专题：一元一次方程的新定义问题 专项练习 2026--2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程新定义问题，通过“定义理解-方程求解-关系推导”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|约10题|定义辨析（判断是否为后移/和谐方程等）|以一元一次方程解法为基础，通过新定义建立解的关系| |参数求解|约12题|含参方程求解（根据定义列方程求参数m/n/k）|强化符号意识，训练方程思想的迁移应用| |关系推导|约8题|数量关系推导（建立a/b间等式或代数式求值）|发展推理能力，深化知识间的关联构建|

专题：一元一次方程的新定义问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的后移方程． (1)请判断方程是否为方程的后移方程___________（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程是方程的后移方程，求的值； (3)若关于的方程是关于的方程的后移方程，求的值． 2．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是，所以方程是方程的后移方程． (1)判断方程是否为方程的后移方程__________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的后移方程，求n的值． (3)如果方程是方程的后移方程，用等式表达a，b满足的数量关系__________． 3．关于的方程与关于的方程（均为不等于0的常数），两个方程的解的和为1，则称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与方程为“和谐方程”． (1)已知方程与方程，试说明这两个方程为“和谐方程”； (2)若关于的方程与关于的方程为“和谐方程”，求的值； (3)若关于的方程与关于的方程为“和谐方程”，且，能被3整除（为正整数），求的值． 4．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”． 例如：方程是方程的后移方程． (1)判断方程是否为方程的后移方程 　 　（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的后移方程，求m的值． 5．如果两个方程的解相差k，k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．例如：方程是方程的“2—后移方程”． (1)若方程是方程的“a—后移方程”，则___________； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2—后移方程”，求代数式的值： (3)当时，如果方程是方程的“3—后移方程”，求代数式的值． 6．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“—后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是 所以：方程是方程的“2—后移方程”． (1)判断方程是否为方程的—后移方程________（填“是”或“否”）； (2)若关于的方程是关于的方程的“2—后移方程”，求的值； (3)当时，如果方程是方程的“—后移方程”．求代数式的值． 7．如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较小的方程为另一个方程的“前置k格方程”． 例如：方程的解是，方程的解是． 则称方程为方程的“前置3格方程”． (1)判断方程是否为方程的“前置k格方程”________（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“前置2格方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x的方程是方程的“前置k格方程”．求代数式的值． 8．如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k的后移方程”． 例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的k的后移方程______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“3的后移方程”，求的值． 9．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足（m为正数），则称方程与方程是“差m方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“差2方程”． (1)请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程，（a，b为常数）与关于y的方程都是“差1方程”，求的值． 10．定义：关于的方程（，均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程这两个方程称为“互换方程”．例如：方程与方程称为“互换方程”． (1)直接写出关于的方程的“互换方程”是________． (2)若关于的方程与方程是“互换方程”，求，的值． (3)若关于的方程与其“互换方程”的解都是整数，求整数的值． 11．如果两个方程的解相差1，则称解较小的方程为另一个方程的“前置方程”．例如：方程是方程的前置方程． (1)判断方程是否为方程的前置方程，并说明理由； (2)若关于的方程是关于的方程的前置方程，求的值． 12．如果两个方程的解相差m，且m为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“m的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是．所以：方程是方程的“3的后移方程”． (1)判断方程是否为的“m的后移方程”______（填“是”或“否”）； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“2的后移方程”，求n的值； (3)若关于x的方程是关于x的方程的“4的后移方程”，求的值． 13．阅读与思考 下面是小明同学研究解一元一次方程时的笔记片段，请完成相应任务． 【概念理解】 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程2和互为“成双方程”． 【问题解决】 问题1：请判断方程与方程是否互为“成双方程”． 解：方程与方程不是“成双方程”． 理由：解方程，得__________① 解方程，得___________②． 因为_____①______+_____②_____≠2， 所以方程与方程不是“成双方程”． 问题2：若关于的方程与方程互为“成双方程”，则___________ 任务： (1)问题1中的①为___________，问题1中的②是___________． (2)问题2中的为___________． (3)若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程 的解 14．已知是关于的方程的解，是关于的方程的解，若满足，则称方程与方程互为“雅礼方程”：例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“雅礼方程”． (1)请判断方程与方程是否互为雅礼方程．并说明理由． (2)若关于的一元一次方程和关于的方程互为“雅礼方程”，请求出的值． (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使它们不是“雅礼方程”，求的值． 15．如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整m”方程；如果不是整数，则称为“分m”方程．例如方程的解是，我们称方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是 方程； (2)若关于x的方程是“整3”方程，求k的值； (3)若关于x的方程是“分”方程，则关于x的方程是 方程． 16．关于x的方程的解与关于y的方程的解满足（m为正数），则称方程与方程是“差m方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“差2方程”． (1)请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由． (2)当k取何值时，关于x的方程与关于y的方程是“差1方程”，求k的值． 17．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 18．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 19．定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 20．若关于x的方程（）的解与关于y的方程（）的解是满足，则称方程（）与方程（）是“友好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“友好方程”． （1）请通过计算判断方程与方程是不是“友好方程”； （2）若关于x的方程与关于y的方程是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值； （3）请判断关于x的方程与关于y的方程是不是“友好方程”，并说明理由． 21．如果两个关于x的方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“对立方程”．例如：方程与方程互为“对立方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则c= ___________； (2)若关于x的方程与方程互为“对立方程”， 则m，n满足怎样的数量关系，并说明理由？ (3)若关于x的方程与其“对立方程”的解都是整数，则整数k的值为___________ 22．定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 23．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 24．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 25．若关于的方程（a≠0）的解与关于y的方程（c≠0）的解满足，则称方程（a≠0）与方程（c≠0）是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于y的方程是“美好方程”，请求出k的值； (3)若无论取任何有理数，关于x的方程（为常数）与关于y的方程都是“美好方程”，求的值． 26． 已知关于x的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则称它们互为“友好方程”．如与互为“友好方程”． (1)判断方程与是否是互为“友好方程”？并说明理由； (2)若关于x的方程与互为“友好方程”，求m的值； (3)材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系： ， ．已知关于x的方程①：和关于x的方程②：，p、q分别是方程①和方程②的一个实数根，且，．若方程①和方程②是互为“友好方程”，且以p为两个方程的相同的根，请用含a的代数式分别表示p和q． 27．如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整数”方程；如果有两个“整数”方程，其中一个方程的解是另一个方程的解的k倍（其中k为整数且），则称这两个方程有“整k倍”关系．例如一个“整数”方程的解是，另一个“整数”方程的解为，因为，所以方程与方程有“整倍”关系． 按此定义解答下列问题： (1)下列方程是“整数”方程的有______（请填序号）； ①；②；③． (2)已知关于x的方程与关于y的方程有“整3倍”关系，求a的值； (3)若关于x的方程与关于y的方程有“整k倍”关系，请直接写出整数m的值． 28．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 29．若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足关系式，则称方程与方程互为“双梅方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“双梅方程”． (1)请通过计算判断方程与方程是否互为“双梅方程”； (2)若关于x，y的两个方程与方程互为“双梅方程”，求m的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数m，都使得它们都不互为“双梅方程”，求n的值． 30．若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“同心方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“同心方程”． (1)请判断方程与方程是不是“同心方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“同心方程”，请求出的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（a，b为常数）与关于y的方程都是“同心方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题：一元一次方程的新定义问题》参考答案 1．(1)是 (2) (3) 2．(1)是 (2) (3) 3．(1) 解：解方程，得， ∵， ∴方程与方程这两个方程为“和谐方程”． (2)22 (3)，或， 4．(1)是 (2)1 5．(1)1 (2)71 (3) 6．(1)否 (2) (3)15 7．(1)否 (2) (3)12 8．(1)是 (2) (3) 9．(1)是“差3方程”，理由见解析 (2)的值为2或 10．(1) (2)， (3) 11．(1)方程是方程的前置方程，见解析 (2) 12．(1)是 (2) (3) 13．(1)，1 (2) (3) 14．(1)方程与方程互为雅礼方程，理由见解析 (2) (3) 15．(1)“分” (2) (3)“整” 16．(1)是，理由如下： 解， 得　　 解，得　　 ∵ ∴方程与方程是“差3方程” (2)或． 17．(1) (2) (3) 18．(1)2 (2) (3) 19．(1) (2)，； (3)或1 20．（1）不是；（2）k的最大值为0，最小值为；（3）是，理由见解析． 21．(1)1 (2)；理由 解：∵， ∴解得， ∵， ∴解得， ∵关于x的方程与方程互为“对立方程”， ∴， 化简可得到； (3)或 22．(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 23．(1)“分” (2)不可能， 理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； (3)“整” 24．(1)是 (2) (3) 以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 25．(1)不是，理由见解析 (2)或 (3)或 26．(1)不是，理由见解析 (2) (3)； 27．(1)②③ (2)或 (3)或3 28．(1)6 (2) (3) 29．(1)否 (2)的值为或 (3) 30．(1) 解：方程， 解得：， 方程， 解得：， ∴， ∴方程与方程不是“同心方程”； (2)或 (3)或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $