山西大学附属中学2026-2027学年高一数学暑假作业 （三）

**基本信息** 立足高一数学核心知识，融合《玉蜻蜓》评弹文化与直播带货、魔术抽牌等现实情境，通过复数运算、立体几何、概率统计等模块，考查数学眼光（空间想象）、思维（逻辑推理）与语言（数据表达）的综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数、集合、线面关系|基础巩固，如复数共轭运算、线面位置关系判断| |选择题（多选）|3/18|复数几何意义、三角形性质|能力提升，如复数模的图形面积、三角形解的个数| |填空题|3/15|分层抽样、古典概型（河图洛书）|文化情境，如河图洛书阴阳数概率计算| |解答题|5/77|解三角形、统计分析、三棱锥体积|综合应用，如直播带货频率分布直方图；创新探究，如整边三角形面积最小值证明|

山大附中高一数学暑假检测三答案 一、单选题 1．已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（    ） A． B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】先化简复数，再求出，最后得解. 【详解】， ， . 故选：C 2．已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为全集，，， ∴，则． 故选：D． 3．已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可. 【详解】依题意可知，而，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行. 故选：D 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．5 B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用平面向量的数量积运算律求出，再计算. 【详解】由，，，得，则， 因此， 所以． 故选：B 5．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 6．长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（    ） A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D． 【答案】B 【分析】计算事件M和事件N的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可. 【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种， 事件M：“三人都没选择《子归》篇”共有：，所以， 事件N：“至少有两人选择的篇目一样”共有种，所以， ，所以M与N不互斥，A错误，D错误； 事件MN共有种，所以，B正确； 因为，所以C错误. 故选：B. 7．如图，某山山顶与山底的垂直部分为（记山顶为点，山底为点），首先测量人员位于点，测得点位于正北方向，测得点的仰角为，然后测量人员沿北偏东方向行走了米到达点，此时测得，则此山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出，在中由三角函数求出即可． 【详解】如图 ，，则，， 在中，由正弦定理知道，即，解得． 在中，，则，即，解得． 故选：B. 8．在正三棱锥中，侧棱，点在棱上，且.若球是正三棱锥的外接球，过点作球的截面，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取正的中心，根据正三棱锥的结构特征分析可知平面，且，结合外接球的性质可得外接球的半径为，分析可知当且仅当截面，截面圆的面积最小，据此运算求解即可. 【详解】如图，取正的中心，连接， 由题意可知：平面，且， 由平面，可得， 因为正的边长为，则， 可得， 设正三棱锥的外接球的半径为， 则，解得，可知， 在中，可知， 由余弦定理可得， 即，可得， 则， 由球的性质可知：当且仅当截面，截面圆的半径最小，即圆的面积最小， 此时圆的半径为，截面面积为， 所以面积最小的截面的面积为. 故选：B. 二、多选题 9．已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（    ） A． B．若，则，中至少有个是 C．满足的点形成的图形的面积为 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】设复数，对于A，分别计算即可；对于B，根据可得即可判断；对于C，由可得即可判断；对于D，由得，并计算即可计算最小值. 【详解】设复数， 对于A，，则 ， 所以， 而，故A错误； 对于B，若， 则，即，则或， 则或，则，中至少有个是，故B正确； 对于C，， 所以，所以点形成的图形面积为，故C错误； 对于D，因为，所以， 且， 所以 ，且 所以， 所以最小值为，故D正确. 故选：BD. 10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 【答案】ABD 【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数. 【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得， ，所以，即，故A正确； 对于B，由余弦定理得， 化简得，故为等腰三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理， 因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误； 对于D，若，则由正弦定理得， 因为，所以三角形有两解，故D正确； 故选：ABD. 11．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可. 【详解】 设，因为平面，，则， ，连接交于点，连接，易得， 又平面，平面，则，又，平面，则平面， 又，过作于，易得四边形为矩形，则， 则，， ，则，，， 则，则，，，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是 . 【答案】168 【分析】根据分层抽样求各层人数，结合平均数公式分析求解. 【详解】由题意可知：男、女生所占的频率分别为、， 则抽取的男、女生人数分别为、， 所以总样本的平均数. 故答案为：168. 13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用古典概型概率计算公式，再结合计数的基本知识计算即可. 【详解】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件. 目标事件为，，，，，共5个基本事件. 所以. 故答案为：. 14．如图，已知四面体的各条棱长均等于分别是棱的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，当截面面积最大时，四棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】先通过作图并证明截面的形状是矩形，再引入变量，来求截面面积的最大值，从而找到特殊位置，进而求出体积. 【详解】 连接，由四面体的各条棱长均等于，可得这是一个正四面体， 由分别是棱的中点，可知， 平面，所以平面， 又因为平面，所以，， 先假设分别是各棱中点， 则，所以， 同理可证：，，平面， 所以平面， 又因为直线截面，则截面平面， 即可知任意截面是矩形. 可设，则， 由和是等边三角形，则，， 所以， 此时，即为的中点， 由边长为，可知，， 所以四棱锥的体积为：， 故答案为：. 四、解答题 15．在中，，设. (1)用表示； (2)若，则当时，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，数乘的运算法则，即可求解； （2）利用已知可得，进而可得，求解即可. 【详解】（1）因为，， ， 因为，所以， . （2）当时，， 即， 所以， 所以， 因为， 所以， 故. 16．三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：； (2)若，当取最小值时，求整边三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）变形得到，由正弦定理得即可证得结果； （2）由题意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出的最小值为4，进而由三角形面积求出答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 由正弦定理， 得. （2）因为，由正弦定理 及余弦定理可得， ， 解得（舍）或， 故， 则， 所以. 因为，所以的最小值为4， 此时， 所以整边三角形的面积为. 17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．    (1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题： ①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 【答案】(1)小吃类家，生鲜类家 (2)①中位数为342.9，平均数为352.5；② 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）①根据中位数和平均数的定义计算即可； ②根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可. 【详解】（1），， 所以应抽取小吃类家，生鲜类家； （2）①根据题意可得，解得， 设中位数为，因为，， 所以，解得， 平均数为： ， 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5. ②, 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为. 18．龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）､方块（红色）､黑桃（黑色）､梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率最大？如果无关，请给出简要说明. 【答案】(1)，， (2)（i）；（ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大 【分析】（1）先根据题意计算出三种抽取方式下所有情况数，再列举出抽到一张红10和一张红的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）（i）根据对立事件的概率公式求解即可；（ii）方法一：设三次抽取成功的概率分别为，则，化简根据的大小可得结论；方法二：分别求出每种顺序下的概率，比较可得结论. 【详解】（1）设方式①的样本空间为，方式②的样本空间为，方式③的样本空间为， 则， 设事件“抽到一张红10和一张红”，（红桃10，红桃），（红桃10，方块），（方块10，红桃），（方块10，方块），（红桃，红桃10），（方块，红桃10），（红桃，方块10），（方块，方块10）， 故. （2）（i）记三次抽取至少有一次成功为事件， 则. （ii）有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 方法一：设三次抽取成功的概率分别为（即为不同顺序的一个排列）， 则， 又， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 方法二：若按①②③的顺序，， 同理①③②、②①③､②③①､③①②、③②①顺序下的概率分别为， 故此概率与三种方式的先后顺序有关，按方式②③①或①③②抽取概率最大. 19．如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面. (1)求直线与平面所成角的大小. (2)若直线分别与直线，所成的角相等，且. ①求二面角的大小； ②求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意即为直线与平面所成的角，计算可得为等边三角形，即可得出结果； （2）①如图，延长交于点，连接，由线面平行的性质可得，进而证得即为二面角的平面角，计算求解即可; ②利用勾股定理求解出,长，即可求出的体积. 【详解】（1）因为为三棱锥的高，故底面. 又平面，故. 因为点为的中点，故， 则为等边三角形，故. 又底面，则即为直线与平面所成的角， 故与平面所成角的大小为. （2）①如图，延长交于点，连接. 直线为过直线的平面与平面的交线， 又平面，故. 又为的中点，故为的中点. 则， 又平面平面， 故，易知. 因为直线与直线所成的角相等， 所以. 在与中， 故，故. 在与中， 故，故， 即为的平分线， 又，则，且为的中点， 又，则， 则即为二面角的平面角， 则， 则二面角的大小为. ②由，可知，则， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假检测（三） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（    ） A． B．3 C．5 D．9 2．已知全集，，，则（　　） A． B． C． D． 3．已知直线与平面没有公共点，直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．5 B． C．6 D．8 5．已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（    ） A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D． 7．如图，某山山顶与山底的垂直部分为（记山顶为点，山底为点），首先测量人员位于点，测得点位于正北方向，测得点的仰角为，然后测量人员沿北偏东方向行走了米到达点，此时测得，则此山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．在正三棱锥中，侧棱，点在棱上，且.若球是正三棱锥的外接球，过点作球的截面，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（    ） A． B．若，则，中至少有个是 C．满足的点形成的图形的面积为 D．若，则的最小值为 10．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若的三角形有两解 11．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是 . 13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 ． 14．如图，已知四面体的各条棱长均等于分别是棱的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，当截面面积最大时，四棱锥的体积为 ． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，，设. (1)用表示； (2)若，则当时，求的值. 16．三边长度均为整数的三角形称为“整边三角形”.若整边三角形的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：； (2)若，当取最小值时，求整边三角形的面积. 17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．    (1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题： ①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数． 18．龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）､方块（红色）､黑桃（黑色）､梅花（黑色））.现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红即为成功.现有三种抽取方式，如下表： 方式① 方式② 方式③ 抽取规则 有放回依次抽取 不放回依次抽取 按数字等比例分层抽取 成功概率 (1)分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率； (2)若三种抽取方式小明各进行一次， （i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率； （ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率最大？如果无关，请给出简要说明. 19．如图，为三棱锥的高，且点在的内部.点为的中点，且，直线平面. (1)求直线与平面所成角的大小. (2)若直线分别与直线，所成的角相等，且. ①求二面角的大小； ②求三棱锥的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $