第17讲 函数的应用（二）（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第17讲 函数的应用（二）（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的零点与方程的解 知识点02：函数零点存在定理 知识点03：二分法的概念 知识点04：用二分法求函数零点的近似值 知识点05：函数模型的应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求函数的零点 题型02：零点存在性定理的应用 题型03：根据函数零点的个数求参数范围 题型04：根据二次函数零点的分布求参数的范 围 题型05：根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型06：函数与方程的综合应用 题型07：求函数零点或方程根的个数 题型08：判断零点所在的区间 题型09：用二分法求方程的近似解 题型10：利用给定函数模型解决实际问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数的零点与方程的解 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 注意点： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 【例1】求函数的零点，并写出对应方程的解。 完整解析 根据函数零点定义，令，即： 因式分解得： 解得： 因此函数的零点为和，对应一元二次方程的实数根为、。 最终答案：函数零点：；方程的解： 【知识点02】函数零点存在定理 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 【例2】判断函数在区间内是否存在零点。 完整解析 第一步：判断连续性 与均为连续函数，因此在上图象连续不断，满足定理前提。 第二步：计算区间端点函数值 更换判定区间，取验证： 取开区间，，调整判定逻辑： 函数在上单调递增（、均递增），且，故为函数零点。 在区间上，，无零点；在区间上函数由负变零，存在零点。 最终答案：函数在内无零点，在内存在零点。 【知识点03】二分法的概念 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意点： (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． 【例3】简述使用二分法求解函数在区间内零点的第一步操作，并判断零点所在新区间。 完整解析 第一步：验证区间端点符号 满足，可用二分法。 第二步：取区间中点 第三步：计算中点函数值 第四步：判定新区间 ，因此零点所在新区间为。 最终答案：零点所在新区间为 【知识点04】用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 【例4】用二分法求函数在区间内精确度为的零点近似值。 完整解析 1. 初始区间：，区间长度 ， 2. 第一次二分：中点 由，零点在区间，区间长度，达到精确度要求。 3. 取区间中点或端点作为近似值，可取、、均符合要求。 最终答案：满足精确度的零点近似值可为（答案不唯一） 【知识点05】函数模型的应用 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【例5】某商店销售商品，每件进价为10元，已知销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，求销售利润关于单价的函数模型。 完整解析 由题意可知：单件利润 = 销售单价 - 进价 单件利润： 元 总利润 = 单件利润 × 销售量 代入关系式得： 结合题干约束，定义域为。 最终答案：利润函数模型： 【题型01】求函数的零点 【典例1-1】（25-26高一上·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的定义求解. 【详解】解方程，解得. 所以函数的零点是. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·陕西榆林·期末）的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程即得答案. 【详解】令，得：， 即， 两边取自然对数，得： . 故选：B 【变式1-2】（25-26高一上·江苏镇江·期末）函数所有零点的倒数和为________. 【答案】/0.5 【分析】求出函数的零点，进而求出它们的倒数和. 【详解】由，得，解得， 所以所有零点的倒数和为. 故答案为： 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·河南郑州·期中）函数的零点有（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】根据函数零点定义，结合因式分解法进行求解即可. 【详解】，或， 故选：BC 【题型02】零点存在性定理的应用 【典例2-1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数单调性，以及零点存在定理，求出参数值即可. 【详解】根据基本初等函数性质可知函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 可知， 所以函数的零点在内，即. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）若是函数的零点，是函数的零点，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】通过零点存在性定理，分别确定和的取值范围，再推出的范围，即可得解. 【详解】易知函数都单调递增，所以两个函数都最多有一个零点， 又，所以， 又，所以， 因此. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数，若在上有解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由可得． 【详解】由题意，解得， 故答案为：． 【变式2-3】已知函数． (1)若，证明：存在，使成立； (2)若成立；求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明过程见答案； (2)当时， ；当时， ． 【分析】（1）当时，在上单调递增，由零点存在性定理证明即可； （2）分与两种情况讨论，利用函数单调性将等价转化为解或的不等式即可． 【详解】（1）当时，在上单调递增， ． ． 由零点存在性定理知：存在，使成立．得证． （2）当时，单调递增，等价于，解得． 当时，单调递减，等价于，解得． 综上：当时， ；当时， ． 【题型03】根据函数零点的个数求参数范围 【典例3-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，两段函数的零点分别为、，再结合区间求解即可． 【详解】解：由，解得，又，所以， 则是函数的一个零点，由，解得， 要使得有两个不同的零点，则． 【变式3-1】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】令，由方程求得或，根据方程有且仅有5个不同实数根，作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解，所以. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数，函数，若有两个零点，则m的可能取值为（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】由方程有两个不同的根，转化为与有两个不同的交点，利用数形结合法求解. 【详解】因为函数有两个零点， 所以有两个不同的根， 即方程有两个不同的根， 令，在同一坐标系中作出其图象，如图所示： 由题意知：两个函数有两个不同的交点， 所以，即， 所以m的取值范围是， 故选：BCD 【变式3-3】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)时，求的单调区间； (2)若函数存在三个不同的零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据题意，，根据对勾函数的单调性求解； （2）问题转化为方程组①或②一个有一个解，另一个两个解，利用韦达定理分情况求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 且时，单调递减，时，单调递增， 当时，单调递增， 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）令，即，也就是， 即①或②， 因为函数存在三个不同的零点，则①、②方程组一个有一个解，另一个两个解， 当①有两个解，则，得， 此时②有一个解，即，得， 所以此时； 当①有一个解，则，得， 此时②有两个解，即，得， 所以此时； 综上可得实数a的取值范围为. 【题型04】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【典例4-1】（25-26高一上·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【答案】 【分析】令，依题意可得，解得即可. 【详解】令， 因为关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大， 即有两个零点，一个零点比小，另一个零点比大， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，可得，求出答案. 【详解】因为方程对应的函数为，开口向上，对称轴为， 所以方程有正实数根，则，即，解得. 故选：ACD. 【变式4-2】（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 【变式4-3】关于的方程，若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布性质，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令， 则，解得， 即的取值范围是. 【题型05】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【典例5-1】（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可. 【详解】令，即，令，即， 令，即， 则三个函数的零点即为对应两函数交点的横坐标， 分别作出，，和的图象， 如图所示： 由图象可知：. 故选：B 【变式5-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】作出函数图象，观察得出的关系及范围，然后把化为一个变量的函数，再求得范围． 【详解】作出的图象，如图所示．由，得，， 则，，则，， 令，，则， 当时，函数的取值范围是． 故答案为：．    【变式5-2】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由的解是，函数所有零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作邮函数图象与直线，由图象观察交点，确定交点横坐标之积即可得． 【详解】时，，时，无实解， 因此时，，即且， 所以函数所有零点即为的解，也即为函数的图象与直线的交点的横坐标， 作出函数的图象，及直线，如图， 由图可知时，的图象与直线有交点， 当或时，的图象与直线有两个交点，设交点横坐标分别为且，则，所以，，满足题意， 当时，的图象与直线有三个交点，设交点横坐标分别为且，则，，此时，不合题意， 综上的范围是． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25高一下·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点带入解析式解方程组即可； （2）先证明函数为偶函数，再将问题转化为函数的值域即可求解. 【详解】（1）把点带入解析式可得：，解得，， 故的解析式为. （2）函数有且只有一个零点方程有且只有一个零点， 因为，且的定义域为，所以为偶函数， 由可得，所以，即. 【题型06】函数与方程的综合应用 【典例6-1】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设元将问题转化为两个一元二次方程根的问题，用韦达定理求解. 【详解】令，函数的图象如下： 当时，方程有两个解，此时， 当时，方程有两个解，此时， 所以要使有4个解，则， 方程，即，由韦达定理， 方程，即，由韦达定理， 所以. 【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出分段函数的图像，然后判断每段函数的单调性，求出每段函数的值域，根据对称性推出，结合图像可得到的范围进而得解. 【详解】函数的图像如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】分、，结合交点个数及函数特性求参数的范围即可． 【详解】当时， 时，单调递减，且，此时的图象与直线有一个交点； 时，单调递减，且， 此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得，又， ， 当时， 时，单调递增，且，此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且，， 此时的图象与直线有一个交点， 时，单调递增，则， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得， 综上，． 【变式6-3】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知函数，其中且. (1)若，证明：关于x的方程在区间上恒有解； (2)若对，都存在以，，为边长的三角形，求整数的值. 【答案】(1)证明：当时，. 方程等价于，即. 设,且， 因为，则，. 又在区间上的图像连续不断， 所以存在使得， 即在上有解， 即方程在区间上恒有解. (2)或2. 【分析】（1）根据基本不等式及对数函数的性质证明即可. （2）利用两边之和大于第三边即即可求解. 【详解】（1）略； （2）因为，当且仅当时取等，若，则，不符合题意. 所以 ， ∵，所以， 令，则，函数在上单调递增， ∴，∴的值域为， 即，. ∵，以，，为边总能围成三角形， ∴即， 即，即， 又n为正整数， ∴或2. 【题型07】求函数零点或方程根的个数 【典例7-1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将方程的根的个数转化为函数（），（）两函数图象交点个数问题，画图分析即可. 【详解】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2． 故选：B． 【变式7-1】（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 【变式7-2】（25-26高一下·浙江台州·开学考试）函数的零点有_________个. 【答案】2 【分析】通过判断函数的单调性，结合零点存在定理判断函数零点的个数；或令，则或.求解可得方程的解，即函数的零点，从而得到其零点个数. 【详解】方法一：由，得： 当时，. 此时，在上单调递减，在上单调递增. 又，，， 所以在上有一个零点，在上没有零点. 当时，， 所以在上单调递增. 又，所以在上有一个零点. 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 方法二：令，则或. 对于， 由，得， 因为，所以； 对于， 由，得，所以，所以，满足. 所以. 综上，方程的解为和. 所以函数的零点有个. 故答案为：. 【变式7-3】借助计算机作出函数的图象，并讨论方程的根的个数与分布情况． 【答案】答案见详解 【分析】先借助计算机可作出函数的图象，再结合图象找出函数的零点个数及所在的区间，进而即可得到方程的根的个数与分布情况． 【详解】借助计算机可作出函数的图象如下，      从上图可以看出在区间，和内各有一个零点， 由于在上为负，在上为正，故只有这三个零点， 因此方程有三个解，且分别位于区间，和上． 【题型08】判断零点所在的区间 【典例8-1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知，函数在区间有唯一零点， 所以函数的零点所在区间是. 【变式8-1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 【变式8-2】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 【变式8-3】（多选）（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，判断的正负，证明区间上存在零点，由此判断结论. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 所以在单调递增，即最多有一个零点. ，， ， 因为函数在单调递增，所以， 因为函数在区间上连续且单调递增，，， 故函数在区间上存在唯一零点， 又，， 所以区间，内存在的零点，在区间和上都没有零点， 故选：BC. 【题型09】用二分法求方程的近似解 【典例9-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】通过二分法的精确度公式求解. 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 【变式9-2】（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 【答案】7 【分析】根据二分法，n次此操作后，区间长度变为，再解即可. 【详解】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 【变式9-3】（2026高一·全国·专题练习）一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？ 【答案】六次 【详解】第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法； 第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法； 第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法； 第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法； 第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法； 第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次. 【题型10】利用给定函数模型解决实际问题 【典例10-1】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）某放射性物质的衰变满足（单位：克，单位：年）.若初始质量为100克，则质量减少到50克所需时间约为（）（   ） A．25年 B．34.65年 C．50年 D．69.3年 【答案】B 【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解. 【详解】根据题意， 故， 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一下·云南昆明·期中）某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）h（精确到，参考数据：） A．3.6 B．5.7 C．7.0 D．8.0 【答案】C 【详解】因为药在血液中以每小时20%的比例衰减，所以设小时后，血液中的药量. 根据题意，整理得，两边取对数有， 由对数性质，又因为. 所以 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 【变式10-2】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知某企业产品年投入成本 万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元. 【答案】 【分析】 由与成正比，得：，计算即可. 【详解】与成正比，可设，则， 当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元， ，解得，， 时，则， 当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元. 故答案为： 【变式10-3】（25-26高一上·陕西安康·期末）为了研究某种口服药物，用小白鼠进行试验，由于该药物包衣溶解，发现其在血液内的浓度（单位：毫克/毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于0的常数.已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在3小时时达到最大值8毫克/毫升. (1)求，的值； (2)当该药物浓度不小于2毫克/毫升时，该药物有效.求该药物有效的时间长度（单位：小时）. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据时，函数取最大值，且该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，列关系式求，的值； （2）由关系，结合函数解析式分段列不等式求解即可. 【详解】（1）因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程， 函数在时取最大值， 所以，，所以，所以，解得； （2）由（1），令， 当时，可得，所以，解得， 当，则，所以，解得， 所以该药物有效的时间长度为（小时）. 知识点01函数的零点与方程的解 1. 零点定义 若函数在定义域内，存在实数满足，则为函数的零点。 关键区分：零点是实数，不是坐标点。 2. 三者等价核心关系（必考） 3. 拓展等价关系 知识点02函数零点存在定理 1. 定理内容 设函数在区间上图象连续不断，且满足： 则在开区间内至少存在一个零点。 2. 唯一零点推论 若在上单调递增或单调递减，且，则区间内有且仅有一个零点。 3. 定理易错结论 （1）：无法判定区间内无零点，可能存在偶数个零点； （2）图象不连续时，零点存在定理失效； （3）定理只能判定零点存在，无法确定零点具体个数。 知识点03二分法的概念 1. 定义 对于在上连续不断且的函数，通过不断取区间中点、分割区间、筛选零点所在子区间，逐步逼近真实零点，求取近似值的方法，称为二分法。 2. 二分法适用前提（缺一不可） （1）函数在区间上图象连续不断； （2）区间端点函数值异号。 3. 核心思想 逼近思想：以有限次二分运算，无限逼近真实零点，是高中数学近似求解的核心方法。 知识点04用二分法求函数零点的近似值 1. 标准解题流程 步骤1 定区间：确定初始区间，验证； 步骤2 取中点：计算区间中点 ，求解； 步骤3 判区间：若，为精确零点；若，零点在；若，零点在； 步骤4 循迭代：重复二分操作，直至区间长度小于题目给定精确度，取区间内任意数值为近似零点。 2. 精确度判定规则 若区间长度（为精确度），则区间内所有数值均为符合要求的近似零点。 知识点05函数模型的应用 1. 四大常用基础函数模型 （1）一次函数模型：，适用于匀速线性变化问题； （2）二次函数模型：，适用于最值、抛物型变化问题； （3）指数函数模型：，适用于爆炸增长、衰减、复利问题； （4）对数函数模型：，适用于增速放缓、变量压缩问题。 2. 数学建模通用四步法 审题建模：分析变量关系，选定合适函数模型； 列式求解：建立函数解析式，限定自变量定义域； 运算求解：利用函数性质求解最值、范围、变化规律； 回归检验：结合实际意义检验结果，舍去不合理解。 3. 核心注意点 实际应用问题中，定义域优先，必须结合实际场景约束自变量取值范围。 知识点06高频易错点 1.混淆零点概念，误将横坐标写为坐标点； 2.忽略函数连续性，滥用零点存在定理； 3.二分法迭代未达到精确度直接取值； 4.函数建模遗漏实际定义域，导致答案错误。 一、单选题 1．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 2．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 3．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 6．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知某人工智能模块训练个单位的数据所需时间为（单位：小时），其中为常数.那么，训练个单位的数据所需时间是训练个单位的数据所需时间的（   ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【分析】依题意，利用对数的运算性质分别化简计算训练个单位和训练个单位的数据所需时间，再求比值即得. 【详解】依题意，训练个单位的数据所需时间是， 而训练个单位的数据所需时间是， 则. 故选：B. 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于通过对称性与对数的运算性质将所求代数式变形为以为自变量的函数的值域来求解. 二、多选题 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 【答案】ABC 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 10．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】函数，根据绝对值的性质将函数分段讨论其单调性等性质.已知且，计划先求出和的取值范围或者关系，再对每个选项进行分析判断. 【详解】对于函数，这是一个单调递增的指数函数. 函数，当，即时，； 当，即时，. 画出的图象，可以看到函数在上单调递减，在上单调递增，且. 因为，，所以，. 此时，移项可得，所以选项A正确.   由，根据基本不等式. 即，两边同时平方得，化简得，所以. 又因为，所以，选项B正确.   由图形知道，，所以选项C错误.   由得. ，令，. 则. 当时，，所以选项D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·安徽池州·期中）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 【答案】AC 【分析】根据题中所给的进出水量的图表进行分析判断可得. 【详解】对于A：从0点到3点，蓄水量从0增加到6t，蓄水的速度为， 两个进水口同时进水速度为，与蓄水速度一致，所以A正确； 对于B：从3点到4点，蓄水量减少了1t，用时是1小时， 如果不进水只出水，则应该减少2t而不是1t，所以B错误； 对于C：从3点到4点，蓄水量减少了1t，所以C正确； 对于D：从4点到6点，蓄水量保持5t不变，并非不进水不出水，只是进出水达到平衡， 比如，两个进水口同时进水，一个出水口同时出水，也能使蓄水量保持不变，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 【答案】1 【分析】由二分法的概念即可求解. 【详解】由二分法的操作步骤可知：第一次应取区间的中点， 即， 故答案为：1 13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 14．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围是________． 【答案】或 【分析】依据题意画出函数的图象，有3个零点，即函数与有3个交点.根据图象即可求出的取值范围. 【详解】由题可知，有3个零点，即函数与有3个交点， 作出函数的图象，从图象可以看出， 当时，有3个交点；当时，有2个交点； 当时，有4个交点；当时，有3个交点， 所以的取值范围是或. 四、解答题 15．关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 【答案】 【分析】令，条件可转化为，解不等式可得结论. 【详解】令， 因为方程有两个实数根，且一根大于，另一根小于， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？ 【答案】最多称四次 【分析】利用二分法的思想求解即可 【详解】第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称； 第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称； 第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称； 第四次两端各1枚，若不平衡，则较轻的一端是出假币；若平衡，则剩余的是假币． 所以最多称四次． 17．（25-26高一上·河北·期中）m取何值时，关于x的方程； (1)有实根？ (2)有两个正实根？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求解即得； （2）由求解即得. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根， ∴， ∴，解得. 即. （2） ∵关于的方程有两个正实根， ∴ 解得或， 即. 18．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)证明：由题意得，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，且， 所以在内至少有一个零点． (2)2 【分析】（1）根据零点存在性判断方法进行判断即可. （2）确定的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的零点个数问题，在数形结合，分类讨论函数零点的个数. 【详解】（1）略 （2）由题意得． 令，得． 令，函数， 则的零点个数等于的图象与直线的公共点个数． 的大致图象如图所示． 当时，的图象与直线的公共点个数为0，即函数的零点个数为0． 当或时，的图象与直线的公共点个数为1，即函数的零点个数为1． 当时，的图象与直线的公共点个数为2，即函数的零点个数为2． 19．（24-25高一上·重庆渝中·期中）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助.某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+创业补助-成本） (1)求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； (2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】(1)， (2)6万元 【分析】（1）根据实际意义表示出收益即可； （2）利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）依据题意可知，销售金额万元， 创业补助万元，成本为万元， 所以收益， ， （2）由（1）可知，， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时，取等号， 此时函数取得最大值75， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为75万元. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 函数的应用（二）（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的零点与方程的解 知识点02：函数零点存在定理 知识点03：二分法的概念 知识点04：用二分法求函数零点的近似值 知识点05：函数模型的应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求函数的零点 题型02：零点存在性定理的应用 题型03：根据函数零点的个数求参数范围 题型04：根据二次函数零点的分布求参数的范 围 题型05：根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型06：函数与方程的综合应用 题型07：求函数零点或方程根的个数 题型08：判断零点所在的区间 题型09：用二分法求方程的近似解 题型10：利用给定函数模型解决实际问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】函数的零点与方程的解 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 注意点： (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 【例1】求函数的零点，并写出对应方程的解。 【知识点02】函数零点存在定理 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意点： (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 【例2】判断函数在区间内是否存在零点。 【知识点03】二分法的概念 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 注意点： (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解． 【例3】简述使用二分法求解函数在区间内零点的第一步操作，并判断零点所在新区间。 【知识点04】用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 注意点： (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点． (2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分． 【例4】用二分法求函数在区间内精确度为的零点近似值。 【知识点05】函数模型的应用 常见的几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 【例5】某商店销售商品，每件进价为10元，已知销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，求销售利润关于单价的函数模型。 【题型01】求函数的零点 【典例1-1】（25-26高一上·广西河池·期末）函数的零点是（   ） A． B． C．1 D． 【变式1-1】（25-26高一上·陕西榆林·期末）的零点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏镇江·期末）函数所有零点的倒数和为________. 【变式1-3】（多选）（24-25高一上·河南郑州·期中）函数的零点有（    ） A．0 B． C． D．3 【题型02】零点存在性定理的应用 【典例2-1】（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）若是函数的零点，是函数的零点，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．18 【变式2-2】（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数，若在上有解，则m的取值范围是_________． 【变式2-3】已知函数． (1)若，证明：存在，使成立； (2)若成立；求实数m的取值范围． 【题型03】根据函数零点的个数求参数范围 【典例3-1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【变式3-2】（多选）（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数，函数，若有两个零点，则m的可能取值为（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【变式3-3】（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)时，求的单调区间； (2)若函数存在三个不同的零点，求实数a的取值范围. 【题型04】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【典例4-1】（25-26高一上·浙江丽水·期末）已知关于的方程有两个实数根，一个根比小，另一个根比大，则实数的取值范围为____. 【变式4-1】（多选）（24-25高一上·河南漯河·期末）若一元二次方程有正实数根，则实数可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】关于的方程，若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围. 【题型05】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【典例5-1】（24-25高一上·广东·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数若，且，则的取值范围是__________． 【变式5-2】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为__________． 【变式5-3】（24-25高一下·湖南·期末）已知函数（且，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求实数m的值. 【题型06】函数与方程的综合应用 【典例6-1】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一下·云南昆明·期末）已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 【变式6-3】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知函数，其中且. (1)若，证明：关于x的方程在区间上恒有解； (2)若对，都存在以，，为边长的三角形，求整数的值. 【题型07】求函数零点或方程根的个数 【典例7-1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（25-26高一下·湖北黄石·期末）函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-2】（25-26高一下·浙江台州·开学考试）函数的零点有_________个. 【变式7-3】借助计算机作出函数的图象，并讨论方程的根的个数与分布情况． 【题型08】判断零点所在的区间 【典例8-1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【题型09】用二分法求方程的近似解 【典例9-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-1】（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026高一·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 【变式9-3】（2026高一·全国·专题练习）一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，已知电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多需要检测几次？ 【题型10】利用给定函数模型解决实际问题 【典例10-1】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）某放射性物质的衰变满足（单位：克，单位：年）.若初始质量为100克，则质量减少到50克所需时间约为（）（   ） A．25年 B．34.65年 C．50年 D．69.3年 【变式10-1】（25-26高一下·云南昆明·期中）某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）h（精确到，参考数据：） A．3.6 B．5.7 C．7.0 D．8.0 【变式10-2】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知某企业产品年投入成本 万元时获得的纯利润为万元，且与成正比，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为万元，当年投入成本为万元时，产品获得的纯利润为________万元. 【变式10-3】（25-26高一上·陕西安康·期末）为了研究某种口服药物，用小白鼠进行试验，由于该药物包衣溶解，发现其在血液内的浓度（单位：毫克/毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于0的常数.已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在3小时时达到最大值8毫克/毫升. (1)求，的值； (2)当该药物浓度不小于2毫克/毫升时，该药物有效.求该药物有效的时间长度（单位：小时）. 知识点01函数的零点与方程的解 1. 零点定义 若函数在定义域内，存在实数满足，则为函数的零点。 关键区分：零点是实数，不是坐标点。 2. 三者等价核心关系（必考） 3. 拓展等价关系 知识点02函数零点存在定理 1. 定理内容 设函数在区间上图象连续不断，且满足： 则在开区间内至少存在一个零点。 2. 唯一零点推论 若在上单调递增或单调递减，且，则区间内有且仅有一个零点。 3. 定理易错结论 （1）：无法判定区间内无零点，可能存在偶数个零点； （2）图象不连续时，零点存在定理失效； （3）定理只能判定零点存在，无法确定零点具体个数。 知识点03二分法的概念 1. 定义 对于在上连续不断且的函数，通过不断取区间中点、分割区间、筛选零点所在子区间，逐步逼近真实零点，求取近似值的方法，称为二分法。 2. 二分法适用前提（缺一不可） （1）函数在区间上图象连续不断； （2）区间端点函数值异号。 3. 核心思想 逼近思想：以有限次二分运算，无限逼近真实零点，是高中数学近似求解的核心方法。 知识点04用二分法求函数零点的近似值 1. 标准解题流程 步骤1 定区间：确定初始区间，验证； 步骤2 取中点：计算区间中点 ，求解； 步骤3 判区间：若，为精确零点；若，零点在；若，零点在； 步骤4 循迭代：重复二分操作，直至区间长度小于题目给定精确度，取区间内任意数值为近似零点。 2. 精确度判定规则 若区间长度（为精确度），则区间内所有数值均为符合要求的近似零点。 知识点05函数模型的应用 1. 四大常用基础函数模型 （1）一次函数模型：，适用于匀速线性变化问题； （2）二次函数模型：，适用于最值、抛物型变化问题； （3）指数函数模型：，适用于爆炸增长、衰减、复利问题； （4）对数函数模型：，适用于增速放缓、变量压缩问题。 2. 数学建模通用四步法 审题建模：分析变量关系，选定合适函数模型； 列式求解：建立函数解析式，限定自变量定义域； 运算求解：利用函数性质求解最值、范围、变化规律； 回归检验：结合实际意义检验结果，舍去不合理解。 3. 核心注意点 实际应用问题中，定义域优先，必须结合实际场景约束自变量取值范围。 知识点06高频易错点 1.混淆零点概念，误将横坐标写为坐标点； 2.忽略函数连续性，滥用零点存在定理； 3.二分法迭代未达到精确度直接取值； 4.函数建模遗漏实际定义域，导致答案错误。 一、单选题 1．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南岳阳·期末）已知某人工智能模块训练个单位的数据所需时间为（单位：小时），其中为常数.那么，训练个单位的数据所需时间是训练个单位的数据所需时间的（   ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 10．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·安徽池州·期中）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 三、填空题 12．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 13．（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 14．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围是________． 四、解答题 15．关于x的方程，有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的范围． 16．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量稍轻），现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？ 17．（25-26高一上·河北·期中）m取何值时，关于x的方程； (1)有实根？ (2)有两个正实根？ 18．（24-25高一上·河北承德·期末）已知函数 (1)证明：在内至少有一个零点． (2)讨论函数的零点个数. 19．（24-25高一上·重庆渝中·期中）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助.某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+创业补助-成本） (1)求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； (2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $