高中数学单元测试——第二章一元二次函数、方程和不等式（较易版01）

**基本信息** 高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式单元复习卷（较易版），覆盖核心知识点，通过基础巩固与实际应用结合，适配单元复习需求，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解集求解|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|方程根的分布、基本不等式|多选项设计考查思维严谨性| |填空题|3/15|盐水浓度（实际情境）、最值问题|生活实例体现数学语言表达| |解答题|5/77|不等式证明、利润模型（公司投入）、恒成立问题|综合应用现实情境，培养数学思维与应用意识|

高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质判断各个选项. 【详解】∵，∴，A选项错误，B选项正确； ，C选项错误， ，D选项错误. 故选：B. 2．（本题5分）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 3．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由，得，即， 则，解得， 则不等式的解集为. 故选：C 5．（本题5分）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 7．（本题5分）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式求出取得最大值时，进而代入，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】由配凑法结合基本不等式即可求解判断AB；由进行配凑得到，再结合基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断C；由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解判断D. 【详解】若，则， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故A错误； ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为6，故B正确； 若，，且，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 若，，且，则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为.故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________. 【答案】 【分析】盐水变咸了，即含盐的浓度增大了即可得出． 【详解】由题意可得 ． 证明：当时， 故答案为：． 13．（本题5分）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【详解】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）结合题意并利用一元二次方程根与系数的关系求解即可. （2）结合题意将原不等式化为分式不等式，再求解解集即可. （3）对目标式合理变形，再结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以，且，解得，故. （2）因为， 所以不等式，可化为，即， 而，，可得，解得且， 则不等式的解集为或. （3）由题意得关于的方程有两实数根， 则有两实数根， 所以，易知此式恒成立， 因为，由韦达定理，， 所以， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 一元二次函数、方程和不等式（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．（本题5分）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 8．（本题5分）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为4 B．的最小值为6 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）b克盐水中，有a克盐，若再添加m克盐则盐水就变咸了（浓度增加了），试根据这一事实提炼一个不等式：_________________. 13．（本题5分）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 14．（本题5分）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题 15．（本题13分）已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 16．（本题15分）选用恰当的证明方法证明下列不等式． (1)已知，求证：； (2)已知，求证：． 17．（本题15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 18．（本题17分）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19．（本题17分）已知二次函数. (1)若关于的不等式的解集为或，求； (2)在（1）的条件下，求不等式的解集； (3)设关于的方程有两实数根，，且满足，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $