3.1.1第1课时椭圆的定义与标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕椭圆定义与标准方程，通过基础巩固、中档应用、拔高探究三层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识进阶，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆定义、标准方程、焦距计算|选择填空直接应用概念，如焦点距离计算| |中档应用|轨迹判断、参数讨论、几何性质|多选与情境题（如对偶椭圆）培养推理意识| |拔高探究|最值问题、轨迹推导、综合应用|解答题综合几何直观与运算，体现模型意识|

第1课时　椭圆的定义与标准方程 1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（　　） A.5　　　B.6　 　C.7　　　D.8 2.若椭圆＋＝1（m＞0）的焦距为2，则m＝（　　） A.5　　B.3　　C.5或3　　D.8 3.已知椭圆过点P（，－4）和点Q（－，3），则此椭圆的标准方程是（　　） A.＋x2＝1　　 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1　　 D.x2＋＝1 4.设定点F1（0，－2），F2（0，2），动点P满足条件PF1＋PF2＝m＋（m＞2），则点P的轨迹是（　　） A.椭圆　　 B.线段 C.椭圆或线段　　 D.不存在 5.（多选）已知在平面直角坐标系中，点A（－3，0），B（3，0），点P为一动点，且PA＋PB＝2a（a≥0），下列说法中正确的是（　　） A.当a＝2时，点P的轨迹不存在 B.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C.当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D.当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 6.（多选）将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（　　） A.＋＝1　　 B.＋＝1 C.＋＝1　　 D.＋＝1 7.设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，则此椭圆的焦距为　　　　；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为　　　　. 8.方程＋＝10表示的曲线是　　　　，其标准方程是　　　　. 9.如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作y轴的垂线PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为　　　　. 10.求下列椭圆的焦点坐标： （1）＋＝1； （2）8x2＋3y2＝24. 11.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（　　） A.±　　　　　　　　 B.± C.±　　 D.± 12.（多选）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（　　） A.圆　　 B.椭圆 C.线段　　 D.射线 13.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为　　　　. 14.如图所示，在圆C：（x＋1）2＋y2＝25内有一点A（1，0）.Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程. 15.已知椭圆C：＋＝1内有一点M（2，3），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求： （1）PM－PF1的最大值与最小值； （2）PM＋PF1的最大值与最小值. 第1课时　椭圆的定义与标准方程 1.D　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，PF1＝2，结合椭圆定义PF2＋PF1＝10，可得PF2＝8. 2.C　由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m＞4时，m＝4＋1＝5；当m＜4时，4＝m＋1，∴m＝3. 3.A　设椭圆方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），由题意得解得所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 4.A　设y＝m＋（m＞2），易知y＝m＋在（2，＋∞）上单调递增，所以y＝m＋＞4，即PF1＋PF2＞4，又F1F2＝4，所以点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆. 5.AC　当a＝2时，2a＝4＜AB，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8＞AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB＝6，B错误，C正确；当a＝3时，2a＝6＝AB，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 6.AC　由题意，得当b＝c时，该椭圆为“对偶椭圆”.由c＝得，选项A中，b＝c＝2；选项B中，b＝，c＝，b≠c；选项C中，b＝c＝；选项D中，b＝，c＝，b≠c.故选A、C. 7.8　18　解析：由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，故焦距为8，△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18. 8.椭圆　＋＝1　解析：方程＋＝10，表示点P（x，y）到A（3，0），B（－3，0）两点的距离之和等于10，而10＞6，所以方程＋＝10表示的曲线是椭圆，且2a＝10，焦距2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b＝＝4，所以其标准方程为＋＝1. 9.x2＋＝1　解析：设M（x，y），P（x0，y0）.由题意知x0＝2x，y0＝y①.因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4②.把①代入②得，4x2＋y2＝4，即x2＋＝1. 10.解：（1）已知方程是椭圆的标准方程，由36＞24，可知椭圆的焦点在x轴上，且a2＝36，b2＝24， 所以c2＝a2－b2＝36－24＝12，c＝2，因此，椭圆的焦点坐标为（－2，0），（2，0）. （2）将所给椭圆的方程化为标准方程得＋＝1，由8＞3，可知椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝3， 所以c2＝a2－b2＝8－3＝5，c＝. 因此，椭圆的焦点坐标为（0，－），（0，）. 11.D　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±. 12.AB　如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则AC＝R－r，由于r＝BC，∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.∴动点C到两个定点A，B的距离之和为常数R.∵B为圆内的定点，∴AB＜R.∴动点C的轨迹为椭圆.若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆. 13.9　解析：由椭圆C：＋＝1，得MF1＋MF2＝2×3＝6，则MF1·MF2≤（）2＝32＝9，当且仅当MF1＝MF2＝3时等号成立. 14.解：如图所示，连接MA. 由题意知点M在线段CQ上，从而有CQ＝MQ＋MC. 又点M在AQ的垂直平分线上， 则MA＝MQ，故MA＋MC＝CQ＝5. 又A（1，0），C（－1，0），所以AC＝2，所以MA＋MC＞AC，故点M的轨迹是以（1，0），（－1，0）为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1， 故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1. 15.解：（1）由椭圆方程知a＝5，F1（－3，0），F2（3，0）. 如图，连接MF1并延长交椭圆于点P1， 则P1是使PM－PF1取得最大值的点， 于是（PM－PF1）max＝MF1＝＝. PM－PF1＝－（PF1－PM）， 则求PM－PF1的最小值，即求PF1－PM的最大值， 延长F1M交椭圆于点P2，则P2是使PF1－PM取得最大值的点， 即PM－PF1取得最小值的点， 于是（PM－PF1）min＝－MF1＝－. （2）连接PF2，由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝10，则PF1＝10－PF2， 所以PM＋PF1＝PM＋10－PF2＝10＋（PM－PF2）， 如图，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则P3是使PM＋PF1取得最大值的点， 于是（PM＋PF1）max＝10＋MF2＝10＋＝10＋. PM＋PF1＝10－（PF2－PM）， 延长F2M交椭圆于点P4， 则P4是使PF2－PM取得最大值的点，即PM＋PF1取得最小值的点， 于是（PM＋PF1）min＝10－MF2＝10－. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $