13.1 三角形的概念 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的概念”，涵盖定义、基本元素、分类及稳定性等核心内容。通过埃及金字塔、现代建筑等现实情境导入，引导学生从生活现象中抽象出三角形定义，建立“现实图形—数学概念—性质应用”的学习支架，衔接多边形基础与后续几何知识。 资料以“情境—探究—辨析—应用”为主线，特色显著。合作探究通过复杂图形计数与分类问题培养几何直观，错误诊所精准辨析等腰与等边三角形关系强化推理意识，数学文化长廊结合稳定性在建筑中的应用渗透应用意识，分层达标检测助力学生逐步掌握知识，提升用数学思维思考和表达现实世界的能力。

13.1 三角形的概念 一、学习目标 1. 理解三角形的定义，掌握三角形的基本元素（边、角、顶点）及表示方法。 2. 掌握三角形按角和按边的分类方法，理解等腰三角形、等边三角形的概念。 3. 能准确识别和表示三角形，会数复杂图形中三角形的个数。 4. 了解三角形的稳定性及其在生活中的应用。 二、学习重点与难点 学习重点：理解三角形的定义和表示方法；掌握三角形的分类；能识别等腰三角形和等边三角形。 学习难点：在复杂图形中准确计数三角形；理解等腰三角形与等边三角形的包含关系。 三、情境导入 从埃及金字塔到现代建筑，从高压输电塔到分子结构，三角形无处不在。三角形是最简单的多边形，也是几何学中最重要的基本图形之一。 思考：什么是三角形？如何对三角形进行分类？三角形有哪些重要的性质？ 让我们通过本节课的学习，一起探索三角形的奥秘吧！ 四、合作探究 探究一：三角形的有关概念 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，连接BE、AD交于点F。 （1） 图中共有多少个三角形？请把它们表示出来。 ______________________________ ______________________________ （2） 请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角。 ______________________________ ______________________________ （3） 以AB为边的三角形有哪些？ ______________________________ ______________________________ （4） 以∠C为内角的三角形有哪些？ ______________________________ ______________________________ 探究二：三角形的分类 （1） 在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是什么三角形？ ______________________________ （2） 如图表示三角形按边的分类，填写空缺部分： 三角形按边分为：________三角形 和 ________三角形。 等腰三角形又分为：底边和腰不相等的等腰三角形 和 ________三角形。 ______________________________ （3） 在△ABC中，∠A的补角是55°，则△ABC是________三角形。 ______________________________ 等腰三角形的概念 如图，等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 • 等腰三角形：有两条边相等的三角形。 • 等边三角形：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形）。 • 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 五、典型例题 例题1（三角形定义识别） 下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ） A B C D 例题2（三角形分类判断） 如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分（只露出一个钝角），则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定三角形的形状 例题3（等腰三角形和等边三角形的识别） 如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC。 （1）写出以点C为顶点的三角形； ______________________________ （2）写出以AB为边的三角形； ______________________________ （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形。 ______________________________ ______________________________ 例题4（三角形计数与分类综合） 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角。 （1）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。 ______________________________ （2）找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 ______________________________ ______________________________ 六、错误诊所 下列说法是否正确？请判断并说明理由。 ① "等腰三角形是等边三角形" ② "三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形" ③ "等腰三角形至少有两条边相等" 辨析： • ① 错误。等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。正确的说法是"等边三角形是等腰三角形"。 • ② 错误。三角形按边分类应先分为"三边都不相等的三角形"和"等腰三角形"两大类，等边三角形是等腰三角形的特殊情况，不应与等腰三角形并列。 • ③ 正确。等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形，"至少"包含了两边相等和三边相等两种情况。 七、达标检测 A组 · 基础巩固 A1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ） A B C D A2. 用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A B C D A3. 下列说法正确的是（ ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等。 A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ③ A4. 在△ABC中，∠A的补角是55°，则△ABC是________三角形。 A5. 如图，以AB为边的三角形有________个。 B组 · 能力提升 B1. 有若干个三角形，这些三角形的所有内角中，有2个直角，3个钝角，22个锐角，则在这些三角形中锐角三角形有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 3个或4个 D. 5个 B2. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC。找出图中的等腰三角形和等边三角形。 ______________________________ ______________________________ B3. 下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形。其中正确的是________（填序号）。 C组 · 拓展提升 C1. 如图，图①中有1个三角形，在图①中的三角形内部取一点，连接该点与三角形的3个顶点得到图②，图②中共有4个三角形。若在图②中的一个小三角形内部取一点，连接该点与该小三角形的3个顶点得到图③，图③中共有________个三角形。 中考链接 ZK1. 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，连接BE、AD相交于点F。 （1）图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形。 ______________________________ （2）请写出△AEF的三个顶点、三条边及三个内角。 ______________________________ （3）以线段AB为边的三角形有哪些？ ______________________________ （4）以∠C为内角的三角形有哪些？ ______________________________ ______________________________ 八、数学文化长廊 三角形的稳定性在建筑中的应用 从古埃及金字塔到现代桥梁，三角形结构因其稳定性被广泛应用。 三角形的稳定性原理：当三角形的三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生变形。这一性质叫做三角形的稳定性。 与之对比，四边形不具有稳定性——当四边形的四条边长度确定后，其形状仍可以改变（例如平行四边形可以被"推斜"）。 生活中的应用实例： • 高压输电塔的钢结构——大量使用三角形框架来确保稳固； • 自行车的车架——三角形结构使车架坚固耐用； • 屋顶的人字形梁——利用三角形分散重力，增强承重能力； • 2008年北京奥运会场馆"鸟巢"的钢结构中也大量使用了三角形结构。 思考：为什么摄影师的三脚架比四脚架更稳定？你能用三角形的稳定性来解释吗？ 九、课堂小结 知识框架： • 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 • 三角形的基本元素：3个顶点、3条边、3个内角。 • 表示方法：△ABC，边用a、b、c表示（a对应∠A的对边，以此类推）。 • 三角形的分类： • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 • 按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（含等边三角形）。 • 等腰三角形：腰、底边、顶角、底角。 • 等边三角形是特殊的等腰三角形。 • 三角形的稳定性：三边确定后，形状和大小唯一确定。 十、课后反思 1. 我能准确说出三角形的定义，并判断一个图形是否为三角形吗？ 2. 我能正确地对三角形进行分类，并区分等腰三角形和等边三角形的关系吗？ 3. 在复杂图形中，我能否有条理地数出所有三角形，做到不重不漏？ 参考答案 四、合作探究 探究一： （1）图中共有8个三角形：△ABF、△AEF、△BDF、△ABE、△ABD、△ACD、△BCE、△ABC。 （2）△BDF的三个顶点：B、D、F；三条边：BD、DF、BF；三个内角：∠FBD、∠FDB、∠BFD。 （3）以AB为边的三角形有：△ABF、△ABD、△ABE、△ABC。 （4）以∠C为内角的三角形有：△ACD、△BCE、△ACB。 探究二： （1）∵∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，∴△ABC是直角三角形。 （2）三角形按边分为：三边都不相等的三角形 和 等腰三角形。等腰三角形又分为：底边和腰不相等的等腰三角形 和 等边三角形。 （3）∠A=180°-55°=125°>90°，∴△ABC是钝角三角形。 五、典型例题 例题1：选C。图C中三条线段首尾顺次连接形成封闭图形，满足三角形的定义。A不封闭，B中有线段未首尾相接，D中三条线段交于同一点。 例题2：选C。露出的角是钝角（大于90°），则这个三角形有一个钝角，因此它一定是钝角三角形。 例题3： （1）以点C为顶点的三角形：△ABC、△ADC。 （2）以AB为边的三角形：△ABC、△ABD。 （3）∵BD=AD，∴△ABD是等腰三角形。 ∵AD=DC=AC，∴△ADC是等边三角形（也是等腰三角形）。 等腰三角形：△ABD、△ADC；等边三角形：△ADC。 例题4： （1）图中共有6个三角形：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC。 （2）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。 锐角三角形：△ABE（三个内角均为锐角）； 直角三角形：△ABD（∠ADB=90°）、△ADE（∠ADE=90°）、△ADC（∠ADC=90°）； 钝角三角形：△ABC（∠BAC为钝角）、△AEC（∠AEC为钝角）。 六、错误诊所 ① 错误。等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形（只有当底边也等于腰时才是等边三角形）。正确说法："等边三角形是等腰三角形"。 ② 错误。三角形按边分类应先分为"三边都不相等的三角形"和"等腰三角形"两大类，等边三角形是等腰三角形的特殊情况，不应并列。 ③ 正确。等腰三角形的定义就是有两条边相等的三角形，"至少"包含两边相等和三边相等两种情况。 七、达标检测 A组 A1. 选B。图B中三条线段首尾顺次连接形成封闭图形，符合三角形定义。 A2. 选D。图D中将等腰三角形和等边三角形并列放置，忽略了等边三角形是等腰三角形的特殊情况这一包含关系。 A3. 选D。①错误，等腰三角形不一定是等边三角形；②错误，等边三角形不应与等腰三角形并列；③正确。 A4. 钝角三角形。∠A=180°-55°=125°>90°，所以△ABC是钝角三角形。 A5. 3个。以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC。 B组 B1. 选B。2个直角→2个直角三角形，各含2个锐角→贡献4个锐角；3个钝角→3个钝角三角形，各含2个锐角→贡献6个锐角。非锐角三角形共贡献4+6=10个锐角。剩余22-10=12个锐角来自锐角三角形，每个锐角三角形含3个锐角，故有12÷3=4个锐角三角形。 B2. ∵BD=AD，∴△ABD是等腰三角形。∵AD=DC=AC，∴△ADC是等边三角形（也是等腰三角形）。等腰三角形：△ABD、△ADC；等边三角形：△ADC。 B3. ②④。①错误，等边三角形不应与等腰三角形并列；②正确，等边三角形满足等腰三角形定义；③错误，将按角分类与按边分类混淆；④正确，有两边相等即满足等腰三角形定义。 C组 C1. 7个。图①有1个三角形；图②在内部取一点连线后增加3个，共1+3=4个；图③再取一点连线又增加3个，共4+3=7个。规律：每次在内部取一点并连接与所在三角形的3个顶点，增加3个三角形。 中考链接 ZK1.（1）图中共有8个三角形：△ABF、△AEF、△BDF、△ABE、△ABD、△ACD、△BCE、△ABC。 （2）△AEF的三个顶点：A、E、F；三条边：AE、EF、AF；三个内角：∠AEF、∠EFA、∠FAE。 （3）以AB为边的三角形：△ABF、△ABD、△ABE、△ABC。 （4）以∠C为内角的三角形：△ACD、△BCE、△ACB。 学科网（北京）股份有限公司 $