1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时）教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教案聚焦“空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时）”，核心知识点包括单位正交分解、空间向量坐标表示及运算、平行垂直的坐标关系。通过引用吴文俊先生观点，类比平面向量坐标知识，搭建从平面到空间的学习支架，引导学生探究空间向量坐标化。 教案突出数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养培养，以情境导入激发兴趣，通过正方体向量分解问题引导小组合作与自主探究，类比推导空间向量运算规则。例题与当堂练习结合，助力学生深化理解，提升教师教学效率，夯实立体几何代数化基础。

课题 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系（第一课时） 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第一章第一部分第三节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高二 教学目标及教学重点、难点 教学目标： · 1.掌握空间向量正交分解的概念及坐标表示. · 2.能正确地运用空间向量的坐标，进行向量的线性运算与数量积运算. · 3.掌握空间向量平行、垂直的坐标表示. 核心素养 · 1.数学抽象：空间向量的坐标表示 · 2.逻辑推理：运用空间向量坐标解决平行与垂直问题 · 3.直观想象：用坐标的方法解决立体几何中的简单几何问题 · 4.数学运算：向量坐标下的线性运算与数量积运算 教学方法和手段 教学方法：讨论法、问答法、讲练结合法等。 教学手段：教科书、多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境：我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入 ,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算. 在平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及 两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标， 空间向量是否可以引进类似的坐标，这就是本小节我 们要研究的内容。 通过提问的方式，引发学生的好奇心和思考，激发他们的学习兴趣和探究欲望。 新课讲解 知识点 1：单位正交分解及空间中向量的坐标 知识点 2：空间向量的运算与坐标的关系 知识点 3：用坐标表示空间向量的平行、垂直关系 教师讲解平面向量的坐标：如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，取 为基底，则 这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作 思考：空间向量是否可以引进类似的坐标？教师带领学生进一步分析。 问题：如图所示，已知=e1，=e2，=e3，且OADB-CEGF是棱长为1的正方体，OF1E1A-A1D1C1B1是一个长方体，A1为OC的中点，F1O=2. (1)设=a，=b，将向量a与b都用e1，e2，e3表示； (2)如果p是空间中任意一个向量，怎样才能写出p在基底{e1，e2，e3}下的分解式？ 师生活动： （1） 教师提出问题，让学生自主思考后，再小组交流合作得出答案； （2） 学生类比平面向量的及其坐标运算得出本题答案 （3） 教师对学生的答案进行展示讲解 预设答案： (1)a=e1+e2+e3，b=e1-2e2+e3 (2)将向量p的始点平移到点O，然后过它的终点分别作与e1，e2，e3所在直线垂直的平面，即可写出它在基底{e1，e2，e3}下的分解式. 教师讲解：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3)中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底； 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作 p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 教师追问：若＝＋＋，则的坐标一定是(x，y，z)吗？ 学生活动：学生自主思考后回答 预设答案：不一定，当，，是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． 思考：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 师生活动： （1） 教师出示平面向量的坐标表示，让学生类比回答空间向量运算的坐标表示； （2） 学生自主思考完成； （3） 师生对平面向量的坐标和空间向量的坐标表示进行对比，并得出证明过程； 预设答案： 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2) ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2) 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) λa=(λx1，λy1，λz1) ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2). a·b=(x1x2+y1y2+z1z2) 教师讲解： 假设空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，即： a=x1e1+y1e2+z1e3，b=x2e1+y2e2+z2e3， 则当a=b时，有： x1e1+y1e2+z1e3=x2e1+y2e2+z2e3， 由{e1，e2，e3}是单位正交基底和空间向量基本定理可知 x1=x2，y1=y2，z1=z2 反之结论也成立. 即：空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等. 求证1：a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) 证明：a+b=x1e1+y1e2+z1e3+x2e1+y2e2+z2e3=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2+(z1+z2)e3 所以： a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2). 教师提问：试推导a-b与λa的坐标运算法则. 学生活动：学生自主思考，类比a+b的运算法则对a-b与λa的坐标运算法则推导. a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2). λa=(λx1，λy1，λz1) 同理可得，如果u，v是两个实数，那么 ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2). 求证2：a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 证明：因为{e1，e2，e3}是单位正交基底，所以 e1·e1=e2·e2=e3·e3=1， e1·e2=e2·e3=e3·e1=0 因此：a·b=(x1e1+y1e2+z1e3)·(x2e1+y2e2+z2e3) =x1x2e1·e1+y1y2e2·e2+z1z2e3·e3+(x1y2+x2y1)e1·e2+(y1z2+y2z1)e2·e3+(x1z2+x2z1)e3·e1 =x1x2+y1y2+z1z2 即：a·b=x1x2+y1y2+z1z2. 教师总结： 当a≠0且b≠0时，由向量数量积的定义可知 教师提问：如果平行于，则存在唯一的实数λ，使得，如果已知，的坐标，即： 那么上述结论怎样用它们的坐标表示？ 学生活动：学生小组合作讨论，展示自己的答案，教师讲解 预设答案：可以看出，当时， 更进一步，当的每个坐标分量都不为零时，有 所以 例：已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则(　　) A.x=6,y=15　　 　 　B.x=3,y=C.x=3,y=15 D.x=6,y= 预设答案： D，因为a∥b,则，解得 用坐标法解空间向量平行与垂直问题的两种题型 1.平行与垂直的判断.此类问题直接根据向量坐标的运算结果进行判断. 2.利用平行与垂直关系求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.此类问题需要根据向量的坐标运算建立关于参数的方程（组）进行求解.题目中没有参数的往往需要引入适当的参数.  通过典型例题，加深学生对单位正交分解及空间中向量的坐标、空间向量的运算与坐标的关系、用坐标表示空间向量的平行、垂直关系的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 当堂 练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 课堂 总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计： 一、引入 以现实场景引出空间向量的坐标 二、知识精讲 知识点 1：单位正交分解及空间中向量的坐标 知识点 2：空间向量的运算与坐标的关系 知识点 3：用坐标表示空间向量的平行、垂直关系 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂训练 六、课堂小结 教学设计反思 在本节课的教学中教学目标的设定清晰明确，具有针对性，在讲解过程中突出重难点，对重难点进行了详细且透彻的讲解，使学生能够了解单位正交分解及空间中向量的坐标、空间向量的运算与坐标的关系、用坐标表示空间向量的平行、垂直关系，达到本节课的教学目的． 通过本节课的教学，我认为在以下几个方面做得比较好： · 成功创设了情境，激发了学生的学习兴趣； · 通过小组合作和自主探究，培养了学生的合作意识和探究能力； · 板书设计清晰明了，有助于学生理解和记忆知识。 同时，也发现了一些需要改进的地方： · 在引导学生理解用坐标表示空间向量的平行、垂直关系中，部分学生的逻辑思维能力还有待加强； · 在练习环节，部分题目的难度设置不够合理，需要进一步优化； · 在总结归纳环节，可以更加深入地拓展相关知识，帮助学生形成更完整的知识体系。 针对以上问题，我将在今后的教学中加强对学生逻辑思维能力的培养，优化练习题目的设置，并注重知识的拓展和延伸，以提高学生的数学素养和综合能力。 学科网（北京）股份有限公司 $