1.1　第2课时　直线的倾斜角课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的倾斜角”核心知识点，涵盖定义、范围及与斜率的关系。以比萨斜塔倾斜程度问题情境导入，通过“情境提问—定义辨析—范围确定—斜率关联”的学习支架，衔接课前预习与课堂互动，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，引导学生从现实中发现空间形式问题。典型例题如旋转直线倾斜角的分类讨论，结合图形分析与逻辑推理，发展数学思维。通性通法总结提炼求角方法及斜率关系，用表格呈现对应规律，强化数学语言表达。学生能提升探究能力与思维严谨性，教师可增强教学直观性与互动性。

第2课时　直线的倾斜角 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式 建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游 客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时 也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【问题】　如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 知识点　直线的倾斜角 1. 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴 绕着交点按 时针方向旋转到与直线重合时，所转过的 ⁠ 正角α，称为这条直线的倾斜角. 2. 范围：直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定 与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0. 逆　 最 小　 {α｜0≤α＜π}　 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 当直线与 x 轴不垂直时，该直线的斜率 k 与倾斜角α之间的关系为 k ＝ （α≠ ）. 提醒　任何一条直线都有倾斜角，但倾斜角为 的直线没有斜率. tan α　 3. 倾斜角与斜率的关系 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【想一想】 1. 每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？ 提示：对. 2. 已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？ 提示：唯一确定. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线 l 的倾斜角，则0°≤α≤180°. （　×　） （2）一条直线的倾斜角可以为－30°. （　×　） （3）倾斜角为0°的直线只有一条，即 x 轴. （　×　） × × × 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 下列图中α能表示直线 l 的倾斜角的是（　　） 解析：　由倾斜角的定义，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到 与直线 l 重合时，所转过的最小正角为直线 l 的倾斜角，可知只有选 项A中的α表示直线 l 的倾斜角，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 若直线 l 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A. 45° B. 135° C. －135° D. －45° 解析：　作出直线 l ，如图所示，由图易知，直线 l 的倾斜角是135°，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的倾斜角 【例1】　（1）如图，直线 l 的倾斜角为（　D　） A. 60° B. 120° C. 30° D. 150° 解析：由图易知 l 的倾斜角为45°＋105°＝150°. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）设直线 l 过原点，其倾斜角为α，将直线 l 绕原点沿逆时针方向 旋转45°，得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角为（　D　） A. α＋45° B. α－135° C. 135°－α D. α＋45°或α－135° 解析：∵倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，∴当0°≤α ＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时， l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时， l1的倾斜角为α－135°（如图）. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 求直线的倾斜角的方法及注意点 （1）方法：①利用定义；②结合图形，利用特殊三角形（如直角三 角形）求角； （2）注意倾斜角的范围. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是 （　　） A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180° C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180° 解析：　直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，又直线 l 经 过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜ 180°. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型二 直线的倾斜角和斜率的关系 【例2】　（1）经过两点 P （0，－3）， Q （－ ，0）的直线的倾 斜角为（　C　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：由题意知，经过点 P ， Q 的直线的斜率为 k ＝ ＝－ ，设该直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则 k ＝tan θ＝－ ，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） （2）若直线 l 的斜率 k 的变化范围是[－1， ]，则它的倾斜角α的 变化范围是（　D　） A. 0°≤α≤60° B. 135°≤α＜180° C. 60°≤α＜135° D. 0°≤α≤60°或135°≤α＜180° 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：作出正切函数在[0，π）的图象如图所 示，当－1≤ k ≤ ，即－1≤tan α≤ ，解 得0≤α≤ 或 ≤α＜π，即0°≤α≤60°或 135°≤α＜180°，故选D. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 1. 由倾斜角与斜率的关系 k ＝tan α（α≠ ），可由斜率求倾斜角， 也可由倾斜角确定直线的斜率. 2. 直线的倾斜角与斜率的对应关系 α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜ 180° k 的范围 k ＝0 k ＞0 不存在 k ＜0 k 的增减性 随α的增大而增 大 随α的增大而增 大 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 若经过两点 A （2，1）， B （1， m2）的直线 l 的倾斜角为锐角，则 m 的取值范围是（　　） A. （－∞，1） B. （－1，＋∞） C. （－1，1） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：　∵直线 l 的倾斜角为锐角，∴斜率 k ＝ ＞0，∴－1＜ m ＜1. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 题型三 直线倾斜角与斜率的应用 【例3】　（链接教科书第9页习题8题）已知点 A （2，1）， B （－ 2，2），若直线 l 过点 P 且总与线段 AB 有交点，求直线 l 的 斜率 k 的取值范围. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解：当直线 l 由位置 PA 绕点 P 转动到位置 PB 时， l 的斜率逐渐变大直 至当 l 垂直于 x 轴，当直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 斜率不存在，再转动 时斜率为负值并逐渐变大直到 PB 的位置， 所以直线 l 的斜率 k ≥ kPA ＝ 或 k ≤ kPB ＝－ ， 即直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ∪ . 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 通性通法 1. 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 2. 求代数式 最值（范围）的方法 由斜率公式 k ＝ 的形式，可知代数式 的几何意义是过 P （ x ， y ）与P'（ a ， b ）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合 来求解. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　已知 A （2，3）， B （－1，2），若点 P （ x ， y ）在线段 AB 上， 则 的最大值为（　　） A. 1 D. －3 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 解析：　 ＝ ，其几何意义为过点（ x ， y ）与点（3，0）的直 线的斜率，设 Q （3，0），则 kAQ ＝ ＝－3， kBQ ＝ ＝－ ， ∵点 P （ x ， y ）是线段 AB 上的任意一点，∴ 的取值范围是［－ 3，－ ］，故 的最大值为－ ，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 1. 已知直线 l 的倾斜角为1 rad，则 l 的斜率为（　　） A. 1 B. 45° C. tan 1 D. tan 1° 解析：　由题意知直线 l 的倾斜角为1 rad，则 l 的斜率为tan 1，故 选C. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 2. 若直线 l 经过点 M （2，3）， N （4，3），则直线 l 的倾斜角为 （　　） A. 0° B. 30° C. 60° D. 90° 解析：　因为 M ， N 两点的纵坐标相等，所以直线 l 平行于 x 轴， 所以直线 l 的倾斜角为0°. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 3. 若经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则 m ＝（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析：　由题意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2. 目录 数学·选择性必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $