专题01 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角三大核心模型，通过分层题型构建从基础到综合的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字模型|6题|折叠问题、角度计算与证明|以三角形内角和为基础，通过折叠构造A字模型，建立角度等量关系| |8字模型|6题|角平分线综合、多结论证明|基于对顶角性质，结合角平分线拓展8字模型，培养逻辑推理| |燕尾模型|6题|综合应用、规律探究|整合前两种模型，探究复杂图形中角度关系，发展创新意识|

专题01 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 题型一 三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二 三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三 三角形中的倒角模型之燕尾模型 题型一：三角形中的倒角模型之“A”字模型 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 4．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1) 解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 6．（24-25八年级上·江西·阶段检测）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 题型二：三角形中的倒角模型之“8”字模型 7．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 8．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点，连接，． (1)求证：． (2)若 ，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∵ ，，， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）， 设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）① 略 ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵，， 又， ∴； (2)设，设与交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3)，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）的结论得，即， ∴， 在中，， ∵，， 由四边形内角和定理知， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设，设与交于点，求得，，根据平行线的性质结合三角形内角和定理求得，据此计算即可证明； （3）设，，利用（1）的结论得到，在中，求得，利用四边形内角和定理求得，据此计算即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型三：三角形中的倒角模型之燕尾模型 13．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 14．如图，______度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 16．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 18．模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题 题型归纳 型 题型一三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三三角形中的倒角模型之燕尾模型 题型专练 题型一：三角形中的倒角模型之“A”字模型 1.D 2.【答案】见解析 【详解】解：∠DBC和∠ECB是△ABC的外角， ∴.∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC 又：∠A+∠ABC+∠ACB=180°」 ∴.∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关 键。 3.【答案】80 【详解】解：：△EFC由△EFC翻折得到，∠C=90°， ∴.∠C=∠C=90°，∠CFE=∠CFE, ∴.∠CFE=∠CFE=180°-∠C-∠FEC'=180°-90°-40°=50°， .∠BFC'=180°-∠CFE-∠C'FE=180°-50°-50°=80° 4.【答案】(1) 解：CD∥AC,理由如下： CE∥BC, .∠C'=∠2， 由折叠得∠C'=∠C, .∠2=∠C, 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD∥AC; (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后 对应角相等是解题的关键。 (1)由C"E∥BC可得∠C'=∠2，由折叠得∠C'=∠C,等量代换可得∠2=∠C,即可证明CD∥AC: (2由折叠得∠CED=∠CED-)<CEC,∠CDE=∠CDE=∠CDC,结合A+∠CEC-l80e ∠2+∠C'DC=180°，∠CED+∠CDE+∠C=180°，即可推出∠1+∠2=2∠C=2×50°=100°. 【详解】(1)略 (②)解：由折叠得∠CED=∠CED=∠CEC，,∠CDE=∠CDE-<CDC, ∠1+∠C'EC=180°，∠2+∠C'DC=180°， ∴.∠1+∠C'EC+∠2+∠CDC=360° :1+∠2+2（∠CDE+∠CED)=360° ∠CED+∠CDE+∠C=180°， ∴.∠CED+∠CDE=180°-∠C. ∠1+∠2+2180°-∠C)=360°. .∠1+∠2=2∠C=2×50°=100°， 故答案为：100 5.【答案】()∠A=(1+∠2)，证明见解析 ②∠4=(1-∠2)，证明见解析 【详解】（山解：乙A=(☑+∠2），理由如下： 如图， B D 根据翻折以及平角的意义可得，3=∠AED=180°-∠)，∠4=∠ADE=80°-∠2)， 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A+∠AED+∠ADE=180°， 24+5080-4j+580°-∠2)-=180， 繁理得，∠A=4+∠2)， 2☒解：A=1-2, 理由如下： 如图： B E 01 根搭超折以及平角的意义可符，3180°-4)，4=∠4DE=80+∠2)， :∠A+∠3+∠ADE=180°， ∠+080°-24）+080°+∠2)=180°. 整理得，∠A(1-∠2). 6.【答案】(1)270°；(2)①∠1+∠2-2∠A,②∠1-∠2=2∠A;(3)360° 【详解】解：(1)：∠A=90°，∠ABC+∠ACB=90°， 又：∠ABC+∠1=180°，∠ACB+∠2=180°， .∠I+∠2+∠ABC+∠ACB=360°， .∠1+∠2=270°， 故答案为：270°」 (2)①题图2中，由折叠得∠ADE=∠ADE,∠AED=∠A'ED】 .:∠ADB+∠AEC=360°. ∴.∠I1+∠2=360-∠ADE-∠ADE-∠AED-∠A'ED」 =360°-2∠ADE-2∠AED=360°-2（∠ADE+∠AED)=360°-2(180°-∠A)=2∠A, 故答案为：∠1+∠2=2∠A. ②题图3中，：∠I=∠AFD+∠A,∠AFD=∠'+∠2， 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠1=∠A+∠2+∠A,由折叠得∠A=∠A, .∠1=2∠A+∠2， .∠1-∠2=2∠A 故答案为：∠1-∠2=2∠A. (3)由(2)知∠1+∠2=2∠A, 同理得∠3+∠4=2∠B,∠5+∠6=2∠C, ∴.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠A+2∠B+2∠C =2(∠A+∠B+∠C) =360° 故答案为：360° 题型二：三角形中的倒角模型之“8”字模型 7.【答案】35°35度 【详解】解：由“8字形”结论得到∠DAO+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠OCP+∠P, ∠D=40°，∠B=30°， .∠DA0+40°=∠OCB+30°. .∠OCB-∠DAO=10°， :∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P, ∠DAM=∠DA0,∠0CP=∠0CB. 2 ,∠DAM+∠D=∠OCP+∠P, ∴.∠P=∠DAM+∠D-∠OCP -5n0+0-0c8 =40e-20c8-∠D40) 100 40°、1 =35° 故答案为：35° 8.【答案】(1)证明：：∠A+∠B+∠A0B=180°，∠C+∠D+∠COD=180°， 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A+∠B=180°-∠AOB,∠C+∠D=180°-∠COD .∠AOB=∠COD ∠A+∠B=∠C+∠D: (2)32° 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得：∠A+∠B=∠C+∠D, ∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°， .57°+35°=60°+∠D, .∠D=32° 9.【答案】(1)见详解 (2)①∠P=110°；②2∠P=∠B+∠C 【详解】(1)证明：在△AOC中，∠A+∠C-180°-∠A0C, 在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD, ∠AOC=∠BOD, ∴.∠A+∠C=∠B+∠D (2)解：，在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM, 在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, ∴.∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN, :PA平分∠BAC,PD平分∠BDC, ∴∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM ∴∠C+∠B=2∠P,即120°+100°=2∠P, ∴.∠P=110° ②∠B、∠C、LP之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 理由如下：如下图， 0 D AP和DP分别平分∠CAB和∠BDC, ∴∠1=∠2，∠3=∠4 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AMC和△DMP中，∠C+∠I=∠P+∠3， ∴.∠C=∠P+∠3-∠1. 在△BDN和△PAN中，∠B+∠4=∠P+∠2， .∠B=∠P+∠2-∠4， .∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠1=2∠P. ∴∠B、∠C、∠P之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 10.【答案】(1)①三角形内角和等于180°： ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和： (2)①25°， 设AD于CP交于点Q,如图②所示： B 分别平分 4 图② .AP CP ∠BAD∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠OAB=2∠2，∠OCD=2∠4. 在△OAB和△OCD构成的“八字”模型中，∠OAB+∠B=∠OCD+∠D, .2∠2+∠B=2∠4+∠D, i4-∠2=(B-D). ∠B=30°，∠D=20°， .∠4-∠2=5°， 在△OAP和△OCD构成的“八字”模型中，∠2+∠P=∠4+∠D, ∴∠P=∠4-∠2+∠D=5°+20°=25°， a+B ②2：(3)49： 【详解】解：(1)甲同学证明： :∠A+∠B+∠A0B=180°，（三角形内角和等于180°）， ∴.∠A+∠B=180°-∠AOB 同理可得，∠C+∠D=180°-∠COD, 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又∠AOB=∠COD」 ∴.∠A+∠B=∠C+∠D. 乙同学证明： :∠AOC=∠A+∠B,(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)， ∠AOC=∠C+∠D, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于180°， 故答案为：三角形内角和等于180°： 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； (2)①略 ②∠B=a,∠D=B, 由0可知：4-2=(B-∠D),∠P=∠4-∠2+D ∠4-∠2=a- 2, ∠P=a-E+B=a+E 2 2 a+B 故答案为： 2； (3)设AD与CP交于点H,如图③所示： 图③ 设∠PAD=a,∠PCB=B ∠PD-<aiD,<nc8-scD. ∴∠BAD=3∠PAD=3C,∠BCD=3∠PCB=3B, .∠PCD=∠BCD-∠PCB=3B-B=2B, ∠BAD+∠BCD=105°. ∴.3a+3B=105① 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△OAB和△OCD构成的“八字”模型中，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D, ∠B=25°，∠D=38°， ∴.3a+25°=3B+38° .3a-3B=13②. 由0②解：a-9,A-5 3 在△HAP和△HCD构成的“八字”模型中，∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ∴.a+∠P=2B+38° ∠P=2B-a+38°=2x46°_59 +38°=49° 33 故答案为：49° 11.【答案】(1)'∠A+∠D=180°-∠AED,∠B+∠C=180°-∠BEC, 又∠AED=∠BEC, ∴.∠A+∠D=∠B+∠C: (2)设∠ABF=a,设BF与CD交于点G, A F◇ G C B AF⊥BF, ,∠FAB=180°-90°-a=90°-a, AE平分∠DAF, ∴.∠DAB=∠FAB=90°-a, AD∥BC, .∠ABC=∠DAB=90°-a, ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=90°-2a, AF∥CD .∠BGE=∠F=90°. .∠BGC=180-∠BGE=90°， ∴.∠C=180°-90°-∠CBF=2a,即∠C=2∠ABF; (3)∠M+2∠N=180°，理由如下： 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设∠DAN=∠I1,∠DCN=∠2 :AN平分∠BAD,CN平分∠BCD, ∴.∠DAE=2∠1，∠BCE=2∠2， AD∥BC, ∴.∠ADE=∠BCE=2∠2」 由(1)的结论得∠DAN+∠ADC=∠DCN+∠N,即∠I+2∠2=∠2+∠N, .∠W=∠1+∠2. 在AAED中，∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA)=180°-2（∠I+∠2）， DM⊥AB,BM⊥CD, 由四边形内角和定理知∠M=360°-90°-90°-∠AEC=180°-∠AEC=∠AED, ∠M=180°-2（∠1+∠2） .∠M=180°-2∠N, .∠M+2∠W=180° 12.【答案】(1)证明：：∠A+∠AOC+∠C=180°，∠B+∠BOD+∠D=180°，∠BOD=∠AOC, .∠A+∠C=∠B+LD: (2)110° 【详解】(1)略 (2)解：以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP, 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP, ∴.2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP, :AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC, .∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP, .2∠P=∠B+∠C, ∠B=100°，∠C=120°. 2P=(B+2C)-=2000+120)=10. 题型三：三角形中的倒角模型之燕尾模型 13.B 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14【答案】180 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接DE,记AE、CD的交点为F,先证明 ∠A+∠C=∠FDE+∠FED,再利用三角形的内角和定理可得答案.作出合适的辅助线构建三角形是解本 题的关键， 【详解】解：如图，连接DE,记AE、CD的交点为F, D2- -E:∠A+∠C=180°-∠AFC∠FDE+∠FED=180°-∠DFE∠AFC=∠DFE .∠A+∠C=∠FDE+∠FED .∠B+∠BDF+∠FDE+∠FED+∠BEF=18O°. .∠B+∠BDF+∠A+∠C+∠BEF=180° 故答案为：180 15.【答案】∠A=70° 【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC,在根据角平分线的性 质即可得出 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ∠BDC=∠BOC+∠OBD+∠OCD① ∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO② :BG是∠ABD的平分线，GH是∠ACD的平分线 ∴.∠ABO=∠OBD,∠ACO=∠OCD, ①-②得，∠A=2∠B0C-∠BDC=70° 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义.注意利用“8字形”的对应角相等求出角的 关系是解题的关键，要注意整体思想的利用 16.【答案】(1)证明：在△ADE和△ABC中， ∠D=∠B ∠A=∠A AE=AC ∴.△ADE≌△ABC(AAS) (2方法一：如图，连接BD,得到△BCD≌aDEB 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙ 证明：：△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE, 又AE=AC, AB-AE=AD-AC,即BE=CD, 在△BCD和△DEB中， CD=BE BC=DE BD=DB .△BCD≌aDEB(SSS), 方法二：如图，连接EC,得到△BEC≌aDCE, ,·△ADE≌AABC .AB=AD,BC=DE, 又：AE=AC, .AB-AE AD-AC,BE =CD. 在△BEC和△DCE中， BE=CD ∠B=∠D BC=DE ∴.△BEC≌△DCE(SAS) 【分析】(1)在△ADE和△ABC中，结合己知的∠D=∠B、公共角∠A与AE=AC,依据AAS即可证明 两三角形全等： (2)可连接BD,得到△BCD≌aDEB；由(I)得△ADE≌△ABC,由全等性质可知AB=AD、BC=DE 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结合AE=AC推得BE=CD,再根据三边对应相等，依据SSS即可证明△BCD≌aDEB;也可连接EC,得 到△BEC≌aDCE,同上得BC=DE、BE=CD,依据SAS即可证明△BEC≌△DCE 【详解】(1)略 （2)略 17.【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,见解析 (2)①40°，②90°：③70° 【分析】(1)首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C: (2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出 ∠ABX+∠ACX的值：②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,再根据∠DAE=50,∠DBE=130° 求出∠ADB+∠AEB的值：然后根据∠DCE=(∠4D5+∠AE6)+∠D4C,即可求出∠DCE的度数：③设 ∠ABG,=x°，∠ACG,=y°，结合己知可得∠ABD=10x°，∠ACD=10y°，再根据(1)可得 ∠A+x°+y°=77°，∠A+10x°+10y°=140°，即可判断出∠A的度数. 【详解】(1)解：∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由如下： 如图，连接AD并延长 D F 根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD, 又：∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD. .BDC=∠A+∠B+∠C, 故答案为：∠BDC=∠A+∠B+∠C: (2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC, .∠A=50°，∠BXC=90°， ∴.∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°： ②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB, ∴.∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-50°=80°， ∴(4DB+∠AEB)=8042=40. 12114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE=50+40°=90， ③设∠ABG,=x°，∠ACG,=y°， 则∠ABD=10x°，∠ACD=10y°， 则∠A+x°+y°=77°，∠A+10x°+10y°=140°， 解得x+y=7°， 所以∠A=77°-7°=70° 即∠A的度数为70° 【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于 和它不相邻的两个内角的和. 18.【答案】(1)①110，②260 2@85,@9,③142：①∠D=(2C-∠B) 【分析】(1)①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE,代入计算即可： (2)①同理可得∠B0,C=∠BOC-∠0B0-∠OC0,代入计算可得： ②同理可得∠BO,C=∠BOC-7(LBOC-∠A),代入计算即可： ③利用∠ADB=180°-(LABD+∠BAD)=180°-之(LB0C-∠C)计算可得： ④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论， 【详解】(1)解：(1)①∠B0C=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°： ②LA+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°： 图3 (2)①∠B0,C=∠B0C-∠0B0-∠0C0 =∠B0C-2(LAB0+∠AC0) =∠B0C-2(∠B0C-∠A 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =LB0C-2(120°-50) =120°-35° =85°： ②∠BO,C=∠BOC-10(LB0C-∠A) =120°-10(120°-50) =120°-21° =99°： ③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD) =180°-10（∠B0C-∠C) =180°-2(120°-44) =142°； ④∠BOD=2∠BOC=∠B+∠D+2∠BAC, ∠BOC=∠B+∠C+∠BAC, 联立得：∠B-∠C+2∠D=0 所以<D=(C-B)】 【点睛】本题主要考查了新定义一箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图 形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质， 14/14可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题 题型归纳 型 题型一三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三三角形中的倒角模型之燕尾模型 题型专练 题型一：三角形中的倒角模型之“A”字模型 1.(25-26八年级上·全国课后作业)如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D,交AC于点 E. 则∠BDE+∠CED=()· A.180° B.215° C.2350 D.245° 2.(25-26八年级上·全国课后作业)如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C,连接BC,求证 ∠DBC+∠ECB=180°+∠A A 的 3.(25-26七年级下山东菏泽·期末)如图，将直角三角形纸片ABC的直角C沿EF折叠，点C落到纸片 内部的点C'处.如果∠FEC'=40°，那么∠BFC'= 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(23-24七年级下河北秦皇岛·期末)如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿ED折叠，点C落在点C'处. A D (1)若C"E∥BC,判断CD与AC的位置关系并说明理由： (2)若C"E与BC不平行，∠C=50°，则∠I+∠2=°. 5.(25-26八年级上·全国课后作业)把三角形纸片ABC沿DE折叠， B B E ① ② (I)如图①，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A,∠I,∠2有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证 明你的结论 (2)如图②，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A,∠I,∠2有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证 明你的结论、 6.(24-25八年级上江西阶段检测)(1)如图1，若∠A=90°：则∠1+∠2= (2)把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点A处，记∠A'DB为∠I,∠AEC为∠2. ①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ②如图3，∠1，∠2与∠A的数量关系是 (3)如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B 图1 图2 图3 图4 题型二：三角形中的倒角模型之“8”字模型 7.(25-26八年级上安徽马鞍山~期中)线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把如图1的图形 称之为“8字形”，则∠A+∠D=∠B+∠C,如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和 CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,若∠B=30°，∠D=40°，则∠P的度数是 D M B B 图1 图2 8.(25-26七年级下江苏盐城阶段检测)如图，AD,BC相交于点O,连接AB,CD. (1)求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)若∠A=57°，LB=35°，∠C=60°，求∠D的度数. 9.(24-25八年级下山东济宁·阶段检测)如图，已知线段AB、CD相交于点O,连接ABCD,我们把 形如这样的图形称为“八字图形”. 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C M D 图① 图② (I)求证：∠A+∠C=∠B+∠D: (2)利用八字图形解决问题：如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别交 于点M,N ①若∠B=100,∠C=120°，求∠P的度数： ②根据①的结果直接写出∠B,∠C,∠P之间的关系是 10.(24-25七年级下·吉林长春·期末)【模型探究】(1)如图①，已知线段AD、BC相交于点O,连接 AB、CD,则有∠A+∠B=∠C+∠D.我们把形如这样的图形称为“八字”模型.甲乙两名同学给出两种 不同证明过程如下： 甲同学证明：：∠A+∠B+∠AOB=180°（①），∴.∠A+∠B=180°-∠AOB 同理可得，∠C+∠D=180°-∠COD, 又：∠AOB=∠COD .∠A+LB=∠C+LD 乙同学证明：：∠A0C=∠A+∠B(②_)， ∠AOC=∠C+∠D, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D 甲同学证明过程的理论依据是：①】 乙同学证明过程的理论依据是：② 【模型应用】(2)如图②，已知线段AD、BC相交于点O,连接AB、CD,AP、CP分别平分∠BAD、 ∠BCD ①若∠B=30°，∠D=20°，求∠P的度数. 补全下面求解过程. 解：'AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD, ∠1=∠2，∠3=∠4. 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若∠B=a,∠D=B,直接写出∠P=(用含有a和B的代数式表示). 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型拓展】(3)如图③，已知线段AD、BC相交于点O,连接AB、CD,AP、CP分别为∠BAD、 ∠BCD的三等分线，∠PAD3BAD,∠PCB-/BCD,若∠B=25,ZD=38 ∠BAD+∠BCD=105°，直接写出∠P的度数= 图① 图② 图③ 11.(25-26七年级下·福建泉州期末)如图1，AB与CD交于点E, 图1 图2 图3 (1)求证：∠A+∠D=∠B+∠C: (2)如图2，AD∥BC,AF∥CD,AE平分∠DAF,AF⊥BF,求证：∠C=2∠ABF: (3)如图3，AD∥BC,AN平分LBAD,CN平分LBCD,AN与CN交于点N,DM⊥AB,BM⊥CD, DM与BM交于点M,试探究∠M与∠N的数量关系，并证明你的结论. 12.(25-26七年级下·山东菏泽阶段检测)如图①，已知线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,我 们把形如这样的图形称为“8字型”. D B B D D ① ② (I)试说明：∠A+∠C=∠B+∠D: (2)如图②，若∠CAO和∠BDO的平分线AP和DP相交于点P,与CD,AB相交于点M,N.若 ∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数. 题型三：三角形中的倒角模型之燕尾模型 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果∠A=52,∠B=25°， ∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F的度数是（）· A.72 B.70° C.65° D.60° 14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=度. 15.如图，BG是∠ABD的平分线，CH是∠ACD的平分线，BG与CH交于点O,若∠BDC=150°， ∠BOC=110°，求∠A的度数， 16.如图，己知：点E、C分别在线段AB、AD上，AE=AC,∠B=∠D (1)求证：△ADE≌△ABC. (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是： 并给出证明， 17.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥 618 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 你的聪明才智，解决以下问题： D 图1 图2 图3 图4 (1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由： (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺YZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边Y、Z恰好经过点B、C,若 ∠A=50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果； ②如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求LDCE的度数： ③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G、G,若∠BDC=140°，∠BGC=77°，求∠A的度 数. 18.模型规律：如图1，延长CO交AB于点D,则∠BOC=∠I+∠B=∠A+∠C+∠B 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫 做“箭头四角形”. A 130 】 图1 图2 图3 D 图4 图5 图6 图7 模型应用 (1)直接应用： ①如图2，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，则∠B0C=°， 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，∠A+LB+∠C+ZD+∠E+∠F=°； (2)拓展应用： ①如图4，∠AB0、∠AC0的2等分线（即角平分线）B0、CO交于点O,己知∠B0C=120°， ∠BAC=50°，则∠B0C=: ②如图5，B0、C0,分别为∠AB0、∠AC0的10等分线(i=1,2,3,,8,9).它们的交点从上到 下依次为0、O2、O、、0,.己知∠B0C=120°，∠BAC=50°，则∠B0,C=_: ③如图6，∠AB0、∠BAC的角平分线BD、AD交于点D,己知∠BOC=120°，∠C=44°，则∠ADB= ④如图7，∠BAC、∠BOC的角平分线AD、OD交于点D,则∠B、∠C、∠D之间的数量关系为_， 818