基础集训07 圆锥曲线-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定义与性质，覆盖椭圆、双曲线、抛物线基础题型，通过概念-性质-应用逻辑链构建知识体系，适配新高考I卷一轮复习，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|8/单选1-5|直接应用定义求对称中心、焦点、离心率|从标准方程定义出发，建立a,b,c关系，体现数学眼光的抽象能力| |性质应用|6/多选9-11+填空12-13|结合几何量计算弦长、面积、焦点距离|推导离心率、准线等性质，应用于几何量关系，培养数学思维的运算能力| |综合计算|5/解答15-19|综合方程求解与轨迹推导，含改编真题|整合定义、性质解决位置关系证明，体现数学语言的模型意识|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训07 圆锥曲线部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：圆锥曲线部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）曲线：的对称中心是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．（本题5分）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2026全国I卷改编题）6．（本题5分）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 8．（本题5分）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 10．（本题6分）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 11．（本题6分）已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（    ） A． B．存在直线，使得当直线过点时，有成立 C． D．若，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 13．（本题5分）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 14．（本题5分）已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 16．（本题15分）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17．（本题15分）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 18．（本题17分）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 19．（本题17分）已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训07 圆锥曲线部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：圆锥曲线部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）曲线：的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线的方程可化为，结合图象平移及椭圆的几何性质可得结论. 【详解】因为可化为，即， 即， 所以是由对称中心为的椭圆向右平移个单位得到的， 故的对称中心是． 2．（本题5分）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由题可知，所以. 3．（本题5分）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 4．（本题5分）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 5．（本题5分）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. （2026全国I卷改编题）6．（本题5分）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为，则（    ） 【答案】C 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点P，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由题意得，解得曲线的方程为， ． 故选：C. 7．（本题5分）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 8．（本题5分）已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，明确、的关系，再结合的取值范围和“对勾函数”的单调性求的取值范围. 【详解】由题意，， 根据椭圆的定义，； 根据双曲线的定义，. 所以， 所以，且. 所以. 设，， 则. 因为函数在上单调递增，所以. 所以. 所以不可能等于. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 10．（本题6分）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 【答案】ABD 【分析】对A，由抛物线定义判断；对B，由抛物线焦点弦中通径最短可判断；对C，由判断；对D，设直线，先联立抛物线得到，求出点，再将距离平方配方因式分解，借助韦达定理整体代换化简乘积，最后由利用单调性得到最小值 . 【详解】对于A：由抛物线的定义可知，A正确； 对于B：抛物线过焦点的弦中通径最短，由抛物线方程可得焦点， 由得或，所以通径长为，所以，B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，，由选项B分析可知，， 此时，即与垂直； 若直线斜率存在，设，则 由得， 设，则， 所以， 由，得，即， 所以 ，所以此时与垂直； 综上，C错误； 对于D：设过的直线 方程为 ，交抛物线于 ， 由 得：，由韦达定理得， 过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。 在准线 x上，代入得 ， 因此 ， 根据两点间距离公式： ， 因为 在 上，，因此 ， 所以， 同理可得：， 因此， 因为 所以 因为 ，所以 ，因此： ， 当且仅当 （即 垂直 轴）时，等号成立，故 成立，D正确.    11．（本题6分）已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（    ） A． B．存在直线，使得当直线过点时，有成立 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项A.将代入抛物线方程求解即可.选项B.分析过焦点的弦长的最小值与题干比较求解即可.选项C.设出坐标，利用向量内积得到，再利用二次函数最值求解即可.选项D.根据题意分析，再利用焦半径公式得到，进而得到，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】对于A，将点代入可得，得，故A正确； 对于B，若直线过点，则为抛物线的焦点弦长. 因为抛物线最短焦点弦长为其通径长，为，故B错误， 对于C，显然直线不与轴平行，设直线与轴交于点，， 设直线方程为.联立方程，化简得， 根据韦达定理，，故. 当时，取得最小值，故C正确； 对于D，设为以射线为始边，射线为终边的角，由在抛物线上运动，不妨取. 因为，所以. 设，则，进而. 根据抛物线定义，，解得，故或. ①当时，， 当时，取得最小值 ②当时，， 当时，取得最小值. 综上，，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，则弦的长为________． 【答案】/ 【分析】依题意，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得. 【详解】由题意知，椭圆的右焦点的坐标为，直线的方程为． 联立方程，消去y整理得． 设，由根与系数的关系，得． 则. 13．（本题5分）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 14．（本题5分）已知椭圆：与椭圆：相交于、、、四点，且与和的四个焦点在同一个圆上，则___________． 【答案】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知， 该圆的圆心为原点，因此有，即， 且两个椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为， 又因为、、、四点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由，得代入椭圆中， 得，解得. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 16．（本题15分）已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【详解】（1）由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． （2）联立得． 由题可得， 解得，． 17．（本题15分）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 18．（本题17分）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线与的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由离心率及过定点列方程组，解出与，得椭圆方程； （2）先讨论斜率不存在情形并排除，再设直线方程，联立椭圆由韦达定理及斜率条件化简，得直线过定点. 【详解】（1）由题意可得， 解得，所以椭圆C的方程为． （2）显然，当直线的斜率不存在时， 设（且） 则，． ． 即当直线l的斜率不存在时，不符合要求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）． 联立，消去得， 则， 设，， 所以，， 则 ， 则， 则， 整理得，解得（舍去）． 所以直线过定点． 19．（本题17分）已知椭圆：（），其左焦点坐标为，且经过点，为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)设点，点在椭圆上，求的最大值和最小值； (3)点在直线上，过点且与平行的直线与椭圆交于，两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1); (2)，; (3)存在，. 【分析】（1）通过题目所给条件直接计算的值； （2）通过三角换元，将点的坐标表示出来，用角度表示，结合二次函数与角度的范围求出最大、最小值； （3）通过坐标将和表示出来，直接判断两者是否存在固定的数量关系，直接求出的值. 【详解】（1）已知左焦点坐标为，所以， 且， 因为椭圆经过点，所以， 所以， 所以椭圆方程为： （2）因为点在椭圆上， 设，因为 所以       因为，所以当时， 当时， 所以，; （3）点在直线上，设， 直线过点且与平行，， 所以直线方程为：，即， 令，所以直线的方程为：， 联立椭圆的方程：，消得：， 设，，所以由韦达定理有，， 所以 同理， 所以， 因为， 代入韦达定理及化简得： 所以， 又因为， 所以，所以存在常数使得. 试卷第4页，共17页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $