高中数学单元测试——第七章概率（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学第七章概率单元复习卷，以基础巩固与能力提升为梯度，融合洛书文化、西装抽检等真实情境，适配单元知识检测与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|随机事件、古典概型、频率|如第1题辨析随机事件，夯实概念理解| |多选题|3题18分|概率性质、独立事件|如第10题判断独立事件，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|互斥事件概率、古典概型|第14题结合洛书文化，体现文化传承| |解答题|5题77分|频率估计概率、分层抽样、摸球模型|如15题西装抽检分析数据，18题年会抽奖构建模型，发展数据意识与应用能力|

高中数学单元测试 —— 第七章 概率（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 2．（本题5分）一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 4．（本题5分）甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A， B， C，则抽得次品为（    ） A．A B． C． D． 6．（本题5分）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不合理的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6． B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率． C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨． D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大． 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则事件A与B是对立事件 B．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D．若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 11．（本题6分）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 三、填空题 12．（本题5分）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 13．（本题5分）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则______. 14．（本题5分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是________． 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 16．（本题15分）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 17．（本题15分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. (1)填空：袋中黄球有________个； (2)第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (3)若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 18．（本题17分）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 19．（本题17分）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 概率（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各项中，属于随机事件的是（   ） A．若正方形边长为，则正方形的面积为 B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存 C．在一个标准大气压下，温度达到时水会沸腾 D．抛掷一枚硬币，反面向上 【答案】D 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义即可一一判断. 【详解】对于A，若正方形边长为，由面积公式可知其面积为，这是必然事件，故A不合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾，当温度是时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不合题意； 对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D符合题意. 故选：D. 2．（本题5分）一个不透明的袋子里装有4个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得摸到白球的概率为． 故选：A 3．（本题5分）在一次抛掷硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频数为48，则“反面朝上”的频率为（    ） A．48 B．0.48 C．52 D．0.52 【答案】D 【分析】结合题意，由频率等于频数比总数可得. 【详解】由题意可得反面朝上的频数为52，所以其频率为. 故选：D 4．（本题5分）甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】恰有一人成功破译的概率为. 故选：D. 5．（本题5分）某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A， B， C，则抽得次品为（    ） A．A B． C． D． 【答案】D 【分析】根据事件的运算逐个判断即可. 【详解】事件A为抽到一件正品，故A错误. 事件为抽到乙的反面，即抽到正品，故B错误. 事件为抽到丙的反面，即抽到正品，故C错误. 事件为抽取甲级产品的反面，即抽到次品，故D正确. 故选：D. 6．（本题5分）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 7．（本题5分）围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么从中任意取出2粒不是同一色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B， 则事件A与B互斥. “从中取出2粒不是同一色”为事件C，则C与对立， 所以， 即“从中取出2粒不是同一色”的概率为. 故选：D 8．（本题5分）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）下列说法不合理的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6． B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率． C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨． D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大． 【答案】ACD 【分析】在A中，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A错误； 在B中，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确； 在C中，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误； 在D中，可以举例说明D错误． 【详解】解：在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就可能有一 次掷得点数6，故A错误； 在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得 到的频率更接近概率，故B正确； 在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的可能性 会下雨，故C错误； 在D中，随机事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率 大，如掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数 ，=掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数， 则A，B中至少有一个发生的概率的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也是1，故D错误. 故选：ACD． 10．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则事件A与B是对立事件 B．设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件 C．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 D．若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立 【答案】BD 【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判断. 【详解】对于选项A：例如样本空间为，事件，， 可得，满足， 但，即事件不对立，故A错误； 对于选项B：因为，，， 满足，所以A，B是相互独立事件，故B正确； 对于选项C：例如样本空间为，事件，， 则A，B同时发生为事件，则； A，B中恰有一个发生为事件，则； 显然，故C错误； 对于选项D：因为，， 若事件A，B相互独立，则，可知事件A，B不互斥； 若事件A，B互斥，则，即，可知事件A，B不相互独立， 所以“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立，故D正确； 故选：BD. 11．（本题6分）已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立 【答案】AC 【分析】由互斥、相互独立、事件的运算求解即可. 【详解】对于A：若A与B互斥，则，故A正确； 对于B：若，则，故B错误； 对于C：若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确； 对于D：，与矛盾，故D错误； 故选：AC 三、填空题 12．（本题5分）已知事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件、至少有一个发生的概率为________． 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得结果. 【详解】因为事件、互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， 则事件、至少有一个发生的概率为. 故答案为：. 13．（本题5分）已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解. 【详解】由题意，，，， ， 所以事件与相互独立，则与也相互独立， . 故答案为：. 14．（本题5分）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15．如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是________． 【答案】 【分析】先列举出从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的有两种，求概率即可. 【详解】根据题意，阴数为2，4，6，8四个， 所以从四个阴数中随机抽取2个数，有，，，，，， 共有6种取法， 其中满足题意的取法有两种：和， 所以能使这两数与居中阳数之和等于15的概率． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 16．（本题15分）在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. (1)求m的值; (2)设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； (3)从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【详解】（1）由图知，可得； （2）由图，， ， 所以； （3）由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 17．（本题15分）在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. (1)填空：袋中黄球有________个； (2)第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (3)若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 【答案】(1)1 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）设袋中黄球的个数为，根据概率公式得到关于的方程，然后解方程即可；（2）利用树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸到都是红球的次数，再根据概率定义求解即可；（3）设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为、、，根据题意列出方程组，求解方程组的非负整数解即可. 【详解】（1）设袋中黄球的个数为，依题意得，解得； （2）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有1种，所以两次摸到都是红球的概率为； （3）设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为、、，依题意得， 整理得， 当时，，（舍去）；当时，，（舍去）； 当时，，；当时，，；当时，，； 所以小芳的摸法有： 2次摸到红球、4次摸到黄球、0次摸到蓝球； 3次摸到红球、2次摸到黄球、1次摸到蓝球； 4次摸到红球、0次摸到黄球、2次摸到蓝球. 18．（本题17分）某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件不相互独立，理由如下： 当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”， 因为，所以. 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 所以； 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 因为，所以， 所以， ∴事件不相互独立. 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，分别求出，，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解. 【详解】（1）因为，即只摸次球， 红包总金额不高于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为. （2）略 19．（本题17分）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $