋y)<0，所以y2<－xy. 又x2＋xy＝x(x＋y)>0，所以x2>－xy. 综上，x2>－xy>y2.故选D. 【例2】(3)已知a>0，试比较 eq \f(a2＋1,a2－1)与 eq \f(a＋1,a－1)的大小． 解析：(3)因为 eq \f(a2＋1,a2－1)－ eq \f(a＋1,a－1)＝ eq \f(a2＋1－(a＋1)2,a2－1)＝ eq \f(－2a,a2－1)，可得a≠1， (ⅰ)当a>1时，－2a<0，a2－1>0， 则 eq \f(－2a,a2－1)<0，即 eq \f(a2＋1,a2－1)< eq \f(a＋1,a－1)； (ⅱ)当0<a<1时，－2a<0，a2－1<0， 则 eq \f(－2a,a2－1)>0，即 eq \f(a2＋1,a2－1)> eq \f(a＋1,a－1). 综上，当a>1时， eq \f(a2＋1,a2－1)< eq \f(a＋1,a－1)；当0<a<1时， eq \f(a2＋1,a2－1)> eq \f(a＋1,a－1). 比较大小的常用方法 (1)作差法：作差→变形→判断符号→结论．其关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．当两个式子都是正数时，有时也可先平方再比较． (2)作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论(作商前一般需判断符号). (3)单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，然后研究函数的单调性，根据单调性得出大小关系． 3．已知a>0，b>0，M＝ eq \r(a＋b)，N＝ eq \r(a)＋ eq \r(b)，则M与N的大小关系为　　　　　． 解析：因为M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2 eq \r(ab)) ＝－2 eq \r(ab)<0， 所以M<N. 4．已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是　　　　.(填序号) ① eq \f(1,a)< eq \f(1,b)；②a3>b3；③2a>2b；④ln a2>ln b2. 解析：当a>0，b<0时， eq \f(1,a)>0> eq \f(1,b)，故①不正确； 由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确； 当a＝1，b＝－1时，ln a2＝ln b2＝ln 1＝0，故④不正确． 5．设p＝(a2＋a＋1)-1，q＝a2－a＋1，则(　　) A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q 解析：因为p＝(a2＋a＋1)-1 ＝ eq \f(1,a2＋a＋1)＝ eq \f(1,(a＋\f(1,2))2＋\f(3,4))>0， q＝a2－a＋1＝(a－ eq \f(1,2))2＋ eq \f(3,4)>0， 则 eq \f(q,p)＝ eq \f(a2－a＋1,(a2＋a＋1)-1)＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋1≥1. 故p≤q，当且仅当a＝0时，取等号，故选D. 【例3】 (1)已知下列三个不等式：①ab>0；② eq \f(c,a)> eq \f(d,b)；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成　　　　个正确命题． 解析：(1)对②变形： eq \f(c,a)> eq \f(d,b)⇔ eq \f(bc－ad,ab)>0. (ⅰ)由ab>0，bc>ad得②成立，所以①③⇒②. (ⅱ)若ab>0， eq \f(bc－ad,ab)>0，则bc>ad，所以①②⇒③. (ⅲ)若bc>ad， eq \f(bc－ad,ab)>0，则ab>0，所以②③⇒①. 综上所述，可组成3个正确命题． 【例3】(2)设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤ eq \f(x2,y)≤9，则 eq \f(x,y3)的最小值是　　　　　. eq \f(1,2) 解析：(2)设 eq \f(x,y3)＝(xy2)m·( eq \f(x2,y))n，即xy-3＝xm+2n·y2m－n， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋2n＝1，,2m－n＝－3，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝1，)) 所以 eq \f(x,y3)＝(xy2)-1· eq \f(x2,y). 因为3≤xy2≤8，4≤ eq \f(x2,y)≤9，所以 eq \f(1,8)≤(xy2)-1≤ eq \f(1,3). 由不等式性质可知 eq \f(1,2)≤(xy2)-1· eq \f(x2,y)≤3，即 eq \f(1,2)≤ eq \f(x,y3)≤3. 综上可知， eq \f(x,y3)的最小值为 eq \f(1,2). 求代数式的取值范围的方法 (1)待定系数法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围． (2)换元法：设已知范围的式子分别为a，b，将所求式子用a，b表示，再通过a，b的范围“一次性”得到所求式子的范围． 6．已知a，b∈R且满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1≤a＋b≤3，,－1≤a－b≤1，))则4a＋2b的取值范围是(　　) A．[0，12] B．[4，10] C．[2，10] D．[2，8] 解析：设4a＋2b＝A(a＋b)＋B(a－b)， 可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＋B＝4，,A－B＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝3，,B＝1，)) 则4a＋2b＝3(a＋b)＋a－b， 因为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1≤a＋b≤3，,－1≤a－b≤1))可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3≤3(a＋b)≤9，,－1≤a－b≤1，)) 所以2≤4a＋2b≤10，故选C. 7．已知正数a，b满足5－3a≤b≤4－a，ln b≥a，则 eq \f(b,a)的取值范围是　　　　　　. 解析：因为正数a，b满足5－3a≤b≤4－a， 所以5－3a≤4－a，所以a≥ eq \f(1,2). 因为5－3a≤b≤4－a， 所以 eq \f(5,a)－3≤ eq \f(b,a)≤ eq \f(4,a)－1，从而 eq \f(b,a)≤7. 因为ln b≥a，所以 eq \f(b,a)≥ eq \f(b,ln b)(b≥e eq \s\up6(\f(1,2)))， 设f(x)＝ eq \f(x,ln x)(x≥e eq \s\up6(\f(1,2)))，则f′(x)＝ eq \f(ln x－1,(ln x)2)， 当e eq \s\up6(\f(1,2))≤x＜e时，f′(x)＜0，当x＞e时，f′(x)＞0，当x＝e时，f′(x)＝0， 所以当x＝e时，f(x)取到极小值，也是最小值． 所以f(x)min＝f(e)＝e，所以 eq \f(b,a)≥e， 所以 eq \f(b,a)的取值范围是[e，7]. $