专题3.6 导数与函数的极值、最值（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以7大题型为核心，分层突破导数与函数极值最值问题，覆盖从概念理解到综合应用的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型1|4题|导函数图象与极值关系判断|从形到数，建立导数符号与单调性、极值的关联| |题型2-3|8题|求极值（点）及参数求解|从具体函数到含参问题，深化极值判定法则| |题型4-6|12题|最值求解（含参/已知最值求参）|从不含参到含参，构建最值分析的分类讨论框架| |题型7|4题|极值最值与零点、切线等综合|整合多知识点，培养综合应用与模型构建能力|

专题3.6 导数与函数的极值、最值（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 1 【题型2 求已知函数的极值（点）】 4 【题型3 根据极值（点）求参数】 6 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 9 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 11 【题型6 已知函数最值求参数】 14 【题型7 函数的极值、最值与其他问题综合】 16 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 【答案】D 【解题思路】根据导函数图象确定原函数的性质，导函数的正负确定原函数的单调性，根据导函数零点左右导数的正负确定极值点的情况. 【解答过程】，，在区间上单调递减，选项A错误； 时，，当时，，当时，， 所以不是极值点，选项B错误； 的3个零点，，， 当时，，当时，，不是极值点， 当时，，当时，，是极小值点， 当时，，当时，，是极大值点， 有个极值点，选项C错误； ，，在区间上单调递增，，选项D正确. 故选：D. 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】B 【解题思路】根据导函数图象得到导数的正负，从而得到函数的增减情况，判断A，根据导数的几何意义判断B，并根据函数的单调性，结合极值的定义判断CD． 【解答过程】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B. 3．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【解题思路】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【解答过程】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 4．（25-26高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【解答过程】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 【题型2 求已知函数的极值（点）】 5．（2026·辽宁葫芦岛·二模）函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 【答案】B 【解题思路】求得，得到函数的单调性，结合极小值点的定义，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，即为函数的极小值点. 故选：B. 6．（2026·浙江·模拟预测）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值. 【解答过程】， 记，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以，当时，， 因为，且当时，， 所以，当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增. 所以，当时，取得极小值. 故选：B. 7．（2026·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可. 【解答过程】因为函数在处取得极大值， 则，且， 即，所以； 所以，， 令，则或， 由，，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在处取得极大值，. 故选：C. 8．（2026·四川达州·一模）已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，的极大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由对称条件，设，则，代入已知表达式得到，再根据反推出时的解析式，接着对该函数求导，找驻点并判断单调性，确定极大值点，最后代入计算极大值. 【解答过程】当时，，由及时， 可得：， 则，故， 对求导得：， 令，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 故为极大值点，极大值为， 综上，极大值为. 故选：C. 【题型3 根据极值（点）求参数】 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】分、、讨论，利用导数求出极小值可得答案. 【解答过程】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 10．（2026·河南·一模）若函数在区间上有极大值，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】A 【解题思路】设极大值点为，由题意可得，，进而有，构造函数，求得最小值即可. 【解答过程】由，若在上有极大值，必存在极大值点， 即在上有解，即有解，所以有，， ， 所以有，令， 有， 可得函数的减区间为，增区间为，有， 当时，，则上，上， 所以在上单调递增，上单调递减，满足题设， 故的最小值为. 故选：A． 11．（2026·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，对分类讨论求出，验证即可. 【解答过程】由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 12．（2026·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导后分的取值范围讨论函数的单调性，当，求出函数的隐零点，即可求出极大值点从而得到，再次构造函数，利用导数分析单调性可得. 【解答过程】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：C． 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 13．（25-26高二·全国·寒假作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，即可求出单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，即可求出函数的最值. 【解答过程】因为，所以，由，得． 又当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，． 故，． 故选：B. 14．（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，则（    ） A．有最小值1，无最大值 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值0，无最大值 D．有最大值0，无最小值 【答案】C 【解题思路】利用导数得到其单调性和最值即可. 【解答过程】因为，所以. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为，无最大值. 故选：C. 15．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值. 【解答过程】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 16．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）设函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知得，则可得，根据得，然后利用导数法求出的单调区间，进而求出最大值即可． 【解答过程】由，可知， 即，即， 所以（为常数），从而． 又因为，所以，则． 由， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有最大值为． 故选：C. 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 17．（2026·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【解题思路】（1）求导，利用导数判断的单调性； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性和最值. 【解答过程】（1）令，且，解得， 可知的定义域为，且， 因为，且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减. （2）由（1）可知：的定义域为，且， 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为； 若，令，解得或； 令，解得或； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 所以的最大值为； 综上所述：若，的最大值为； 若，的最大值为. 18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【解答过程】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 19．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 时，在上单调递减； (3) 时，， 时，， 时，. 【解题思路】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 20．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【解题思路】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【解答过程】（1）因为， 所以 ，       则 ， 所以． （2）（i）由（1）得， 则 ，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 【题型6 已知函数最值求参数】 21．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先研究在上的单调性，再结合图象分析讨论的取值范围. 【解答过程】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因， 则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是. 故选：C. 22．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解题思路】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【解答过程】，. 令，得或. 由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ， 即，解得. 又，可取共5个. 故选：C. 23．（2026·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 【答案】1 【解题思路】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【解答过程】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为：. 24．（2026·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【解答过程】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 【题型7 函数的极值、最值与其他问题综合】 25．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零构造方程求解，注意最后要检验； （2）把有两个零点，转化为方程有两个正实数根，分离参数得到，令问题转化为与的交点个数，令求导，并分析的单调性求出最小值，再分段讨论求解． 【解答过程】（1）函数求导得，已知是极值点， 则，解得． 当时，， 当时，；当时，，故是极小值点，符合题意． 故． （2）已知有两个零点，即方程有两个正实数根， 则， 设，问题转化为与的交点个数， 令，则， ，令，得， 当时，，单调递减； 当且时，，单调递增； 当时，在处取得极小值，， 故在处取得极小值，为； 当和时，； 当时，且单调递增，故单调递增且， 故方程最多有一个零点； 要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即． 26．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数的图象在点处的切线方程为，求证：； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）通过求导，根据导数的正负来判断函数的单调性，从而得到极值； （2）求导，利用导数的几何意义求得函数，构建辅助函数，通过导函数的符号得出函数的单调性和最值，从而进行证明； （3）通过特殊值得到参数的范围，构建辅助函数，通过辅助函数的单调性和最值，从而得到原函数的单调性和最值，从而求得参数的值. 【解答过程】（1），求导可得， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极大值为，无极小值, （2）由（1）可知，，则函数在点处的切线方程为，即， 所以， 设函数， 求导可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即. （3）， 因为函数的最小值为2，所以， 当时，，可得， 求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，最小值为2，即解得. 27．（2026·浙江·模拟预测）已知函数（为自然对数的底数，） (1)求在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最大整数） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导求切点坐标，进而得到函数在该点的切线； （2）求导分析函数单调性，得到函数最小值； （3）针对取整函数分段讨论，利用各区间内的最小值，将恒成立问题转化为求的上界. 【解答过程】（1），   ，           在处的切线方程是. （2）由（1）知，  ，   则在上，，单减；在上，，单增； .        （3）当，，而，此时恒成立； 当，时，而，，此时不成立； 当，时，，此时恒成立 ； 时，，此时恒成立. 下证：时，恒成立. 令， ， 所以在上单调递增，         ， 因为 所以，即，     综上. 28．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点． ①求实数的取值范围； ②讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)① ；②答案见解析 【解题思路】（1）利用导数来求切线斜率，再利用题意得方程组求解即可； （2）①利用分类讨论思想，结合导数的正负来判断单调性，即可得极值点是否满足题意；②利用分类讨论思想，结合零点存在性定理可判断零点个数. 【解答过程】（1）设直线与曲线相切于点， 由切点在直线上得，， 因为，所以切线斜率为，可得, 代入可得: ,则可解得； （2）①由，，求导可得：， 当时，，时，；时，， 所以在上单调递减；在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，令得或；令得， 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不满足题意； 当时，，所以在上单调递增；不符合题意； 当时，令得或；令得， 所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增 所以是函数的极大值点，满足题意． 综上：实数的取值范围为． ②由， 根据①可知，在上递增；在上递减，在上递增， 则， 由，令， 则， 当，即时，，则在上无零点， 又时，，则在上无零点，故此时零点个数为0； 当，即时，同理只有，即零点个数为1； 当，即时，，，使得， 即零点个数为2， 综上：时，无零点；时，有1个零点；时，有2个零点． 一、单选题 1．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）函数在其定义域上（   ） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值 【答案】B 【解题思路】先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分析函数单调性，根据函数的单调性即可求判断函数的最值. 【解答过程】令真数，则，所以函数的定义域为， ，令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，无最大值. 故选：B. 2．（2026·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【解答过程】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 3．（2026·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出并验证即得. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 由是的极值点，得，解得， 此时，当时，；当时，， 因此是的极值点，所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，得该圆柱的体积，设，利用导数研究单调性进而求最大值即可. 【解答过程】设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以， 所以该圆柱的体积， 设，则，由， 得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则该圆柱体积的最大值是. 故选：D. 5．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（   ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．当时，取极小值 D．当时，取极大值 【答案】C 【解题思路】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项C正确， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D错误， 故选：C. 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，并得到恒成立，再令，求出，分，和三种情况进行分析，得到时，满足0是的极小值点，求出的取值范围. 【解答过程】， 因为是函数的极小值点，所以恒成立， 令，则， ， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意． 综上所述：的取值范围为． 故选：D. 7．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8．（2026·贵州·模拟预测）已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据得出，再根据的单调性以及极值即可得出. 【解答过程】由，得， 因为是的一个极值点，所以， 所以，，， 在上有得或，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因， 由函数在上有且仅有一个零点， 则，，解得， 所以实数b的取值范围为． 故选：A. 二、填空题 9．（2026·青海海东·二模）函数的极小值是___________. 【答案】 【解题思路】求出函数的导数，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得或， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故答案为：. 10．（2026·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【解答过程】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 11．（2026·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】求导，通过，，结合有两个变号零点，讨论求解. 【解答过程】由题意，得， 若，则，此时函数在上单调递减，不可能存在两个极值点，舍去， 若，则由题意，得关于的方程在上有两个不相等的实数根， 所以，解得， 故实数的取值范围为.， 故答案为：. 12．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为____________. 【答案】 【解题思路】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得，再由对称轴 在区间右侧可推出，解不等式组即可求解. 【解答过程】解：函数，则， 因为在有唯一的极值点且为极大值点， 所以根据零点的存在性定理得， 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ， 由于对称轴在区间 右侧， 要使在内有唯一的变号零点，则需满足 ， 而， ， 则不等式组可化为 ，解得， 综上,的取值范围为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，先求，则有两个不同的根，再将分离参数得到，可以找到相应的两个函数和，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐标，再利用的增减性求出的最大值，利用图象得到的取值范围及的范围，再将代入中，得到的双变量的等式，通过换元，设，由得到，得到，从而得到，构造函数，利用的单调性求出的最大值，即得到的取值范围，再利用在上是增函数，得到的最大值，从而得到的取值范围. 【解答过程】，，有两个极值点，有两个不同的根，变形为， 设，，则两个函数和有两个不同的交点，，，解得，在上是增函数；解得，在上是减函数；在处取得最大值，的最大值为.当时，；当时，；当时，恒成立；当时，.两个函数和有两个不同的交点，；在直角坐标系中画出和的图象，    结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是，又，则 ，，，，设，，，，，，，设 ，，设，，，，在上是减函数，， ，在上是减函数，，，在上是增函数； ，时取最大值，且的最大值为，综上可知. 故选：D. 2．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（    ） A．2是的极大值点 B．函数无零点 C．a的取值范围是 D．，，使 【答案】D 【解题思路】先利用导数求出的单调性，结合特殊点函数值，画出的图象，对于A，2是的极小值点，故A错误；B选项，点在直线下方，而点在直线上方，则函数必有零点；C选项，求出或，有1个实数根，故需有1个非零实根，则由图可得或，求出答案；D选项，求出．，故，，使. 【解答过程】当时，，则， 当时，，当时，， 故在，上单调递增，在上单调递减， 且，； 当时，，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，，且恒成立，画出函数的图象如下： 对于A，由图可得2是的极小值点，故A错误； 对于B，因为时，，即点在直线下方， 而点在直线上方，则函数必有零点，故B错误； 对于C，方程（）等价于或， 由图可得有1个实数根， ∴方程（）有两个不等实根， 等价于有1个非零实根，则由图可得或， 解得或，故C错误； 对于D，由图可得，当时． ∵，故，故结合图象可得时，， 故，，使，故D正确； 故选：D． 二、多选题 3．（2026·海南三亚·一模）已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 【答案】AB 【解题思路】利用导数讨论函数的单调性和极值，即可得判断AB；对于C：分析可得，结合单调性可得，即可判断C；对于D：举反例说明即可. 【解答过程】因为，则， 若，则，可知在定义域内单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，且的最小值为. 对于选项A：若在处取得极值，则且， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，函数的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得， 因为在内单调递减，则， 可得，函数无零点，故C错误； 对于选项D：若对任意，有恒成立， 则，解得， 可知的取值范围不可能是，故D错误. 故选：AB． 4．（2026·广西南宁·二模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【解题思路】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解. 【解答过程】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 故选：ACD． 三、解答题 5．（2026·湖南岳阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 【答案】(1)单调递增区间为． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性； （2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围； （ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证．通过构造函数，利用函数的导数证明对恒成立即可. 【解答过程】（1）当时，，定义域为．求导得． 令则 令得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 即恒成立． 因此，在上单调递增，单调递增区间为． （2）（ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根． 显然不是根，故可化为． 设，则． 当时，单调递减，且； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又时时，故在上从减至e，在上从e增至． 因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）． 当时有一个交点，当时无交点， 当时有一个交点． 故实数的取值范围是． （ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得． 令，则，代入得，解得． 于是． 要证，即证，等价于． 设，则． 令，则， 故在上单调递增，且，所以，即． 因此在上单调递增，又，故对恒成立． 从而原不等式成立，即． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知函数，其中，函数的最小值为2，为的导函数． (1)求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若在的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式求最小值，结合的最小值，得到参数的值； （2）由在上单调递增，可知在上恒成立，再通过求导得到函数单调性，找到最小值，解不等式得到的范围. （3）由（2）知在有极小值点，则.分析函数的单调性，结合，解得的范围，最后通过放缩得到. 【解答过程】（1），因为，所以， 当且仅当时等号成立，又的最小值为2， 所以，解得． （2）由（1）知，则， 令，则， 因为，所以在内单调递增， （ⅰ）时，，所以在内单调递增，，所以单调递增，即满足题意； （ⅱ）时，，记的根为，则， 即，所以在递减，在递增． 最小值为， 令，即，解得 综上，． （3）由（2）知时，，又， 当时，指数函数呈爆炸性增长，从而， 所以，使． 所以在递增，在递减，在递增． 因为，令，则． 令，则，所以在递减． 则，又，所以， 所以． 所以， 所以， 故. 7．（2026·河北邢台·三模）已知函数． (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的最大值． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【解题思路】（1）（i）先代入得到函数表达式，求切点处的函数值，再通过求导得到切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）先化简，再求导并分析导数的符号变化，确定函数的单调性，从而得到在处取得最大值； （2）将不等式变形为和，分析时的右侧函数求最小值和时的右侧函数求最大值，即可得到的取值范围． 【解答过程】（1）（i）当时，， ， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （ii）， ， 令 ， ， 所以在上单调递减，且 ， 所以时，，，单调递增； 时，，，单调递减； 所以在取得最大值； （2） 恒成立， 当时，，不等式恒成立，, 当时， 变形为， 令，， 令，得，即， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以时，取最大值， 所以， 当时， 变形为， ，， 令，得，即， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以时，取最大值， 所以， 综上，若不等式恒成立，则的取值范围为． 8．（2026·河南·三模）已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】(1)通过导数分析单调性，利用极小值点导数为0求解参数； (2)(i)分离参数后构造函数，通过单调性与最值确定参数范围； (ii)换元后结合极值点偏移，构造辅助函数证明不等式. 【解答过程】（1）由，求导得， 因恒成立，故的符号由决定， 由是的极小值点，得，即，解得， 当时，，时，单调递减； 时，单调递增，故为极小值点，符合题意， 因此，； （2）(i)由得，变形为， 令，则的零点等价于与的图象交点， 求导得，令，得， 时，，单调递减；时，，单调递增， ，且时，时， 因此，的取值范围为； (ii) 由是的零点，得， 由单调性可知，令，， 则，，且，，代入得， 设，则，在上单调递减，在上单调递增， 构造函数，， ， 由，则，故，在上单调递减， 则，即在恒成立， 因，故， 结合，得， 又，，在上单调递增， 因此，即， 故. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据题意，求导，利用导数求解. 【解答过程】（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 二、多选题 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【解题思路】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【解答过程】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解题思路】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【解答过程】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解题思路】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【解答过程】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD. 三、填空题 5．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②③④ 【解题思路】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【解答过程】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 故答案为：①②③④. 6．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则__________. 【答案】 【解题思路】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【解答过程】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 四、解答题 7．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【解题思路】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解； （2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数； （3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数. 【解答过程】（1），则， ， 所以，， 又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【解答过程】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 ， ， ， 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 9．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)且. 【解题思路】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii），证明见解析 【解题思路】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【解答过程】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 11．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【解答过程】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 导数与函数的极值、最值（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 1 【题型2 求已知函数的极值（点）】 2 【题型3 根据极值（点）求参数】 3 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 3 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 4 【题型6 已知函数最值求参数】 5 【题型7 函数的极值、最值与其他问题综合】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（    ）    A．在区间上单调递增 B．在处取得极大值 C．有3个极值点 D． 2．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 3．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 4．（25-26高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【题型2 求已知函数的极值（点）】 5．（2026·辽宁葫芦岛·二模）函数的极小值点为（   ） A．0 B． C．5 D． 6．（2026·浙江·模拟预测）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川达州·一模）已知定义在上的函数满足，当时，，则当时，的极大值是（ ） A． B． C． D． 【题型3 根据极值（点）求参数】 9．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2026·河南·一模）若函数在区间上有极大值，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．e 11．（2026·吉林长春·一模）已知函数的极大值为，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山东聊城·模拟预测）若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 13．（25-26高二·全国·寒假作业）函数在闭区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数，则（    ） A．有最小值1，无最大值 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值0，无最大值 D．有最大值0，无最小值 15．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 16．（25-26高三上·福建莆田·开学考试）设函数的导函数为，满足，且，则函数的最大值为（    ） A．0 B． C． D． 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 17．（2026·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 18．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 19．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 20．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【题型6 已知函数最值求参数】 21．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 23．（2026·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 24．（2026·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为__________. 【题型7 函数的极值、最值与其他问题综合】 25．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 26．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数的图象在点处的切线方程为，求证：； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 27．（2026·浙江·模拟预测）已知函数（为自然对数的底数，） (1)求在处的切线方程； (2)求的最小值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数的最大整数） 28．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点． ①求实数的取值范围； ②讨论的零点个数． 一、单选题 1．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）函数在其定义域上（   ） A．有最小值，有最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．无最小值，无最大值 2．（2026·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（25-26高三上·河北·阶段检测）已知某圆柱的上、下底面圆的圆周都在半径为4的球的表面上，则该圆柱体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（   ）    A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．当时，取极小值 D．当时，取极大值 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州·模拟预测）已知函数，是的一个极值点，且在上有且仅有一个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·青海海东·二模）函数的极小值是___________. 10．（2026·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为___________． 11．（2026·甘肃金昌·二模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________. 12．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为____________. 一、单选题 1．（2026·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（    ） A．2是的极大值点 B．函数无零点 C．a的取值范围是 D．，，使 二、多选题 3．（2026·海南三亚·一模）已知，，则下列结论正确的是（     ） A．若在处取得极值，则 B．当时，函数的最小值为2 C．当时，函数有2个零点 D．若对任意，有恒成立，则的取值范围是 4．（2026·广西南宁·二模）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 三、解答题 5．（2026·湖南岳阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个不同的极值点，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知函数，其中，函数的最小值为2，为的导函数． (1)求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若在的极小值点为，证明：． 7．（2026·河北邢台·三模）已知函数． (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）求函数的最大值． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 8．（2026·河南·三模）已知函数. (1)若是的极小值点，求的值； (2)若有两个零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 5．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是___________． 6．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则__________. 四、解答题 7．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 9．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围. 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 11．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $