2026年高三数学秋季开学学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版选修三和一轮复习三角函数之前】

**基本信息** 2026年高三开学数学学情卷，聚焦集合、函数、导数等核心知识，通过点声源传播衰减（第9题）、成绩统计（第18题）等真实情境，检测数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合运算、函数奇偶性与单调性、三角函数定义|第5题结合充分必要条件，考查逻辑推理；第8题函数图象对称性，检测几何直观| |填空题|5/25|复数运算、数列公差、函数性质判断|第12题构造反例说明假命题，培养批判性思维；第15题“性质P”探究，发展创新意识| |解答题|6/85|三角函数性质、导数应用、概率统计、数阵创新|第18题通过成绩分组数据，考查数据观念与模型应用；第21题数阵性质证明，融合逻辑推理与数学抽象，呼应高考创新命题趋势|

2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C C D A C A C C D 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11． 3 12．2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 13. 2 14． （答案不唯一，满足即可）（第一空3分，第二空2分） 15. ①②③(写对1个给3分，写对2个给4分，全对5分） 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分） 【答案】(1)最小正周期为，最大值为，最小值为； (2)单调递增区间为，； (3)在区间上的最大值为，最小值为。 【详解】（1）因为， 所以. ，.................................4分 （2）令， 解得单调递增区间为，................................8分 （3）因为，所以，则, 所以，................................13分 17．（13分） 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. 【详解】（1）， 由得曲线在点处的切线方程为；...............................6分 （2）由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为................................13分 18．（14分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为，...............................4分 （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为，...............................8分 （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以................................14分 19．（15分） 【答案】(1) (2)选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在. 【详解】（1）由两角和的正弦公式，可得 . ∵ ，且， ∴ ................................4分 （2）由题意 ， ∴ ，即 ，. 又在区间上单调递减，该区间长度为， 正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得...............................8分 选择条件①：在区间上单调递增， 同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值， ∴ ，即 ，. 联立， 两式相减得，其中 ；当 时满足要求，此时解得， 代入 得， 因为，解得. 此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定................................15分 选择条件②： ， 已知 ，由得： ，即 ， ---（1） 又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得. 由条件② 得： ，即 ， ---（2） （1）-（2）得 ，即， . 结合，仅时符合要求，代入（1）得，解， 因为，解得，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定. 选择条件③： 由条件③得 ，即 ， ---（3） 联立（1）和（3），（1）-（3）得 ，即 ， . 结合： 时，不符合要求； 时，代入（3）得，因为，所以， 此时，当时，，不满足单调递减的要求； 时，不符合的要求，故条件③不满足要求. 20．（15分） 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）当时，，设切点为，， 由于直线是曲线的一条切线，所以，解得， 所以，即切点， 由于切点在直线上，所以，解得................................6分 （2）当时，， 令，其判别式， 当，即时，恒成立，即在上恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； 当，即或时，方程的两根分别为和， 当时，，在上恒成立，即在上恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； 当时，有， 当或时，；当时，， 故在递增，在递减，在递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减................................9分 (3)由（2）可知，当时，有两根，，且有极大值和极小值，， 则，所以， 同理， 因为，所以且， 所以，得极大值，极小值， 当时，；当时，， 故在，，各有一个零点，即有且仅有三个不同的零点．......................15分 21．（15分） 【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质．...............................4分 （2）设第行元素之和为 先考察第行与第行． 令 对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得 因此从而 同理，考察第行与第行，可得 所以整个数阵所有元素之和为 设数阵中的个数为． 数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得 下面说明可以达到． 取 该数阵中共有个． 对于的数阵，可能的行距、列距组合只有 当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为； 当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为； 当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为． 所以该数阵具有性质，且的个数为． 因此，的个数最多为...............................9分 (3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个． 因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①， 对，，令 先取行距为、列距为的矩形． 由①，对及，有 由于，所以②， 下面比较第行与第行的值． 对，取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得 由②知，故③， 令 则由③得，所以 再取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得即 由于且，所以． 从而④， 同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤， 结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥， 当时，由，显然有 当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有 再由⑥， 两边同乘，并利用，得 命题得证．...............................15分 ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷01 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题4分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CD] 10[A][B][C]D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 之 豪 12. 1 14 15 ! 剂 请在各题目磨毯内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(12分) 17.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) y ---1 、 3 2 4-3-2-1Q 12345 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (道9并)道S患索谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海☒璐品阴目酷号平巢 (女SI)0z :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019选择性必修第三册+集合与命题逻辑+不等式+函数与导数+三角函数 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）． A． B． C．1 D．0 7．若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 9．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为，其中k为常数．当传播距离由15m增加到90m时，衰减量得增量约为（    ）（参考数据：，） A．8dB B．12dB C．16dB D．18dB 10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若（，i为虚数单位），则_______. 12．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 13．已知等差数列中，，且，则的公差______． 14．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 15．如果函数满足：当a，b，c是一个三角形的三边长，且都存在时，也是某个三角形的三边长，那么就称具有“性质P”，则下列说法正确的是 ①．具有“性质P” ②．不具有“性质P” ③．当具有“性质P”时，M的最小值为2 ④．当具有“性质P”时， 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 17．（13分）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 18．（14分）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 19．（15分）已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20．（15分）已知． (1)时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调区间； (3)若，求证：有且仅有三个不同的零点． 21．（15分）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷01 数学 : : : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：人教B版2019选择性必修第三册+集合与命题逻辑+不等式+函数与导数+三角函数 第一部分（选择题共40分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : 1.已知集合U={x|-3<x≤3}，A={x|0≤x<2},则A=() A.(-3,0) B.（-3,2) : c.(-3,0)U[2,3] D.(-3,0]U[2,3] 2.设a,b∈R,若a-bl>0,则下列不等式中正确的是() O A.b-a>0 B.d+b3<0 C.b+ax0 D.-b2<0 : 3.两数/国-2+1的授大世点为() 2 A.x=-1 B.x=-2 C.x=1 D.x=2 照 4.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是() : : A.y= B.v=x2 C.y=x-3 D.y=x : : 5.设a,b∈R, 则ra61g日两() : : : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 : C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.角α的终边与单位圆的交点坐标为 则a哥引 A. B. C.1 D.0 2 : : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 7.若函数f(x)=sinx+cos(x+p)的值域为[-1,1]，则p可以为() A.6 C.兀 0. 4π 8.函数y=a+的图象与函数y=log.(x+1)(其中a>0且a≠1)的图象关于() A.直线y=x对称 B.直线y=x-1对称 C.直线y=x+1对称 D.直线y=-x+1对称 9.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.己知点声源在空间中传播时，衰减量L(单位：dB)与传播距离 r(单位：m)的关系式为L=10lg(π2)+k,其中k为常数.当传播距离由15m增加到90m时，衰减量 得增量约为()（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5） A.8dB B.12dB C.16dB D.18dB 10.设实数2>0，若对任意的x∈(e,+n),不等式2e“-lnx≥0恒成立，则2的最小值为() 1 A. B.2e2 C.20 、2 D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.若(x-2i)i=y+i(x,y∈R,i为虚数单位)，则x+y=· 12.能够说明“设a,b,c均为正实数，若a+b>c,则a2+b>c2"是假命题的一组正实数a,b,c的值依 次为 13.已知等差数列{a}中，4=5，且2a1+a=11,则{a}的公差d= 14.已知函数f(x)=sim(@x+9)(o>0),如图所示，直线y=5与曲线y=f(x)交于A,B两点，若 2 A8=，f(在区同 5π11π 12’12 上单调递减，则0=；φ的一个取值为一 15.如果函数f(x)满足：当a,b,c是一个三角形的三边长，且f(a),fb),f(c)都存在时，f(a),fb),f(c)也 是某个三角形的三边长，那么就称(x)具有“性质P”,则下列说法正确的是 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 ①.f(x)=√x具有"性质P ②.f(x)=x2不具有“性质P ③.当f(x)=lnx(x≥M)具有"性质P"时，M的最小值为2 ④.当f(x)=simx(0<x<M)具有“性质p时，0<M<5亚 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(13分)已知函数f(x)=2im2x- 6 (1)求函数f(x)的最小正周期，以及最大值和最小值： (2)求函数f(x)的单调递增区间： (3)求函数/()在区同 上的最大值和最小值， 17.(13分)已知函数f(x)=e(x2-x+1) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 试题第3页（共6页） 18.(14分)现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分 [81,94) [94,107) [107,120) [120,135) [135,150] 组 人数 40 60 60 32 P 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； 卡 (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率： (3)每组数据取左端、中间、右端，比较s左、S命、5的大小关系. 张 河 数 游 y 肉 些 试题第4页（共6页） 19.(15分)已知函数f()=sin2+cos2 sin,其中0>0，网<号 (1)若f(0)= 3 求p值； (2)已知f(x)在区间 2兀 上单调递减，f 3 -1,再从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数∫(x)存在且唯一确定，求@，P的值. 条件①：f(x)在区间 36 上单调递增： 条件②： 0 条件®[得-0 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. : O ..0 20.(5分)已知fe)=xar(aeR). 试题第5页（共6页） : 6学科网·上好课 (1)a=1时，若直线y=x+b是曲线f(x)的一条切线，求b的值： (2)讨论f(x)的单调区间； (3)若a>2,求证：f(x)有且仅有三个不同的零点. 21.(15分)设A=(a)是一个m行n列的数阵，且数阵中的每一项4∈{-1,1}，都等于1或-1.若对任 意1≤i,p≤m,1≤j,q≤n,其中i≠p,j≠q,且i-p-j-q=2,都有4，+4g+a+ag=0,则称数阵A具 有性质P. (1)判断下列两个数表是否具有性质P. -1 1 A= -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 (2)若=5，n=4,则具有性质P的数阵A中1的个数最多是多少？ (3)若m=n=6,41=1,且数阵A具有性质P,证明：对任意i,je1,2,3,4,5,6,都有4=414· 试题第6页（共6页） 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合补集的定义与运算，准确运算，即可求解. 【详解】由集合，， 根据集合补集的定义与运算，可得或. 2．设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故. 选项A，若，则，. 若，易知，错误. 选项B，同理，若，则，. 若，易知，故，错误. 选项C，若，则. 若，易知，故，正确. 选项D，因为，所以，即，错误. 3．函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，利用单调性分析极大值点. 【详解】因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为. 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，又， 所以是偶函数，故A错误， 对于B，易知函数是上的偶函数，所以B错误， 对于C，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又由幂函数的性质知在上单调递减，所以C错误， 对于D，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数， 又由幂函数的性质知在上单调递增，所以D正确. 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，故充分性成立； 当，时，不等式成立，但，故必要性不成立． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 6．角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）． A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的定义和两角差的余弦公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点坐标为，可得， 则. 7．若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 8．函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】∵函数与的图象关于直线对称， 而函数与的图象分别为函数与的图象向左平移1个单位可得， ∴函数的图象与函数的图象关于直线对称． 9．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为，其中k为常数．当传播距离由15m增加到90m时，衰减量得增量约为（    ）（参考数据：，） A．8dB B．12dB C．16dB D．18dB 【答案】C 【分析】通过计算两个不同距离下的衰减量差值，利用对数的运算性质化简表达式，再代入参考数据求解增量. 【详解】设传播距离为时的衰减量为，传播距离为时的衰减量为， 则衰减量的增量为. 由衰减量公式，可得： ， 代入，，得，故， 因此：， 代入参考数据，， 得：. 10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式恒成立，同构变形为恒成立，构造函数，由函数单调性得在上恒成立，利用分离参数法得在恒成立，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】， 令， 则， ， 所以在上单调递增，，即， 令，，则 当时，在上单调递减； 所以，即. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若（，i为虚数单位），则_______. 【答案】3 【详解】因为， 所以由. 12．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 【答案】2，2，3（也可取3，4，5，答案不唯一） 【分析】选取满足且的正实数即可. 【详解】若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足故原命题为假命题； 若，，，满足a，b，c均为正实数，且，此时，不满足，故原命题为假命题. 13．已知等差数列中，，且，则的公差______． 【答案】2 【分析】根据等差数列的通项公式即可即可. 【详解】，解得. 故答案为：2. 14．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 15．如果函数满足：当a，b，c是一个三角形的三边长，且都存在时，也是某个三角形的三边长，那么就称具有“性质P”，则下列说法正确的是 ①．具有“性质P” ②．不具有“性质P” ③．当具有“性质P”时，M的最小值为2 ④．当具有“性质P”时， 【答案】①②③ 【分析】对于①②，利用不等式的性质或特例可判断①②的正误.对于③，根据函数的性质可求的范围，对于④，可证时，函数具有性质，故可判断③④的正误. 【详解】对于选项①②，对于在上单调递增的函数，具有“性质P”等价于对任意满足且的实数a，b，c，均有． 而， 因此具有“性质P”； 取，则， 于是不具有“性质P”． 对于选项③，显然． 当且时，有知， 从而有． 而当时，取且，则， 不符合题意．因此M的最小值为2． 对于选项④，若，可以取， 但不能构成三角形，因此． 下面证明当时，具有“性质P”． 若且能构成三角形，不妨设 当时，， 同理，，所以构成三角形. 当时，此时，， 故， 所以，同理可得 又， 若，则， 若，因此，故， 所以，而， 所以， 所以构成三角形. 因此命题得证，从而M可以取得，命题④错误． 故选：①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，最大值为，最小值为； (2)单调递增区间为，； (3)在区间上的最大值为，最小值为。 【详解】（1）因为， 所以. ，. （2）令， 解得单调递增区间为，. （3）因为，所以，则, 所以，. 17．（13分）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. 【详解】（1）， 由得曲线在点处的切线方程为； （2）由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 18．（14分）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求样本中数学成绩低于分的频率，再由频率估计概率； （2）先分别求事件成绩不低于分的概率和事件成绩小于分的概率，再由独立事件概率乘法公式求结论； （3）根据方差公式分别求，比较大小可得结论. 【详解】（1）由已知样本中数学成绩低于分的频率为， 所以数学成绩低于分的概率为， （2）从学校随机抽取一人，该学生成绩不低于分的概率为， 小于分的概率为， 所以从学校随机抽取人，人不低于且人小于的概率为， （3）每组数据取左端的值记为，， 每组数据取中间的值记为，， 每组数据取右端的值记为，， 由已知，，，，， 所以， 由已知，，，，， 所以， ，，，，， 所以， ， 所以. 19．（15分）已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在. 【分析】先利用两角和的正弦公式将函数化简为，代入得到关于的三角函数方程，结合的取值范围即可求解. 先根据的单调性、的条件，得到的取值范围与、的等式关系，再结合所选补充条件建立方程，联立求解验证是否能得到唯一的、 值即可. 【详解】（1）由两角和的正弦公式，可得 . ∵ ，且， ∴ . （2）由题意 ， ∴ ，即 ，. 又在区间上单调递减，该区间长度为， 正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得. 选择条件①：在区间上单调递增， 同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值， ∴ ，即 ，. 联立， 两式相减得，其中 ；当 时满足要求，此时解得， 代入 得， 因为，解得. 此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定. 选择条件②： ， 已知 ，由得： ，即 ， ---（1） 又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得. 由条件② 得： ，即 ， ---（2） （1）-（2）得 ，即， . 结合，仅时符合要求，代入（1）得，解， 因为，解得，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定. 选择条件③： 由条件③得 ，即 ， ---（3） 联立（1）和（3），（1）-（3）得 ，即 ， . 结合： 时，不符合要求； 时，代入（3）得，因为，所以， 此时，当时，，不满足单调递减的要求； 时，不符合的要求，故条件③不满足要求. 20．（15分）已知． (1)时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调区间； (3)若，求证：有且仅有三个不同的零点． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义即可求解； （2）根据题意，求出函数的导数，分类讨论导数的正负即可； （3）利用导数得到函数的极值，再判断极值的正负即可证明. 【详解】（1）当时，，设切点为，， 由于直线是曲线的一条切线，所以，解得， 所以，即切点， 由于切点在直线上，所以，解得. （2）当时，， 令，其判别式， 当，即时，恒成立，即在上恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； 当，即或时，方程的两根分别为和， 当时，，在上恒成立，即在上恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； 当时，有， 当或时，；当时，， 故在递增，在递减，在递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (3)由（2）可知，当时，有两根，，且有极大值和极小值，， 则，所以， 同理， 因为，所以且， 所以，得极大值，极小值， 当时，；当时，， 故在，，各有一个零点，即有且仅有三个不同的零点． 21．（15分）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质． （2）设第行元素之和为 先考察第行与第行． 令 对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得 因此从而 同理，考察第行与第行，可得 所以整个数阵所有元素之和为 设数阵中的个数为． 数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得 下面说明可以达到． 取 该数阵中共有个． 对于的数阵，可能的行距、列距组合只有 当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为； 当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为； 当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为． 所以该数阵具有性质，且的个数为． 因此，的个数最多为 (3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个． 因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①， 对，，令 先取行距为、列距为的矩形． 由①，对及，有 由于，所以②， 下面比较第行与第行的值． 对，取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得 由②知，故③， 令 则由③得，所以 再取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得即 由于且，所以． 从而④， 同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤， 结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥， 当时，由，显然有 当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有 再由⑥， 两边同乘，并利用，得 命题得证． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分） 17．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019选择性必修第三册+集合与命题逻辑+不等式+函数与导数+三角函数 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的极大值点为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）． A． B． C．1 D．0 7．若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 8．函数的图象与函数（其中且）的图象关于（   ） A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称 9．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为，其中k为常数．当传播距离由15m增加到90m时，衰减量得增量约为（    ）（参考数据：，） A．8dB B．12dB C．16dB D．18dB 10．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．若（，i为虚数单位），则_______. 12．能够说明“设a，b，c均为正实数，若，则”是假命题的一组正实数a，b，c的值依次为________． 13．已知等差数列中，，且，则的公差______． 14．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 15．如果函数满足：当a，b，c是一个三角形的三边长，且都存在时，也是某个三角形的三边长，那么就称具有“性质P”，则下列说法正确的是 ①．具有“性质P” ②．不具有“性质P” ③．当具有“性质P”时，M的最小值为2 ④．当具有“性质P”时， 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 17．（13分）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的单调区间. 18．（14分）现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、的大小关系． 19．（15分）已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20．（15分）已知． (1)时，若直线是曲线的一条切线，求的值； (2)讨论的单调区间； (3)若，求证：有且仅有三个不同的零点． 21．（15分）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教B版2019选择性必修第三册+集合与命题逻辑+不等式+函数与导数+三角函数 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合U={x-3<x≤3}，A={x|0≤x<2},则dA=() A.（-3,0) B.(-3,2) C.(-3,0)U[2,3] D.（-3,0]U[2,3] 2.设ab∈R,若a-b>0,则下列不等式中正确的是() A.b-ax0 B.d2+b2<0 C.b+ax0 D.a2-b2<0 3.函数)式号+2x+1的极大值点为《) 3 A.x=-1 B.x=-2 C.x=1 D.X=2 4.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是() A.y= B.y=x C.y=x3 D.y=x 5.设ab∈R,则a>b>I是的() a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13 6.角的终边与单位圆的交点坐标为 22 A.号 B.3 C.1 D.0 7.若函数f(x)=sinx+cos(x+p)的值域为[-1,1]，则p可以为() 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.π 8.函数y=a+H的图象与函数y=log.(x+1)(其中a>0且a≠1)的图象关于() A.直线y=x对称 B.直线y=x-1对称 C.直线y=x+1对称 D.直线y=-x+1对称 9.点声源亦称球面声源'或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量L(单位：dB)与传播距离 r(单位：m)的关系式为L=10lg(π)+k,其中k为常数.当传播距离由15m增加到90m时，衰减量得 增量约为()（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5） A.8dB B.12dB C.16dB D.18dB l0.设实数2>0，若对任意的x∈(e,+o),不等式ex-nx≥0恒成立，则的最小值为() B.2e2 c.是 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11.若(x-2i)i=y+i(x,y∈R,i为虚数单位)，则x+y= 12.能够说明“设a,b,c均为正实数，若a+b>c,则a2+b2>c2”是假命题的一组正实数a,b,c的值依 次为 13.己知等差数列{an}中，4=5，且2a+45=11,则{a}的公差d=_ 14.已知函数f)=n(®x+p(®>0).如图所示直线)=与由线)y-f(交于A,3两点，若h-圣 2 f(x)在区间 5元11元 12’12 上单调递减，则ω=；P的一个取值为一· B 15.如果函数f(x)满足：当a,b,c是一个三角形的三边长，且f(a),fb),f(c)都存在时，f(a),fb),f(c)也 是某个三角形的三边长，那么就称f(x)具有“性质P',则下列说法正确的是 ①.f(x)=V√x具有“性质P ②.f(x)=x2不具有性质pP, ③.当f(x)=nx(x≥M)具有“性质P时，M的最小值为2 ④.当f)=sinx(0<x<M0具有“性质p时，0<M<江 6 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.（13分)已知函数f)-2n2x引 (1)求函数∫(x)的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数∫(x)的单调递增区间； ③)求函数f(9在区间0，习上的最大值和最小值。 17.(13分)已知函数f(x)=e*(x2-x+1) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(14分)现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下： 成绩分 [81,94) [94,107) [107,120) [120,135) [135,150] 组 人数 40 60 60 32 8 以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩低于120分的概率： (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较s乐、s品、5的大小关系。 4/6 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(15分)已知函数f(x)=sin2 wxCoSp+cos2 cxsinp, 其中@>0号 ()若f(0)= ,求p值： 2 a已知f刊在区间[习上单调莲诚， 2π =-1，再从条件①、条件②.条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在且唯一确定，求@P的值 条件0：了在区同哥引单河造 条件②：」 条件③f 注；如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(15分)已知f()=x-1-adx(a∈R). (①)a=1时，若直线y=x+b是曲线f(x)的一条切线，求b的值： (2)讨论f(x)的单调区间： (3)若a>2,求证：(x)有且仅有三个不同的零点. 21.(15分)设A=(a)是一个m行n列的数阵，且数阵中的每一项4，∈{-1,1}，都等于1或-1.若对任 意1≤i,p≤m,1≤j,q≤n,其中i≠p,j≠q,且-p-j-q=2,都有4，+4g+g+ag=0,则称数阵A具 有性质P. (1)判断下列两个数表是否具有性质P. 1 1 -1 1 A= -1 -1 1 -1 -1 A,= 1 -1 -1 -1 -1 (2)若m=5,n=4,则具有性质P的数阵A中1的个数最多是多少？ (3)若m=n=6,41=1,且数阵A具有性质P,证明：对任意i,je1,2,3,4,5,6,都有a=441 6/6