课时规范练18　利用导数研究函数的单调性-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层递进设计，覆盖导数单调性判定、参数范围求解及综合应用，基础巩固与创新拓展结合，适配一轮复习知识深化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固练|导数求单调区间、单调性求参数范围|直接应用导数公式，如第1题求单调递增区间，第2题已知单调性求a的范围，夯实概念理解| |综合提升练|函数性质与单调性综合、含参单调性讨论|结合奇偶性（第9题）、区间分析（第10题），第11题分类讨论参数对单调性影响，培养逻辑推理| |创新应用练|新情境函数单调性分析|引入双曲函数（第12题），通过定义辨析单调性，体现数学抽象与创新意识，拓展应用能力|

课时规范练18　利用导数研究函数的单调性 (分值:81分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·广西南宁模拟)函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(　　) A.(-,+∞) B.(-2,+∞) C.(-1,+∞) D.(0,+∞) 2.(2025·广东潮州模拟)若函数f(x)=ax+cos x在(-∞,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.[-1,+∞) D.(-1,+∞) 3.(2025·四川遂宁模拟)已知函数f(x)=x+cos x,若f(ln x)<f(1),则实数x的取值范围是(　　) A.(0,e) B.(0,1) C.(e,+∞) D.(1,+∞) 4.(2025·河南驻马店模拟)已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(x)是可导函数,g(x)=xf(x).若a=g(),b=g(-),c=g(),则下列选项正确的是(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 5.(2026·河南商丘模拟)已知函数f(x)=ax-tan x在[0,]上单调递增,则实数a的最小值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 6.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(,2)内存在单调递增区间,则实数a的取值可以为(　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 7.(2025·甘肃平凉模拟)函数f(x)=x+2cos x(-π<x<π)的单调递减区间是　　　　　.  8.(15分)(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=ex+ax+a(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性,并求最值. 综 合 提升练 9.已知函数f(x)=e|x|-x2,若a=f(-),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b>a>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 10.(多选题)(2025·河南南阳一模)若函数f(x)=-x3+x2+2x+1是区间(m-1,m+4)内的单调函数,则实数m的值可以是 (　　) A.-5 B.-3 C.3 D.4 11.(13分)(2025·山东九五高中协作体二模节选)已知函数f(x)=ax2+a,讨论f(x)的单调性. 创 新 应用练 12.(多选题)(2025·八省联考,10)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则(　　) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)= 参考答案 1.A　解析 函数f(x)=(x+1)e2x的定义域为R,f'(x)=e2x+2(x+1)e2x=(2x+3)e2x,令f'(x)>0,解得x>-,所以函数f(x)=(x+1)e2x的单调递增区间是(-,+∞).故选A. 2.A　解析 由f(x)=ax+cos x, 则f'(x)=a-sin x. 因为函数f(x)=ax+cos x在(-∞,+∞)内单调递增,所以f'(x)=a-sin x≥0在(-∞,+∞)内恒成立,则a≥sin x在(-∞,+∞)内恒成立. 因为y=sin x在(-∞,+∞)内的最大值为1,所以a≥1.故选A. 3.A　解析 因为f(x)=x+cos x,所以f'(x)=1-sin x≥0, 所以函数y=f(x)在R上单调递增, 所以f(1)>f(ln x),等价于 解得0<x<e, 故实数x的取值范围是(0,e).故选A. 4.C　解析 因为奇函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>0,且f'(x)≥0,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函数,g(-)=g(). 当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)内单调递增.因为0<<1<,所以g()<g()<g(),即b<a<c.故选C. 5.C　解析 函数f(x)=ax-tan x,求导得f'(x)=a-=a-, 由函数f(x)在[0,]上单调递增,得当x∈[0,]时,f'(x)≥0,即a恒成立, 而当x∈[0,]时,cos2x≤1,即12,所以a≥2, 所以实数a的最小值为2.故选C. 6.CD　解析 f'(x)=+2ax=, 因为函数f(x)=ln x+ax2-2在区间(,2)内存在单调递增区间, 所以2ax2+1>0在(,2)内有解, 所以a>-有解, 由于x∈(,2),所以x2∈(,4),故-(-2,-),则实数a的取值范围是(-2,+∞),结合选项可知a=-1,a=0符合题意.故选CD. 7.[](写成(),(],[)同样正确)　解析 因为f(x)=x+2cos x(-π<x<π),f'(x)=1-2sin x,令f'(x)≤0,得sin x,解得x, 所以f(x)的单调递减区间是[]. 8.解 (1)当a=1时,f(x)=ex+x+1,则f'(x)=ex+1,则f(0)=2,f'(0)=2,则f(x)的图象在(0,f(0))处的切线方程为y-2=2(x-0),即y=2x+2. (2)由f(x)=ex+ax+a得f'(x)=ex+a, ①当a≥0时,f'(x)>0在R上恒成立,故f(x)在R上单调递增,无最值; ②当a<0时,由f'(x)=0, 解得x=ln(-a), 当x<ln(-a)时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减; 当x>ln(-a)时,f'(x)>0,则f(x)在(ln(-a),+∞)上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(ln(-a))=eln(-a)+aln(-a)+a=aln(-a),无最大值. 综上,当a≥0时,f(x)在R上单调递增,无最值; 当a<0时,f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,在(ln(-a),+∞)上单调递增,最小值为aln(-a),无最大值. 9.D　解析 函数f(x)的定义域为R. 因为f(-x)=e|-x|-(-x)2=e|x|-x2=f(x),所以f(x)为偶函数, 当x≥0时,f(x)=ex-x2, 所以f'(x)=ex-2x. 令φ(x)=f'(x),则φ'(x)=ex-2, 令φ'(x)<0,解得0≤x<ln 2; 令φ'(x)>0,解得x>ln 2, 所以φ(x)在[0,ln 2)内单调递减,在(ln 2,+∞)内单调递增,可得φ(x)≥φ(ln 2)=2(1-ln 2)>0,即f'(x)>0在[0,+∞)内恒成立,所以f(x)在[0,+∞)内单调递增. 令g(x)=,则g'(x)=,所以当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,当0<x<e时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增, 又e<π<4,所以g(e)>g(π)>g(4),即,所以,所以f()>f()>f()=f(-),即b>c>a.故选D. 10.ACD　解析 f'(x)=-x2+x+2, 令f'(x)=0,即-x2+x+2=0, 解得x=2或x=-1. 当f'(x)>0时,有-1<x<2,函数f(x)单调递增; 当f'(x)<0时,有x<-1或x>2,函数f(x)单调递减. 因为函数f(x)在区间(m-1,m+4)内是单调函数,所以有以下两种情况: 当(m-1,m+4)⊆(-∞,-1)时,有解得m≤-5,故A正确,B错误; 当(m-1,m+4)⊆(2,+∞)时,有解得m≥3,故C,D正确. 故选ACD. 11.解 函数f(x)的定义域为R,f'(x)=+ax=x(a-). 若a≤0,则a-<0恒成立,当x<0时,f'(x)>0,当x>0时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减. 若a>0,令f'(x)=0,解得x=0或x=-ln a. 若0<a<1,当x<0时,f'(x)>0,当0<x<-ln a时,f'(x)<0,当x>-ln a时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,-ln a)内单调递减, 在(-ln a,+∞)内单调递增; 若a=1,f'(x)=x(1-), 当x∈(-∞,0)时,1-<0,f'(x)=x(1-)>0, 当x∈(0,+∞)时,1->0,f'(x)=x(1-)>0,f'(0)=0, 所以f'(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增; 若a>1,当x∈(-∞,-ln a)时,f'(x)>0,当x∈(-ln a,0)时,f'(x)<0, 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,-ln a)内单调递增, 在(-ln a,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减; 当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,-ln a)内单调递减,在(-ln a,+∞)内单调递增; 当a=1时,f(x)在R上单调递增; 当a>1时,f(x)在(-∞,-ln a)内单调递增, 在(-ln a,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增. 12.ACD　解析 对于A,令f(x)=sinh x=,则f'(x)=>0恒成立,故双曲正弦函数是增函数,故A正确;对于B,令g(x)=cosh x=,则g'(x)=,由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)==0,故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,故B错误;对于C,tanh x==1-,由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,故tanh x=1-是增函数,故C正确;对于D,由C知tanh x=, 则tanh(x+y)====,故tanh(x+y)=,故D正确. 故选ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $