课时规范练9　函数的对称性及应用-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法构建函数对称性从概念判断到性质综合的逻辑体系，通过分层训练提升抽象能力与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|7题|对称条件代数化（点对称f(x)+f(2a-x)=2b、线对称f(x)=f(2a-x)）|从单一对称性质判断（如第3题线对称证明）到简单应用（如第1题对称点求值）| |综合提升练|3题|对称与周期/单调性综合（如第5题对称导出周期）|结合奇偶性、单调性构建性质网络（如第8题对称与递推关系）| |创新应用练|1题|多性质交叉推导（如对称中心与对称轴导出周期）|通过抽象函数整合对称、周期、单调性（如第11题多性质判断）|

课时规范练9　函数的对称性及应用 (分值:58分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·湘豫名校联盟模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数,若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(4)=(　　) A.1 B.0 C.-1 D.-2 2.(2025·湖南邵阳二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0,且f(x)在[1,+∞)内单调递增,设a=f(-9),b=f,c=f(log417),则(　　) A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c 3.(2025·四川成都开学考试)已知函数f(x)=ex+e-x+2,则(　　) A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.f(x)的图象关于点(-2,0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于直线x=-1对称 4.(2025·河北“五个一”名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)的图象关于点(0,y0)对称,则(　　) A.a+2b=0 B.2a+b=0 C.y0= D.y0= 5.(多选题)(2025·辽宁盘锦模拟)已知定义域均为R的函数f(x),g(x)满足f(2-x)+f(x)=2,g(4-x)=g(x),g(2)=3,若f(x)=g(2+x)+4,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的图象关于y轴对称 B.-8为f(x)的一个周期 C.f(2 023)=-1 D.f(k)=16 6.(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)=的图象关于点P对称,则点P的坐标为　　　　　.  7.(2025·广东云浮模拟)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,当任意x1,x2∈R且x1≠x2时,都有>0成立,则不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为　　　　　　.  综 合 提升练 8.(2025·湖南岳阳模拟)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若函数g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=(　　) A.22 B.-22 C.-24 D.24 9.(多选题)(2025·广东汕尾模拟)已知函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,且f(x)满足f(x+2)=f(-x+2),g(2)=1.下列说法正确的是(　　) A.f(x)的周期为4 B.f(x)的图象关于直线x=6对称 C.f(x)的图象关于点(3,1)对称 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=4 050 10.(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且y=f(4+x)为偶函数,y=g(x+4)+1为奇函数,若∀x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+1,则f(7)·g(7)=　　　　　.  创 新 应用练 11.(多选题)(2026·广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(-x+1)为奇函数,且f(x)在[0,1]上单调递增,则下列选项正确的是(　　) A.f(1)=0 B.直线x=2为函数f(x)图象的一条对称轴 C.f(-1)<f(3) D.函数f(x)在[2,4]上单调递减 参考答案 1.B　解析 根据题意,函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0. 因为函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称, 所以f(x)+g(2+2-x)=0, 即f(x)+g(4-x)=0, 所以g(4)=-f(0)=0.故选B. 2.A　解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0, 所以f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以a=f(-9)=f(11),因为<2<log417<log443=3<11, 又f(x)在[1,+∞)内单调递增, 所以b<c<a.故选A. 3.C　解析 对于A,因为f(x)+f(4-x)=ex+e-x+2+e4-x+ex-2≠0,所以A错误; 对于B,因为f(x)+f(-4-x)=ex+e-x+2+e-4-x+ex+6≠0,所以B错误; 对于C,由f(x)-f(2-x)=ex+e-x+2-(e2-x+ex)=0,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以C正确; 对于D,因为f(0)=1+e2≠f(-2)=e-2+e4,所以D错误.故选C. 4.B　解析 因为f(x)的图象关于点(0,y0)对称,所以f(x)+f(-x)=2y0①, 令x=0,可得f(0)+f(0)=2y0,所以y0=f(0)=-a2b. 由①可得(x-a)2(x-b)+(-x-a)2(-x-b)=-2a2b, 化简得-(4a+2b)x2=0,要使该等式恒成立,则2a+b=0.故选B. 5.ABD　解析 因为f(x)=g(2+x)+4,所以f(-x)=g(2-x)+4,又g(4-x)=g(x),所以g(2+x)=g(2-x),所以f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于y轴对称,故A正确; 又因为f(2-x)+f(x)=2,所以f(-x)+f(2+x)=2,所以f(x)+f(2+x)=2,即f(2+x)=2-f(x),所以f(4+x)=f[2+(2+x)]=2-f(2+x)=2-[2-f(x)]=f(x),所以f(x)的周期T=4,故B正确; 在f(x)+f(2-x)=2中,令x=1,得f(1)=1,所以f(2 023)=f(3)=f(-1)=f(1)=1,故C错误; 因为g(2)=3,所以f(0)=g(2)+4=7,所以f(4)=7,所以f(2)=2-f(0)=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1,故f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×5+f(1)+f(2)=(1-5+1+7)×5+1-5=16,故D正确.故选ABD. 6　解析 令9-3x≠0,解得x≠2,所以f(x)的定义域为{x|x≠2}, 又f(2+x)+f(2-x)=,所以函数f(x)的图象关于点P对称. 7.(-∞,-1)　解析 当任意x1,x2∈R,且x1≠x2时,都有>0成立,则f(x)在R上单调递增. 又f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称. 由不等式f(-3x)+f(2x+1)>0,可得-3x+2x+1>2,解得x<-1, 故不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为(-∞,-1). 8.C　解析 因为函数g(x)的图象关于直线x=2对称, 所以g(2-x)=g(x+2). 因为g(x)-f(x-4)=7, 所以g(x+2)-f(x-2)=7, 即g(x+2)=7+f(x-2). 因为f(x)+g(2-x)=5, 所以f(x)+g(x+2)=5, 代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5, 即f(x)+f(x-2)=-2, 所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10,f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10. 因为f(x)+g(2-x)=5, 所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1, 所以f(2)=-2-f(0)=-3. 因为g(x)-f(x-4)=7, 所以g(x+4)-f(x)=7. 又因为f(x)+g(2-x)=5, 联立得g(2-x)+g(x+4)=12, 所以函数g(x)的图象关于点(3,6)中心对称. 因为函数g(x)的定义域为R, 所以g(3)=6. 因为f(x)+g(x+2)=5, 所以f(1)=5-g(3)=-1, 所以f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=-1-3-10-10=-24.故选C. 9.ABD　解析 由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,得g(x)=2-f(-x+2),g(x-1)=f(x+3)-2,将x替换为x+1,则有g(x)=f(x+4)-2,故f(x+4)-2=2-f(-x+2),则f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)的图象关于点(3,2)对称; 因为f(x+2)=f(-x+2),所以f(x)的图象关于直线x=2对称; 对于A,f(x+2)=f(-x+2)=4-f(x+4),则f(x+2)+f(x+4)=4, 将x替换为x-2,所以f(x)+f(x+2)=4,故f(x)=f(x+4),故f(x)的周期为4,故A正确; 对于B,由f(x+2)=f(-x+2),将x替换为x+4,则f(x+6)=f(-x-2)=f(-x-2+8)=f(-x+6),故f(x)的图象关于直线x=6对称,故B正确; 对于C,f(x+4)+f(-x+2)=4,故f(x)的图象关于点(3,2)对称,故C错误; 对于D,由f(-x+2)+g(x)=f(x+3)-g(x-1)=2,g(2)=1,f(x)周期为4,令x=2,则f(0)+g(2)=2,f(0)=f(4)=1,令x=3,则f(6)-g(2)=2,f(6)=f(2)=3,由f(x+4)+f(-x+2)=4,令x=-1,则f(3)=2, 又f(x)的图象关于直线x=2对称,故f(3)=f(1)=2, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=506×8+f(2 025)=4 048+f(1)=4 050,故D正确. 故选ABD. 10.621　解析 由y=f(4+x)为偶函数,得f(4-x)=f(4+x), 又y=g(x+4)+1为奇函数, 所以g(-x+4)+1=-[g(x+4)+1], 即g(4-x)+g(4+x)=-2. 因为f(x)+g(x)=x2+1,所以 则g(4-x)-g(4+x)=-16x, 又g(4-x)+g(4+x)=-2,解得g(4+x)=8x-1,即g(x)=8x-33, 所以g(7)=8×7-33=23, 又f(7)+g(7)=72+1=50, 所以f(7)=50-g(7)=50-23=27, 所以f(7)·g(7)=23×27=621. 11.ABD　解析 因为f(-x+1)为奇函数,则f(-x+1)+f(x+1)=0, 令x=0,得2f(1)=0,可得f(1)=0,故A正确; 因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2), 即直线x=2为函数f(x)图象的一条对称轴,故B正确; 由f(-x+1)+f(x+1)=0,得到f(-x+1)=-f(x+1), 则f(-x+2)=-f(x),而f(x+2)=f(-x+2),即f(x+2)=-f(x), 可得-f(x+2)=f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 得到f(x)是周期为4的周期函数,由周期性可得f(-1)=f(3),故C错误; 由f(-x+1)+f(x+1)=0,得点(1,0)为f(x)图象的一个对称中心, 又f(x)在[0,1]上单调递增,由中心对称性可得f(x)在[1,2]上单调递增, 由轴对称性可得f(x)在[2,3]上单调递减, 由中心对称性可得f(x)在[-1,0]上单调递减,由周期性可得f(x)在[3,4]上单调递减, 则函数f(x)在[2,4]上单调递减,故D正确. 故选ABD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $