16.1 幂的运算（5知识点+11大题型+分层训练）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“幂的运算”核心知识点，系统梳理同底数幂的乘法（底数不变、指数相加）、幂的乘方（底数不变、指数相乘）、积的乘方（各因式分别乘方再相乘）及其逆运用，从概念理解到性质应用构建完整学习支架。 该资料通过11类核心题型分类与ABC分层训练设计，以典例+变式强化运算能力，新定义题目培养创新意识，逆运用题型提升推理意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生针对性查漏补缺，落实数学思维与应用能力培养。

16.1幂的运算 学习目标导航 1、理解运算性质：经历探索同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算性质的过程，理解其算理，并能用符号语言准确表达。 2、掌握运算法则：能熟练运用三种幂的运算性质进行计算，辨析易错点（如底数符号、指数运算），提升代数运算能力。 洞悉◆教材知识 知识点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数 相同 的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 即 。（m、n都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加 推广： 。（m、n...p都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略 知识点02 同底数幂的乘法的逆运用 1. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 知识点03 幂的乘方 1. 幂的乘方的运算： 幂的乘方的运算法则，底数 不变 ，指数 相乘 。 即 。（m、n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展： 。（m、n...p都是正整数） 知识点04 幂的乘方法则逆运用 1. 幂的乘方的逆运算： = 。（m、n都是正整数） 知识点05 积的乘方 1. 积的乘方： 即： 。（m为正整数）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 拓展： 。（m为正整数） 核心题型◆归纳 题型01 同底数幂的乘法计算 题型02 底数互为相反数的幂的乘法计算 题型03 利用同底数幂的乘法求值 题型04 判断未知字母之间的关系 题型05 同底数幂的乘法的新定义题目 题型06 幂的乘方的计算 题型07 积的乘方的计算 题型08 利用幂的乘方的逆运用求值 题型09 利用积的乘方的逆运用求值 题型10 底数不同的幂的运算 题型11 比较幂的大小关系 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 同底数幂的乘法计算 【典例1】计算：a•a6＝（　　） A．a6 B．a7 C．2a6 D．2a7 【答案】B 【解答】解：a•a6＝a7． 故选：B． 【变式1】计算x2024•x2024的结果是（　　） A．2x2024 B．x4048 C．（2x）2024 D．（x2024）2024 【答案】B 【解答】解：原式＝x2024+2024＝x4048， 故选：B． 【变式2】把下列各题的计算结果写成幂的形式． （1）100 000 000×106； （2）10n•10m•1000； （3）32×39﹣37×81； （4）4•2m﹣9•64+22m﹣4•23﹣m． 【答案】（1）1014； （2）10n+m+3； （3）0； （4）2m． 【解答】解：（1）100 000 000×106 ＝108×106 ＝1014； （2）10n•10m•1000 ＝10n•10m•103 ＝10n+m+3； （3）32×39﹣37×81 ＝311﹣37×34 ＝311﹣311 ＝0； （4）4•2m﹣9•64+22m﹣4•23﹣m ＝22•2m﹣9•26+22m﹣4+3﹣m ＝2m﹣1+2m﹣1 ＝2×2m﹣1 ＝2m． 题型02 底数互为相反数的幂的乘法计算 【典例1】计算（﹣a2）•a3的结果是（　　） A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5 【答案】C 【解答】解：（﹣a2）•a3＝﹣a2+3＝﹣a5． 故选：C． 【变式1】计算：（a﹣b）5（b﹣a）4＝　（a﹣b）9 （结果用幂的形式表示）． 【答案】（a﹣b）9． 【解答】解：（a﹣b）5（b﹣a）4 ＝（a﹣b）5（a﹣b）4 ＝（a﹣b）9． 故答案为：（a﹣b）9． 【变式2】计算： （1）（m﹣2n）2（2n﹣m）3； （2）a•a4﹣（﹣a）2•（﹣a3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）原式＝（2n﹣m）2•（2n﹣m）3 ＝（2n﹣m）5； （2）原式＝a1+4+a2+3 ＝a5+a5 ＝2a5． 题型03 利用同底数幂的乘法求值 【典例1】若4a＝3，4b＝5，则4a+b＝（　　） A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】A 【解答】解：4a+b＝4a×4b＝3×5＝15， 故选：A． 【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【答案】C 【解答】解：∵2x＝5， ∴2x+3 ＝2x×23 ＝5×8 ＝40． 故选：C． 【变式2】已知x+y﹣2＝0，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，x+y＝2， ∴5x•5y＝5x+y＝52＝25． 故选：C． 题型04 判断未知字母之间的关系 【典例1】若m，n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是（　　） A．m＝n B．m+1＝5n C．m+1＝n5 D．5m＝n5 【答案】B 【解答】解：∵5m+5m+5m+5m+5m＝5×5m＝5m+1，5n×5n×5n×5n×5n＝5n+n+n+n+n＝55n， 又∵5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n， ∴5m+1＝55n， ∴m+1＝5n， 故选：B． 【变式1】已知2a＝3，2b＝6，则a，b的关系式是a+1＝b ． 【答案】a+1＝b． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，3×2＝6， ∴2a×2＝2b， ∴2a+1＝2b， ∴a+1＝b， 故答案为：a+1＝b． 【变式2】设2a＝3，2b＝6，2c＝12．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+1；④b2﹣ac＝1．其中，正确的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12， ∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， ∴①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， ∴a+c＝2b，正确，符合题意； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，正确，符合题意； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，错误，不符合题意； ④b2﹣ac＝（a+1）2﹣a（a+2）＝a2+2a+1﹣a2﹣2a＝1，正确，符合题意， 综上所述，正确的结论有：①②④三个， 故选：C． 题型05 同底数幂的乘法的新定义题目 【典例1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）；比如f（2）＝3，则f（4）＝f（2+2）＝3×3＝9．若f（3）＝k（k≠0），那么f（27）的结果是（　　） A．9k B．k9 C．27k D．k27 【答案】B 【解答】解：∵f（3）＝k（k≠0）， ∴f（27）＝f（3+3+3+3+3+3+3+3+3）＝f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）＝k9， 故选：B． 【变式1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如若h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2026）的结果是（　　） A．2026 B．k2026 C．k1013 D．k1014 【答案】C 【解答】解：∵h（m+n）＝h（m）•h（n），h（2）＝k（k≠0）， ∴h（2+2）＝k×k＝k2， ∴h（2n）＝kn， ∴h（2026）＝h（2×1013）＝k1013， 故选：C． 【变式2】定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（3，5）+（3，7）＝（3，x），求x的值． 【答案】35． 【解答】解：设3m＝5，3n＝7， 依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n， ∴（3，5）+（3，7）＝m+n． ∴（3，x）＝m+n， ∴x＝3m+n ＝3m×3n ＝5×7 ＝题型06 幂的乘方的计算 【典例1】若3m＝（34）2，则m的值为（　　） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解答】解：∵3m＝（34）2＝38， ∴m＝8， 故选：C． 【变式1】已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【答案】C 【解答】解：∵m、n均为正整数，且2m+3n＝5， ∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32． 故选：C． 【变式2】计算： （1）（﹣x2）5； （2）[（x+y）a+1]3； （3）（﹣x4）2﹣x•（﹣x）3•（﹣x）4． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣x10； （2）原式＝（x+y）3（a+1） ＝（x+y）3a+3； （3）原式＝x8﹣x•（﹣x）3•x4 ＝x8+x•x3•x4 ＝2x8． 题型07 积的乘方的计算 【典例1】计算（﹣m2n）3的结果是（　　） A．﹣m5n B．m6n3 C．﹣m6n3 D．﹣m5n3 【答案】C 【解答】解：（﹣m2n）3＝﹣m6n3． 故选：C． 【变式1】若xn＝3，yn＝8，则（x2y）n＝　72　 ． 【答案】72． 【解答】解：∵xn＝3，yn＝8， ∴原式＝xn•xn•yn＝72， 故答案为：72． 【变式2】计算： （1）（x3y3）m； （2）（﹣3pq）2； （3）（3×103）2； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（x3y3）m＝x3my3m； （2）（﹣3pq）2＝9p2q2； （3）（3×103）2， ＝32×103×2， ＝9×106； （4）（ab2c3）3a3b6c9． 题型08 利用幂的乘方的逆运用求值 【典例1】已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：∵x2n+m＝128， ∴（xn）2•xm＝128， 又∵xm＝8， ∴（xn）2×8＝128， ∴（xn）2＝16， ∴xn＝±4． 故选：B． 【变式1】若am＝3，an＝2，则a2m+n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】D 【解答】解：∵am＝3，an＝2， ∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝32×2＝9×2＝18． 故选：D． 【变式2】已知ax＝2，ay＝3，则a3x+2y等于（　　） A．1 B．72 C．﹣72 D．﹣36 【答案】B 【解答】解：当ax＝2，ay＝3时， a3x+2y ＝a3x×a2y ＝（ax）3×（ay）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72． 故选：B． 题型09 利用积的乘方的逆运用求值 【典例1】若（2xaya+b）3＝8x9y15成立，那么a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝6 B．a＝3，b＝2 C．a＝6，b＝2 D．a＝3，b＝5 【答案】B 【解答】解：∵（2xaya+b）3＝8x9y15， ∴， 解得． 故选：B． 【变式1】计算：0.252024×（﹣42025）＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：原式＝[4×0.25]2024×（﹣4） ＝12024×（﹣4） ＝1×（﹣4） ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【变式2】计算（1）10•（10×9×8×7×…×3×2×1）10． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）10•（10×9×8×7×…×3×2×1）10＝（1×10×9×8×7×…×3×2×1）10＝110＝1； 题型10 底数不同的幂的运算 【典例1】已知3m+2n＝4，则8m•4n＝（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解答】解：8m•4n＝（23）m•（22）n＝23m•22n＝23m+2n， ∵3m+2n＝4， ∴原式＝24＝16． 故选：B． 【变式1】若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【答案】C 【解答】解：∵2m＝4n+1，27n＝3m+1， ∴2m＝22n+2，33n＝3m+1， ∴m＝2n+2，3n＝m+1， 解得：n＝3，m＝8， ∴m﹣n＝8﹣3＝5． 故选：C． 【变式2】已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：∵2x+3•3x+3＝（2×3）x+3＝6x+3，36x﹣2＝（62）x﹣2＝62x﹣4， ∴x+3＝2x﹣4， 解得：x＝7． 故选：C． 题型11 比较幂的大小关系 【典例1】已知a＝243，b＝422，c＝815，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【答案】D 【解答】解：根据题意，将底数化为相同，然后比较指数可得： a＝243，b＝422＝（22）22＝244，c＝815＝（23）15＝245， ∴c＞b＞a， 故选：D． 【变式1】已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【解答】解：∵b＝96＝（32）6＝312，a＝313，c＝275＝（33）5＝315且12＜13＜15， ∴c＞a＞b． 故选：A． 【变式2】比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． 【答案】（1）255＜622＜344＜533； （2）c＜b＜a； （3）P＝Q． 【解答】解：（1）∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11＝12511，622＝（62）11＝3611， ∵3211＜3611＜8111＜12511， ∴255＜622＜344＜533； （2）∵a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122， ∵3122＜3123＜3124， ∴961＜2741＜8131， ∴c＜b＜a； （3）∵， ∴P＝Q． 35． ABC分层训练 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则，对a3·a2进行计算，底数a保持不变，将指数3和2相加，得到结果的指数，进而确定答案． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则：， 计算a3·a2时，底数a不变，指数相加，即． 故选：A． 2．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 5．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．若实数x满足，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的是代数式的求值，同底数幂的乘法逆用，找到整体进行降次是解题的关键．把化为：代入降次，再把代入求值即可． 【详解】解：由得：， 所以： ． 故选C． 7．计算的结果是（ ） A． B． C． D．﹣ 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方等，熟练掌握相关公式的逆运算是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法与积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可． 【详解】解： ． 故选：A． 8．_______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先将式子化为同底数幂的乘法，再进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知，则m的值为_____． 【答案】2 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方；根据题意得到，根据等式列出，；计算即可求出． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，； 解得：， 检验：将代入原方程，左右两边相等，等式成立， 故答案为：2． 10．已知，，求__________． 【答案】6 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为： 11．计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方逆运算和同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方逆运算是解题的关键． （1）根据积的乘方逆运算进行计算，然后即可求解． （2）根据积的乘方逆运算和同底数幂的乘法进行计算，然后即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 12．计算：结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 13．式子的运算结果与下列各个选项运算结果不一致的是（    ） A．2个相乘 B．6个a相乘 C．8个a相乘 D．4个相乘 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的定义、同底数幂的乘法和乘方，掌握相应的运算法则是关键．利用幂的乘方，同底数幂的乘法和乘方法则进行计算，并对此结果即可． 【详解】解： A．2个相乘结果为：； B．6个a相乘为； C．8个a相乘为； D．4个相乘为， 综上所述，选项B的运算结果和式子的运算结果不一致． 故选：B． 14．若，，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据同底数幂相乘的法则和同底数幂相加的运算，分别求出m和n的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 15．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相乘法则． A.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； B．根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C、D选项均根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； B．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； D．∵， ∴此选项的计算正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 16．已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 17．已知，，求 _________． 【答案】60 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆用，根据题意，将，代值求解即可得到答案．熟记同底数幂的乘法运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：60． 18．计算：______． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 19．若，则_____． 【答案】4 【知识点】同底数幂相乘 【分析】利用同底数幂的乘法公式计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ， 故， 解得， 故答案为：4． 20．若，则______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，熟记性质并灵活运用是解题的关键，要注意整体思想的利用．将看作一个整体并求出其值，然后逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：81． 21．已知（，且），则的值为______． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可得出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 22．已知，，则__________． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了逆用同底数幂相乘，幂的乘方，根据题意得出，再代入数据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据同底数幂的乘法法则求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算：． 【答案】 【知识点】幂的混合运算 【分析】本题考查幂的混合运算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方运算法则计算，最后合并即可． 【详解】解：原式 ． 25．一般的数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）． (1)已知，，，请把a，b，c用“＜”连接起来：______． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1) (2)72 (3) 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的逆运算，掌握运算法则并灵活运用是解答的关键． （1）利用幂的乘方逆运算法则将a、b、c化为指数相同的数，再比较底数的大小即可求解； （2）利用同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算求得即可； （3）利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1幂的运算 学习目标导航 1、理解运算性质：经历探索同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算性质的过程，理解其算理，并能用符号语言准确表达。 2、掌握运算法则：能熟练运用三种幂的运算性质进行计算，辨析易错点（如底数符号、指数运算），提升代数运算能力。 洞悉◆教材知识 知识点01 同底数幂的乘法 1. 同底数幂的概念： 底数 相同 的幂叫做同底数幂。 2. 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 即 。（m、n都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加 推广： 。（m、n...p都是正整数） 底数可以是数，可以是式子。若底数是多项式时，用括号括起来看成整体。指数是1时不能忽略 知识点02 同底数幂的乘法的逆运用 1. 同底数幂的乘法的逆运算： 。（m、n都是正整数） 知识点03 幂的乘方 1. 幂的乘方的运算： 幂的乘方的运算法则，底数 不变 ，指数 相乘 。 即 。（m、n都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展： 。（m、n...p都是正整数） 知识点04 幂的乘方法则逆运用 1. 幂的乘方的逆运算： = 。（m、n都是正整数） 知识点05 积的乘方 1. 积的乘方： 即： 。（m为正整数）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 拓展： 。（m为正整数） 核心题型◆归纳 题型01 同底数幂的乘法计算 题型02 底数互为相反数的幂的乘法计算 题型03 利用同底数幂的乘法求值 题型04 判断未知字母之间的关系 题型05 同底数幂的乘法的新定义题目 题型06 幂的乘方的计算 题型07 积的乘方的计算 题型08 利用幂的乘方的逆运用求值 题型09 利用积的乘方的逆运用求值 题型10 底数不同的幂的运算 题型11 比较幂的大小关系 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 同底数幂的乘法计算 【典例1】计算：a•a6＝（　　） A．a6 B．a7 C．2a6 D．2a7 【变式1】计算x2024•x2024的结果是（　　） A．2x2024 B．x4048 C．（2x）2024 D．（x2024）2024 【变式2】把下列各题的计算结果写成幂的形式． （1）100 000 000×106； （2）10n•10m•1000； （3）32×39﹣37×81； （4）4•2m﹣9•64+22m﹣4•23﹣m． 题型02 底数互为相反数的幂的乘法计算 【典例1】计算（﹣a2）•a3的结果是（　　） A．a6 B．﹣a6 C．﹣a5 D．a5 【变式1】计算：（a﹣b）5（b﹣a）4＝　 （结果用幂的形式表示）． 【变式2】计算： （1）（m﹣2n）2（2n﹣m）3； （2）a•a4﹣（﹣a）2•（﹣a3）． 题型03 利用同底数幂的乘法求值 【典例1】若4a＝3，4b＝5，则4a+b＝（　　） A．15 B．30 C．45 D．75 【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【变式2】已知x+y﹣2＝0，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 题型04 判断未知字母之间的关系 【典例1】若m，n是正整数，且满足5m+5m+5m+5m+5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是（　　） A．m＝n B．m+1＝5n C．m+1＝n5 D．5m＝n5 【变式1】已知2a＝3，2b＝6，则a，b的关系式是 ． 【变式2】设2a＝3，2b＝6，2c＝12．现给出实数a、b、c三者之间的四个关系式：①a+c＝2b；②a+b＝2c﹣3；③b+c＝2a+1；④b2﹣ac＝1．其中，正确的关系式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05 同底数幂的乘法的新定义题目 【典例1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）；比如f（2）＝3，则f（4）＝f（2+2）＝3×3＝9．若f（3）＝k（k≠0），那么f（27）的结果是（　　） A．9k B．k9 C．27k D．k27 【变式1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如若h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2026）的结果是（　　） A．2026 B．k2026 C．k1013 D．k1014 【变式2】定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（3，5）+（3，7）＝（3，x），求x的值． 题型06 幂的乘方的计算 【典例1】若3m＝（34）2，则m的值为（　　） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式1】已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（　　） A．16 B．25 C．32 D．64 【变式2】计算： （1）（﹣x2）5； （2）[（x+y）a+1]3； （3）（﹣x4）2﹣x•（﹣x）3•（﹣x）4． 题型07 积的乘方的计算 【典例1】计算（﹣m2n）3的结果是（　　） A．﹣m5n B．m6n3 C．﹣m6n3 D．﹣m5n3 【变式1】若xn＝3，yn＝8，则（x2y）n＝ 　 ． 【变式2】计算： （1）（x3y3）m； （2）（﹣3pq）2； （3）（3×103）2； （4）． 题型08 利用幂的乘方的逆运用求值 【典例1】已知xm＝8，x2n+m＝128，则xn的值是（　　） A．±8 B．±4 C．4 D．8 【变式1】若am＝3，an＝2，则a2m+n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．18 【变式2】已知ax＝2，ay＝3，则a3x+2y等于（　　） A．1 B．72 C．﹣72 D．﹣36 题型09 利用积的乘方的逆运用求值 【典例1】若（2xaya+b）3＝8x9y15成立，那么a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝6 B．a＝3，b＝2 C．a＝6，b＝2 D．a＝3，b＝5 【变式1】计算：0.252024×（﹣42025）＝　 　 ． 【变式2】计算（1）10•（10×9×8×7×…×3×2×1）10． 题型10 底数不同的幂的运算 【典例1】已知3m+2n＝4，则8m•4n＝（　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式1】若2m＝4n+1，27n＝3m+1，则m﹣n的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【变式2】已知2x+3•3x+3＝36x﹣2，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型11 比较幂的大小关系 【典例1】已知a＝243，b＝422，c＝815，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【变式1】已知a＝313，b＝96，c＝275，则a、b、c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【变式2】比较下列各题中幂的大小： （1）比较255，344，533，622这4个数的大小关系； （2）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，比较a、b、c的大小关系； （3）已知，，比较P，Q的大小关系． ABC分层训练 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 5．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．若实数x满足，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 7．计算的结果是（ ） A． B． C． D．﹣ 8．_______． 9．已知，则m的值为_____． 10．已知，，求__________． 11．计算： （1）______ （2）______． 12．计算：结果正确的是（   ） A． B． C． D． 13．式子的运算结果与下列各个选项运算结果不一致的是（    ） A．2个相乘 B．6个a相乘 C．8个a相乘 D．4个相乘 14．若，，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 15．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．已知，，，那么a、b、c之间满足的等量关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 17．已知，，求 _________． 18．计算：______． 19．若，则_____． 20．若，则______． 21．已知（，且），则的值为______． 22．已知，，则__________． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算：． 25．一般的数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）． (1)已知，，，请把a，b，c用“＜”连接起来：______． (2)若，，求的值． (3)计算：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $