2.1 第2课时圆的一般方程同步练习 -2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕圆的一般方程，通过基础巩固、能力进阶、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的方程互化、圆心半径计算、方程表示圆的条件|以选择填空为主，如第1题将一般方程化为标准方程，强化概念理解| |进阶层|参数问题、圆的对称性、点与圆位置关系|含多选与中档解答题，如第10题含参数t的圆方程综合应用，提升推理能力| |拓展层|实际问题与跨知识综合|以复杂解答题为主，如第15题二次函数与圆的综合，培养数学建模与创新意识|

第2课时　圆的一般方程 1.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（　　） A.（1，－1）　　 B. C.（－1，2）　　 D. 2.已知圆C的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则圆C的方程为（　　） A.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C.x2＋y2－4x－6y＝0 D.x2＋y2－4x＋6y＝0 3.若a∈{－2，0，1，}，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为（　　） A.0　　 B.1 C.2　　 D.3 4.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝（k－1）x＋2的倾斜角为（　　） A.　　 B. C.　　 D. 5.（多选）下列关于圆x2＋y2－4x－1＝0的说法正确的是（　　） A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 6.（多选）已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（　　） A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外 C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为 7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　. 8.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则b＝　　　　，a的取值范围是　　　　. 9.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为　　　　　. 10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆. （1）求t的取值范围； （2）求该圆的圆心坐标和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 11.“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（　　） A.　　 B.6 C.－1　　 D.＋1 13.若曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围是　　　　. 14.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB与CD间的距离为3.求四边形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 15.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R，b＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，经过A，B，C三个点的圆记为☉M. （1）当a＝4，b＝2时，求△ABC的面积； （2）求☉M的方程； （3）问☉M是否经过定点（其坐标与a，b的值无关）？请证明你的结论. 第2课时　圆的一般方程 1.D　将圆的方程化为标准方程，得＋（y＋1）2＝，所以圆心坐标为. 2.D　易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0. 3.B　若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.∴当a∈{－2，0，1，}时，只有a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆.故选B. 4.C　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 5.ABC　x2＋y2－4x－1＝0化为标准形式为（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0）.对于A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；对于B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；对于C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；对于D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C. 6.BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则AC＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则PA≤PC＋CA＝r＋CA＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则MA≥CA－MC＝CA－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D. 7.（－2，－4）　5　解析：∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5＜0，方程不表示圆. 8.4　（－∞，5）　解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为（－1，2），代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5. 9.x2＋y2－4x－5＝0　解析：设圆C的圆心坐标为（a，0）（a＞0），由题意可得＝，解得a＝2（a＝－2舍去），所以圆C的半径为＝3，所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 10.解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2. 由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1. 故t的取值范围是（－，1）. （2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为. （3）r＝ ＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝. 11.A　法一　方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆需满足（－2m）2－4（－m2－5m＋3）＞0，解得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆”的充分不必要条件，故选A. 法二　将x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0化为（x－m）2＋y2＝2m2＋5m－3，令2m2＋5m－3＞0，得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆”的充分不必要条件，故选A. 12.D　由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0得（x＋1）2＋（y－m）2＝m2＋4m＋5，因此圆心C（－1，m），半径r＝＝≥1，当且仅当m＝－2时，半径最小，即圆C的面积也最小.此时圆心C（－1，－2），半径r＝1，则圆心到坐标原点的距离d＝＝＞r，即原点在圆C外.则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1.故选D. 13.（－∞，－4）　解析：曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0，即（x－a）2＋（y＋2a）2＝16表示圆的方程，可得圆心C（a，－2a），半径为4.由题意可得即解得a＜－4，则实数a的取值范围是（－∞，－4）. 14.解：法一　由题意可知A（－3，0），B（3，0），C. 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得故所求圆的方程为x2＋y2－y－9＝0，其圆心坐标为，半径长为＝. 法二　由题意，可得点B的坐标是（3，0），点C的坐标是. 线段BC的中点坐标是，直线BC的斜率kBC＝－2. 线段BC的垂直平分线的方程是y－＝，与方程x＝0联立，解得y＝. 所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是. 半径长EB＝＝. 所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2＋＝， 这个圆的圆心坐标是，半径长是. 15.解：（1）当a＝4，b＝2时，f（x）＝x2＋4x＋2，令f（x）＝x2＋4x＋2＝0，解得x＝－2±，不妨令A（－2＋，0），B（－2－，0），则AB＝2. 令x＝0，得C（0，2）. 所以△ABC的面积为S＝×2×2＝2. （2）设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R，b＞0）的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋ax＋b＝0是同一个方程，故D＝a，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1， 所以☉M的方程为x2＋y2＋ax－（b＋1）y＋b＝0. （3）把☉M的方程改写为x2＋y2－y＋ax＋b（1－y）＝0， 令解得 故☉M过定点（0，1）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $