13.3.2三角形的外角（导学案）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的外角”，涵盖概念识别、性质掌握及简单计算推理。通过观看视频《初识外角》创设情景，以“内角与外角的天道法则”提问，衔接已学内角知识，搭建从概念建构到性质推导的学习支架。 导学案采用“自主预习-课堂探究-分层训练”设计，通过辨析外角构成条件、推导性质培养几何直观与推理意识，典例及变式训练提升运算能力与应用意识，帮助学生用数学眼光观察图形、用数学思维逻辑推理，发展理性精神与创新意识。

13.3.2 三角形的外角 （导学案） 【学习目标】 1. 理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。 2. 掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。 【学习重点】 三角形外角的概念及三角形外角的性质。 【学习难点】 1. 准确理解“不相邻”的含义； 2. 运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 构成外角的三个条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形中一边的延长线。 性质1（互补）：三角形的一个外角与它相邻的内角互补（和为180°）。← 性质2（核心）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。← 性质3（大小关系）：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 【课堂探究】 情景导入 观看视频《初识外角》 提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我们一起去探究一下内角与外角之间的奥秘吧 新知探究 一、三角形的外角 1. 定义建构：结合PPT演示，明确三角形外角的定义——三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 2. 辨析条件：强调构成外角的三个要素： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③角的另一边是三角形中一边的延长线. 3. 数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6个外角，每个顶点处有2个对顶角相等的外角。 思考：问1.延长线段至，以点为顶点新增的角有哪些？ 和 问2.这两个新增角是的外角吗？为什么？ 是的一个外角， 因为是边与延长线所组成的角 不是的一个外角， 因为是边延长线与延长线所组成的角 问3.由上可知，以为顶点的的外角有几个？ 有2个 问4.以为顶点的的外角和外角之间有什么关系？ 与为对顶角，=； 问5.你还能画出的其他外角吗？ 结论 （1）每一个三角形都有6个外角． （2）每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 【针训一】 1.下图中是三角形一个外角的是（  D  ） 2．如图，下列说法错误的是(C) A．是的一个外角，也是的一个内角 B．是的一个内角，也是的一个内角 C．是的一个内角，也是的一个内角 D．是的一个内角，也是的一个内角 二、 三角形的外角的性质 问6. 的外角与其相邻的 内角有什么关系？ 互补, 问7. 的外角与其不相邻的两内角(，)有什么关系？ 猜想： 你能证明这个的结论吗？ 如图，在中，为的外角 求证： 法一、证明：∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 法二、证明：过作 ∵ ∴， ∴ 即 三角形内角和定理的推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 几何语言 ∵ 是的一个外角. ∴ . 问8. 与或有怎样的数量(大小)关系？ ∵ ∴, ∴, 结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 针训二、 1.判断题： (1)一个三角形有三个外角。（ × ） (2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（ √ ） (3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（ × ） (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ √ ） (5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（ × ） (6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ √ ） 2.如图，在中，点在边上（不与端点重合），连接．则，，的大小关系是（ A  ） A． B． C． D． 3.如图，根据图形回答问题 (1)=_______+___ ______ (2)=___ ____+____ _____ (3)___>____ 4.求下列各图中的度数 典例分析 例1.如图，已知的角平分线为，若，，求的度数． 解：在中，，， ∴. ∵是的角平分线， ∴. ∴ 例2.如图，在中，°，，分别是，上的高，与的交点，求的度数． 解：∵是高， ∴ ∵是高， ∴ ∴ 例3.如图，，，是的三个外角，它们的和是多少？ 解：∵，，. ∴ = ∵， ∴ 归纳总结 三角形的外角和为 （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 变式训练 1.如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 解（1） ：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴． 证明（2） ：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.和相交于点， 和相交于点， (1)已知，,，求的度数. (2)探究与、、的关系． 解：【方法一】延长交于点. ∵, ∴。 又∵， ∴ 【方法二】如图，连接. 在中，根据三角形内角和求出°. 再由， 求出， 从而得到 【方法三】如图，连接并延长至点. 易得，， 故. 再由，， 得出 解(2)如图，连接并延长至点. 易得，， ∵. ∴. 归纳总结 (1)燕尾模型结论. (2)通过添加辅助线将问题转化为三角形内角和三角形外角的问题是解决此类问题的常用方法，体现了数学的转化思想 3.(1)如图①，在中，平分，平分．若，则____130________； (2)如图①，在中，平分，平分．请探索与之间的数量关系 (3)如图②，平分，平分外角，请探索与之间的数量关系 (4)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 解(2)如图①，∵平分，平分， ∴ ， ∵， ∴； 解(3)如图②，∵平分，平分外角， ∴ ， ∵，， ∴， 整理得，； 解(4) ：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳总结：三角形角平分线模型 【课堂总结】 【课堂练习】 1.如图,在中,点在的延长线上,,，则等于(B) A． B． C． D． 2.如图,在中,点，分别在，上，为延长线上的一点,若°,， ，则= ． 3．如图，点，分别在线段，上，连接，.若，，，则的大小为____． 4.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是__ ______ 5.如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点.求和的度数． 解：∵在中，，， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ 6.如图，已知是的边的延长线上一点，交于点，， (1)求的度数； (2)若，求的度数． 解：(1)∵是的一个外角，，，∴ (2)∵是F的一个外角，，， ∴ 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3.2 三角形的外角 （导学案） 【学习目标】 1. 理解三角形外角的概念，能在图形中识别三角形的外角。 2. 掌握三角形外角的两条主要性质，并能运用其进行简单的计算和推理。 【学习重点】 三角形外角的概念及三角形外角的性质。 【学习难点】 1. 准确理解“不相邻”的含义； 2. 运用三角形内角和定理及平角定义推证三角形外角性质。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 定义：三角形的 与另一边的 组成的角，叫做三角形的外角。 构成外角的三个条件： 2 角的顶点是 ； ②角的一边是 ； 3 角的另一边是 性质1（互补）：三角形的一个外角与它相邻的内角 。 性质2（核心）：三角形的一个 等于与它 。 性质3（大小关系）：三角形的一个 大于任何一个与它 。 【课堂探究】 情景导入 观看视频《初识外角》 提出问题：正如龙王所说形可变，但外角与内角必遵循一定的天道法则，这节课就让我们一起去探究一下内角与外角之间的奥秘吧 新知探究 一、三角形的外角 1. 定义建构： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 2. 辨析条件：强调构成外角的三个要素： ①__________________； ②___________________； ③____________________________. 3. 数量认知：引导学生观察图形，得出一个三角形有6个外角，每个顶点处有2个对顶角相等的外角。 思考：问1.延长线段至，以点为顶点新增的角有哪些？ 问2.这两个新增角是的外角吗？为什么？ 问3.由上可知，以为顶点的的外角有几个？ 问4.以为顶点的的外角和外角之间有什么关系？ 问5.你还能画出的其他外角吗？ 结论 （1）每一个三角形都有6个外角． （2）每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 【针训一】 1.下图中是三角形一个外角的是（    ） 2．如图，下列说法错误的是( ) A．是的一个外角，也是的一个内角 B．是的一个内角，也是的一个内角 C．是的一个内角，也是的一个内角 D．是的一个内角，也是的一个内角 二、 三角形的外角的性质 问6. 的外角与其相邻的 问7. 的外角与其不相邻的两内角(，)有什么关系？ 你能证明这个的结论吗？ 如图，在中，为的外角 求证： 三角形内角和定理的推论 三角形的一个______等于与它_______的两个内角的_____ 几何语言 ∵_______________. ∴________________. 问8. 与或有怎样的数量(大小)关系？ 结论：三角形的一个________大于任何一个与它________的内角 针训二、 1.判断题： (1)一个三角形有三个外角。（ ） (2)三角形的每个顶点处都有两个外角。（ ） (3)三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ） (5)三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） (6)三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ） 2.如图，在中，点在边上（不与端点重合），连接．则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3.如图，根据图形回答问题 (1)=_______+___ ______ (2)=_______+_________ (3)_______ 4.求下列各图中的度数 典例分析 例1.如图，已知的角平分线为，若，，求的度数． 例2.如图，在中，°，，分别是，上的高，与的交点，求的度数． 例3.如图，，，是的三个外角，它们的和是多少？ 变式训练 1.如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点E，点F为延长线上的一点，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 2.和相交于点， 和相交于点， (1)已知，,，求的度数. (2)探究与、、的关系． 3.(1)如图①，在中，平分，平分．若，则__________； (2)如图①，在中，平分，平分．请探索与之间的数量关系 (3)如图②，平分，平分外角，请探索与之间的数量关系 (4)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【课堂总结】 【课堂练习】 1.如图,在中,点在的延长线上,,，则等于() A． B． C． D． 2.如图,在中,点，分别在，上，为延长线上的一点,若°,， ，则= __ ． 3．如图，点，分别在线段，上，连接，.若，，，则的大小为____． 4.将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是________ 5.如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点.求和的度数． 6.如图，已知是的边的延长线上一点，交于点，， (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $