第2章 图形的相似（复习课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了图形的相似的核心知识，包括相似多边形的定义与性质，相似三角形的判定定理、性质及应用，位似图形的定义、性质与坐标变化规律。通过知识图谱将各知识点串联，从概念到判定再到性质与应用，构建完整的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的复习策略，如题型全解中通过多种辅助线方法（如作平行线构造相似）培养学生的数学思维，针对训练设计基础达标、能力提升分层练习，结合实际测量问题（如测旗杆高度）渗透建模思想。这帮助学生巩固知识，教师也能精准把握复习重点。

第2章 图形的相似 复习课件 青岛版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解相似图形的概念，掌握比例线段与平行线分线段成比例， 掌握相似三角形的判定定理和性质定理，了解位似图形 02 能力目标 能熟练利用相似三角形判定定理与性质解决几何计算、证明题与实际问题。 单元达标  基础题零失误，中档题能独立完成相似证明、计算、位似坐标题，解决几何综合与实际应用问题。 思想与应用 建立几何模型思想，熟练运用常见相似模型解题。提升逻辑推理能力，规范相似证明的书写步骤，做到条理清晰、依据准确。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.基本事实9及其推论的探索。 2.相似三角形判定定理的证明。 3.建立几何模型，解实际问题。 1. 相似多边形的定义。 2.相似三角形的判定。 3.相似三角形的性质。 4.位似图形的定义与坐标变化规律。 4 知识图谱 图形的相似 图形的位似 相似多边形 相似三角形 基本事实9 及推论 定理3 定理1 定理2 概念 相似比 性质 判定 性质 应用 定义. 图形的位似与点的坐标 性质. 画位似图形. 5 考点串讲 ——1：相似多边形 1.概念： 两个边数相同的多边形,如果一个多边形的各个角与另一个多边形的 各个角对应相等,各边对应成比例,那么这两个多边形叫作相似多边形。 符号 “∽”读作 “相似于”。 2.符号表示： 3.相似比： 相似多边形对应边的比叫作相似比。常用字母k表示 4.性质： 对应角相等,对应边成比例。 6 考点串讲 ——1：相似多边形 对多边形定义的理解： （1）相似多边形的定义既是判定又是性质。 (2)当两个多边形全等时，其相似比为1;反之，如果两个相似多 似边形的相似比为1，那么这两个多边形全等。 (3)相似比是有顺序的.确定相似多边形的相似比时，一般是先 将各边排序，再求相似比。 (4)所有的正多形都相似，所有的等腰直角三角形都相似。 7 考点串讲 ——2：相似三角形的判定 1.基本事实9： 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。 几何语言： ∵ a∥b∥c ∴ = ， = 平行于三角形的一边,并且与其他 两边相交的直线,所截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比。 2.基本事实9的推论： A B C E D 几何语言： ∵ DE∥BC ∴ = = 8 考点串讲 ——2：相似三角形的判定 (1)对应线段是指两条平行线所截得的对应位置上的线段， 如图中，AB与DE是对应线段，BC与EF是对应线段，AC与DF是对应线段; (2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。 对基本事实9的理解： 9 考点串讲 ——2：相似三角形的判定 3.相似三角形的判定定理： 文字语言 符号语言 图示 定理1：两角分别相等的 两个三角形相似。 ∵∠A'=∠A,∠B'=∠B, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 定理2：两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似。 ∵∠A'=∠A, = , ∴ △ABC∽△A'B'C'。 定理3：三边成比例的 两个三角形相似。 ∵ = =, ∴ △ABC∽△A'B'C'。 10 考点串讲 ——2：相似三角形的判定 对相似三角形的判定定理的理解： 1.利用定理1时，在寻找判定两个三角形相要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角、直角等。这是两个三角形相似最常用的判定方法， 2.利用定理2时，当题目中有线段之间的比例关系时，宜采用本定理判定两个角形相似。注意角一定是两组对应边的夹角，可类比三角形全等的定定理"SAS”。 3.利用定理3时，为方便找对应边可以先将三边按大小顺序排列,再计算它们对应边的比，最后由比值是否相等判断两个三角形是否相似。 11 考点串讲 ——3：相似三角形的性质 文字语言 符号语言 图示 性质1： 相似三角形对应 高的比等于相似比。 ∵△ABC∽△A'B'C', AD⊥AC,A'D'⊥A'C' ∴ = =k。 性质2：相似三角形面积 的比等于相似比的平方。 ∵△ABC∽△A'B'C', ∴ =k2 性质3：相似三角形对应 中线的比等于相似比。 ∵△ABC∽△A'B'C',AE,A'E'分别是对应边的中线 ∴ = =k。 性质4：相似三角形对应 角平分线的比等于相似比。 ∵△ABC∽△A'B'C',AF,A'F'分别是对应角的角平分线. ∴ = =k 12 考点串讲 ——3：相似三角形的性质 利用相似三角形的性质时要注意： 当我们用相似三角形的性质解题时，要特别注意其中的“对应”，即并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 拓展：相似三角形周长的比等于相似比;相似多边形周长的比等于相似比。 13 考点串讲 ——4：相似三角形的实际应用 运用相似三角形的知识，可以求出一些难以直接测量的数据，常见的类型有: (1)测量物体高度:太阳光下测楼高、树高;镜子反射测物体 高度;标杆辅助测高度。 (2)测量距离:测量河流宽度、池塘两点间距离、隧道口距离。 14 考点串讲 ——4：相似三角形的实际应用 1.测量物体高度 方法 利用阳光 利用标杆 利用镜子 示意图 测量数据 相似三角形 注意事项 求旗杆AB的高度，要测量DF，EF，BC的长。 求古塔PO的高度，要测量AO,AE，EF，AD的长 求电线杆CB的高度 要测量DE,EA,BA的长 △ABC∽△DFE. △DFG∽△DPB △ABC∽△AED. 一定要在同一时刻否则就会影响结果的准确性 观察者的眼睛、标杆的顶端、被测物体的顶端必须三点共线 测量时,镜子要放在水平的地面上 15 考点串讲 ——4：相似三角形的实际应用 2.测量不易直接到达的两地距离 测量原理 构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 构造相似 三角形模型 测量数据 比例式 求AB的长，可测量 BE,CD和BC的长 求AB的长，可测量 BC,CD,DE的长 求AB的长，可测量 BC,CD,DE的长 16 考点串讲 ——4：相似三角形的实际应用 3.利用相似三角形解决实际问题的步骤: (1)审题: 梳理实际问题中的已知条件，明确所求未知量(高度、距离、宽度等)。 (2)建模: 根据实际场景，画出对应的几何图形，找出其中的相似三角形 (3)判定: 利用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似。 (4)列式: 根据相似三角形对应边成比例，列出正确的比例关系式。 （5)求解: 代入已知数值，计算未知量，检验结果是否符合实际意义。 (6)作答: 规范书写解题过程，清晰写出最终答案。 17 考点串讲 ——5：图形的位似 1.位似图形的定义： 对应边互相平行(或共线)且每对对应点所在的直线都经过 同一点的两个相似多边形叫作位似图形，这个点叫作位似中心。 2.位似图形的判定 条件 1：两个图形是相似图形； 条件 2：对应边互相平行(或共线); 条件 3：每对对应点所在的直线都经过同一点. 18 考点串讲 ——5：图形的位似 3.位似图形与相似图形的关系： 位似图形是具有特殊位置关系的相似图形,因此它具有相似图形 的一切性质，但相似图形不一定是位似图形。位似图形不仅要 关注两个图形的形状，还要关注两个图形的相对位置。 4.位似图形的作用： 一般地,位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化, 位似不改变图形的形状,利用位似可以将一个图形放大或缩小。 19 考点串讲 ——5：图形的位似 5.位似图形的性质： (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； (2)位似图形的对应点所在的直线必经过位似中心； (3)位似图形的对应边互相平行(或共线)； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 20 考点串讲 ——5：图形的位似 6.画位似图形的一般步骤： (1)确定位似中心。 (2)分别作过位似中心和原图形所有的关键点的一些射线。 (3)根据相似比，在相应射线上找出所作的原图形关键点的对应点。 (4)顺次连接各对应点，得到放大或缩小后的位似图形。 21 考点串讲 ——5：图形的位似 7.图形的位似变换与坐标变化： 在平面直角坐标系中,将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的,位似中心是原点。 提示：以原点为位似中心，画多边形的位似图形(相似比为k)时，关键是将每个顶点的横坐标、纵坐标分别乘k(或分别乘-k)。即若原图形的某一点坐标为(x,y)，则其位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(对应点在原点同侧)或(-kx，-ky)(对应点在原点异侧)。 22 利用位似变化坐标规律时注意： 1：位似中心是原点在位似变换中，只有位似中心是原点时，对应点的坐标的比才等于对应边的比(或对应边的比的相反数)。 2：k与位似图形的位置 k正同侧，k负异侧，未说正负，两侧求值，这是易错点。在平面直角坐标系中画已知图形以原点为位似中心的位似图形一般有两种情况，即两图形在原点同侧，或两图形在原点异侧。 考点串讲 ——5：图形的位似 题型全解 例1、如图,平行四边形ABCD的四个顶点都在方格纸的格点上,延长AB到点E,延长AD到点F,使AE=2AB,AF=2AD。以AE,AF为邻边作平行四边形AEGF,四边形AEGF与四边形ABCD 相似吗? 为什么? 题型01 相似多边形的判定 解析：判定两个多边形相似，要根据定义： 各个角对应相等,各边对应成比例。 24 题型全解 解:相似。理由如下: ∵四边形ABCD和四边形AEGF是平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC,AE=FG,AF=EG, ∠A=∠C=∠G, AB // CD // FG, AD // BC // EG, ∴∠ABC=∠AEG,∠ADC=∠AFG。 ∵AE=2AB,AF=2AD, ∴ = = ∴四边形ABCD四边形 AEGF。 题型01 相似多边形的判定 25 解析：利用相似形的性质时，首先要找 对对应角,对应边。求线段的长要写出 适当的比例式。因为梯形AEFDC∽梯形EBCF 所以 = ==.代入数值，用EF表示AD与BC的长度。 题型全解 题型02 相似多边形的性质 例2、如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC,E,F两点分别在 AB,DC上,且EF//AD。若AE=4,EB=6,DF=2,FC=3,且 梯形 AEFDC∽梯形EBCF，则AD与BC的长度比为（ ） A.1:2 B.2:3 C.2:5 D.4:9 D 26 题型全解 题型03 平行线分线段成比例 例3、如图所示，AD//BE//CF，直线l1,l2,与三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F。若AB=1,BC=1.5,DE=2,则DF的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 解析：平行线分线段成比例的基本事实，如果对应线段找得不对，就会得出错误的比例式。 =,代入数据计算。 B 27 题型全解 题型04 平行线分线段成比例的推论 例4、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE// BD，且交AB于点E,GF//AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( ) A. = B. = C. = D. = D 解析：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论时一定要找到对应线段。对每一个比例式的左边找到对应的比就能找到正确答案。 28 题型全解 题型05 利用平行线或相似三角形求比值 例5、如图所示，在△ABF中，D为AB的中点，C为BF上一点，AC与DF交于点E,AE=AC,求的值。 A B C D F E 解析：本题利用多种方法作辅助线构造相似三角形模型，从而利用相似三角形的对应边成比例建立形与数的关系求比值。 29 题型全解 题型05 利用平行线或相似三角形求比值 解法一：如图，过点D作DN∥BC交AE于N。 A B C D F E N ∵D为AB的中点，DN//BC, ∴AD=AB,AN=NC=AC. ∵AE=AC,所以EC=AC, ∴NE=EC。∵DN//CF， ∴∠NDE=∠CFE,∠DNE=∠FCE, ∴△DNE∽△FCE， ∴DN=CF,∴ = ∵DN//BC,D为AB的中点，∴ = =2 ∴=2。 30 题型全解 题型05 利用平行线或相似三角形求比值 解法二：如图，过点D作DM∥AC交BC于M。 A B C D F E M ∵D为AB的中点, ∴DM=AC,BM=MC=BC. ∵AE=AC,∴EC=AC, ∴=2。∵DM//CE， ∴ = =2,∴CM=CF,∴=2。 31 题型全解 题型05 利用平行线或相似三角形求比值 解法三：如图，过点C作CG∥AB交DF于G, A B C D F E G ∵D为AB的中点, ∴AD=BD. ∵AE=AC,∴EC=AC,∴=2。 ∵CG//BD， ∴ = =,∴=2。 ∴CGE=ADE 则∠CGE=∠ADE,∠GCE=∠DAE, 32 题型全解 题型05 利用平行线或相似三角形求比值 解法四：如图，过点C作CK∥DF交AB于K, A B C D F E K ∵D为AB的中点, ∴AD=BD. ∴ = ==3。 ∴ = , = ∵AE= AC,∴=3, ∴ =2。 33 题型全解 求比值的方法技巧总结 求比值的方法技 求比值时，一般先由平行线分线段成比例或相似三角形得比例式，如果没有上述条件，应通过构造平行线创造条件，得到比例式求值。 题型05 利用平行线或相似三角形求比值 题型全解 题型06 相似三角形判定 例6、根据下列各组条件，判断△ABC和△A'B'C'是否相似， 并说明理由。 (1)AB=3.5,BC=2.5,CA=4,A'B'=24.5,B'C'=17.5,C'A'=28; (2)∠A=35°,∠B=104°,∠C'=44°,∠A'=35°; (3)AB=3,BC=2.6,∠B=48°,A'B'=1.5,B'C'=1.3, ∠B'=48°。 解析：(1)中给出的是两个三角形中各条边的长，考虑用判定定理3; (2)中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用判定定理1; (3)中给出的是两个三角形中的两组边和这两组边的夹角，考虑用判定定理2。 35 题型全解 题型06 相似三角形判定 解：(1)相似。理由 ∴△ABC∽△A'B'C'。 (2)不相似。理由: ∵∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-104°=41°, ∠B'=180°-∠A'-∠C'=180°-35°-44°=101°， ∴两个三角形中只有∠A=∠A'， ∵ == , = = , = = , ∴△ABC与△A'B'C'不相似。 36 题型全解 题型06 相似三角形判定 (3)相似。理由 ∴△ABC∽△A'B'C'。 ∵ = =2, = = 2, ∴= ∵∠A=∠A'， 37 题型全解 判定三角形相似的一般思路总结 先找两组角对应相等，若只有一组角相等，再找夹这个角的两边对应成比例;若找不到角相等，则考虑找三组边对应成比例。在判定两个三角形相似时，一定要先找出题目中给出的条件或图形中隐含的条件(平行线、对顶角、角平分线、直角三角形等)，然后根据已知条件选择合适的判定方法。 题型06 相似三角形判定 题型全解 题型07 相似多边形的性质 例7、如图所示，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，若AB=、则此三角形移动的距离AA'是多少? 解析:由平移的性质得AC//A'C'，进而可得△A'BO∽△ABC，再根据△A'BO的面积为ABC面积的一半，得△A'BO与△ABC的相似比,则AA'可求. 39 题型全解 题型07 相似多边形的性质 解:由题意知AC//A'C'，∴△A'BO∽△ABC, ∴ =()2。 又∵ =,∴= ∵AB=，∴A'B=1。 ∴AA'=AB-A'B=-1。 ∴此三角形移动的距离AA'为-1。 40 解析 本题考查平行投影的性质以及相似三角形的应用。 重难点在于处理落在墙上的影子。 核心原理:在同一时刻，太阳光线是平行的， 因此物体的高度与影长的比值是固定的。 题型全解 题型08 相似三角形与实际问题 例8、在同一时刻,两根竹竿在太阳光下的影子如图所示,其中竹竿AB的高为2m,它的影子BC的长为1.6m,竹竿PQ落在地面上的影子PM的长为1.8m,落在墙上的影子MN的高为1.1m。 求竹竿PQ的高度。 41 题型全解 题型08 相似三角形与实际问题 D 解:如图所示，连接AC，QN，过点N作 ND⊥PQ于点D， ∵∠QND=∠ACB,∠QDN=∠ABC=90°， ∴△QND∽△ACB， ∴ = , ∵AB=2m,BC=1.6m,DN=PM=1.8m, NM=1.1m, ∴ = ,QD=2.25m ∴PQ=QD+DP=QD+NM=2.25+1.1=3.35(m)。 答:竹竿PQ的高度为3.35m 42 题型全解 题型09 位似图形的判定 例9、如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F,G，H分别是OA,OB,OC，OD的中点，那么四边形EFGH与矩形ABCD是不是位似图形?如果是，指出位似中 心，并求出其相似比;如果不是，请说明理由。 思路分析: 先证四边形EFGH矩形，再证相似，根据对应点所在直线交于一点证得是位似图形。 43 题型全解 题型09 位似图形的判定 解:是位似图形。 ∵点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点 ∴EF // AB,且EF=AB,EH //AD,且EH=AD, FG // BC,且FG=BC,GH // CD,且GH=CD. ∴∠FEO=∠BAO,∠OEH=∠OAD。 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，且AB=CD,∠BAD=90°。 44 题型全解 题型09 位似图形的判定 ∴EF//GH,EF=GH,∠FEH=90°。 ∴四边形EFGH是矩形。 又∵= = == ∴矩形EFGH与矩形ABCD相似，且相似比为。 又∵两个图形的对应顶点所在的直线都经过点O， ∴这两个图形是位似图形，位似中心是点O，相似比为 45 题型全解 题型10 网格中的位似图形 例10、如图所示，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点均在格点上。 (1)请以点O为位似中心，在网格图中作出四边形A'B'C'D', 使四边形A' B'C'D'与四边形ABCD位似，且 ==2。 (2)填空:线段BB'的长为 , △A'D'O的面积 . 题型全解 题型10 网格中的位似图形 解:(1)如图所示，四边形A'B'C'D'即所求。 (2)线段BB'的长==6, S△A'D'O的面积=4×6-2××2×4-×2×6=10. 故答案为6,10。 针对训练 1.(2025·云南中考)如图所示，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，且DE//BC.若=，则=( ) A. B. C. D. A 针对训练 2.(2025·四川眉山中考)如图所示,在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（ ） A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 B 解析:本题考的是相似三角形的性质， △OAB与△OCD的周长之比等于 相似比OA:OC=1:2. 针对训练 3.跨学科(2025·四川内江中考)阿基米德曾说过:“给我一个支点，我能撬动整个地球。”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物。这一原理在生活中随处可见。如图所示，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头。动力臂OA=150cm，阻力臂 OB=50cm,BD=20cm, 则AC的长度是( ) A. 80cm B.60cm C.50cm D.40cm B 针对训练 4.(2025·长春中考)将直角三角形纸ABC(∠C=90°) 按如图所示的方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ） A.MN // DE // PQ B.BC = 2DE=4MN C.AN = BQ =NQ D. = = D [解析]本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键. 针对训练 5.开放性(2024·山东滨州中考)如图所示，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上。添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 。(写出一种情况即可) ∠ADE=∠C 或∠ADE=∠B 或= 或= [解析]本题考查相似三角形的判定定理。有一个公共角，依据判定定理添加适当的条件，角或边的关系。 针对训练 6.(2024·广州中考)如图所示，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，CF=2。BE=3,EC=6，求证:△ABE∽△ECF。 证明:∵BE=3,EC=6,CF=2, ∴BC=3+6=9。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°。 ∵ = = , = ∴=. ∴△ABE∽△ECF. 针对训练 7.如图所示，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,1),B(-1,1),C(0,3)。 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1; (2)在第四象限画出△ABC以点O为位 似中心的位上册似图形△A2B2C2, △ABC与△A2B2C2的相似比为1:2。 解析：本题主要考查图形的变换特征， 能在平面直角坐标系内熟练的画出变换后的图形。 针对训练 解:(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图即所求; (2)△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2,如图即所求。 针对训练 8.小明决定利用所学数学知识测量出旗杆CD的高度。如图所示，已知A,B,C在同一条直线上，A，E,D也在同一条直线上，BE⊥AC,DC⊥AC，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高BE=1.5m，且AB=3m,CB的长度为9m。 (1)求旗杆CD的高度; (2)小明在测量时发现通过地面BC直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离BF的长。 针对训练 解析:本题考查了利用相似三角形的判定和性质解决实际问题，（1）是借助标杆求物高，而（2）题是利用镜子测量物高。解题的关键是利用相似三角的对应边成比例构造方程求解。 针对训练 解:(1)∵BE⊥AC,DC⊥AC, ∴EB//CD, ∴△ABE∽△ACD, ∴ = ，即∴ = 解得CD=6m。 答:旗杆CD的高度为6m。 针对训练 (2)由题意，得∠EFB=∠DFC， 由题意，得∠EBF=∠DCF， ∴△EBF∽△DCF ∴ = ，即∴ = 解得BF=1.8m。 答:小水坑F到小明的距离BF的长为1.8m。 针对训练 9.(上海中考)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E,F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE,AE2=AQ·AB。求证:(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF·FQ=AF·BQ. 解析：本题主要考查三角形的全等 与相似的综合应用。线段的乘积式 转化为比例式，线段的等量代换。 相似三角形的判定与性质的应用。 针对训练 证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵CF=BE，∴CF-EF=BE-EF， 即CE=BF。 在△ACE和△ABF中， AC= AB,∠C=∠B,CE=BF, ∴△ACE≌△ABF(SAS), ∴∠CAE=∠BAF。 针对训练 (2)∵△ACE≌△ABF, ∴AE=AF,∠CAE=∠BAF。∵AE2=AQ·AB,AC=AB, ∴=，∴△ACE∽△AFQ,∴∠AEC=∠AQF∴∠AEF=∠BQF。 ∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE。 ∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ, ∴=,即CF·FQ=AF·BQ. 单元总结/思想方法归纳 ·转化思想 本章在证明等积式时常转化为证明比例式，从而利用相似三角形的性质来证明。通过对条件、结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，化未知为已知，最终求得问题的答案，这个过程体现了转化的思想方法。 ·分类讨论思想 本章在求有关线段的长度时，常通过相似三角形的性质列出比例式构造方程求解。方程思想方法就是指把所研究数学问题中的已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程(组),从而达到解决数学问题的一种思维方法。 ·建模思想 本章测量物高两地距离时就要建立相似三角形的模型解决实际问题。在解决实际问题时，通过分析已知量、未知量抽象出相似三角形的形式表示出来，构造相似三角形模型根据相似三角形的性质解决实际问题。 63 青岛版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $