单元复习讲义：专题01 小数的乘法与除法（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（沪教版·新教材）

该小学数学“小数的乘法与除法”复习讲义通过“考点梳理-例题讲解-提升练习”三层结构构建知识体系，考点梳理用表格呈现商与被除数关系、步骤化法则解析小数乘除计算，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于“题型-变式-应用”的练习设计，如小数乘整数题型既有竖式计算又有客厅面积实际问题，培养运算能力与应用意识。提升练习分层，基础题巩固法则，综合题解决购物行程问题，助力不同学生提升，教师可据此实施精准教学。

专题01 小数的乘法与除法 内容导航 考点梳理 1 考点一、小数乘整数 1 考点二、小数乘小数 2 考点三、整数的乘法运算律推广到小数 2 考点四、除数是整数的小数除法 3 考点五、除数是小数的除法 3 考点六、被除数和商的大小关系（小数除法） 3 考点七、商的近似数 4 例题讲解 4 题型一、小数乘整数 4 题型二、小数乘小数 5 题型三、因数和积的大小关系（小数乘法） 6 题型四、整数的乘法运算律推广到小数 6 题型五、除数是整数的小数除法 7 题型六、除数是小数的除法 8 题型七、被除数和商的大小关系（小数除法） 9 题型八、商的近似数 9 提升练习 10 考点梳理 考点一、小数乘整数 1. 计算法则 (1) 转化思想：将小数乘法转化为整数乘法计算。 (2) 步骤： 1　 按整数乘法算出积。 2　 看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 3　 积的小数部分末尾有0的，一般要去掉（化简）。 2. 特殊情况 (1) 因数中间或末尾有0：先按整数乘法计算，最后点小数点时注意位数。 (2) 积的位数不足：若积的位数少于因数中小数的总位数，需在前面用“0”补足，再点小数点。 3. 易错点提醒 (1) 忘记点小数点。 (2) 点错小数点位置（混淆因数小数位数与积的关系）。 (3) 未化简积末尾的0（如 ，应写为 ）。 考点二、小数乘小数 1. 计算法则 (1) 核心规则：因数中一共有几位小数，积就有几位小数。 (2) 操作流程： 1　 忽略小数点，按整数乘法计算出结果。 2　 统计两个因数中小数位数的总和 。 3　 从积的右边起向左数 位，点上小数点。 2. 积与因数的大小关系 (1) 一个非零数乘大于1的数，积 > 原数。 (2) 一个非零数乘小于1的数（且大于0），积 < 原数。 (3) 一个非零数乘1，积 = 原数。 3. 注意事项 (1) 位数不够补0：例如 ，整数积为6，因数共3位小数，积应为 。 (2) 先点后去0：必须先点上小数点，再去掉末尾的0，避免位数判断错误。 考点三、整数的乘法运算律推广到小数 1. 适用性 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数乘法同样适用。灵活运用可简化计算。 2. 常用定律公式 (1) 乘法交换律： (2) 乘法结合律： 典型凑整： , , 。 (3) 乘法分配律： 逆运算： 3. 简便计算技巧 (1) 拆分法：将接近整十、整百的数拆分。如 。 (2) 构造法：寻找能凑成10、100的因子。如 。 考点四、除数是整数的小数除法 1. 计算法则 (1) 对齐原则：商的小数点要和被除数的小数点对齐。 (2) 步骤： 1　 按照整数除法的方法去除。 2　 商的小数点与被除数小数点对齐。 3　 如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 2. 特殊情况处理 (1) 整数部分不够除：商0，点上小数点，继续除。例如 。 (2) 中间商0：哪一位不够商1，就在那一位上商0占位。 3. 验算方法 (1) 商 除数 = 被除数。 考点五、除数是小数的除法 1. 核心转化思想 利用商不变性质，将“除数是小数”转化为“除数是整数”。 2. 操作步骤（一看、二移、三算） (1) 看：看除数有几位小数。 (2) 移：移动除数的小数点，使其变成整数；同时被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时，在被除数末尾用0补足）。 (3) 算：按照“除数是整数的小数除法”法则进行计算。 3. 易错点 (1) 只移动了除数的小数点，忘记移动被除数的。 (2) 被除数位数不够时，忘记补0。 (3) 商的小数点位置错误（应与移动后的被除数小数点对齐）。 考点六、被除数和商的大小关系（小数除法） 在除法算式 ( ) 中： 除数 的范围 商 与被除数 的关系 示例 商 < 被除数 ( ) ( ) 商 = 被除数 ( ) 商 > 被除数 ( ) ( ) 应用：可用于快速判断计算结果的合理性，或在不需要精确计算时比较大小。 考点七、商的近似数 1. 求近似数的方法 (1) 四舍五入法：最常用的方法。 (2) 进一法：无论尾数是多少，都向前一位进1（适用于装容器、租车等场景）。 (3) 去尾法：无论尾数是多少，都直接舍去（适用于做衣服、截取材料等场景）。 2. 计算要求 (1) 多除一位：计算商时，通常需要除到比需要保留的小数位数多一位，然后再进行四舍五入。 例：保留两位小数，需除到第三位小数。 3. 规范书写 (1) 横式中写近似数时用“ ”连接。 (2) 竖式计算中，通常计算到指定位数的下一位即可停止，无需算尽。 例题讲解 题型一、小数乘整数 【典型例题】竖式计算。 2.3×5＝          0.67×6＝          1.24×9＝          0.672×2＝ 举一反三 【变式训练1】灵灵家客厅是一个宽4.3米，长8米的长方形，这个客厅的面积是( )平方米。 【变式训练2】列竖式计算。                                            【变式训练3】文具店笔记本单价3.6元，钢笔单价8.8元，班级各采购15套，一共需要花多少钱？ 题型二、小数乘小数 【典型例题】竖式计算。 7.23×0.9＝              5.4×2.5＝                 3.9×0.52＝ 举一反三 【变式训练1】妈妈买了3.6千克的梨，每千克16.5元，一共需要多少元？下图中竖式箭头所指这一步是计算（    ）。 A．3千克梨的价钱 B．30千克梨的价钱 C．3.6千克梨的价钱 D．36千克梨的价钱 【变式训练2】列竖式计算。（带※的要验算） 7.23×0.9＝                      5.4×2.5＝                    ※3.9×0.52＝ 【变式训练3】一只蝴蝶1小时飞行7.8千米，一只蜜蜂的飞行速度是这只蝴蝶的2.8倍。这只蜜蜂每小时飞行多少千米？ 题型三、因数和积的大小关系（小数乘法） 【典型例题】比较大小。 53.2( )53.2×1.1        6.5×0.84( )6.5＋0.84         5.7×14.8( )148×0.57 举一反三 【变式训练1】下列算式，积最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.7×1.2( )3.7    8.3×0.5( )8.3×1.2     5.6×0.1( )5.6÷10 【变式训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.69    ( )7.06    ( ) 题型四、整数的乘法运算律推广到小数 【典型例题】用你喜欢的方式计算。 3.5＋3.8×2.3        0.64×2.7＋2.7×0.36        0.4×3.2×2.5 举一反三 【变式训练1】与结果不相等的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】递等式计算（能简便的要简便）。 8.7＋5.46＋1.3＋3.54     4.7＋6.3×1.5 7.6×4.2＋4.2×2.4     2.5×16×1.5 【变式训练3】每辆大车能装125包货物，每包重34.6千克，8辆大车一次可运输多少吨货物？ 题型五、除数是整数的小数除法 【典型例题】列竖式计算。 1.8÷24＝                      0.875÷125＝                   20.25÷45＝ 举一反三 【变式训练1】18.9÷6的商的整数部分是( )位数，商的最高位在( )位上。 【变式训练2】列竖式计算。 79.1÷7＝                        38.4÷16＝                         90.72÷24＝ 【变式训练3】小丽买4支水笔的钱和买5支铅笔的钱同样多，每支水笔的售价是9.5元，每支铅笔的售价是多少元？ 题型六、除数是小数的除法 【典型例题】列竖式计算。 51.2÷0.08＝                      444÷2.4＝                      10.5÷0.21＝ 举一反三 【变式训练1】列竖式计算。                     【变式训练2】一只鸽子0.7小时可飞行9.1千米。照这样计算，鸽子飞行13.65千米，需要多少时间？ 【变式训练3】2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日，为切实加强校园安全教育，提高广大中小学生法治意识、安全防范意识和自我防护能力，某市举办以“画笔绘安全，平安伴我行”为主题的绘画大赛。中学生上交作品的数量是小学生的1.5倍，小学生上交了多少幅作品？ 题型七、被除数和商的大小关系（小数除法） 【典型例题】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.6÷0.99( )3.6       4.3×0.9( )4.3      4.5÷0.1( )4.5×10      6.7×1.2( )7.7÷1.2 举一反三 【变式训练1】下面算式的得数大于1的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】当a＞0时，那么a÷0.8（    ）a×0.8。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【变式训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.28÷0.5( )0.28                7.68÷1.2( )7.68÷0.99 9.6÷0.01( )9.6×100            1.8÷0.9( )1.8 题型八、商的近似数 【典型例题】黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮。黄河楼主体建筑11层，高79.1米，每层楼的平均高度约为( )米。（得数保留一位小数） 举一反三 【变式训练1】2.74÷2.5的商用“四舍五入法”精确到十分位约是( )。 【变式训练2】9÷1.1的商，用循环小数的简便形式表示是( )，得数用“四舍五入”法凑整到千分位是( )。 【变式训练3】2023年12月28日，深圳地铁8号线二期正式开通，“乘着地铁去看海”的愿景已然实现。深铁8号线全长约20.46千米。其中的一期路线部分长约12.36千米，二期路线部分长约8.1千米。一期路线部分的长度是二期路线部分长度的几倍？（结果保留两位小数） 提升练习 1．端午浓情，粽叶飘香。淘气妈妈在端午节为家人购买了12个粽子，每个7.8元，在解决“应付多少元？”这个问题时，可以用竖式计算（如图），竖式中的“78”实际表示（    ）。 A．买1个粽子用的钱数 B．买2个粽子用的钱数 C．买10个粽子用的钱数 D．买12个粽子用的钱数 2．观察如图，竖式中的“24”表示24个（    ）。 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 3．下列算式大于2026的是（    ）。 A．2026×0.99 B．1.2×2026 C．20.26×100 D．202.6×2.026 4．下面四个算式中，结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 5．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.6×0.98( )3.6                        0.8×2.4( )0.24×8 4.4×1.5( )6.4×0.55                    5.2×0.1( )5.2÷10 6．一张正方形纸片的边长是0.8分米，它的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 7．学生夏令营远足，原计划3小时走完，实际2.5小时就走完了。实际每小时走( )。 8．如果a×1.01＝b×1.1＝c÷1.1＝d÷1.01（a、b、c、d都大于0），那么a、b、c、d这四个数中，最大的是( )。 9．把10升饮料装入容量为0.35升的罐子里，可以装满( )罐，还余下( )升。 10．纪念馆有3层，每层有2个展厅，早上8：50开始参观，到早上11：08结束参观，总用时为( )小时，平均参观每个展厅要用( )小时。（得数保留一位小数） 11．竖式计算（打*的验算）。 0.019×360＝            1.25×1.06≈（得数用四舍五入法保留两位小数）     *5.84÷1.6＝                4÷75＝（商用循环小数的简便方法表示） 12．递等式计算（能简便的要简便计算）。 1.25×3.2×7.5                           0.3×15＋0.6×15＋1.5 8.66＋3.78＋12.34＋1.22                 18.37＋15.9－（18.37－15.9） 8.08×12.5                              101×8.3－25×8.3×4 13．列综合算式或列方程计算。 24减去6的3倍，所得的差被2.4除，商是多少？ 14．王阿姨购买一些相框摆放照片。她带了150元，买7个这样的相框，她所带的钱够吗？ 15．如果每个可乐瓶可装0.33升可乐，那么2.5升可乐最多可装几瓶？还余几升？ 16．AB两地相距325千米，客车和货车同时相向而行，客车速度是60千米/时，货车比客车每小时快10千米，经过几小时后两车相遇？ 17．在学校“读书季”活动中，五年级共收集到75个“新时代中国好故事”，其中男生收集到的故事是女生的1.5倍。五年级女生收集了多少个？ 18．小巧爸爸上个月共付的手机费57.98元，按电信公司规定，每月付月租费20元，超过每分钟0.09元，小巧爸爸上个月手机费共超时多少分钟？ 19．小胖妈妈在某外卖平台买了8.4千克苹果，每千克10.25元，平台促销活动，满50元可用14元红包，且免配送费。小胖妈妈需要支付多少元？ 20．制衣厂原来做一件童装需要3.8米布，后来改进了制作方法，每件节约0.2米，原来准备做180件衣服的布，现在可以做多少件？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 小数的乘法与除法 内容导航 考点梳理 1 考点一、小数乘整数 1 考点二、小数乘小数 2 考点三、整数的乘法运算律推广到小数 2 考点四、除数是整数的小数除法 3 考点五、除数是小数的除法 3 考点六、被除数和商的大小关系（小数除法） 3 考点七、商的近似数 4 例题讲解 4 题型一、小数乘整数 4 题型二、小数乘小数 6 题型三、因数和积的大小关系（小数乘法） 7 题型四、整数的乘法运算律推广到小数 9 题型五、除数是整数的小数除法 12 题型六、除数是小数的除法 13 题型七、被除数和商的大小关系（小数除法） 15 题型八、商的近似数 17 提升练习 18 考点梳理 考点一、小数乘整数 1. 计算法则 (1) 转化思想：将小数乘法转化为整数乘法计算。 (2) 步骤： 1　 按整数乘法算出积。 2　 看因数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。 3　 积的小数部分末尾有0的，一般要去掉（化简）。 2. 特殊情况 (1) 因数中间或末尾有0：先按整数乘法计算，最后点小数点时注意位数。 (2) 积的位数不足：若积的位数少于因数中小数的总位数，需在前面用“0”补足，再点小数点。 3. 易错点提醒 (1) 忘记点小数点。 (2) 点错小数点位置（混淆因数小数位数与积的关系）。 (3) 未化简积末尾的0（如 ，应写为 ）。 考点二、小数乘小数 1. 计算法则 (1) 核心规则：因数中一共有几位小数，积就有几位小数。 (2) 操作流程： 1　 忽略小数点，按整数乘法计算出结果。 2　 统计两个因数中小数位数的总和 。 3　 从积的右边起向左数 位，点上小数点。 2. 积与因数的大小关系 (1) 一个非零数乘大于1的数，积 > 原数。 (2) 一个非零数乘小于1的数（且大于0），积 < 原数。 (3) 一个非零数乘1，积 = 原数。 3. 注意事项 (1) 位数不够补0：例如 ，整数积为6，因数共3位小数，积应为 。 (2) 先点后去0：必须先点上小数点，再去掉末尾的0，避免位数判断错误。 考点三、整数的乘法运算律推广到小数 1. 适用性 整数乘法的交换律、结合律、分配律对于小数乘法同样适用。灵活运用可简化计算。 2. 常用定律公式 (1) 乘法交换律： (2) 乘法结合律： 典型凑整： , , 。 (3) 乘法分配律： 逆运算： 3. 简便计算技巧 (1) 拆分法：将接近整十、整百的数拆分。如 。 (2) 构造法：寻找能凑成10、100的因子。如 。 考点四、除数是整数的小数除法 1. 计算法则 (1) 对齐原则：商的小数点要和被除数的小数点对齐。 (2) 步骤： 1　 按照整数除法的方法去除。 2　 商的小数点与被除数小数点对齐。 3　 如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除。 2. 特殊情况处理 (1) 整数部分不够除：商0，点上小数点，继续除。例如 。 (2) 中间商0：哪一位不够商1，就在那一位上商0占位。 3. 验算方法 (1) 商 除数 = 被除数。 考点五、除数是小数的除法 1. 核心转化思想 利用商不变性质，将“除数是小数”转化为“除数是整数”。 2. 操作步骤（一看、二移、三算） (1) 看：看除数有几位小数。 (2) 移：移动除数的小数点，使其变成整数；同时被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够时，在被除数末尾用0补足）。 (3) 算：按照“除数是整数的小数除法”法则进行计算。 3. 易错点 (1) 只移动了除数的小数点，忘记移动被除数的。 (2) 被除数位数不够时，忘记补0。 (3) 商的小数点位置错误（应与移动后的被除数小数点对齐）。 考点六、被除数和商的大小关系（小数除法） 在除法算式 ( ) 中： 除数 的范围 商 与被除数 的关系 示例 商 < 被除数 ( ) ( ) 商 = 被除数 ( ) 商 > 被除数 ( ) ( ) 应用：可用于快速判断计算结果的合理性，或在不需要精确计算时比较大小。 考点七、商的近似数 1. 求近似数的方法 (1) 四舍五入法：最常用的方法。 (2) 进一法：无论尾数是多少，都向前一位进1（适用于装容器、租车等场景）。 (3) 去尾法：无论尾数是多少，都直接舍去（适用于做衣服、截取材料等场景）。 2. 计算要求 (1) 多除一位：计算商时，通常需要除到比需要保留的小数位数多一位，然后再进行四舍五入。 例：保留两位小数，需除到第三位小数。 3. 规范书写 (1) 横式中写近似数时用“ ”连接。 (2) 竖式计算中，通常计算到指定位数的下一位即可停止，无需算尽。 例题讲解 题型一、小数乘整数 【典型例题】竖式计算。 2.3×5＝          0.67×6＝          1.24×9＝          0.672×2＝ 【答案】11.5；4.02；11.16；1.344 【分析】小数乘整数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点即可。 【详解】2.3×5＝11.5          0.67×6＝4.02                    1.24×9＝11.16       0.672×2＝1.344       举一反三 【变式训练1】灵灵家客厅是一个宽4.3米，长8米的长方形，这个客厅的面积是( )平方米。 【答案】 【分析】已知客厅是长方形，长为8米，宽为4.3米。根据长方形面积＝长×宽，代入数据列式计算，即可求出客厅的面积。 【详解】4.3×8＝34.4（平方米） 灵灵家客厅是一个宽4.3米，长8米的长方形，这个客厅的面积是34.4平方米。 【变式训练2】列竖式计算。                                            【答案】26.6；6.44；36； 16.4；68.08；6.4 【分析】先按照整数乘法的列竖式规则，把小数看作整数进行乘法运算，得到整数乘积。 数出原来的小数乘数里一共有几位小数，因为小数乘法的积的小数位数等于两个乘数小数位数之和，所以从整数乘积的末尾从右往左数出对应位数点上小数点。 如果乘数末尾有0，可先忽略末尾的0计算，最后再把忽略的0补到乘积里，再点小数点，末尾的0可以根据小数的性质去掉。 【详解】                                                                                                                          【变式训练3】文具店笔记本单价3.6元，钢笔单价8.8元，班级各采购15套，一共需要花多少钱？ 【答案】186元 【分析】已知两种文具的单价，且各采购15套，先算出1套（1本笔记本＋1支钢笔）的总价，再乘采购套数即可得到总花费。 【详解】 （元） 答：一共需要花186元钱。 题型二、小数乘小数 【典型例题】竖式计算。 7.23×0.9＝              5.4×2.5＝                 3.9×0.52＝ 【答案】6.507；13.5；2.028 【分析】小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足；据此解答。 【详解】7.23×0.9＝6.507          5.4×2.5＝13.5           3.9×0.52＝2.028                              举一反三 【变式训练1】妈妈买了3.6千克的梨，每千克16.5元，一共需要多少元？下图中竖式箭头所指这一步是计算（    ）。 A．3千克梨的价钱 B．30千克梨的价钱 C．3.6千克梨的价钱 D．36千克梨的价钱 【答案】A 【分析】小数乘法竖式计算时，数位对齐，把3.6拆成了0.6和3： 第一步算的16.5×0.6得到990（实际是9.9元），是0.6千克梨的价钱； 箭头指的这一步的495，实际是16.5×3得到的结果，这里的3是3.6个位上的3，代表3千克，所以这一步算的是3千克梨的价钱。 【详解】根据分析可知：竖式箭头所指这一步是计算3千克梨的价钱。 【变式训练2】列竖式计算。（带※的要验算） 7.23×0.9＝                      5.4×2.5＝                    ※3.9×0.52＝ 【答案】6.507；13.5；2.028 【分析】小数乘法：将两个小数视为整数，按照整数乘法的法则计算出积。然后确定两小数因数中一共有几位小数，从积的右边起数出几位小数(与因数中小数位数总和相同)，点上小数点。积的小数末尾有0去掉即可 【详解】7.23×0.9＝6.507 5.4×2.5＝13.5                          3.9×0.52＝2.028   验算： 【变式训练3】一只蝴蝶1小时飞行7.8千米，一只蜜蜂的飞行速度是这只蝴蝶的2.8倍。这只蜜蜂每小时飞行多少千米？ 【答案】千米 【分析】已知蝴蝶速度，蜜蜂速度是蝴蝶的2.8倍，求一个数的几倍是多少，用乘法计算。 【详解】（千米） 答：这只蜜蜂每小时飞行千米。 题型三、因数和积的大小关系（小数乘法） 【典型例题】比较大小。 53.2( )53.2×1.1        6.5×0.84( )6.5＋0.84         5.7×14.8( )148×0.57 【答案】 【分析】第一组：根据“一个非0数乘大于1的数，积大于原数”进行比较。 第二组：分别计算出乘法算式和加法算式的结果，再比较大小。 第三组：根据积的变化规律，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小为原来的十分之一，积不变。 【详解】比较53.2与53.2×1.1，，53.2乘的是大于1的数，积大于53.2，所以。 ，，，所以。 比较与：观察两个算式的因数，148是14.8 扩大到原来的10倍，0.57是5.7缩小为原来的十分之一。根据积的变化规律，一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小为原来的十分之一，积不变。所以。 举一反三 【变式训练1】下列算式，积最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积不变的性质，将各选项的第一个因数统一为相同的数，再比较另一个因数的大小，一个因数相同时，另一个因数越小，乘积越小。 【详解】A． B． C． D． 0.0025最小，所以的乘积最小。 【变式训练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.7×1.2( )3.7    8.3×0.5( )8.3×1.2     5.6×0.1( )5.6÷10 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数大； 乘小于1的数，积比原数小；除以大于1的数，商比原数小； 除以10和乘0.1，都是将小数点向左移动一位，因此除以10和乘0.1相等，据此填空。 【详解】， ，， 【变式训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.69    ( )7.06    ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数； （2）算出7.6×0.45的结果，再与7.06比较大小； （3）一个因数扩大10倍，另一个因数缩小到原来的，积不变，所以0.92×1.2可以变成9.2×0.12，与右边相等。 【详解】因为1.07＞1，所以0.69×1.07＞0.69； 7.6×0.45＝3.42，因为3.42＜7.06，所以7.6×0.45＜7.06； 因为括号左边的0.92×1.2＝9.2×0.12，所以0.92×1.2＝9.2×0.12。 题型四、整数的乘法运算律推广到小数 【典型例题】用你喜欢的方式计算。 3.5＋3.8×2.3        0.64×2.7＋2.7×0.36        0.4×3.2×2.5 【答案】12.24；2.7；3.2 【分析】四则混合运算顺序：先算乘法，后算加法 依据乘法分配律进行简便运算 依据乘法交换律和乘法结合律可以凑整简便计算 【详解】3.5＋3.8×2.3 ＝3.5＋8.74 ＝12.24 0.64×2.7＋2.7×0.36 ＝（0.64＋0.36）×2.7 ＝1×2.7 ＝2.7 0.4×3.2×2.5 ＝0.4×2.5×3.2 ＝1×3.2 ＝3.2 举一反三 【变式训练1】与结果不相等的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘法分配律将原式变形，分别计算各选项结果与原式对比即可。 【详解】先计算原式结果： A．把10.1拆为，，和原式相等。 B．根据乘法分配律展开计算： ，和原式结果相等。 C．，和原式结果相等。 D．，和原式结果不相等。 【变式训练2】递等式计算（能简便的要简便）。 8.7＋5.46＋1.3＋3.54     4.7＋6.3×1.5 7.6×4.2＋4.2×2.4     2.5×16×1.5 【答案】19；14.15； 42；60 【分析】8.7＋5.46＋1.3＋3.54，运用加法交换律和加法结合律将算式转化为（8.7＋1.3）＋（5.46＋3.54）进行简便计算； 4.7＋6.3×1.5，先算乘法，再算加法； 7.6×4.2＋4.2×2.4 运用乘法分配律将算式转化为（7.6＋2.4）×4.2进行简便计算； 2.5×16×1.5运用乘法结合律将算式转化为2.5×（4×4）×1.5进行简便计算。 【详解】8.7＋5.46＋1.3＋3.54 ＝（8.7＋1.3）＋（5.46＋3.54） ＝10＋9 ＝19 4.7＋6.3×1.5 ＝4.7＋9.45 ＝14.15 7.6×4.2＋4.2×2.4 ＝（7.6＋2.4）×4.2 ＝10×4.2 ＝42 2.5×16×1.5 ＝2.5×（4×4）×1.5 ＝（2.5×4）×（4×1.5） ＝10×6 ＝60 【变式训练3】每辆大车能装125包货物，每包重34.6千克，8辆大车一次可运输多少吨货物？ 【答案】34.6吨 【分析】根据“每辆大车能装125包货物，每包重34.6千克”计算出，一辆大车一次可以运输的货物。再用乘法计算出8辆大车可以运输的货物的质量，据此计算即可，千克和吨的进率是1000，注意单位换算。 【详解】125×34.6×8 ＝（125×8）×34.6 ＝1000×34.6 ＝34600（千克） 34600千克＝34.6吨 答：8辆大车一次可运输34.6吨货物。 题型五、除数是整数的小数除法 【典型例题】列竖式计算。 1.8÷24＝                      0.875÷125＝                   20.25÷45＝ 【答案】0.075；0.007；0.45 【分析】计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被 除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除；如果整数部分不够除，商0，点上小数点再除。 【详解】          1.8÷24＝0.075 0.875÷125＝0.007 20.25÷45＝0.45                        举一反三 【变式训练1】18.9÷6的商的整数部分是( )位数，商的最高位在( )位上。 【答案】 一 个 【分析】计算18.9÷6时，被除数十位上的数字1小于除数6，十位不够商1；于是把十位上的1和个位上的8合并成18个一，用18除以6，在个位上商3。因此商的整数部分只有个位一个有效数字，商的整数部分是一位，商的最高位在个位上。可用竖式计算出结果，再次验证。 【详解】18.9÷6＝3.15 18.9÷6的商的整数部分是一位数，商的最高位在个位上。 【变式训练2】列竖式计算。 79.1÷7＝                        38.4÷16＝                         90.72÷24＝ 【答案】11.3；2.4；3.78 【分析】计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除；如果整数部分不够除，商0，点上小数点再除。 【详解】79.1÷7＝11.3 38.4÷16＝2.4 90.72÷24＝3.78 【变式训练3】小丽买4支水笔的钱和买5支铅笔的钱同样多，每支水笔的售价是9.5元，每支铅笔的售价是多少元？ 【答案】7.6元 【分析】根据题意可知，4支水笔的总价等于5支铅笔的总价。先利用水笔的单价和数量求出总价，再利用总价和铅笔的数量求出铅笔的单价。 【详解】9.5×4÷5 ＝38÷5 ＝7.6（元） 答：每支铅笔的售价是7.6元。 题型六、除数是小数的除法 【典型例题】列竖式计算。 51.2÷0.08＝                      444÷2.4＝                      10.5÷0.21＝ 【答案】640；185；50 【分析】除数是小数的除法，其核心是通过转化思想，将除数转化为整数，再按照除数是整数的小数除法法则进行计算。 【详解】51.2÷0.08＝640 444÷2.4＝185 10.5÷0.21＝50                 举一反三 【变式训练1】列竖式计算。                     【答案】32；4.5；6.5； 3.6；1010；4.2 【分析】除数是小数时，先把除数变成整数，除数扩大到原来的多少倍（即小数点向右移动几位），被除数也要扩大到原来的多少倍（即小数点也向右移动几位，位数不够的用补），然后按照除数是整数的除法进行计算，计算小数除法，除到被除数的末尾仍有余数时，在余数后面添 0继续除，计算过程中，哪一位上不够商1，就在那一位上商0占位。 【详解】32                  45          6.5                         3.6              1010           4.2                          【变式训练2】一只鸽子0.7小时可飞行9.1千米。照这样计算，鸽子飞行13.65千米，需要多少时间？ 【答案】1.05小时 【分析】已知一只鸽子0.7小时可飞行9.1千米，用飞行路程除以所用时间求出鸽子的飞行速度；鸽子飞行13.65千米，再用飞行路程除以速度即可得到飞行所需时间，据此解答。 【详解】9.1÷0.7＝13（千米/时） 13.65÷13＝1.05（小时） 答：需要1.05小时。 【变式训练3】2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日，为切实加强校园安全教育，提高广大中小学生法治意识、安全防范意识和自我防护能力，某市举办以“画笔绘安全，平安伴我行”为主题的绘画大赛。中学生上交作品的数量是小学生的1.5倍，小学生上交了多少幅作品？ 【答案】150幅 【分析】已知一个数的几倍是多少，求原数，用除法：原数＝倍数对应的数÷倍数，根据倍数关系，直接用中学生作品数除以倍数1.5，即可得到小学生作品数。 【详解】225÷1.5＝150（幅） 答：小学生上交了150幅作品。 题型七、被除数和商的大小关系（小数除法） 【典型例题】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.6÷0.99( )3.6       4.3×0.9( )4.3      4.5÷0.1( )4.5×10      6.7×1.2( )7.7÷1.2 【答案】 【分析】在小数除法中，当被除数不为零时，除以一个小于的数，商一定大于它本身；在小数乘法中，一个因数（除外）保持不变，当另一个因数小于时，积比原来的因数小。除以相当于乘，最后一空算出结果再进行比较。 【详解】， ， ，， 举一反三 【变式训练1】下面算式的得数大于1的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一个数乘1或除以1，结果等于原数；一个非零数除以小于1的正数，商大于它本身。 【详解】A．，，不符合题意； B．，，不符合题意； C．，，不符合题意； D．，因此，符合题意。 【变式训练2】当a＞0时，那么a÷0.8（    ）a×0.8。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】A 【分析】一个非0数乘小于1的数，积小于原数；一个非0数乘大于1的数，积大于原数。 一个非0数除以小于1的数，商大于被除数；一个非0数除以大于1的数，商小于被除数。据此解答。 【详解】通过分析可得：a＞0，0.8＜1，则a÷0.8＞a，a×0.8＜a，所以a÷0.8大于a×0.8。 故答案为：A 【变式训练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.28÷0.5( )0.28                7.68÷1.2( )7.68÷0.99 9.6÷0.01( )9.6×100            1.8÷0.9( )1.8 【答案】 【分析】一个不为0的数，除以大于1的数，结果小于这个数；除以小于1的数（不为0），结果大于这个数；除以等于1的数，结果等于这个数。 分别计算出和的值，然后进行比较。 【详解】因为，所以； 因为，所以；因为，所以；因此； ，，所以； 因为，所以。 题型八、商的近似数 【典型例题】黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮。黄河楼主体建筑11层，高79.1米，每层楼的平均高度约为( )米。（得数保留一位小数） 【答案】7.2 【分析】已知黄河楼主体建筑11层，高79.1米，用黄河楼主体建筑的高度除以层数，即可求出每层楼的平均高度，得数根据“四舍五入”法保留一位小数。 【详解】79.1÷11≈7.2（米） 每层楼的平均高度约为7.2米。 举一反三 【变式训练1】2.74÷2.5的商用“四舍五入法”精确到十分位约是( )。 【答案】1.1 【分析】结果精确到十分位，因此要除到第二位小数，再根据“四舍五入法”，对百分位上的数进行四舍五入即可，据此进行解答。 【详解】2.74÷2.5＝1.096≈1.1 2.74÷2.5的商用“四舍五入法”精确度十分位约是1.1。 【变式训练2】9÷1.1的商，用循环小数的简便形式表示是( )，得数用“四舍五入”法凑整到千分位是( )。 【答案】 8.182 【分析】循环小数的意义是：从小数点后某一位开始依次不断地重复出现一个或一节数字的无限小数叫做循环小数，重复出现的一个或一节数字叫循环节。循环小数的简便写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小圆点；保留三位小数就是看万分位，再根据“四舍五入”求近似数即可。 【详解】9÷1.1＝ ≈8.182 9÷1.1的商，用循环小数的简便形式表示是，得数用“四舍五入”法凑整到千分位是8.182。 【点睛】考查了小数除法、循环小数的表示方法以及小数近似数。 【变式训练3】2023年12月28日，深圳地铁8号线二期正式开通，“乘着地铁去看海”的愿景已然实现。深铁8号线全长约20.46千米。其中的一期路线部分长约12.36千米，二期路线部分长约8.1千米。一期路线部分的长度是二期路线部分长度的几倍？（结果保留两位小数） 【答案】1.53 【分析】求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，据此用12.36除以8.1即可解答。结果保留两位小数，就要算到小数部分第三位，再用四舍五入法取值。 【详解】12.36÷8.1≈1.53 答：一期路线部分的长度约是二期路线部分长度的1.53倍。 提升练习 1．端午浓情，粽叶飘香。淘气妈妈在端午节为家人购买了12个粽子，每个7.8元，在解决“应付多少元？”这个问题时，可以用竖式计算（如图），竖式中的“78”实际表示（    ）。 A．买1个粽子用的钱数 B．买2个粽子用的钱数 C．买10个粽子用的钱数 D．买12个粽子用的钱数 【答案】C 【分析】这是小数乘整数的竖式计算：乘数12里的“1”在十位上，代表1个十，也就是10。竖式里框出的78，实际是用7.8乘十位上的10得到的，也就是7.8×10＝78元，对应买10个粽子的总钱数。 【详解】7.8×10＝78（元） 竖式中的“78”实际表示买10个粽子用的钱数。 2．观察如图，竖式中的“24”表示24个（    ）。 A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 【答案】B 【分析】先明确被除数22.4中数字的数位意义，确定落下的4对应的数位。因为箭头指向的24是由余下的2个1和落下的4个十分之一组成，所以可以判断这24对应的计数单位。 【详解】竖式中落下十分位的4，和余下的2（个位）组合成2.4，2.4里面有24个0.1，因此箭头指向的24表示24个0.1。 3．下列算式大于2026的是（    ）。 A．2026×0.99 B．1.2×2026 C．20.26×100 D．202.6×2.026 【答案】B 【分析】利用积和乘数的大小关系判断：一个不为0的数乘大于1的数，积大于它本身；乘小于1的数，积小于它本身；乘1，积等于它本身。 【详解】A．，所以，不符合要求。 B．，所以，符合要求。 C．，和2026相等，不符合要求。 D．，，所以积小于2026，不符合要求。 4．下面四个算式中，结果最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四个选项的结果，再比较大小即可找出结果最大的算式。 【详解】A． B． C． D． 比较大小： 结果最大的是25，即2.5÷0.1。 5．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.6×0.98( )3.6                        0.8×2.4( )0.24×8 4.4×1.5( )6.4×0.55                    5.2×0.1( )5.2÷10 【答案】 ＜ ＝ ＞ ＝ 【详解】先计算出算式的具体结果，然后比较大小即可。 小数比较大小：先比较整数部分，整数部分大的数更大；若整数部分相同，依次比较十分位、百分位……数位上数字更大的数整体更大。 【点睛】3.6×0.98＝3.528，3.528＜3.6，故，3.6×0.98＜3.6； 0.8×2.4＝1.92，0.24×8＝1.92，1.92＝1.92，故，0.8×2.4＝0.24×8； 4.4×1.5＝6.6，6.4×0.55＝3.52，6.6＞3.52，故，4.4×1.5＞6.4×0.55； 5.2×0.1＝0.52，5.2÷10＝0.52，0.52＝0.52，故，5.2×0.1＝5.2÷10。 6．一张正方形纸片的边长是0.8分米，它的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 3.2 0.64 【分析】正方形的周长＝边长×4；正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算出周长和面积即可。 【详解】0.8×4＝3.2（分米） 0.8×0.8＝0.64（平方分米） 7．学生夏令营远足，原计划3小时走完，实际2.5小时就走完了。实际每小时走( )。 【答案】 【分析】速度＝路程÷时间。 【详解】11.25÷2.5＝4.5（km） 8．如果a×1.01＝b×1.1＝c÷1.1＝d÷1.01（a、b、c、d都大于0），那么a、b、c、d这四个数中，最大的是( )。 【答案】c 【分析】可利用设数法，将连等式的计算结果设为一个固定的数（如1），分别计算出a、b、c、d四个数的具体数值，再比较大小找到最大的数。 【详解】设a×1.01＝b×1.1＝c÷1.1＝d÷1.01＝1 a＝1÷1.01≈0.99 b＝1÷1.1≈0.91 c＝1×1.1＝1.1 d＝1×1.01＝1.01 比较四个数的大小：0.91＜0.99＜1.01＜1.1，也就是b＜a＜d＜c因此四个数中，最大的是c。 9．把10升饮料装入容量为0.35升的罐子里，可以装满( )罐，还余下( )升。 【答案】 28 0.2 【分析】求10升里面有几个0.35升，用除法计算，结果用去尾法保留整数。 用一共的饮料减去装了的饮料就等于余下的饮料。 【详解】10÷0.35≈28（罐） 10－0.35×28 ＝10－9.8 ＝0.2（升） 10．纪念馆有3层，每层有2个展厅，早上8：50开始参观，到早上11：08结束参观，总用时为( )小时，平均参观每个展厅要用( )小时。（得数保留一位小数） 【答案】 2.3 0.4 【分析】我们先计算出总参观的时间，并将时间统一换算成“小时”；然后计算展厅的总数，再计算每个展厅所需要的时间。 【详解】从8：50到11：50是整整3小时 但实际只到11：08，比11：50少了42分钟 所以实际用时 3小时－42分钟＝2小时18分钟 18÷60＝0.3小时 2＋0.3＝2.3（小时） 则总用时为2.3小时。 纪念馆有3层，每层有2个展厅 3×2＝6（个） 2.3÷6≈0.3833⋯⋯（小时） 保留一位小数：0.4小时（四舍五入） 则平均参观每个展厅要用0.4小时。 11．竖式计算（打*的验算）。 0.019×360＝            1.25×1.06≈（得数用四舍五入法保留两位小数）     *5.84÷1.6＝                4÷75＝（商用循环小数的简便方法表示） 【答案】6.84；1.33 3.65；0.05 【分析】0.019×360和1.25×1.06，先按整数乘法计算：忽略小数点，将两个数当作整数相乘，然后看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。要保留两位小数的，即精确到百分位，看小数点后第3位（千分位）的数字；若千分位数字≥5，向百分位进1；若＜5，直接舍去。 5.84÷1.6，按整数除法计算：从高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面，若有余数，添0继续除；商的小数点要与被除数转化后的小数点对齐。根据“被除数＝商×除数”验算即可。 4÷75，按整数除法计算，除法计算中，若余数重复出现，商也会重复出现，重复的数字就是“循环节”，在循环节的首位数字上方点一个小圆点。 【详解】0.019×360＝6.84                              1.25×1.06≈1.33                                   5.84÷1.6＝3.65                                          4÷75＝ 验算：       12．递等式计算（能简便的要简便计算）。 1.25×3.2×7.5                           0.3×15＋0.6×15＋1.5 8.66＋3.78＋12.34＋1.22                 18.37＋15.9－（18.37－15.9） 8.08×12.5                              101×8.3－25×8.3×4 【答案】30；15； 26；31.8； 101；8.3 【分析】（1）把3.2拆成0.8×4，利用1.25×0.8＝1凑整，简便计算； （2）利用乘法分配律，把1.5转化为0.1×15，提取公因数15，简便计算； （3）利用加法交换律、结合律，分组凑整：8.66＋12.34、3.78＋1.22，简便计算； （4）去括号变号，抵消相同项，简便计算； （5）把8.08拆成8＋0.08，用乘法分配律凑整，简便计算； （6）先算25×4＝100，再用乘法分配律提取公因数8.3，简便计算。 【详解】1.25×3.2×7.5 ＝1.25×（0.8×4）×7.5 ＝（1.25×0.8）×（4×7.5） ＝1×30 ＝30 0.3×15＋0.6×15＋1.5 ＝0.3×15＋0.6×15＋0.1×15 ＝15×（0.3＋0.6＋0.1） ＝15×1 ＝15 8.66＋3.78＋12.34＋1.22 ＝（8.66＋12.34）＋（3.78＋1.22） ＝21＋5 ＝26 18.37＋15.9－（18.37－15.9） ＝18.37＋15.9－18.37＋15.9 ＝（18.37－18.37）＋（15.9＋15.9） ＝0＋31.8 ＝31.8 8.08×12.5 ＝（8＋0.08）×12.5 ＝8×12.5＋0.08×12.5 ＝100＋1 ＝101 101×8.3－25×8.3×4 ＝101×8.3－（25×4）×8.3 ＝101×8.3－100×8.3 ＝8.3×（101－100） ＝8.3×1 ＝8.3 13．列综合算式或列方程计算。 24减去6的3倍，所得的差被2.4除，商是多少？ 【答案】 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法。24减去6的3倍，即用24减去6与3的乘积，所以先算出6与3的乘积，再用24减去这个乘积求出差。所得的差被2.4除，表示用2.4除以这个差，即2.4是被除数，要写在除号的前面。列式时减法部分需要加小括号保证优先计算。 【详解】 24减去6的3倍，所得的差被2.4除，商是0.4。 14．王阿姨购买一些相框摆放照片。她带了150元，买7个这样的相框，她所带的钱够吗？ 【答案】够 【分析】已知每个相框单价为19.8元，需要购买7个，根据“总价＝单价×数量”，求出7个相框的总费用；最后将总费用与王阿姨带的150元进行比较，如果总费用小于等于所带的钱数，则够，否则，不够。 【详解】19.8×7＝138.6（元） 138.6＜150 所以她所带的钱够。 15．如果每个可乐瓶可装0.33升可乐，那么2.5升可乐最多可装几瓶？还余几升？ 【答案】7瓶；0.19升 【分析】分析题目，用可乐的总升数除以每个可乐瓶可以装的升数，得到的整数商就是最多可以装的瓶数，余数就是还剩多少升。 【详解】2.5÷0.33＝7（瓶）……0.19（升） 答：2.5升可乐最多可装7瓶，还余0.19升。 16．AB两地相距325千米，客车和货车同时相向而行，客车速度是60千米/时，货车比客车每小时快10千米，经过几小时后两车相遇？ 【答案】2.5小时 【分析】先计算货车的速度，货车的速度＝客车速度＋10千米/时，再根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入公式求解。 【详解】60＋10＝70（千米/时） 325÷（60＋70） ＝325÷130 ＝2.5（小时） 答：经过2.5小时后两车相遇。 17．在学校“读书季”活动中，五年级共收集到75个“新时代中国好故事”，其中男生收集到的故事是女生的1.5倍。五年级女生收集了多少个？ 【答案】 30个 【分析】假设女生收集数量为1份，男生收集数量为1.5份，共计2.5份，把全班收集的数量平均分成2.5份，求一份是多少，用除法，总数÷份数＝一份的数量。 【详解】1＋1.5＝2.5 75÷2.5＝30（个） 答：五年级女生收集了30个。 18．小巧爸爸上个月共付的手机费57.98元，按电信公司规定，每月付月租费20元，超过每分钟0.09元，小巧爸爸上个月手机费共超时多少分钟？ 【答案】422分钟 【分析】首先用上个月共付的手机费减去每月月租费，得到超出月租的费用，即：57.98－20＝37.98元；接着用超出月租的费用除以每分钟的通话收费，得到超出部分的通话时长，即37.98÷0.09＝422分钟。 【详解】（57.98－20）÷0.09     ＝37.98÷0.09             ＝422（分钟） 答：小巧爸爸上个月手机费共超时422分钟。 19．小胖妈妈在某外卖平台买了8.4千克苹果，每千克10.25元，平台促销活动，满50元可用14元红包，且免配送费。小胖妈妈需要支付多少元？ 【答案】72.1元 【分析】已知苹果单价为每千克10.25元，购买重量为8.4千克，根据“总价＝单价×数量”，可得总价为：10.25×8.4＝86.1（元）。步满50元可用14元红包，苹果总价86.1元＞50元，满足满减条件。最终支付金额＝苹果总价－红包金额，即86.1－14＝72.1（元）。 【详解】10.25×8.4－14 ＝86.1－14 ＝72.1（元） 答：小胖妈妈需要支付72.1元。 20．制衣厂原来做一件童装需要3.8米布，后来改进了制作方法，每件节约0.2米，原来准备做180件衣服的布，现在可以做多少件？ 【答案】190件 【分析】根据题意，每件节约0.2米，也就是原来一件童装需要3.8米布，而现在一件童装需要3.8－0.2＝3.6（米）布，先用180乘3.8求出原来做180件衣服的布，再用原来做180件衣服的布除以3.6，即可求出现在可以做的件数。据此解答。 【详解】3.8－0.2＝3.6（米） 180×3.8＝684（米） 684÷3.6＝190（件） 答：现在可以做190件。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $