27.3 第1课时 用反比例函数解决乘积型问题 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过A、B、C三层设计，梯度覆盖反比例函数乘积型问题的概念理解、实际应用及综合拓展，助力学生从数学眼光观察现实世界，用数学思维构建模型，提升知识巩固与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层·基础夯实|反比例关系意义、图象读数、面积体积简单应用|以选择、填空、解答题考查单一知识点，如矩形面积问题，培养抽象能力与模型意识| |B层·理解运用|反比例函数图象与实际情境结合、工程问题|通过气球压强、机器耗油量等情境题，深化对乘积关系的理解，发展推理能力| |C层·拓展挑战|温度变化综合分析、模型选择辨析、取值范围探究|设置跨情境综合题（如温度变化图象）及模型辨析题，提升创新意识与数据观念|

27.3 第1课时 用反比例函数解决乘积型问题 分层练习 考查范围：反比例函数在生产、面积体积、营销和实际情境中的应用；会根据乘积型关系建立反比例函数模型，读图分析取值范围，并解决实际问题。 一、A层·基础夯实 1. ★ [选择题]（反比例关系的实际意义）某工厂要生产一批相同的零件，生产零件的总个数是定值。若每天生产的零件个数为 m，完成生产任务需要的天数为 n，则以下说法正确的是（ ） A. 当 m 增大时，n 也增大 B. 当 m 减小时，n 不变 C. 当 m 增大时，n 减小 D. m 与 n 的乘积是变化的 2. ★ [选择题]（反比例函数图象读数）已知某品牌量子器的使用寿命为定值。这种量子器可工作的天数 y 与平均每天工作的小时数 x 满足反比例函数关系，图象如图所示。如果这种量子器至少要用 2000 天，那么量子器平均每天工作的小时数 x 应控制在（ ） A. 0＜x≤10 B. 10≤x≤24 C. 0＜x≤20 D. 20≤x≤24 3. ★ [填空题]（面积体积中的反比例函数）一个蓄水池的容积是 300 立方米，打开放水阀后，水池内水的高度 h（米）与水池底面积 S（平方米）成反比例关系，那么它们之间的函数解析式为 ；当 S＝25 时，h＝________。 4. ★ [解答题]（矩形面积中的反比例函数）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为 60 平方米的矩形科技园 ABCD，其中一边 AB 完全靠墙，墙长 12 米。设 AD 的长为 x 米，DC 的长为 y 米。 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若围建的矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26 米，边 AD 和 DC 的材料长度都是整米数，求出满足条件的所有围建方案。 5. ★ [解答题]（营销情境中的反比例函数）某商场出售一批衬衣，衬衣进价为 80 元，在试销期间发现，定价在某个范围内时，该衬衣的日销售量 y（件）是售价 x（元/件）的反比例函数，且当售价定为 100 元/件时，每天可售出 30 件。 （1）请写出 y 与 x 之间的函数解析式； （2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1000 元，则其单价应定为多少元？ 二、B层·理解运用 6. ★ [解答题]（反比例函数图象与实际应用）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强 p（千帕）是气体体积 V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示。 （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当气球的体积为 1.2 立方米时，气球内气体的压强是多少千帕？ 7. ★ [解答题]（反比例函数与实际图象）某种机器工作前先将空油箱加满油，然后停止加油并立即开始工作。当停止加油时，油箱中油量为 280 升。设机器工作时间为 x 小时，油箱中油量为 y 升，图象如图所示。 （1）求 y 与 x 的函数解析式； （2）当油箱中剩余油量为 20 升时，机器已经工作了多少小时？ 8. ★ [解答题]（乘积型关系与工程问题）某项工程由甲、乙两队合作完成。已知工作总量一定，若每天完成的工作量为 a，完成工程所需天数为 t。 （1）请说明 a 与 t 之间满足怎样的函数关系； （2）若每天完成的工作量扩大到原来的 2 倍，完成工程所需时间将怎样变化？ 三、C层·拓展挑战 9. ★ [综合题]（温度变化图象中的反比例函数）在一个可以改变温度的实验室里，先开启空调制热，升温一段时间后保持恒温，再关闭空调，室温逐渐下降。设时间为 x（时），室温为 y（℃），图象如图所示，其中 CD 段可看作反比例函数图象的一部分。 （1）根据图象，说出实验室从 0 时到 24 时室温的变化过程； （2）求 CD 段对应的反比例函数解析式； （3）当室温下降到 24℃ 时，求此时对应的时间。 10. [选择题]（反比例函数建模）某长方形的面积保持为 48 平方厘米，若长为 x 厘米，宽为 y 厘米，则 y 关于 x 的函数解析式是（ ） A. y＝48x B. y＝x＋48 C. y＝ D. y＝x－48 11. [填空题]（反比例函数实际意义）一批货物总质量为 120 吨，若每天运输 x 吨，需要 y 天运完，则 y 关于 x 的函数解析式为 。 12. [解答题]（反比例函数求值）某蓄电池可供一台用电器连续工作的总电量一定。若用电器每小时耗电量为 x 千瓦时，可连续工作 y 小时，且当 x＝4 时，y＝15。求 y 关于 x 的函数解析式，并求当 x＝6 时可连续工作多少小时。 13. [解答题]（面积问题中的取值）一个矩形的面积为 72 平方厘米，长为 x 厘米，宽为 y 厘米。若长不小于 9 厘米，求宽 y 的取值范围。 14. [解答题]（销售问题中的反比例函数）某商品在一定价格范围内，每天销售量 y（件）与售价 x（元/件）成反比例函数关系。已知售价为 50 元/件时，每天可售出 120 件。求 y 与 x 的函数解析式；当售价为 60 元/件时，每天可售出多少件？ 15. [综合题]（反比例函数模型选择）小明整理了两个实际问题：①固定路程中，速度与时间的关系；②固定单价中，总价与数量的关系。请判断哪个问题适合用反比例函数模型表示，并说明理由。 16. [综合题]（反比例函数应用辨析）某水池放水时，水池中剩余水量 y 与放水时间 x 的关系是一次函数；若水池容积固定，水面高度 h 与底面积 S 的关系是反比例函数。请分别说明这两个关系的不同，并写出一个反比例函数关系式示例。 参考答案与解析 A层·基础夯实 1. C 解析：零件总个数一定时，每天生产个数与完成天数的乘积为定值，m 增大，n 减小。 2. A 解析：由图象读得每天工作小时数越少，可工作天数越多；至少使用2000天时，应取 0＜x≤10。 3. ；12 解析：蓄水池容积一定，h 与 S 的乘积为300，函数解析式如答案所示；当 S＝25 时，h＝12。 4. （1）。 解析：矩形面积为60平方米，AD＝x，DC＝y，所以 xy＝60。 . （2）由 ，且 ，x、y 为正整数，且 y≤12。满足条件的方案为：AD＝5米，DC＝12米；AD＝6米，DC＝10米；AD＝10米，DC＝6米。 5. （1）。 . （2）由日利润 ，代入 ，得 ，解得 x＝120。故单价应定为120元。 解析：根据 x＝100，y＝30 得 xy＝3000，再代入利润关系求解。 B层·理解运用 6. （1）。 . （2）当 V＝1.2 时，，所以压强为80千帕。 解析：从图象读出一组对应值，利用 pV 为定值求解析式，再代入体积求压强。 7. （1）。 . （2）当 y＝20 时，，解得 x＝13。机器已经工作13小时。 解析：由图象读得油量从280升开始，以每小时20升的速度减少。 8. （1）a 与 t 成反比例函数关系。 （2）每天完成工作量扩大到原来的2倍，完成工程所需时间变为原来的一半。 解析：工作总量一定时，每天完成工作量与完成天数的乘积为定值。 C层·拓展挑战 9. （1）0—5时室温上升，5—12时保持30℃，12—24时逐渐下降。 . （2）CD段过点 C(12，30)，所以 。 . （3）当 y＝24 时，，解得 x＝15。因此室温下降到24℃时，对应时间为15时。 解析：CD段为反比例函数图象，利用点C求出乘积常数，再代入温度求时间。 10. C 解析：长方形面积一定，宽等于面积除以长。 11. 解析：每天运输量与运输天数的乘积为120。 12. ；当 x＝6 时，y＝10。 解析：由 x＝4，y＝15 得 xy＝60，再代入 x＝6。 13. 。当 x≥9 时，0＜y≤8。 解析：面积固定为72，长越大，宽越小；代入 x＝9 得最大宽为8。 14. ；当 x＝60 时，y＝100。 解析：由 x＝50，y＝120 得 xy＝6000，再代入售价60元。 15. ①适合用反比例函数模型表示。 解析：固定路程中，速度×时间＝路程，是定值；固定单价中，总价＝单价×数量，属于正比例关系。 16. 剩余水量与时间通常按固定速度减少，是一次函数；水池容积固定时，，水面高度与底面积成反比例函数关系。 解析：判断模型时要看两个变量的乘积是否为定值，若乘积为定值，通常可建立反比例函数模型。 学科网（北京）股份有限公司 $