专题04 反比例函数与一次函数结合应用的十一类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建系统训练体系，通过十一类题型分层突破反比例函数与一次函数综合应用，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5核心知识点+5易错点|交点求解（联立方程）、面积计算（k几何意义+割补法）、不等式解集（分区间讨论）|从概念（函数性质）到应用（方程与不等式），构建“性质-运算-应用”逻辑链| |题型归纳|11类题型（每类1典例+3变式）|图像结合（系数符号判断）、变换问题（平移/旋转/翻折转化）、实际应用（建模分析）|按“基础应用-图形变换-创新拓展”递进，覆盖中考高频考法| |压轴挑战|15道综合题|综合运用数形结合、分类讨论思想|融合多知识点，提升推理能力与问题解决能力|

专题04 反比例函数与一次函数结合应用的十一类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与一次函数图像结合 题型二、反比例函数与一次函数的交点问题 题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题 题型四、反比例函数与一次函数的面积问题 题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题 题型六、反比例函数与一次函数的平移问题 题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题 题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题 题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图 题型十、反比例函数与一次函数实际应用 题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知识点 1. 交点坐标求解：联立一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（a≠0）的解析式，解一元二次方程得到交点横坐标，再代入求纵坐标，交点个数对应方程根的个数（0个、1个、2个） 2. 图形位置判断：根据k₁（一次函数斜率）、k₂（反比例函数比例系数）的符号，判断两个函数在坐标系中的大致位置：k₁、k₂同号时两个函数有两个交点，异号时可能无交点；结合一次函数截距可进一步确定具体象限分布 3. 面积问题计算：利用反比例函数比例系数k的几何意义（过反比例函数图象上任意一点作x、y轴垂线，矩形面积为|k|），结合坐标法计算三角形、多边形面积，常用割补法转化为规则图形面积计算 4. 不等式解集求解：根据两个函数图象的上下位置关系，直接确定不等式kx+b > （或<）的解集，解集为对应x的取值范围，分x>0和x<0两个区间讨论 5. 实际应用建模：在行程、工程、经济等实际问题中，分别抽象出一次函数与反比例函数模型，结合函数性质解决最值、方案选择问题 常见易错点 1. 联立方程求解后，忽略检验根的有效性：反比例函数自变量x≠0，增根或x=0的根需要舍去，容易误算交点个数 2. 判断函数位置时，混淆两个函数的系数符号：容易将反比例函数k的符号套用到一次函数斜率上，导致象限判断错误 3. 面积计算时，忽略坐标符号错误：直接用坐标数值计算未加绝对值，导致面积结果为负，或分割图形时顶点坐标对应错误导致计算错误 4. 不等式解集漏解：讨论不等式解集时，只考虑x>0区间，漏掉x<0区间的解，或混淆图象上下位置对应的不等号方向，导致解集错误 5. 实际应用中忽略自变量取值范围：反比例函数实际问题中x往往取正数，容易扩大取值范围导致结果错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与一次函数图像结合 典例1 函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 变式1-1在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况当或时，函数图象所经过的象限进行判断即可. 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 变式1-2如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式1-3如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键． 延长交轴于点，过点作轴于点，可得， 均为等腰直角三角形，设点的坐标为，可得点的坐标为，可得直线函数解析式，设点的横坐标为，则可得点的坐标，计算出，由即可求解出的值． 【详解】解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵为直线上一点， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为，则， ∴点的坐标为， 设直线函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 设点的横坐标为，则， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：8． 类型二、反比例函数与一次函数的交点问题 典例2 反比例函数的图像与一次函数的图像（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】A 【分析】根据反比例函数与正比例函数的解析式判断出函数图像所经过的象限，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， 一次函数的图像过一、三象限， ∴两图像没有交点． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；方程组无解，则两者无交点．理解和掌握正比例函数与反比例函数的性质及图像是解题的关键． 变式2-1若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：A． 变式2-2若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为___________ 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称．据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 变式2-3如图，直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标 ． 正比例函数与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，写出已知交点关于原点的对称点的坐标即可 ． 【详解】解：直线与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∵一个交点坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题 典例3 如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 变式3-1如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 变式3-2如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】结合函数图象，可以得到当在的左边或者在和之间时，满足不等式，求解即可． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ∴根据函数的图象得：关于的不等式的解集为或． 变式3-3如图，一次函数的图象与坐标轴交于和，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 或 【分析】（1）将点A和点B坐标代入即可解得一次函数的解析式，再求出点C坐标为，进而求得反比例函数的解析式； （2）联立和解出点D坐标，再结合图像判断不等式的解集． 【详解】（1）解：将点A和点B坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵过点C作x轴的垂线的垂足是E，且点在第一象限， ∴点C的x坐标为， 将代入得，， ∴点C坐标为， 将点C坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立和，得， 解得或， 当时，， ∵点在第三象限， ∴点D坐标为， 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为或． 题型四、反比例函数与一次函数的面积问题 典例4 如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 变式4-1平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，以为圆心，长为半径画弧，交过点且平行于轴的直线于点，作垂直于轴交双曲线于点．若的面积为16，则的值等于（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题利用正比例函数与反比例函数交点关于原点对称的性质，设然后用和表示出点、点、点的坐标，再利用直角三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：如图，作于点，设交y轴于点， 直线过原点，双曲线关于原点对称 交点关于原点对称 设 ，则 由题意得，轴， ∴点纵坐标与点纵坐标相同，且， ∴ ∴ 轴， 点横坐标为，又在双曲线上，得 轴，轴， ， 是直角三角形 计算得 ， ， ∴ 由题意 ， ， 解得． 变式4-2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题 典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）先用点求出反比例函数中的，再由点的横坐标求出点的纵坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． （2）设点的坐标为，利用一次函数解析式求出直线与轴的交点，把的面积转化为与的面积之和，列方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点的横坐标为，且点在的图象上， ， ， 一次函数的图象过点、， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 一次函数与轴交于点， ， ， 、， 点到轴的距离为，点到轴的距离为， ， ， 又， ， ， 或， 解得：或， 点的坐标为或． 变式5-1如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出的的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：； (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解函数解析式； （2）由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即，进行解答，即可； （3）先求出点、的坐标，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即， ∴或． （3）解：当时，， ∴点， ∴， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ． 变式5-2如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由点，在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出，再用待定系数法求一次函数表达式． （2）先求出点，坐标，再设，利用直线与轴的交点把的面积转化为含的式子，由面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． （2）解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 变式5-3如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)８； (3)或． 【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得点的坐标，然后把点的坐标代入即可得到一次函数的表达式； （2）先确定点的坐标，再根据进行计算即可； （3）根据点的坐标结合图像可得不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，可得， 解得 ， ∴反比例函数为，点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过B点， ∴，解得 ∴点的坐标为， 把，代入得 解得 ∴一次函数为； （2）解：在直线中，令，则， ∴，即， ∴； （3）要满足不等式，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以的解集是或． 题型六、反比例函数与一次函数的平移问题 典例6 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据，得到，继而得到；确定或，根据平移求解即可； （3）根据题意，得或；当点P在直线上时，得或， 当点P在直线上时，得或，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． ，， 解得，， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：根据，得， ； 或， 设平移后的解析式为， 当直线经过时，得，解得； 当直线经过时，得，解得； 故平移后的函数解析式为或； （3）解：根据题意，得， 则，， 根据题意，得， ， ， ， 或 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为； 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据一次函数解析式求解点，再由待定系数法求解反比例函数解析式； （2）先求出设平移后的直线与x轴交于点D，连接．由得到，则根据求解点，即可求解直线的函数表达式． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点 ∴当时， 解得， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴ 设平移后的直线与x轴交于点D，连接． ， ． 的面积为10， ， ∴， ∴ ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为． 变式6-2我们通过作图知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到，那么反比例函数的图象向右平移3个单位长度后的图象解析式就是．解决问题：如图，已知反比例函数的图象与直线交于点和点B； (1)求a的值，并直接写出点B的坐标； (2)若将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后，图象经过点． ①求平移后的函数解析式； ②求直线与平移后的函数图象的交点坐标，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)；； (2)①；②，；或． 【分析】（1）根据直线过点，可以求出，联立得：可以求出点B的坐标； （2）①根据函数图象向右平移减，可得平移后的函数解析式，根据待定系数法，可得n值，函数解析式； ②联立联立，求出直线与平移后的函数图象的交点坐标即可，根据图象，结合交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线， 联立得：， 解得：，， ∴点； （2）解：①根据题意得：将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后的函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴平移后的解析式为． ②联立， 解得：，， ∴直线与平移后的函数图象的交点坐标为，； 如图，根据函数图象可得，不等式的解集为：或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数的交点问题，图像法求不等式解集等知识，利用了数形结合的思想解决问题是解题的关键． 变式6-3小华以前在学习一次函数的时候，通过研究发现：将一次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后（），得到的新的函数表达式为；类似地，将反比例函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后（），得到的新的函数表达式为，请运用这一知识解决问题：    (1)直接运用：函数的图像可以由函数的图像向右平移_____个单位，再向上平移_____个单位得到，其对称中心的坐标是_________________． (2)理解运用：如图直线和双曲线交于点A、B，其中点A坐标是 ①求出双曲线的函数表达式； ②将直线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求出平移后的直线表达式； ③直接写出不等式的解集． (3)灵活应用：小华经过研究发现函数的图像也是双曲线，已知点P、Q分别是两支上的两个动点，分别过点P、Q作轴的垂线，垂足分别为M、N，问轴上是否存在一个点C，使得和的面积相等，若存在求出点C坐标及相等的面积，若不存在请说明理由． 【答案】(1)1；3； (2)①；②；③或 (3)存在，点C坐标为，相等的面积为 【分析】（1）根据阅读部分提示，结合一次函数图象的平移规则可得答案，再结合的对称中心与平移的性质可得的对称中心； （2） ①把代入反比例函数解析式可得答案；②将代入可得原来直线的解析式，再根据平移规则可得平移后的解析式，③根据平移的性质可得与的交点坐标为：，，再结合函数图象可得不等式的解集； （3）画的图象；当轴于，轴于，可得，，结合函数可以看做是由数的图象向右平移2个单位得到的，从而可得答案． 【详解】（1）解：函数的图像可以由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，其对称中心的坐标是； （2）①设双曲线为，将代入得： ∴， ∴双曲线表达式为 ②设原直线为，将代入得： ∴ ∴原直线表达式为， 将直线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后直线表达式 ③∵与的交点坐标为，， ∴把向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得， ∴与的交点坐标为：，， 函数图象如下：    ∴不等式的解集为：或 ． （3）∵的图象如下；    当轴于，轴于， 则，， ∵函数可以看做是由数的图象向右平移2个单位得到的 ∴点C坐标为，相等的面积为． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，平移的性质，比例系数k的几何意义，利用待定系数法求解函数解析式，熟练的利用数形结合的方法得到不等式的解集是解本题的关键． 题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题 典例7 已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标； （2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：①∵ 在上， ∴， 把代入中得：， 则直线解析式为：，反比例函数解析式为：； ②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点， 则， 解得：或， ∴， ∴， 如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于， 设的距离为，则， 解得：， ∴、的距离为， ∴，    ∵，令，则，令，则，即，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 点的坐标为或； （2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，    ∴， ∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， ∴，，，， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴直线的解析式为， 若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为， ，即是的中点， 联立，解得：或（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键． 变式7-1已知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数表达式； (2)若将该反比例函数的图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及平移、对称变换后解析式的变化规律，正确理解平移变换和对称变换是本题解题的关键． （1）将A点代入，求出，然后求出B点坐标，将A，B坐标代入，求解析式； （2）向左平移3个单位，用代替x，沿y轴翻折，用代替x，即可得到新的表达式． 【详解】（1）解：将点代入解析式得：， ， 在上， ， ，即， ∵，均在上， ， 解得：， ∴； 综上所述，； （2）解：将向左平移3个单位长度得到：， 再沿y轴翻折得到：. 变式7-2如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，C是线段上一点，点D在线段上，将沿翻折，得到． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且，，求m的值及点C的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)m的值为1，点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法将点A、B分别代入一次函数中，建立二元一次方程组求得k、b的值，即可得解； （2）根据已知条件设，再设，利用翻折的性质列出方程求解并验根，得出m的值，再设点C的坐标为，利用翻折性质找等量关系，联立方程组求解，即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：将点A、B分别代入一次函数中， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当时，，， 设点C的坐标为， ∵点C在直线上， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， 化简得：， 联立方程组：， 解得：， ∴点C的坐标为． 变式7-3一次函数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，点到轴的距离等于点到轴的距离． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线，把直线上方反比例函数的图象沿着直线翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“图象”（不包含直线）． ①若时，求“图象”与轴的交点坐标； ②过点作轴的垂线，与轴，“图象”分别交于两点．若，请直接写出的值； ③直接写出点到的最短距离． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）设，则代入，得，根据，得到； （2）①先求出，得到一次函数解析式为：，设“图象”与x轴交点为，根据对称性可得关于直线的对称点的坐标为，再根据在反比例函数求解即可； ②先求出，，由对称性可得当时，“图象”解析式为，即，即可得到，，再根据列方程求解即可； ③根据，，的解析式为，得到点到的距离为，即可求出点到的最短距离为． 【详解】（1）解：设， ∵、两点均在反比例函数上，且点到轴的距离等于点到轴的距离， ∴， 将，代入，得 ， 得， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ∴， 将代入，得， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 设“图象”与x轴交点为， ∵过点A作y轴的垂线l， ∴直线l为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴在反比例函数上， ∴， 解得：， 故“图象”与轴的交点坐标为； ②∵一次函数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，点到轴的距离等于点到轴的距离， ∴，， ∵过点作轴的垂线， ∴的解析式为， ∴任意一点关于的对称点坐标为， ∵把直线上方反比例函数的图象沿着直线翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“图象”（不包含直线）． ∴当时，“图象”解析式为，即， ∵过点作轴的垂线，与轴，“图象”分别交于两点， ∴，，解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴； ③∵，， ∴的解析式为， ∴点到的距离为， ∴当时，点到的最短距离为． 题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题 典例8 如图，点为一次函数与反比例函数图象的交点，将一次函数的图象绕点P逆时针方向旋转． (1)求m的值； (2)求旋转后新一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象旋转，解决本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质． （1）将点代入反比例函数中求解即可； （2）添加辅助线构造全等三角形，即证明与全等，再根据待定系数法求解一次函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴点． （2）解：过P作轴于点C，过A作且，过B作轴于点D，如图， 设交y轴于点A，则， 则，，，， ∴，， ∴． 又∵， 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为，即新一次函数的表达式为． 变式8-1已知一次函数的图象与某反比例函数图象的一个公共点的横坐标为1． (1)求该反比例函数的解析式． (2)将一次函数的图象向上平移4个单位长度，再将反比例函数的图象以原点O为中心旋转，则旋转后的反比例函数图象与平移后的一次函数的图象是否仍有交点？如果有，求出交点坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) 有交点，交点坐标为和 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）平移后的图象对应的解析式为，联立两函数解析式，进而求得交点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴该公共点的坐标为， 设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：有交点；理由如下： 平移后的图象对应的解析式为，旋转后的反比例函数图象的形状不变，其解析式为， 联立 ， 解得或， ∴旋转后的反比例函数图象与平移后的一次函数的图象的交点为和． 变式8-2如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． (3)把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后的直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓 【答案】(1)，； (2) 解：点在反比例函数的图象上． 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点，则， 在中，当时，， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上； (3)且．． 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，求得交点坐标是解本题的关键． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将点代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，通过证得，得出，，即可求得，得出，代入反比例函数解析式即可判定点在反比例函数的图象上． （3）根据直线的旋转，当直线过点时为临界点，求出此时的即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 把点代入，得， ∴， 把，分别代入， 得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ∴直线的解析式为， 当直线过点时，由（2）知，； 当直线顺时针旋转时，不符合题意； 当直线逆时针旋转时，符合题意，直到直线过点， 此时，，解得， 综上，的取值范围：且． 变式8-3如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图 典例9 如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 【答案】(1) 如图，点即为所作； (2) 如图直线即为所作； 【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 【详解】（1）略 （2）略 变式9-1如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，交x轴于点D，且D为的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，在x轴上找出点F，使四边形为矩形，作出矩形； (2)在图②中，作出菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长交反比例函数图象于M，连接，并延长交反比例函数图象于，连接交x轴于，连接，则四边形即为所要求作的矩形； （2）延长和相交于点，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 两点在反比例函数的图象上，过点， ∴点关于原点对称， ∴， 由作图可知：点关于原点对称， ∴与关于原点对称， ∵与轴交于D，与x轴交于F， ∴点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵D是的中点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形即为所要求作的矩形； （2）解：如图，四边形即为所求； 由（1）得：四边形是矩形，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是所要求作的菱形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及反比例函数的对称性质，等边三角形的性质，中心对称作图，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等知识，本题综合性较强，属压轴题目．解题的关键是掌握以上知识点． 变式9-2在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查作垂线及作特殊四边形，解题的关键是理解题意，利用反比例函数的对称性解决问题，属于中考常考题型． （1）连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求； （3）与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形． 【详解】（1）解：如图：连接交于H，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）如图：连接并延长交反比例函数的图象于G，连接并延长交反比例函数的图象于M，连接交x轴于F，则点F即为所求； （3）如图：与一样方法得到点G，则和的延长线相交于点G，则四边形为菱形． 变式9-3如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 题型十、反比例函数与一次函数实际应用 典例10 我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 变式10-1为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 变式10-2某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 变式10-3某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用 典例10如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 变式10-1定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)C (2)①8；②；③ 【分析】本题考查的是一次函数和反比例综合运用，涉及到一次函数的旋转、新定义等，数形结合是解题的关键． （1）作图，有图观察判断，四个点中，是否在正方形的边上，即可求解； （2）①根据乘积为8，有图象可知反比例函数过点时，符合题设条件，即可求解；②设符合条件的两个点为点、，则即可求解；③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图，在y轴上，，，，为顶点的正方形，据图得出结论：． 【详解】（1）如图，边长为2的正方形，以点A为对称中心， 在、、、四个点中，只有点不在正方形的边上， 故选：C． （2）①如下图当反比例函数过点时，符合题设条件， 则， 故答案为：8； ②如图，设符合条件的两个点为点、， 则， 解得：，（不合题意舍去）； ③l绕原点顺时针旋转后的直线记为，则，如下图， 当两个函数的虚线和实线之间时，符合题设条件，即． 变式10-2定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①直接写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，求代数式的值，（直接写出结果）． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；② 【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可． （2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可； ②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可． （3）①根据定义，得，整理表示y即可． ②根据，变形得即，变形解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得， ∴矩形的周长为，面积为，不相等， ∴点不是“美好点”； ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得． （2）①∵点是“美好点”（）， ∴， 解得， ∴点， 把代入解析式中，得， 解得； ②∵， ∴双曲线的解析式为， ∵点在上， 解得， 故点， 过点F作轴于点H，交的延长线于点G， 设，直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）①∵点是第一象限内的“美好点”． ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查了矩形的周长和面积，点的坐标特点，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键． 变式10-3对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属合函数”．例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“2属合函数”． (1)一次函数为“1属合函数”，求的值． (2)反比例函数（且），是“属合函数”，且，请求出的值． 【答案】(1) (2)2019 【分析】（1）利用“k属合函数”的定义即可得出结论； （2）先判断出函数的增减性，利用“k属合函数”的定义得出，最后利用完全平方公式即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，一次函数的y随着x的增大而减小， ∵， ∴， ∵一次函数为“1属合函数”， ∴， ∴； （2）解：∵反比例函数， ∵， ∴在第一象限内，y随x的增大而减小， 当且是“k属合函数”， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数与反比例函数的综合题，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴将代入一次函数表达式，得； ∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入反比例函数表达式，得，解得， ∴的值是，的值是． 2．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先求出C，B坐标，从而求出OC，OB长度，由得，据此可求A点横坐标，代入即可求出A点纵坐标，将A点坐标代入即可得到k的值． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 代入得． 3．如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和的面积都为6，得点为的中点，设，，由中点坐标公式得，代入解析式得出，过点作轴于点，利用，即可求解． 【详解】解：∵和的面积都为， ∴，即点为的中点， 设，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点，则，， ∵， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值． 【详解】解：把代入， 得， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， ， 把，代入， 得， ， 一次函数的解析式为； 令，则， 一次函数与轴的交点为， 此时，最大，即为所求， 令，则， ， 如图，过点向轴作垂线， 则， ，， 由勾股定理可得：， 故所求的最大值为． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 【答案】/ 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 7．在平面直角坐标系中，若直线与双曲线（为常数，）的图象交于点，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______． 【答案】/0.5 【分析】先将交点坐标代入直线和双曲线的解析式，求出的值，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式计算结果． 【详解】解：点是直线与双曲线的交点， 将代入得：， 将代入得：， ，等式两边同时除以得：， 解得， 直线解析式为， 令，得， 解得，即直线与轴交点为， 令，得，即直线与轴交点为， 直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为，， 三角形面积公式得：． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 【答案】 【分析】设出点和点的坐标，利用点在反比例函数图象上满足解析式表示出坐标，再代入一次函数解析式建立关于和的方程组，消去求解的值，最后根据图象所在象限确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 由得，即 ， 将代入得， 整理得 ， 解得 ， 反比例函数图象位于第一、三象限， ． 9．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 【答案】 【分析】连接，，求出线的解析式为，直线的解析式为，联立，求出，设，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵直线经过，过作轴于点， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点B与点关于直线对称， ∴，． ∵， ∴ ∴设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（不合题意，舍去） ∴， 则点纵坐标为． 设， ∵， ∴， 解得， ∴D点纵坐标为． 10．小明将三角尺（，）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点位于处，边与轴重合，点在点左侧．将绕点顺时针旋转一定角度后，使点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在第一象限的双曲线上，则的值为_____ 【答案】 【分析】过点作轴于点，则，根据题意可得，根据旋转可得，，由勾股定理求出，证明，得到，，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， 点位于处， ， 由旋转可得，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 将代入，得， 解得． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）先利用点坐标求解反比例函数解析式，进而求出点坐标，再通过、两点确定一次函数表达式． （2）先求解出直线与轴的交点，设出轴上点的坐标，运用分割法，以为公共底，将拆分为、，结合、两点的横坐标作为两个三角形的高，进而表示出的面积，列方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，解得， 故反比例函数的表达式为． 点在反比例函数图象上，且纵坐标为， 将代入，解得， 故点的坐标为． 、两点经过一次函数图象，将两点坐标代入， 得到，解得， 故一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． （2）解：令一次函数中的，得，则点的坐标为， 设点的坐标为，则线段的长度为， ， ． ， ，即， 解得或， 的坐标为或． 答：的坐标为或． 12．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作轴，垂足为点，连接，且的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象向下平移个单位长度，与相交于点，与轴相交于点，求四边形的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2) 【分析】（1）由的面积可求出点的坐标，再将点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中即可求得两函数的解析式； （2）先确定点的坐标，根据平移的特征可确定四边形为平行四边形和的长，最后根据平行四边形的面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，解得， ， 将点代入一次函数得，， 解得， 一次函数的解析式为； 将点代入反比例函数得，， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：对于一次函数的解析式为，令，得， ， 轴， 轴， 将一次函数的图象向下平移个单位长度，与相交于点，与轴相交于点， ，， 四边形为平行四边形， 四边形的面积为． 14．如图，在单位长度为1的网格坐标系中，点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)将绕点B逆时针旋转，点C的对应点为A，在网格坐标系内确定点A，并写出其坐标． (2)若反比例函数的图象经过点A，则k的值为______． (3)连接，将向下平移，当点C平移后的对应点落在反比例函数的图象上时，求平移后点A的对应点的坐标． 【答案】(1)点A的位置如图，坐标为． (2)4 (3) 【分析】（1）根据旋转的作图即可得到答案； （2）把点A的坐标代入即可求出答案； （3）设向下平移m个单位长度后点C的对应点的坐标为．根据点落在反比例函数的图象上，得到．即向下平移了个单位长度．据此求出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：把代入得到，， 解得； （3）解：已知点C的坐标为，设向下平移m个单位长度后点C的对应点的坐标为． ∵点落在反比例函数的图象上， ∴，解得． 即向下平移了个单位长度． 由（1）知，点A的坐标为， ∴平移后点A的对应点的坐标为． 15．阅读与思考 请仔细阅读下面材料，完成相应问题： 在平面直角坐标系中，过点（，）分别作轴、轴的垂线，若垂线与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”． 例如，点：矩形周长为，面积为，两者相等，所以是和谐点． (1)判断：点________和谐点，点________和谐点．（填“是”或“不是”） (2)如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且是和谐点，求的值和反比例函数的解析式． (3)在（2）的条件下，反比例函数的图象上是否存在另一个和谐点（不与点重合）？若存在，求四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不是；是； (2)；； (3)存在，四边形的面积为． 【分析】（1）根据题意，分别求出关于点对应的矩形周长和矩形面积在进行比较大小即可求解； （2）根据是和谐点，列出方程，即可求出的值，再根据在反比例函数上，即可求出解析式； （3）假设存在点在反比例函数的图象上，且为和谐点，设，列出方程，求出点坐标，再根据点在，求出一次函数解析式和的坐标，根据坐标判断轴，，，最后根据四边形的面积即可求解． 【详解】（1）∵点：矩形周长为，矩形面积为， 又∵， ∴点不是和谐点； ∵点：矩形周长为，矩形面积为， 又∵， ∴点是和谐点； （2）∵是和谐点，， ∴，解得：， ∴ ∵在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （3）假设存在点在反比例函数的图象上，且为和谐点， ∵由（2）得， ∴设， ∴，整理得：， 解得：（舍），， ∴存在点， ∵由（2）得是上的点， ∴将代入，解得：， ∴一次函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴轴，，， ∴四边形的面积 ． 2 / 91 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数与一次函数结合应用的十一类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与一次函数图像结合 题型二、反比例函数与一次函数的交点问题 题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题 题型四、反比例函数与一次函数的面积问题 题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题 题型六、反比例函数与一次函数的平移问题 题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题 题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题 题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图 题型十、反比例函数与一次函数实际应用 题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知识点 1. 交点坐标求解：联立一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（a≠0）的解析式，解一元二次方程得到交点横坐标，再代入求纵坐标，交点个数对应方程根的个数（0个、1个、2个） 2. 图形位置判断：根据k₁（一次函数斜率）、k₂（反比例函数比例系数）的符号，判断两个函数在坐标系中的大致位置：k₁、k₂同号时两个函数有两个交点，异号时可能无交点；结合一次函数截距可进一步确定具体象限分布 3. 面积问题计算：利用反比例函数比例系数k的几何意义（过反比例函数图象上任意一点作x、y轴垂线，矩形面积为|k|），结合坐标法计算三角形、多边形面积，常用割补法转化为规则图形面积计算 4. 不等式解集求解：根据两个函数图象的上下位置关系，直接确定不等式kx+b > （或<）的解集，解集为对应x的取值范围，分x>0和x<0两个区间讨论 5. 实际应用建模：在行程、工程、经济等实际问题中，分别抽象出一次函数与反比例函数模型，结合函数性质解决最值、方案选择问题 常见易错点 1. 联立方程求解后，忽略检验根的有效性：反比例函数自变量x≠0，增根或x=0的根需要舍去，容易误算交点个数 2. 判断函数位置时，混淆两个函数的系数符号：容易将反比例函数k的符号套用到一次函数斜率上，导致象限判断错误 3. 面积计算时，忽略坐标符号错误：直接用坐标数值计算未加绝对值，导致面积结果为负，或分割图形时顶点坐标对应错误导致计算错误 4. 不等式解集漏解：讨论不等式解集时，只考虑x>0区间，漏掉x<0区间的解，或混淆图象上下位置对应的不等号方向，导致解集错误 5. 实际应用中忽略自变量取值范围：反比例函数实际问题中x往往取正数，容易扩大取值范围导致结果错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数与一次函数图像结合 典例1 函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 变式1-1在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式1-2如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 变式1-3如图，已知为直线上一点，过点作交反比例函数于点．若，则的值是______． 类型二、反比例函数与一次函数的交点问题 典例2 反比例函数的图像与一次函数的图像（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 变式2-1若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为（    ） A． B． C． D． 变式2-2若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为___________ 变式2-3如图，直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为____________． 题型三、反比例函数与一次函数的不等式问题 典例3 如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式3-1如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 变式3-2如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 变式3-3如图，一次函数的图象与坐标轴交于和，与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出关于x的不等式的解集． 题型四、反比例函数与一次函数的面积问题 典例4 如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-1平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，以为圆心，长为半径画弧，交过点且平行于轴的直线于点，作垂直于轴交双曲线于点．若的面积为16，则的值等于（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 变式4-2如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 变式4-3如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 题型五、反比例函数与一次函数的解析式问题 典例5 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点A的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且的面积为20，求点D坐标． 变式5-1如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出的的取值范围； (3)求的面积． 变式5-2如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 变式5-3如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 题型六、反比例函数与一次函数的平移问题 典例6 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-1如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式． 变式6-2我们通过作图知道，一次函数的图象可以由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到，那么反比例函数的图象向右平移3个单位长度后的图象解析式就是．解决问题：如图，已知反比例函数的图象与直线交于点和点B； (1)求a的值，并直接写出点B的坐标； (2)若将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后，图象经过点． ①求平移后的函数解析式； ②求直线与平移后的函数图象的交点坐标，并直接写出不等式的解集． 变式6-3小华以前在学习一次函数的时候，通过研究发现：将一次函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后（），得到的新的函数表达式为；类似地，将反比例函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位后（），得到的新的函数表达式为，请运用这一知识解决问题：    (1)直接运用：函数的图像可以由函数的图像向右平移_____个单位，再向上平移_____个单位得到，其对称中心的坐标是_________________． (2)理解运用：如图直线和双曲线交于点A、B，其中点A坐标是 ①求出双曲线的函数表达式； ②将直线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求出平移后的直线表达式； ③直接写出不等式的解集． (3)灵活应用：小华经过研究发现函数的图像也是双曲线，已知点P、Q分别是两支上的两个动点，分别过点P、Q作轴的垂线，垂足分别为M、N，问轴上是否存在一个点C，使得和的面积相等，若存在求出点C坐标及相等的面积，若不存在请说明理由． 题型七、反比例函数与一次函数的翻折问题 典例7 已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)如图①，已知点的坐标为． ①求直线的表达式； ②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标． (2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值． 变式7-1已知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数表达式； (2)若将该反比例函数的图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______． 变式7-2如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，C是线段上一点，点D在线段上，将沿翻折，得到． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且，，求m的值及点C的坐标． 变式7-3一次函数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，点到轴的距离等于点到轴的距离． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线，把直线上方反比例函数的图象沿着直线翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“图象”（不包含直线）． ①若时，求“图象”与轴的交点坐标； ②过点作轴的垂线，与轴，“图象”分别交于两点．若，请直接写出的值； ③直接写出点到的最短距离． 题型八、反比例函数与一次函数的旋转问题 典例8 如图，点为一次函数与反比例函数图象的交点，将一次函数的图象绕点P逆时针方向旋转． (1)求m的值； (2)求旋转后新一次函数的表达式． 变式8-1已知一次函数的图象与某反比例函数图象的一个公共点的横坐标为1． (1)求该反比例函数的解析式． (2)将一次函数的图象向上平移4个单位长度，再将反比例函数的图象以原点O为中心旋转，则旋转后的反比例函数图象与平移后的一次函数的图象是否仍有交点？如果有，求出交点坐标；如果没有，请说明理由． 变式8-2如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点，以为边在左侧作正方形． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求点的坐标，并判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． (3)把直线绕着点在平面内旋转，设旋转后的直线为，且设直线的一次函数的解析式为，若直线和正方形只有两个公共点，直接写出旋转后满足条件的直线中的的取值范围注：中的值越大，直线越陡峭，的值越小，直线越平缓 变式8-3如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 题型九、反比例函数与一次函数无刻度尺作图 典例9 如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 变式9-1如图，在平面直角坐标系中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，交x轴于点D，且D为的中点．请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，在x轴上找出点F，使四边形为矩形，作出矩形； (2)在图②中，作出菱形． 变式9-2在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，过点O，是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图保留作图痕迹 (1)图1中，作，垂足为点E； (2)图2中，点D为的中点，在x轴上作出点F，使四边形为矩形； (3)图3中，在第二象限内作出点G，使四边形为菱形． 变式9-3如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 题型十、反比例函数与一次函数实际应用 典例10 我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 变式10-1为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 变式10-2某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 变式10-3某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 题型十一、反比例函数与一次函数的新定义应用 典例10如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 变式10-1定义：以点A为对称中心，边与坐标轴平行或共线且边长为2的正方形边上所有的点称为“A的关联点”．在平面直角坐标系中 (1)若点A为，下列不是“A的关联点”的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)若点A为 ①反比例函数的图像上有且只有一个“A的关联点”，则______； ②反比例函数的图像上有两个“A的关联点”，且两关联点的距离为，求的值； ③直线记为，l绕原点顺时针旋转后的直线记为，l和上都存在“的关联点”，直接写出m的取值范围． 变式10-2定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①直接写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，求代数式的值，（直接写出结果）． 变式10-3对于一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“属合函数”．例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“2属合函数”． (1)一次函数为“1属合函数”，求的值． (2)反比例函数（且），是“属合函数”，且，请求出的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则和的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内的交点为A，且交x轴于点B，交y轴于点C．若，则k的值为（     ） A．4 B． C． D．6 3．如图，已知直线与，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，连接，．若和的面积都为，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（     ） A．4 B．6 C．12 D．24 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点，与轴交于点．在轴上找一点使最大，则的最大值为（     ） A． B． C．4 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 7．在平面直角坐标系中，若直线与双曲线（为常数，）的图象交于点，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积是______． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）与反比例函数（a为常数，）的图象交于A，B两点．若点A的纵坐标为4，点B的横坐标为，则a的值为________． 9．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连接，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为 _____ 10．小明将三角尺（，）摆放在如图所示的直角坐标系中，使得点位于处，边与轴重合，点在点左侧．将绕点顺时针旋转一定角度后，使点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在第一象限的双曲线上，则的值为_____ 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．已知点，点的纵坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)点是轴上一点，连结，，若的面积为，请直接写出点的坐标． 12．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作轴，垂足为点，连接，且的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象向下平移个单位长度，与相交于点，与轴相交于点，求四边形的面积． 14．如图，在单位长度为1的网格坐标系中，点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)将绕点B逆时针旋转，点C的对应点为A，在网格坐标系内确定点A，并写出其坐标． (2)若反比例函数的图象经过点A，则k的值为______． (3)连接，将向下平移，当点C平移后的对应点落在反比例函数的图象上时，求平移后点A的对应点的坐标． 15．阅读与思考 请仔细阅读下面材料，完成相应问题： 在平面直角坐标系中，过点（，）分别作轴、轴的垂线，若垂线与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”． 例如，点：矩形周长为，面积为，两者相等，所以是和谐点． (1)判断：点________和谐点，点________和谐点．（填“是”或“不是”） (2)如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且是和谐点，求的值和反比例函数的解析式． (3)在（2）的条件下，反比例函数的图象上是否存在另一个和谐点（不与点重合）？若存在，求四边形的面积；若不存在，请说明理由． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $