13.3.1 三角形的内角 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内角”，核心内容包括三角形内角和定理、直角三角形性质与判定及按角分类。课堂导入通过“撕角拼平角”动手操作引导学生猜想内角和，再经合作探究用辅助线转化思想证明定理，形成从具体操作到逻辑证明的学习支架。 该资料突出数学思维与几何直观的培养，通过分层例题（直接求角、比例、综合应用）和错误诊所辨析易错点，结合数学文化拓展视野，达标检测分基础到拓展并链接中考，助力学生发展推理能力与应用意识，提升学习效率。

13.3.1 三角形的内角 一、学习目标 1. 理解并掌握三角形内角和定理，能运用定理进行角度计算。 2. 经历三角形内角和定理的证明过程，体会辅助线的作用和转化思想。 3. 掌握直角三角形两锐角互余的性质及其判定方法。 4. 能根据角的特征对三角形进行分类，发展空间观念和推理能力。 二、学习重点与难点 学习重点 学习难点 • 三角形内角和定理的理解与应用 • 直角三角形的性质与判定 • 三角形内角和定理的证明（辅助线的添加） • 运用定理进行综合推理和计算 三、情境导入 【动手操作】 将三角形的三个角撕下来，拼在一起，观察它们恰好组成一个平角（180°）。 【思考猜想】 由此你能猜想：三角形三个内角之和等于多少度？ 猜想：三角形三个内角的和等于 ______°。 四、合作探究 探究一：三角形内角和定理的证明 已知：△ABC（如图）。 求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。 证明思路：过点A作DE∥BC，利用平行线的性质将三个角转化为一个平角。 证明： 过点A作DE∥BC。 ∵ DE∥BC， ∴ ∠DAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠EAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 ∵ ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180°（平角定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°。 即：三角形三个内角的和等于180°。 探究二：直角三角形的性质与判定 【性质】直角三角形的两个锐角互余。 即：在Rt△ABC中，∠C = 90°，则 ∠A + ∠B = 90°。 【判定】有两个角互余的三角形是直角三角形。 即：在△ABC中，若 ∠A + ∠B = 90°，则 △ABC 是直角三角形（∠C = 90°）。 【推论——三角形按角分类】 • 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 • 直角三角形：有一个角是直角的三角形。 • 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 五、典型例题 【例1】（直接求角） 在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数，并判断△ABC是什么类型的三角形。 【例2】（比例求角） 在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求各角的度数。 【例3】（角平分线 + 高） 如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，∠BCE = 40°，AD平分∠BAC，∠BAC = 60°，求∠ADB的度数。 【例4】（角平分线交点求角） 如图，在△ABC中，∠A = 50°，∠B、∠C的角平分线BP、CP相交于点P，求∠BPC的度数。 【例5】（证明题） 证明：三角形三个内角的和等于180°。 （请规范书写证明过程，包括“已知”“求证”“证明”三个部分。） 六、错误诊所 【辨析1】 小明说：“一个三角形中可能有两个直角。”你认为对吗？为什么？ 【辨析2】 已知△ABC中∠A = 30°，∠B = 70°，小明说△ABC是钝角三角形。 【辨析3】 “直角三角形中只有一个直角，所以只有一个锐角。”这个说法对吗？ 七、达标检测 A组（基础） 1 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 35°，则∠B = ______。 2 在△ABC中，∠A = x，∠B = 2x，∠C = 3x，则∠C = ______。 3 下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A - ∠B = ∠C B. ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3 C. ∠A = ∠B = 45° D. ∠A = ∠B = 3∠C 4 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若∠A = 50°，则∠B等于（ ） A. 55° B. 50° C. 45° D. 40° 5 一个三角形三个内角分别为70°、60°、50°，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 B组（提升） 1 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，若∠A = 50°，求∠BOC的度数。 2 如图，在△ABC中，∠A = 52°，将△ABC沿DE折叠，点A落在形内的A′处，求∠1 + ∠2的度数。 3 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B = 40°，∠C = 60°，求∠DAE的度数。 C组（拓展） 1（折叠模型）如图，在△ABC中，将△ABC沿DE折叠（D在AB上，E在AC上），点A落在形内的A′处。若∠1 + ∠2 = 130°，求∠A的度数。 中考链接 1 如图，已知△ABC中，∠B = 40°，∠C = 62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数。 2 如图，在△ABC中，∠BAC = 82°，∠C = 40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数。 八、数学文化长廊 【欧几里得与《几何原本》】 古希腊数学家欧几里得（约公元前300年）在《几何原本》第一卷命题32中，首次给出了三角形内角和定理的严格证明。这一证明方法至今仍被沿用，体现了古希腊数学的严密逻辑推理传统。 【非欧几何中的三角形内角和】 在我们学习的平面几何（欧氏几何）中，三角形内角和等于180°。但在非欧几何中： • 球面三角形：内角和大于180°（例如地球表面上的三角形）。 • 双曲三角形：内角和小于180°。 这说明三角形内角和定理与平行公设密切相关，是欧氏几何的重要基石。 九、课堂小结 1. 三角形按角分类： • 锐角三角形 —— 三个角都是锐角 • 直角三角形 —— 有一个角是直角 • 钝角三角形 —— 有一个角是钝角 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 3. 直角三角形的性质：两锐角互余。 4. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 5. 证明方法：过顶点作平行线，将三角转化为平角（转化思想）。 十、课后反思 1. 本节课我学会了什么？ 2. 在证明三角形内角和定理时，辅助线起了什么作用？ 3. 我还存在哪些疑问？ 参考答案 【情境导入】 猜想：180° 【典型例题】 例1： ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 60° = 70°。 因为∠A = 50°、∠B = 60°、∠C = 70°都是锐角， 所以△ABC是锐角三角形。 例2： 设∠A = 2k，∠B = 3k，∠C = 4k。 由三角形内角和定理：2k + 3k + 4k = 180°，9k = 180°，k = 20°。 ∠A = 40°，∠B = 60°，∠C = 80°。 例3： ∵ CE⊥AB，∴ ∠BEC = 90°。 ∴ ∠B = 180° - 90° - 40° = 50°。 ∵ AD平分∠BAC，∠BAC = 60°， ∴ ∠BAD = 30°。 ∴ ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 50° - 30° = 100°。 例4： ∵ ∠A = 50°， ∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 50° = 130°。 ∵ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴ ∠PBC + ∠PCB = (∠ABC + ∠ACB) / 2 = 65°。 ∴ ∠BPC = 180° - 65° = 115°。 例5： 证明过程见“探究一”。 【错误诊所】 辨析1： 不对。如果有两个直角，则两个直角之和已经是180°，第三个角为0°，不能构成三角形。 辨析2： ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°。三个角都是锐角，所以△ABC是锐角三角形，不是钝角三角形。 辨析3： 不对。直角三角形有一个直角和两个锐角，两个锐角互余。 【达标检测】 A组（基础） 1：∠B = 90° - 35° = 55°。 2：x + 2x + 3x = 180°，6x = 180°，x = 30°，∠C = 3x = 90°。 3：D。 A：∠A = ∠B + ∠C → 2∠A = 180° → ∠A = 90°，可判断。 B：设k, 2k, 3k → 6k = 180° → k = 30° → ∠C = 90°，可判断。 C：∠C = 180° - 45° - 45° = 90°，可判断。 D：∠A = ∠B = 3∠C → 3∠C + 3∠C + ∠C = 180° → ∠C = 180°/7 ≈ 25.7°，不是直角，不能判断。 4：D（∠B = 90° - 50° = 40°）。 5：A（三个角都是锐角，所以是锐角三角形）。 B组（提升） 1：∠BOC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) / 2 = 180° - (180° - 50°) / 2 = 180° - 65° = 115°。 2：折叠后∠A′ = ∠A = 52°。由于折叠：∠ADE = ∠A′DE，∠AED = ∠A′ED。 ∠1 = 180° - 2∠A′DE，∠2 = 180° - 2∠A′ED。 ∠1 + ∠2 = 360° - 2(∠A′DE + ∠A′ED) = 360° - 2(180° - 52°) = 360° - 256° = 104°。 3：∠BAC = 180° - 40° - 60° = 80°。∵ AE平分∠BAC，∴ ∠BAE = 40°。 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 40° = 50°。 ∵ ∠BAD > ∠BAE，∴ ∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 50° - 40° = 10°。 C组（拓展） 1：由折叠模型结论：∠1 + ∠2 = 2∠A。∴ ∠A = 130° / 2 = 65°。 中考链接 1：∠BAC = 180° - 40° - 62° = 78°。∵ AE平分∠BAC，∴ ∠BAE = 39°。 在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 40° = 50°。∴ ∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 50° - 39° = 11°。 2：∠B = 180° - 82° - 40° = 58°。在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - 58° = 32°。 ∵ AE平分∠BAC，∴ ∠BAE = 41°。∴ ∠DAE = ∠BAE - ∠BAD = 41° - 32° = 9°。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $