15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学学案聚焦等边三角形的性质与判定核心知识点，从等腰三角形特殊化切入，通过对比表格梳理与等腰三角形的联系，构建知识支架，系统呈现定义、性质及判定方法。 特色在于知识梳理直观化，练习设计层次分明，涵盖基础巩固、变式探究及综合应用。通过表格对比培养几何直观，规范几何语言表达提升数学语言能力，多样化习题训练推理意识，助力学生深化理解与灵活应用。

学案：15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 人教版八年级上册 第十五章 轴对称 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 掌握等边三角形的性质：三个角都等于60°，每条边上的中线、高和所对角的平分线都三线合一，有三条对称轴。 2. 掌握等边三角形的三种判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形，能灵活选用判定方法进行推理论证。 二、知识梳理 1. 等边三角形的概念 项目 内容 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 与等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形（底边和腰相等的等腰三角形）。等边三角形具有等腰三角形的一切性质。 2. 等边三角形的性质 性质 内容 几何语言 等边 三条边都相等。 AB=BC=AC 等角 三个角都相等，且每一个角都等于60°。 ∠A=∠B=∠C=60° 三线合一 每条边上的中线、高和所对角的平分线都"三线合一"。有三条对称轴，三条对称轴交于一点。 每条边上的中线=高=角平分线 3. 等边三角形的判定方法 判定方法 条件 几何语言 方法1：定义法 三边都相等 AB=BC=AC → △ABC是等边三角形 方法2：三角相等 三个角都相等 ∠A=∠B=∠C → △ABC是等边三角形 方法3：60°角+等腰 有一个角是60°的等腰三角形 AB=AC且∠A(或∠B,∠C)=60° → △ABC是等边三角形 4. 等腰三角形与等边三角形对比 比较项目 等腰三角形 等边三角形 边 有两边相等 三边都相等 角 两个底角相等 三个角都相等，均为60° 对称轴 1条（底边的垂直平分线） 3条（三条角平分线/中线/高所在的直线） 三线合一 底边上的中线、高、顶角平分线重合 每条边上的中线、高、所对角的平分线都重合 三、课堂练习 练习1（教材P82练习 第1题） 画出等边三角形的三条对称轴，你能发现什么？         练习2（针对训练） 如图，P是△ABC内一点，若∠PBC=∠PCB=10°，△APC是等边三角形。求∠ABP的度数。                 练习3（教材P82练习 第2题） 如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？证明你的结论。                 练习4（教材P82 例4） 如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E。求证：△ADE是等边三角形。                 练习5（变式训练） 在例4中，若点D、E分别在AB、AC的延长线上，且DE//BC，结论还成立吗？为什么？ 若点D、E分别在BA、CA的延长线上，且DE//BC，结论还成立吗？为什么？                 练习6（随堂演练1） 等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°         练习7（随堂演练2） 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④         练习8（随堂演练3） 如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，若∠1=42°，求∠2的度数。                 练习9（随堂演练4） 如图，△ABC为等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分∠ACD，BD=CE。求证： (1) △ABD≌△ACE； (2) △ADE为等边三角形。                 四、参考答案 练习1 答案 三条对称轴分别是三条角平分线（也是中线，也是高）所在的直线。 发现：三条对称轴交于一点，这个点就是等边三角形的中心。 练习2 答案 解：∵△APC是等边三角形， ∴∠APC=60°，AP=CP。 ∵∠PBC=∠PCB=10°， ∴BP=CP（等角对等边）。 ∴AP=BP。 又∠BPC=180°-10°-10°=160°， ∴∠APB=360°-60°-160°=140°（周角定义）。 在△ABP中，AP=BP， ∴∠ABP=∠BAP=(180°-140°)÷2=20°。 答：∠ABP=20°。 练习3 答案 解：BD=DC=DE=DF=AE=BE=AF=CF，共7条与BD相等的线段。 证明：∵△ABC是等边三角形，AD是BC上的高， ∴∠EAD=∠FAD=30°，BD=DC（三线合一）。 又∠BDE=∠CDF=60°， ∴∠ADE=∠ADF=30°， ∴∠EAD=∠ADE，∠FAD=∠ADF， ∴AE=ED，AF=FD（等角对等边）。 易知△BDE是等边三角形（∠B=60°，∠BDE=60°，∠BED=60°）， ∴BD=ED=EB。 同理△CDF是等边三角形， ∴CD=CF=FD。 ∴图中共有7条与BD相等的线段：DC，DE，DF，AE，AF，EB，CF。 练习4 答案 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°。 ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。 ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°。 ∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 关键：平行线将等边三角形的60°角"传递"到新三角形中。 练习5 答案 变式1（D、E在AB、AC延长线上）：成立。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°。 ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°。 ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°。 ∴△ADE是等边三角形。 变式2（D、E在BA、CA延长线上）：成立。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C=60°。 ∵DE//BC， ∴∠D=∠B=60°，∠E=∠C=60°（两直线平行，同位角相等）。 ∴∠D=∠E=∠DAE=∠BAC=60°。 ∴△ADE是等边三角形。 结论：只要DE//BC，无论D、E在什么位置，△ADE都是等边三角形。 练习6 答案 答案：C. 120° 解析：△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。 BD平分∠ABC，∴∠IBC=30°。CE平分∠ACB，∴∠ICB=30°。 在△BIC中，∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-30°-30°=120°。 练习7 答案 答案：D. ①②③④ 解析： ① 有两个角等于60°，则第三个角=180°-60°-60°=60°，三角相等，是等边三角形。 ② 有一个角等于60°的等腰三角形，由判定方法3，是等边三角形。 ③ 三个外角都相等 → 三个内角也都相等（补角相等），是等边三角形。 ④ 一腰上的中线也是这条腰上的高 → 等腰三角形中，腰上的中线=高 ⇒ 该腰=底边 ⇒ 三边相等，是等边三角形。 练习8 答案 解：设AB，AC分别交直线a于点D，E。 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°。 又∠ADE=∠1=42°（对顶角相等）， ∴∠DEC=∠ADE+∠A=42°+60°=102°（外角性质）。 又a//b， ∴∠2=∠DEC=102°（两直线平行，同位角相等）。 答：∠2=102°。 练习9 答案 证明：(1) ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°。 ∴∠ACD=120°（补角）。 ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE=60°=∠B。 在△ABD和△ACE中， AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 (2) 由(1)知△ABD≌△ACE， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE。 ∴∠CAE-∠CAD=∠BAD-∠CAD， 即∠DAE=∠BAC=60°。 ∴△ADE为有一个角是60°的等腰三角形， ∴△ADE为等边三角形。 关键：本题综合运用了等边三角形的性质、全等证明和等边三角形的判定方法。 学科网（北京）股份有限公司 $