专题01 与数轴有关的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

专题01 与数轴有关的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 题型二、用数轴上的点表示有理数 题型三、数轴上的动点问题 题型四、数轴上的折叠问题 题型五、数轴上的规律探究问题 题型六、与数轴有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖动点、距离中点、绝对值几何意义、规律探究、有理数运算及方程应用，数形结合。 - 解题方法：距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数表达位置；绝对值转化为距离和差；分类讨论分段求解。 - 易错提醒：忽视动点方向致符号错；绝对值漏解；分类讨论未顾临界点（重合、折返）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 典例1．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）在数轴上与表示数的点的距离为3个单位长度的点所表示的数是____． 【答案】1或 【分析】满足条件的点可在数轴上表示数的点的右边或左边． 【详解】解：当满足条件的点在数轴上表示数的点的右边时，则； 当满足条件的点在数轴上表示数的点的左边时，． 题型模版 1.特征：数轴上已知两点表示的数，求它们之间的距离，或已知距离求其中一点坐标。 2.方法：数轴上两点距离为它们所表示数的差的绝对值，即 \( |a-b| \)，逆向则需讨论左右位置。 变式1-1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）在数轴上，到所对应的点的距离为个单位的点所对应的数是_________． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离．根据点在已知点的左侧和右侧两种情况计算即可． 【详解】解：到对应的点的距离为5个单位长度的点表示的数是， 或， 故答案为：3或． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 【答案】2或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据点B表示的数和点A到点B的距离，求出点A表示的数有两种可能，再结合点C表示的数，计算点A到点C的距离 【详解】解：∵点B表示的数为，点A到点B的距离为个单位长度， 因此点A表示的数为或． 又∵点C表示的数为2， 故点A到点C的距离为或． 故答案为2或8 变式1-3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 【答案】1，， 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值方程的应用．根据“友好三点”的定义，需考虑点到和距离相等、点到和距离相等、点到和距离相等三种情况，分别求解点对应的数． 【详解】解：设点表示的数为． 当点到点和点距离相等时，有 ，即 ，解得 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，即 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 故点对应的数为，或． 故答案为：1，，． 题型二、用数轴上的点表示有理数 典例2．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 题型模版 1.特征：将给定的有理数在数轴上用点标出，或根据数轴上的点读出其表示的有理数。 2.方法：确定原点、正方向和单位长度，正数在原点右侧，负数在左侧，按数值大小找到对应位置描点。 变式2-1．（25-26七年级上·云南文山·期末）把下列各数在数轴上表示出来，再将它们按大小顺序用“”连接起来． 【答案】图见解析， 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”连接起来即可． 此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∴． 变式2-2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 【答案】(1) 在数轴上表示出各有理数，如下图所示： (2) ①，； ②，； ③，． 【分析】本题考查数轴，有理数的分类，能正确画出数轴和区分各个数是解题的关键． （1）利用数轴表示数的方法画出数轴进行描点即可．（2）根据有理数的分类，可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：①分数集合，； ②负有理数集合，． ③非负整数集合，． 变式2-3．（25-26七年级上·贵州毕节·期中）在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 【答案】(1)在数轴上表示： ； (2)负数：，； 整数：，，； 非负整数：， 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数； （1）先化简多重符号，绝对值，有理数的乘方，根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据负数、整数、非负整数的定义分类即可； 【详解】（1）解：，，，； （2）略 题型三、数轴上的动点问题 典例3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型模版 1.特征：数轴上一个或多个点按速度运动，求相遇时间、距离或特定时刻的位置坐标。 2.方法：用含时间t的代数式表示各点位置，根据运动方向列方程（如相遇则位置相等，距离为定值则绝对值方程）。 变式3-1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 变式3-2．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题： (1)指出点所表示的有理数______． (2)当时，则点表示的有理数______． (3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值． (4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或或或 (4)当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为 【分析】本题考查了数轴上动点问题，列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握知识点的应用，并采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据点为原点，地和地的距离为，即可解答； （2）根据路程速度时间，计算时，点P的运动路程，再根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （3）分情况讨论：从A地到B地时和从B地返回A地时，然后根据时间路程速度，解答即可，注意第二种情况速度有变化，要先求得到达B地的时间； （4）分两种情况讨论：①当小明从A地到B地时；②当小明从B地到A地时；注意第二种情况要先求得返回A地全程所用的时间． 【详解】（1）解：∵点为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，地位于两地之间且距A地， ∴点A表示的有理数为， 故答案为：； （2）解：∵小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，设运动时间为（小时），小明的位置为点， ∴当时，点表示的有理数， 故答案为：； （3）解：①当小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动时， 若此时距离地，点C表示的有理数为0， 当点P在点A和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点B之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； ②当小明到达地后以每小时的速度返回A地时， ∵、相距， ∴点B表示的数为，小明到达B地的时间为（小时）， 若此时距离地， 当点P在点B和点C之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 当点P在点C和点A之间时，此时点P表示的有理数为， 则此时； 综上所述，在小明行驶过程中，当小明距离地时，t的值为或或或． （4）解： ①当小明以每小时的速度从A地到B地时， 由（2）可知，小明到达B地的时间为1小时， ∴当时，点P与点A的距离为； ②当小明以每小时的速度从B地返回A地时， 由（2）可知，点B表示的有理数为3， 则小明从B地返回A地的时间为（小时） ∴当时，点P与点A的距离为， 综上所述，当时，点P与点A的距离为；当时，点P与点A的距离为． 变式3-3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 题型四、数轴上的折叠问题 典例4．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 题型模版 1.特征：数轴沿某点折叠，两边的点能重合，已知折痕点坐标，求对应点或对称点坐标。 2.方法：若沿点a折叠，则点x的对称点为2a-x，利用中点公式或距离相等建立方程。 变式4-1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点对应的数为，点对应的数为 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出折叠点表示的数为，再设与表示的点重合的点为数，进而有，解方程即可； （3）设点表示的数是，则点表示的数是，列出关于的方程，解方程即可得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 变式4-2．（25-26七年级上·全国·单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 【答案】(1)9 (2)①；②；1008 (3) 【分析】（1）根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算； （2）①根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算；②根据上A、B两点之间的距离为可计算A、B两点到折痕的距离，再根据A、B两点的位置计算即可； （3）根据数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b可计算折痕为，再根据与点c重合的点到的距离相等，分情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕左侧，且到折痕距离为， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为9， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：9； （2）①1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕右侧，且到折痕距离为：， 故3表示的点关于折痕的重合点在折痕左侧，到折痕距离为5， 则3表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：； ②，B两点之间的距离为2020，且A在B的左侧， 故A在折痕左侧，B在折痕右侧，且A、B到折痕的距离均为：， 则A点表示的数为：， B点表示的数为：， 故答案为：，1008； （3）数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b， 则折痕为：， 当表示的点在折痕左侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 当表示的点在折痕右侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 综上所述，表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：． 变式4-3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)6， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； （3）解：如图，由题意得，，    ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 题型五、数轴上的规律探究问题 典例5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 题型模版 1.特征：数轴上点按一定规律移动或跳跃，求经过若干次后的位置，常涉及周期或递推。 2.方法：列举前几次位置，找出移动周期或递推公式，用余数法或公式计算第 \(n\) 次后的坐标。 变式5-1．（25-26七年级上·全国·期中）已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． (1)则 ， ，A、B两点之间的距离为 ． (2)有一动点P，从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数． (3)在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以，P点对应的数为或 【分析】总结性分析 本题考查了二次多项式的定义、数轴上两点间距离的计算、动点运动规律探究及含绝对值方程的求解，解题的关键是掌握“二次多项式不含三次项（三次项系数为”的特征、动点运动的分组计算方法，以及根据点的位置分类讨论求解绝对值方程． （1）根据二次多项式三次项系数为0求a，二次项系数直接对应b，再用绝对值算A、B两点距离； （2）将动点运动按“两次一组”分组，计算每组位移，结合总次数次为奇数次）求最终位置； （3）设P对应的数为x，分P在A左侧、A与B之间、B右侧三种情况，按“”列绝对值方程，求解并验证是否符合区间． 【详解】（1）解：∵式子M是关于x的二次多项式， ∴三次项系数为0，即，解得； 二次项系数为8，故； A对应对应8，两点距离为． 故答案为：． （2）解：P从出发，运动规律：第n次运动位移为“奇）”或“偶）”； 分组计算：…； 共组，每组和为1，总位移为； P对应的数为． 答：点P所对应的有理数为． （3）设P对应的数为x，由得． ①当时： ∵，， ∴，解得（符合）； ②当时： ∵，， ∴，解得（符合）； ③当时： ∵，， ∴，解得（不符合，舍去）． 答：点P的位置表示的数为或． 变式5-2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． 变式5-3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 题型六、与数轴有关的新定义型问题 典例6．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3；②3； (2)过程见解析，值为3． 【分析】本题考查数轴上的点表示数，新定义以及整式的加减运算，读懂题意是解题关键； （1）①直接根据新定义求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 题型模版 1.特征：给出数轴上点的某种新运算或新规则（如“友好点”“跳跃点”），要求按定义解决。 2.方法：仔细阅读定义，将文字转化为数学表达式（如距离、中点），按新规则列方程或不等式求解。 变式6-1．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 变式6-2．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是0，则的值为____________； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“5格距点”，则这样的整点对应的点的值分别是____________； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的3倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1)5 (2)，，0，1，2，3； (3)点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数即可； （3）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ， 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴ ，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3， 故答案为：，，0，1，2，3； （3）①当P在之间时，， ∵点到点的距离等于点到点的距离的3倍， ∴， ，点P表示的数为：，此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：，此时． 综上所述，点P表示的数为： ，此时；点P表示的数为：，此时． 变式6-3．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A，对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段 的长度之比定义为点 P 的特征值，记作，即，例如：当点 P 是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称． ① ． ②比较，，的大小 ． (2)数轴上的点M满足，求M的值． (3)数轴上的点 P 表示有理数p，已知且为整数，求所有满足条件的p的倒数之和． 【答案】(1)①；② (2)M表示的数为或 (3)98 【分析】（1）①先求出点表示的数为，再根据特征值的定义进行求解即可； ②分别求出三个特征值即可得到答案； （2）先求出，再分点M在原点左边和右边两种情况求解即可； （3）根据题意可知是整数，即，分点P在点O左边和右边两种情况求出对应特征值下p的值，由此找到规律求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点与关于原点对称，即， ∴， ∴点表示的数为， ∴， ∴； ②由题意得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解： ∵点A表示的数为1， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示的数为或； （3）解：∵ 且为整数， ∴是整数， 当时，即点P为的中点， ∴， 当，点P在之间时，则 ∴， 当点P在点A右边时，则， ∴， ∴，p的值为或2； 同理当，p的值为或； 当，p的值为或； … ∴当（n为大于1的整数），p的值为或； ∴所有满足条件的p的倒数之和为： ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】C 【分析】分所求点在点A的左侧和右侧两种情况讨论，分别计算即可得到结果，注意不要漏解． 【详解】解：∵点A表示的数是2，所求点与点A相距5个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为． ∴所求点表示的数为或． 3．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·安徽六安·期中）小李写作业时不慎将画画用的颜料洒在了数轴上（如图），则被颜料盖住的整数有________个． 【答案】6 【分析】本题考查数轴和有理数，根据数轴，写出被盖住的整数即可． 【详解】解：由图可知，盖住的整数有，共6个； 故答案为：6． 6．（25-26七年级上·山东青岛·期末）将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 【答案】4.4 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：坐标轴上的和分别与尺子的和对应， 所以坐标轴上的单位长度是， 由题意知，， 故答案为：4.4． 7．（25-26七年级上·山西临汾·期末）如图，点在同一条数轴上，其中点表示的数分别为，1，若，则点表示的数为___________． 【答案】0或4 【分析】本题考查数轴上线段的长度，通过确定点的不同位置，结合线段和差关系计算． 【详解】解：∵点、表示的数为、， ∴． 当点在线段上时： ∵，且， ∴，解得， ∴点表示的数为； 当点在线段的延长线上时： ∵，且， ∴，即， ∴点表示的数为； 当点在线段的延长线上时： 此时，与矛盾，故此情况不成立； 综上，点表示的数为或， 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在数轴上从左到右有A，B，C三点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点A，B，C所表示的数的和是． （1）若点为原点，则点所表示的数是__________； （2）若点到原点的距离为4，则的值是__________． 【答案】 3 或17 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，掌握数轴上点与有理数的关系，两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据数轴特点进行计算即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当原点在点B的左边时；当原点在点B的右边时；结合数轴上两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：（1）因为点为原点，且点到点的距离为3，点在点的右侧， 所以点表示的数为3； 故答案为：3； （2）由题意知，①当原点在点左侧时，点表示的数为4， 则点表示的数为1，点表示的数为12， 所以； ②当原点在点右侧时，点表示的数为， 则点表示的数为，点表示的数为4， 所以． 综上，的值为或17； 故答案为：或17． 三、解答题 9．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点、、、、在数轴上分别对应下列各数： 、、、、 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“”将它们连接起来． 【答案】(1)数轴表示见解析 (2) 【分析】本题考查用数轴表示有理数，并比较有理数的大小． （1）先化简绝对值，多重符号，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上的右边的数大，进行作答即可． 【详解】（1）解：，，，， 将各数表示在数轴上如下： （2）解：． 10．（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【答案】(1)，，； (2)点所对应的数为或0． 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的；点所对应的数为； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 11．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 12．（25-26七年级上·全国·期末）【背景知识】 在数轴上，对于不重合的三点M、N、P，我们给出如下定义：若点P到点M、N的距离之和是即（），我们就把点M、N叫作点P的“伴随点”． 例如：如图1，若点P表示的数是，点P到表示的数是的点M与表示的数是6的点N的距离之和，则点M、N是点P的“伴随点”． 【问题情境】 已知：不重合的点A、B、C在数轴上，点A表示的数是. 【综合运用】 (1)数轴上有三点H、G、K，它们表示的数分别是5、7、9，其中有两个点是点A的“伴随点”，则这两个点分别是________． (2)如图2，若点B表示的数是8，点B、C是点A的“伴随点”． ①点C在数轴上表示的数是________． ②若点C在点A的左侧，点E表示的数是m，点F表示的数是，点E、F是点C的“伴随点”，求m的值． 【答案】(1)，K (2)①6或，②或 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，解含有绝对值的一元一次方程．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据“伴随点”的定义，即可得出答案； （2）①设点对应的数是，根据点、是点的“伴随点”可得，建立方程求解即可； ②根据点、为点的“伴随点”，可得，即，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，， 且， ∴、为点的“伴随点”， 故答案为：、． （2）解：①设点对应的数是， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：或； ②∵在点的左侧， ∴点表示， ∵点E表示的数是m，点F表示的数是 ∴，， ∵点、为点的“伴随点”， ∴， ∴， Ⅰ．当时，， 解得：； Ⅱ．当时，， 此时无解； Ⅲ．当时，， 解得：； 综上，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01与数轴有关的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 题型二、用数轴上的点表示有理数 题型三、数轴上的动点问题 题型四、数轴上的折叠问题 题型五、数轴上的规律探究问题 题型六、与数轴有关的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涵盖动点、距离中点、绝对值几何意义、规律探究、有理数运算及方程应用，数形结合。 -解题方法：距离用差的绝对值，中点用平均数：动点设时间参数表达位置：绝对值转化为距离和差；分 类讨论分段求解。 -易错提醒：忽视动点方向致符号错；绝对值漏解：分类讨论未顾临界点（重合、折返)。 夙刁题型归纳一精讲典型题法，务夫解题报基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 典例1.(25-26七年级上江苏连云港·阶段检测)在数轴上与表示数-2的点的距离为3个单位长度的点所 表示的数是 题型模版 1.特征：数轴上己知两点表示的数，求它们之间的距离，或已知距离求其中一点坐标。 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.方法：数轴上两点距离为它们所表示数的差的绝对值，即(-b),逆向则需讨论左右位置。 变式1-1.(25-26七年级上山东聊城期末)在数轴上，到-2所对应的点的距离为5个单位的点所对应的 数是 变式1-2.(2425七年级上·贵州贵阳阶段检测)在数轴上有三个点A、B、C,且点A到点B的距离是5 个单位长度，若点B表示的数是1，点C表示的数是2，则点A到点C的距离为一 变式1-3.(25-26七年级上江西赣州期中)A,B,C三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我 们称这三个点为“友好三点”.若数轴上三个不重合的点A,B,C,点A表示的数是-1，点B表示的数是 3,则“友好三点”A,B,C中的点C所对应的数为 题型二、 用数轴上的点表示有理数 典例2.(25-26七年级上福建龙岩·阶段检测)用数轴上的点表示下列各数，并用“<”把这五个数连起 来. -5432-1012345→ 题型模版 1特征：将给定的有理数在数轴上用点标出，或根据数轴上的点读出其表示的有理数。 2方法：确定原点、正方向和单位长度，正数在原点右侧，负数在左侧，按数值大小找到对应位置描点。 变式2-1.(25-26七年级上·云南文山期末)把下列各数在数轴上表示出来，再将它们按大小顺序用“< ”连接起来。 14-20-2-(-0 54-3-21012345→ 变式2-2.(25-26七年级上福建三明阶段检测)有五个有理数：0.5,0，(-2)，--1,2 (1)在数轴上表示出上述各有理数 -5-4-3-2-1012345> 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合{}： ②负有理数集合{}. ③非负整数集合{}. 变式23.(25-26七年级上·贵州毕节期中)在数轴上标出表示下列各数的点. 0-2-31←y,（ ()在数轴上表示出以上各数，并用“<”把下列各数连接起来. 内4321012345→ (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内. 负数集合{ } 整数集合{ 非负整数集合{ 题型三、数轴上的动点问题 典例3.(25-26七年级上河北保定期末)如图，数轴上点A表示的有理数为-5，点B表示的有理数为 9,点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每 (s) 秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动.设点P运动的时间为 A B -6-5-4-3-2-012345678910→ (I)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当t=6时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是-3时，求t的值. 题型模版 1特征：数轴上一个或多个点按速度运动，求相遇时间、距离或特定时刻的位置坐标。 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：用含时间t的代数式表示各点位置，根据运动方向列方程（如相遇则位置相等，距离为定值则绝对 值方程)。 变式3-1.(25-26七年级上河南商丘阶段检测)在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单 位长度到达点A,再向右爬了2个单位长度到达点B,然后又向左爬了10个单位长度到达点C. (1)画出数轴，标出A,B,C三点在数轴上的位置： (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求 点D表示的数. 变式3-2.(25-26七年级上：吉林长春期中)如图，相距5km的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位 于AB两地之间且距A地2km.小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时5km的速度向B地匀速运动， 到达B地后以每小时4km的速度返回，到达A地停止运动.设运动时间为t(小时)，小明的位置为点P, 若把点C记为原点，从A到B为正方向，用1个单位长度表示1km画数轴，则请你回答下列问题： C P (I)指出点A所表示的有理数 (2)当t=0.5时，则点P表示的有理数 (③)在小明行驶过程中，当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值. (④)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含‘的代数式）· 变式3-3.(25-26七年级上吉林长春期中)在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b是最 大的负整数，且a,c满足a+3到+(c-9=0 A B (1)a=-,b=-,c=-: (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_对应的点重合： (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位 长度的速度向右运动，设运动时间为t秒， ①求t为何值时，点P到点B的距离是5： 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值. 题型四、数轴上的折叠问题 典例4.(25-26七年级上·重庆阶段检测)【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）. -5-4-3-2-1012345→ 【操作一】 (1)折叠纸面，使表示1的点与表示-1的点重合，则表示-2的点与表示的点重合： 【操作二】 (2)折叠纸面，使表示-1的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示的点重合，此时若数轴 上A,B两点(A在B的左侧)之间的距离为9，且4，B两点经折叠后重合，则A,B两点表示的数分别是 多少？ 题型模版 1特征：数轴沿某点折叠，两边的点能重合，己知折痕点坐标，求对应点或对称点坐标。 2.方法：若沿点a折叠，则点x的对称点为2a-x,利用中点公式或距离相等建立方程。 变式41，(25-26七年级上全国课后作业)如下图，已知数轴上A,B两点对应的数分别为1,3，P为数轴 上的一个动点，其对应的数为x. -2-10123 (I)若点P到点A,B的距离相等，则x的值为 (2)若将数轴折叠，使A,B两点重合，则表示-3的点与表示 的点重合 (3)若数轴上M,N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M,N两点经过(2)中的方式折叠 后互相重合，求M,N两点表示的数 变式4-2.(25-26七年级上·全国·单元测试)翻折是初中阶段研究的重要的图形运动.（翻折运动）已知 纸面上有一数轴，折叠纸面. -6-5-4-3-2-1012345678 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若1表示的点与-1表示的点重合，则-9表示的点与表示的点重合. (2)若1表示的点与-5表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与表示的点重合： ②若数轴上A、B两点之间的距离为2020(A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后 重合，则A点表示的数是一，B点表示的数是一； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a,b,那么数c表示的点与数 表示的点也重合.（用含 有a,b,c的代数式表示) 变式43.(23-24七年级上福建宁德期中)综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数 轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小明在一条 长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： ap 101234 折痕 剪切处 剪切处 图① 图② 图③ (①)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示-1的点重合，则表示-3.5的点与表示数 的点重合： (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示-2的点与表示数的点 重合，表示数m的点与表示数·的点重合（用含m的代数式表示）： (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从-1到5）的一段纸带（如图①)，将纸带按图②所示向左折叠， 剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到 三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）· 题型五、数轴上的规律探究问题 典例5.(26-27七年级全国小升初衔接)如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=4,且边AD在数轴 上，将长方形ABC A 沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点A第一次落回到数轴上，记为”；继续翻 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 滚，点A第二次落回到数轴上，记为A:…；以此类推 D Q(A) A ()若点与原点重合，点表示的数为 A (2②)若点A表示的数为”，点表示的数为 题型模版 1.特征：数轴上点按一定规律移动或跳跃，求经过若干次后的位置，常涉及周期或递推。 2.方法：列举前几次位置，找出移动周期或递推公式，用余数法或公式计算第()次后的坐标。 M=(a+4)x3+8x2-2x+5 变式5-1.(25-26七年级上全国期中)已知式子 是关于x的二次多项式，且二次 项系数为b,数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b. A B (I)则a=,b=,A、B两点之间的距离为_， (2)有一动点P,从点A出发，第一次向左运动1个单位，第二次向右运动2个单位，第三次向左运动3个 单位，第四次向右运动4个单位，当运动到第2023次时，求点P所对应的有理数. (3)在(2)的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A 的距离的3倍？若可能请求出点P的位置表示的数，若不可能，请说明理由. 变式5-2.(25-26七年级上江苏常州阶段检测)己知，等边△ABC(三条边都相等的三角形)在数轴上 的位置如图所示 B 54327012345→ (I)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AC再次落在数轴上），则点A表示 的数是 (2)将△ABC从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点 重合； (3)将△ABC从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动情况记录如下：2，-1，+3，-4，-2 ①第 次滚动后，点A离原点最远： ②当△ABC结束滚动时，点C表示的数是 变式53.(25-26七年级上广西南宁·阶段检测)己知数轴上有不重合的三个点A,B,C,点A表示的数为 -5,点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7. (I)求点B,C表示的数 (②)假设动点M,N分别从点B,C同时出发，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个 单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点M与动点N应同时向一（填“左”或“右”）运动： ②动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数： ③动点M与动点N相遇后的时间t及此时动点M表示的数. (3)在数轴上，有一个动点P,从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单 位长度到点8，第二次从点巴向右运动2个单位长度到点忍，第三次从点8向左运动3个单位长度到点 2 22 0,第四次从点马向右运动4个单位长度到点Q…按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点 “时，请直接写出点 25所对应的数. 题型六、与数轴有关的新定义型问题 典例6.(25-26七年级上·贵州遵义阶段检测)设为有理数，数轴上点A表示有理数a,给出以下两个 T(A,m) P(A,m) 定义：定义 为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义 为数轴上的一点从原点出发向 右移动m个单位长度后得到的点，（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度.例 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如，向右移动-2个单位长度表示向左移动2个单位长度) (1)①若点A表示有理数-2，则T(4,5)表示的有理数是 ②若点A,B分别表示有理数-2,1.5，则P(4,3)与P(B,-2)之间的距离为 (2)如图，点A,B分别表示有理数-3,2，试说明T(4,2m)与P(B,m)之间的距离为定值，并求出这一定值. A B -3 0 2 题型模版 1特征：给出数轴上点的某种新运算或新规则（如“友好点”“跳跃点”），要求按定义解决。 2方法：仔细阅读定义，将文字转化为数学表达式（如距离、中点），按新规则列方程或不等式求解。 变式6-1.(25-26七年级上河南周口阶段检测)定义：已知点M,N,为数轴上三点，我们规定：点 Q到点M的距离是右9到点N的距离的水合，测称是M.的“K信点”，记作.[M.N小K.例 如：若点9表示的数为0，点M表示的数为2，点N表示的数为，则P是M,川的2倍点”，记作： Q[M,N]=2 P A 专201334是。方 应用： 如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应-1,5，-3. (1)①P、B两点之间的距离是 ②求[a4的值： ②若点C在数轴上且C[4B]=1 求点C表示的数： ③)若点D是数轴上一点，且 DA.B=2 直接写出点D表示的数. 变式6-2.(25-26七年级上·湖南长沙期中)阅读以下材料解决问题，如图，数轴上点A表示的数是-2， 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B表示的数是3，若在数轴上存在一点P,使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n,则称 点P为点A、B的“n格距点”，例如：在图1中，点P表示的数是-1，点P到点A的距离与点P到点B 的距离之和为1+4=5，则称点P为点A、B的“5格距点”. B 543201245→ 上上 (图1) A B -5-4-3-2-1012345 (备用图) (1)若点P表示的数是0，则n的值为. (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P对应的点的值分 别是 (③)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的 “n格距点”，求点P表示的数及n的值. 变式6-3.(25-26七年级上四川南充阶段检测)在数轴上，把原点记作点O,表示数1的点记作点A,对 于数轴上任意一点P(不与点O,点A重合)，将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值， 记作p,即P=PO =PA,例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA,所以p=1 OA 0 A -1P10P21P32 0 1 2 (备用图) 1 ()如图，点P,B,P为数轴上三个点，点P表示的数是4，点B与P关于原点对称. @'- ②比较尸，B,月的大小 (②)数轴上的点M满足OM=4OA,求M的值. (3)数轴上的点P表示有理数卫，己知P'<50且P为整数，求所有满足条件的p的倒数之和. 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴桃战一支克高障压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，数轴上点P所表示的数为x,则下列说法正确的是( ) 492101234→ A.在x和0之间有3个负数 B.与3相比，x离0更近一些 C.在x和1.5之间有5个整数 D.x比-3大 2.(25-26七年级上福建漳州期末)若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示 的数是() A.7 B.-3 C.7或-3 D.-7或3 3.(25-26七年级下辽宁鞍山开学考试)如图所示，圆的周长为4个单位长度，A,B,C,D是圆周的4 等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A,B,C,D能与数轴上的数 字2026所对应的点重合的是点() C -5-4-3-2 101 345 A.A B.B C.C D.D 4.(25-26七年级上福建泉州期末)在数轴上，把原点记作O,表示数2的点记作A,对于数轴上任意一 点P(不与点O,A重合)，将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的“特征值”，记作P,即 P-PO PA· 已知数轴上两点M,N,M=1,N=4,则线段MN最长为() 5 5 A.5 B. C.3 D.8 11/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(25-26七年级上·安徽六安·期中)小李写作业时不慎将画画用的颜料洒在了数轴上（如图），则被颜 料盖住的整数有 个 一6 -2-1 3 6.(25-26七年级上山东青岛·期末)将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应 着数轴上的-3.6和x,则x的值是 -3.6 0 TII中T 0 3 4567 8 910 7.(25-26七年级上山西临汾期末)如图，点A,B,C在同一条数轴上，其中点A,B表示的数分别为-2， 1,若AC=2BC,则点C表示的数为 A B 54321012345→ 8.(25-26七年级上安徽毫州阶段检测)如图，在数轴上从左到右有A,B,C三点，其中点A到点B的 距离为3，点B到点C的距离为8，设点A,B,C所表示的数的和是m. (1)若点A为原点，则点B所表示的数是 (2)若点B到原点O的距离为4，则m的值是 A B 三、解答题 9.(25-26七年级上·内蒙古呼和浩特期中)已知点A、B、C、D、E在数轴上分别对应下列各数： (引22 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）： (2)请用“<”将它们连接起来. 10.(25-26七年级上河南新乡·期中)如图1，点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的 数为8，b,4.某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现 点B对齐刻度2.lcm,点C对齐刻度6.3cm. 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B A B C C -8 b 4 0 1cm23456 7 图1 图2 (1)在图1的数轴上，AC=个单位长度(AC表示点A到点C的距离)，数轴上的一个单位长度对应刻度 尺上的cm;点B所对应的数b为_： (2)若Q是数轴上一点，且满足点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍，求点Q所对应的数， 11.(25-26七年级上·湖北孝感期中)如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2 个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后 立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， (说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为、，我们常用符号“AB”表示A、B两点的距离，且 AB=m-n P A (1)当t=0.5时，求点0到原点0的距离： (2)当t=3时，求点Q到原点O的距离： (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离. 12.(25-26七年级上全国期末)，【背景知识】 在数轴上，对于不重合的三点MN、P,我们给出如下定义：若点P到点MN的距离之和是10即( PM+PN=10),我们就把点M、N叫作点P的“伴随点”. 例如：如图1，若点P表示的数是-1，点P到表示的数是-4的点M与表示的数是6的点N的距离之和 PM+PN=3+7=10,则点M、N是点P的“伴随点”· 【问题情境】 已知：不重合的点A、B、C在数轴上，点A表示的数是2， 【综合运用】 M P B -4-1 6 8 图1 图2 (1)数轴上有三点H、G、K,它们表示的数分别是5、7、9，其中有两个点是点A的“伴随点”，则这两个 点分别是 13/14 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若点B表示的数是8，点B、C是点A的“伴随点”. ①点C在数轴上表示的数是 ②若点C在点A的左侧，点E表示的数是，点F表示的数是m+3,点E、F是点C的“伴随点”，求 的值. 14/14