第三章 问题解决活动：利用相似三角形测高-同步练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“利用相似三角形测高”为核心，通过基础题、跨学科情境题、拔高题的三阶分层，构建从单一模型应用到综合实践探究的知识巩固路径，适配新授课夯实基础与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|标杆、影子、镜面反射等基本测高模型|选择题1-9、填空题11-12、解答题16-21，直接应用相似比解决简单实际问题，强化几何直观与运算能力| |跨学科/综合实践题|物理小孔成像、凸透镜成像、测量方案设计|填空题13-14结合物理情境，解答题22通过三种旗杆测量方案探究，体现模型意识与应用意识| |拔高题|复杂相似模型（两次日照垂直、多层相似）|选择题10、填空题15涉及多三角形相似或特殊角度，培养推理能力与创新意识|

第三章问题解决活动：利用相似三角形测高 一、选择题： 1.如图，利用标杆测量建筑物的高度已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(    ) A. B. C. D. 2.要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出(    ) A. 仰角 B. 树的影长 C. 标杆的影长 D. 都不需要 3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使点，，在一条直线上，且，点，，也在一条直线上且如果，，，那么河的宽度约为(    ) A. B. C. D. 4.在某一时刻，测得一根高为的木棍的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为(    ) A. B. C. D. 5.如图，小涵为了测量一凉亭的高度顶端到水平地面的距离，把一面镜子放置在水平地面处镜子厚度忽略不计，她站在离镜子米处的点即米，刚好从镜子中看到凉亭的顶端，测得的长为米，若小涵眼睛离地面距离为米，则凉亭高为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.海岛算经是我国数学家刘徽留给后世宝贵的数学遗产，书中有一问的大致意思是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根等高的标杆，，点，，在同一直线上，从点，处返行到点，处观察点已知，，，的长，就可推算出山峰的高度，想要解决这一问题，需要利用(    ) A. 全等三角形的判定与性质 B. 相似三角形的判定与性质 C. 勾股定理 D. 中位线定理 7.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为(    ) A. B. C. D. 8.阳光通过窗口照到室内在地上留下宽的亮区如图，已知亮区一边到窗下的墙角的距离，窗口高，那么窗口底边离地面的高等于(    ) A. B. C. D. 9.如图是装满了液体的高脚杯示意图左侧图数据如图，用去一部分液体后如图所示，此时液面的宽度是． A. B. C. D. 10.（拔高题）如图，要测量楼高，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆顶端和高楼顶部在同一条直线上，若，，则楼高是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，小明同学用自制的直角三角形硬纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一直线上，，，，，均在同一平面内，已知硬纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，，则树高           12.如图，小明在时测量某树的影长为米，时又测得该树的影长为米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为          米． 13.（跨学科情境题）物理课中同学们观察了小孔成像现象，如图，电子蜡烛的火焰高度为，倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为          ． 14.（跨学科情境题）凸透镜成像的原理如图所示，若焦点到物体的距离与到凸透镜的中心的距离之比为，若物体，则其像的长为          ． 15.（拔高题）如图，小南利用直角三角形纸板测量大树的高度他通过不断调整自己的姿势和直角三角形纸板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一条直线上，已知三角形纸板的两直角边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离，测得，则大树的高度为           三、解答题： 16.本小题分如图，，两点间有一湖泊，无法直接测量，已知米，米，米， ，求的长． 17.（跨学科情境题）本小题分如图，李强在地面处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，此时米，米已知眼睛距离地面的高度米，请计算出教学楼的高度根据光的反射定律，反射角等于入射角 18.（实际应用探究题）本小题分如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米，然后沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米此时，求凉亭的高度． 19.本小题分如图，某学生利用一根长的标杆测量一棵树的高度，测得，，求树的高度． 20.本小题分数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，树高为多少米 21.本小题分如图，矩形为台球桌面，，，球目前在点位置，如果小丁瞄准边上的点将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点位置．求证：求的长． 22.（综合实践情景探究题）本小题分 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案一利用影子 测量工具 测量示意图 测量过程 皮尺 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米 计算旗杆高度． 测量方案二利用镜子 测量工具 测量示意图 测量过程 皮尺、镜子 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米 补全示意图，并计算旗杆高度． 测量方案三利用标杆 测量工具 测量示意图 测量过程 皮尺、标杆 小智在他前面竖立一根标杆，小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米 小智在利用方案三计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度不需写出计算过程，但要阐释必要的理由 参考答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  【解析】由题意可得：，，，， ， ∽， ，， ，即凉亭高为米． 6.  7.  8.  【解析】【分析】 本题考查了平行投影及相似三角形的应用，解答此题的关键是熟知平行投影及平行线分线段成比例定理． 解答此题根据平行投影可知，由平行线分线段成比例可得，然后代入相应的数据可得的长． 【解答】 解：由题意得：， ， 又， ， ． 故选C． 9.  10.  【解析】根据题意可知，四边形、四边形都是矩形， ，，，则， ，． ，∽，， 即，， ，即楼高是 故选C． 11.  12.  13.  14.  【解析】由题意得，，， ． ， ，解得， ． 15.  16.解：，∽米，米，米，解得的长为米．  17.解：根据题意，得，，，，即，解得即教学楼的高度为米．  18.解：，， ， ，即，解得，即凉亭的高度为米 19.解：，，． 根据题意，得． 又， ． ， 即，解得． 答：树的高度为．  20.解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米，则有，解得． 树高是米．  21.【小题】 解：证明：依题意，得． 在矩形中，． ． 【小题】 由，得． ，即，解得． 答：的长为． 22.【小题】 米 【小题】 补全示意图略   旗杆高度为米 【小题】 如图所示，过点作于点，交于点，则． 根据题意可知，，，的长， 可证明，得到， 则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， 还需要测出线段或线段的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $