1.2空间向量基本定理（教学课件）数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖基底概念、正交分解等核心知识。通过空调支架受力、立体货架取件情境导入，类比平面向量基本定理，搭建从平面到空间的学习支架，引导学生掌握空间向量表示方法。 其亮点是结合生活情境培养数学抽象，通过真题和分层题型训练强化逻辑推理，小结用表格对比共线、平面、空间向量定理构建体系。学生能提升抽象思维与解题能力，教师可借助丰富案例和结构化资源提高教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 ·选择性必修第一册· 学习目标 了解空间向量基本定理及其意义，培养数学抽象的核心素养。 掌握空间向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养。 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法，提升逻辑推理的核心素养。 能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，能运用空间向量基本定理解决一些立体几何问题，并在此过程中，感悟联系的观点和类比的方法，体会转化与化归、数形结合等数学思想。 目录 CATALOG 01.空间向量的概念 03.应用新知 02.空间向量基本定理 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 1.2 空间向量基本定理 01 空间向量的概念 导入新知1：家用空调外机三维支架受力情境 家家户户室外的空调外机，依靠三角金属支架固定在墙体上。支架由墙面水平横撑、竖直竖杆、斜向支撑杆三根钢材构成，外机自身重量会同时给支架三个不同方向的拉力：水平向外拉墙面、竖直向下压支架、斜向拉扯斜杆。物理课我们学过平面里两个力就能合成任意平面合力，但空调外机的受力是立体三维的，三个方向的力互不共面，单独两个方向的力根本抵消不掉外机带来的全部拉扯力。 提问1：如果只给支架施加水平、竖直这两个方向的拉力，能不能完整表示外机作用在支架上的全部空间作用力？为什么？ 提问2：只有同时用上水平、竖直、斜向三组不共面的拉力，才能精准分解、抵消外机全部受力。这三组不共面的力，对应本节课要学习的什么概念？ 导入新知2：快递仓储立体货架取件情境 大型快递仓库是多层立体货架，货物分布在长（左右）、宽（前后）、高（上下）三维空间中。仓库分拣员取件不能只靠地面平面坐标定位包裹：同一平面坐标，1楼、3楼、5楼存放的是完全不同的货物；只说楼层和左右位置，也无法区分货架前后两排包裹。必须同时确定左右、前后、上下三组互不重叠、不在同一平面的方位，才能精准锁定任意一件快递。 提问1：只用货架左右、前后两组平面方位，能精准找到仓库任意高度的包裹吗？对应向量知识思考：仅两个不共线向量，能否表示空间中所有向量？ 提问2：仓库靠左右、前后、上下三组独立方位定位全部货物，对应空间向量里，用三组怎样的向量，才能表示空间里任意一条空间线段、任意空间向量？ 新课探究 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念及向量的表示吗？ 平面向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 探究1 新课探究 由平面向量基本定理可知： 平面内的任意一个向量 a 都可以用两个不共线的向量e1，e2来表示. 回顾 新课探究 那么任意一个空间向量量能否用任意三个不共面的向量来表示吗？ a b c 三个向量不共面 思考 新课探究 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. p i j k P Q O α 探究1 设 i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O． 对于任意一个空间向量p ＝， 设为在 i，j所确定的平面上的投影向量， 则 又与k共线，由共线定理有zk ， 即zk 新课探究 p i j k P Q O α xi yj zk 我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量． 如果 i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 （z），使得 p ＝zk 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 探究1 又， i，j共面，由平面向量基本定理可知： 因此zk 结论 新课探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？ a b c p 思考 新课探究 a b c p O P c C A B Q a b yb xa zc 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，用不共面向量a，b，c表示任一空间向量. 探究2 作 向量i，j所确定的平面上取一点Q，使得 由共线定理有z ， 由平面向量基本定理有 ， 对任意三个不共面的向量a，b，c，对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 （z），使得 p ＝. 牛刀小试 用空间基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用空间基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基底概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基底概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用空间基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基底概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基底概念及辨析 02 空间向量基本定理 1.2 空间向量基本定理 新课探究 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 空间向量基本定理 请类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理。 如果三个向量 a，b，c 不共面， 那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组 (x，y，z)， 使得 p＝xa＋yb＋zc． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基本定理及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基本定理及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 新课探究 新课探究 由向量共线定理、平面向量基本定理及空间向量基本定理的一致性和连贯性，我们对比共线定理、平面向量基本定理和空间向量基本定理共同完成下表. 向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理 表述形式 基向量个数 基向量要求 对于实数(对、组) 定理 分类 1 2 3 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量的有关概念、空间向量的加减运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 空间向量基本定理及其应用 03 应用新知 1.2 空间向量基本定理 应用新知 解析 应用新知 反思感悟 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 应用新知 变式训练： 解析 应用新知 解析 变式训练： 应用新知 证明 应用新知 证明 应用新知 应用新知 证明 解析 应用新知 04 题型强化训练 1.2 空间向量基本定理 重要题型专练 例题 题型一 空间向量基底的概念辨析 重要题型专练 解析 题型一 空间向量基底的概念辨析 重要题型专练 解析 题型一 空间向量基底的概念辨析 重要题型专练 方法总结 小结：基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底； 重要题型专练 例题 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 解析 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 重要题型专练 题型二 利用空间向量解决立体几何问题 解析 重要题型专练 方法总结 小结：基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 05 真题感知 1.2 空间向量基本定理 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 真题感知 空间向量基本定理及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 真题感知 空间向量基本定理及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 真题感知 用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 真题感知 空间向量基本定理及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 真题感知 空间向量基本定理及其应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 真题感知 空间向量基本定理及其应用 06 小结及随堂练习 1.1.1空间向量及其线性运算 课堂笔记 课堂笔记 课堂小结 作业 巩固作业： 教科书第15页习题第4、5、6、7、8题。  1.2 空间向量基本定理 作业答案 解析 作业答案 解析 作业答案 证明 作业答案 证明 作业答案 证明 作业答案 解析 作业答案 证明 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 【解析】在三棱柱中，由，得， 由点是的中点，得， 所以 . 故选，C。 1.（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱 中， 是 的中点， ，则用向量 ， ， 表示向量 应为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖南永州·期中）若 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、 【解析】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 3.（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设 ， ， ，且  ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知：，， 所以 .故选：D 4.（25-26高二上·湖南永州·期中）若 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、 【解析】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 5.（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体 中， 为线段 靠近 的三等分点， 为 的中点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【解析】如下图所示：因为为的中点，所以， 由题意可知，所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 6.（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）如图，在四面体 中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则（   ）   A． B． C． D． 【解析】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 7.（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体 中，点E是CD的中点，记 ， ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】连接，如图所示，∵E是CD的中点，，， ∴，在中，， 又，∴． 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是．这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底(base)，，，都叫做基向量(base vectors)．空间任意三个不共面的向量都 可以构成空间的一个基底． 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使． 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 8.（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量 以 为基底时的坐标为 ，则 以 为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为向量以为基底时的坐标为，所以， 设，由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为.故选：B 9.（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体 中，M为AB的中点， ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】在平行六面体中，M为AB的中点，，有， 又，则， 所以．故选：C 10.（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 、 分别为 、 的中点，若 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 例1：如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示． 分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个 基底，可以用基底表示出来． ． 1.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. （1）在平行六面体中， ， 由分别是的中点， 得. （2） 而，且不共面， 所以. 1.在平行六面体中，设，，， 分别是的中点. (1)用向量表示；(2)若，求实数x，y，z的值. 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 分析：要证，只需证明．由已知，可构成空间的一个基底．把和分别用基底表示，然后计算即可． 设，，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们用它们表示，，则 ， 例2：如图1.2-3，在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点． 求证： ． 所以 所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）要证明，只需证明与共线．设 ，则构成空间的一个单位 正交基底，把和分别用基向量表示，作相应的运算证 明它们共线即可． （2）要求与所成角的余弦值，只需求所成角的余弦值即可． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 设， 则构成空间的一个单位正交基底． 所以，． 所以．所以． 例3: 如图1.2-4，正方体的棱长为1，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值． 因为，， 所以 所以与所成角的余弦值为． 1． 设，且是空间的一个基底，给出下 列向量组：①，②，③，④． 其中可以作为空间一个基底的向量组有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图所示，令，，， 则，，，， 由于四点不共面，可知向量也不共面， 同理四点不共面，可知向量不共面， 又四点不共面，可知向量也不共面， 而四点共面，所以向量共面， 又三个不共面的向量可作为空间向量的一组基底， 故有3个向量组可以作为空间的一个基底. 故选：C. (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向 量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设， 运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作 为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 2.如图，已知平行六面体中，底面是 边长为的正方形，侧棱长为，．  (1)求的长； (2)证明：平面； (3)求直线与AC所成角的余弦值． （1）由空间向量的运算法则，可得， 所以 ， 所以，即的长为. （2）由向量的运算法则，可得， ，则 ， 所以，所以. 因为底面是边长为的正方形， 所以， 因为平面， 所以平面. （3）因为， 所以， ， 且 ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. (1) 设出基向量． (2) 用基向量表示出直线的方向向量． (3) 用求长度，用，用求夹角． (4) 转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题． 1.（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选题）已知 为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A． 至多有一个零向量 B． 也是空间的一个基底 C．空间任一向量 均可用 唯一线性表示 D．若 ，其中 ，则 【解析】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面，则存在实数使得，说明共面，与是空间的一个基底矛盾，所以不共面，所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面，所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 2.（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在四面体 中， ，则（    ） A． B． C． D． 【解析】， 故A正确，C错误；， 故B错误，D正确.故选AD. 3.（25-26高二下·江苏徐州·期末）(多选题）在正四面体 中，可以与 构成空间的一个基底的是（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【解析】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 4.（23-24高二上·云南文山·阶段检测）(多选题）如图所示，空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（   ） A． B． C． D． 【解析】，为中点， 故. 故选：B 1. 如果空间中的三个向量 ，那么对空间中的 向量，存在 有序实数组，使得 . 表达式一般称为向量的 或 . 2．基与基向量 如果三个向量 ，那么空间的每一个向量都可由向量线性表示．我们把称为空间的一组 ，叫作 ．向量都叫做 ． 3．空间向量的正交分解及其坐标表示 （1）单位正交基底: 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示. （2）正交分解: 把一个空间向量分解为 的向量，叫作把空间向量进行正交分解. 4．如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，是的中点，是的中点，用基底表示向量，． ． ． 5．如图，在长方体中，是与的交点．若，，求的长． 设，，，则 ，的长为． ∵四边形为菱形，．又，设． 又．设，，，则， 又， ， 6. 如图，平行六面体的底面是菱形，且， ，求证：平面． ，．又， ，．又， 平面． 6. 如图，平行六面体的底面是菱形，且， ，求证：平面． 7． 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 点在上，且．(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值． （1）设，则 ， ． ， ，． 7． 如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点， 点在上，且．(1)求证：； (2)求与所成角的余弦值． (2) 由(1)知．． 又，， ．与所成角的余弦值为． 8．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直． 如图，设，，， 则，，． 由，得 ． 展开得，所以．又因为，， 所以．同理可证，． $