精品解析：贵州遵义航天高级中学2025-2026学年高二第二学期第二次考试数学试卷

2025--2026年度遵义航天高级中学高二第二学期第二次考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 若随机变量X的期望，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A. 2 B. C. D. 3 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 26 B. 14 C. -26 D. -14 7. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 8. 已知一组抛物线，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得2分、3分或4分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点P是线段BD上的一个动点，则（ ） A. 正方体的体积为8 B. 正方体的外接球的表面积为 C. D. 直线与底面ABCD所成的角的正切值的取值范围为 11. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为______． 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并计算从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （2）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 16. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，证明：数列的前项和． 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. （1）求证：直线 （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆：的焦距为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：交椭圆于、两点，点满足： （ⅰ）若，且，求直线的方程； （ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值. 19. 设数列的前项积为，满足. （1）求证：是等比数列； （2）已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026年度遵义航天高级中学高二第二学期第二次考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为正项等比数列，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则，而数列为正项等比数列， 故，故. 2. 若随机变量X的期望，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】随机变量X的期望，所以. 3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 5. 已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 6. 的展开式中，的系数为（ ） A. 26 B. 14 C. -26 D. -14 【答案】D 【解析】 【详解】展开式的通项公式为. ，. 的系数为. 7. ，则数列的前项和为（ ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 8. 已知一组抛物线，其中a为2，4，6，8中任取的一个数，b为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算得这组抛物线共16条，任取两条取法有种，对函数求导数，找到切线相互平行的组合方式，求出合题意的取法术，计算概率. 【详解】这组抛物线共条，任取两条取法有种. 它们在与直线交点处的切线斜率， 若，有，两种情形，从中取出两条，有种取法； 若，有，，三种情形，从中取出两条，有种取法； 若，有，，，四种情形，从中取出两条，有种取法； 若，有，，三种情形，从中取出两条，有种取法； 若，有，两种情形，从中取出两条，有种取法； 共有种，故所求概率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得2分、3分或4分，有选错的得0分. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，， 所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确. 故选：BD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点P是线段BD上的一个动点，则（ ） A. 正方体的体积为8 B. 正方体的外接球的表面积为 C. D. 直线与底面ABCD所成的角的正切值的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：利用正方体体积公式计算即可得；对B：求出正方体体对角线即可得该正方体的外接球半径，再利用球体表面积公式计算即可得；对C：借助线面垂直判定定理与性质定理即可得证；对D：由题意可得即为所求角，求其正切值范围即可得. 【详解】对A：由棱长为，则正方体的体积为，故A正确； 对B：该正方体的外接球半径为体对角线一半，即为， 则该正方体的外接球表面积为，故B错误； 对C：由正方体性质可得，又， 、平面，故平面， 又平面，故，故C正确； 对D：由正方体性质可得底面， 则直线与底面所成的角为， 又，故D错误. 11. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在乙手中的概率为，下列说法中正确的是（ ） A. B. 第5次传球后球在乙手中有11种传法 C. 数列为等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立相邻两次传球概率的递推关系，构造等比数列从而求出概率的通项公式进行求解 【详解】由题意，若第次传球后球在乙手中，则第次必不在乙手中，此时概率为，第n次传球给乙的概率为， ，所以为等比数列，C错误； 为首项是，公比是的等比数列， ，故A正确； 前5次传球共有种传球方法，传到乙手中的概率， ∴传到乙手中共有11种传法，B正确； ，显然， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】在定义域范围内，利用导函数判断单调性，导函数小于零的解集为原函数单调递减区间． 【详解】因为，，故， 令得，解得， 故的单调递减区间为． 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 14. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值，并计算从抽取的50组电池中任取2组，恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （2）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1），概率为 （2）分布列 数学期望为 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为 . 根据频率之和为 ，可得， 即 ， 解得 ， 所以 . 由图可知，电池续航时间不少于 小时的频率为： . 所以，在抽取的 组电池中，续航时间不少于 小时的电池组数为 组， 续航时间少于 小时的电池组数为 组. 从 组电池中任取 组，恰有 组电池续航时间不少于 小时的事件记为 ， 则 . 故的值为 ，所求概率为 . 【小问2详解】 由（1） 知，从该批次电池组中任取 组，其续航时间不少于 小时的概率为 . 将样本分布的频率视为总体分布的概率， 则随机变量 服从二项分布，即 . 的所有可能取值为 . ； ； , 所以 的分布列为： 数学期望， （或） 16. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，证明：数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式，根据裂项相消求和证明即可. 【小问1详解】 由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. 【小问2详解】 由（1），故， ， 故 ，即得证. 17. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. （1）求证：直线 （2）若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的焦距为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：交椭圆于、两点，点满足： （ⅰ）若，且，求直线的方程； （ⅱ）记四边形的面积为，若点恰好在椭圆上，求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距可得c，结合椭圆经过点，得出，即可得到椭圆C的标准方程； （2）（ⅰ）联立直线l与椭圆C的方程，消去y得到关于x的一元二次方程；设，，，得到根与系数的表达式，由，可得M点坐标，结合，解出k，进而得到直线l的方程； （ⅱ）由且M在椭圆C上，将M点坐标代入椭圆方程，结合P、Q在椭圆上的条件，推导得到的关系；利用弦长公式求出，再求出原点到直线l的距离，即可得到四边形面积S的表达式，并计算得到S的值。 【小问1详解】 因为椭圆的焦距为，所以，所以， 所以， 由椭圆过点，所以，所以， 化简得，解得或1（舍去），所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，，， 由，得， 即， 所以， 所以，且，， 所以. （ⅰ）因为，，所以， 又，所以， 化简得，解得或（舍去），所以， 所以直线的方程为或； （ⅱ）因为， 又原点到直线的距离为， 由知四边形是平行四边形， 所以面积. 因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以. 19. 设数列的前项积为，满足. （1）求证：是等比数列； （2）已知有穷数列经过一次变换后得到数列.其中，表示、中的较小者.记数列的所有项之和为.若是的一个排列，例如，当时，、、、可以为、、、的一个排列. （i）当时，设的最小值为，求的值； （ii）在（i）的条件下，若表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为数列的前项积为，满足， 所以当时，，解得. 当时，，化为，则， 所以当时，， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）当可求得的值，当时，由已知等式得出，变形得出，结合等比数列的定义证明可得结论； （2）（i）分析可知中元素两两互异，且的所有项中至多有两个和两个，由此可得出的最小值，并找出使得的最小值时的一个； （ii）根据（1）中的结论可求出数列的表达式，可得出的表达式，然后由结合二项式定理可化简的表达式. 解法一：设为数列的前项和，利用分组求和可求得的表达式； 解法二：求出，设为数列的前项和，利用并项求和法可求得的表达式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由题意知，中元素两两互异，故中的任一元素， 如，在中至多在和中出现两次（规定，）， 且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）. 所以的所有项中至多有两个和两个，所以. 例如，当为、、、、时等号能取到， 所以的最小值为. （ii）由（1），数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即， 又因为，所以. 因为 ， 可得， 当为奇数时，则，即； 当为偶数时，则，即. 法一：设为数列的前项和， 则 ， 所以数列的前项和为. 法二：， 设为数列的前项和， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $