专题06 空间向量的综合问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题06 空间向量的综合问题 常考题型·精准突破 题型1 立体几何中的翻折问题 题型2 立体几何中的最值（范围）问题 题型3 位置关系探究性问题 题型4 与空间角有关的探究性问题 题型5 与空间距离有关的探究性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 立体几何中的翻折问题 ( 解题贴士 ： 翻折问题的解题策略 （ 1 ） 确定翻折前后变与不变的关系 ： 画好翻折前后的平面图形与立体图形 ， 分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变 . 一般地 ， 位于 “ 折痕 ” 同侧的点、线、面之间的位置关系不变 ， 而位于 “ 折痕 ” 两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化 ； 对于不变的关系应在平面图形中处理 ， 而对于变化的关系则要在立体图形中解决 ； （ 2 ） 确定翻折后关键点的位置 ： 所谓的关键点 ， 是指翻折过程中运动变化的点 . 因为这些点的位置移动 ， 会带动与其相关的点、线、面的关系变化 . 只有分析清楚关键点的准确位置 ， 才能以此为参照点 ， 确定其他点、线、面的位置 ， 进而进行有关的证明与计算 . ) 【例1】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值． 【解】（1）证明：由，得， 又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 又因为在平面ABCD中，，得， 又因为平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知，翻折后， 连接，由，则， 在中，因，得，则，                又平面，所以平面 （3）由（2）得平面，又平面，所以，则两两垂直， 建立如图空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以， 设直线EC平面PCD所成角为，则， 即直线EC与平面PCD所成角的正弦值为.　 【变式1】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．    (1)证明：平面平面； (2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 【解】（1）在图中连接，，    由是正方形，则和都是等腰三角形， 又是正方形中心，所以，， 因为，且，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大， 此时平面平面， 因为，且平面平面，平面， 所以平面ABC，所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，    因为正方形的边长为，则， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 因为，即， 令，则，，得， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为． 【变式2】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 【解】（1）  如上图，连接交于，连接， 由题可知：底面是正方形，所以为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面是正方形，所以，由二面角为直二面角， 得平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又，平面，平面，    以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系，直线与平面所成角为． ，，，， 由图可知为平面的法向量， 则，. 【变式3】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. （2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知， 所以，则， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为在线段上，且，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为.    ◆题型2 立体几何中的最值（范围）问题 ( 解题贴士 ： 立体几何中最值 （ 范围 ） 问题的解题策略 在动态变化过程中产生的体积最大 （ 小 ） 、距离最大 （ 小 ） 、角的范围等问题 ， 常用的解题思路是 ： （ 1 ） 直观判断 ： 在变化过程中判断点、线、面在何位置时 ， 所求的量有相应最大、最小值 ， 即可求解 ； （ 2 ） 函数思想 ： 通过建系或引入变量 ， 把这类动态问题转化为目标函数 ， 从而利用代数方法求目标函数的最值 . ) 【例2】（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【解】（1）底面，且底面，故， 又，故， 平面，且， 则平面，又平面，故． （2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在上，设， 故，则， 故， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设直线与平面所成角为，则 ， ， 令， ，故， 故，当时取最小值， 当时取最大值． 【变式1】（25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)证明：； (3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． 【解】（1）方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角． 过点作于，连接， 因为平面，平面,所以， 又因为平面,所以平面， 又平面，所以，所以是两个平面所成的角， 根据题意可知，， 在中，由等面积可得，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：根据题意可知，， 于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 利用点是的中点确定点的坐标为， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 显然平面的法向量可以是， 设平面与平面的夹角大小为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）由题可知，分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，            又平面，平面平面， 所以，从而. （3）方法一：由（2）可知，，于是可设， 即，又，则，， 设直线与平面所成角大小为， 则， 当时，取得最小值，则取得最大值． 此时，； 方法二：由（2）可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等， 设这个定距离为，也就是点到面的距离． 在中，，，由余弦定理，，， 在三棱锥中，， 设直线与平面所成角大小为，为锐角，则， 当最小时，最大，显然，即时，最小． 又，， ． 所以． 【变式2】（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. (1)若点为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【解】（1）证明：如图，取的中点，连接，. 因为是棱的中点，所以且.        因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则.     因为平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接，. 因为是边长为2的等边三角形，所以，，. 因为，，为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，则，. 又，所以，所以. 又因为，所以平面.     以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，.     设，其中， 则. 设平面的法向量，所以，         令，得. 设平面的法向量，所以， 令，得.         设平面与平面的夹角为，则 ，.         令，则. 令，当时，，当时，， 所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【解】（1）取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． ◆题型3 位置关系探究性问题 【例3】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【解】(1)证明：因为四边形为矩形， 所以， 由平面，平面， 得平面． 又平面，平面平面， 所以 (2)证明：因为平面， 又平面，所以． 又底面为矩形，所以． 平面，， 所以平面． 又平面，所以． 在中，，， 所以, , 在中，由余弦定理可得 , 所以, 因为，所以． 因为，，平面，， 所以平面． (3)存在，证明如下： 如图：过作交于点， 过作交于点． 因为，平面，平面， 所以平面． 同理平面． 又平面，， 所以平面平面． 因为平面，所以平面, 由（2）知，， 又，则， 则, 因为， 所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，． 【变式1】（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解】（1）证明：因为，，则，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． （2）取中点，连接，取中点，连接. 由得平面，因为，所以平面，平面， 又因为，所以四边形均为矩形， 所以多面体为直三棱柱， 因为为等边三角形，平面平面， 所以平面平面，为等边三角形，即， 因为为的中点，平面平面，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 因为，所以， 所以， 即，所以直线与平面夹角余弦值为. （3）存在，为线段的中点. 取中点，连接，设点在底面的投影为，连接， 由（2）可知，直线在底面上的投影为直线，所以点在线段上. 假设，所以平面，即， 在正方形中，当时，为对角线的交点， 即为线段的中点，所以为线段的中点 【变式2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 【解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为为正三角形，点为的中点，所以， 又因为，平面，所以平面； （2）由（1）知平面，又平面， 所以平面平面， 在平面内过点作交于点， 又平面平面，所以平面， 于是点即为所要找的点，又，所以， 即有，于是，所以， 所以. （3）取的中点，连接，因为点为的中点， 则，， 于是为平行四边形，即，而平面， 平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离, 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 而由（2）知，当时，平面，， 设，则， 所以点到平面的距离. 【变式3】（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【解】（1）因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． （2）存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． ◆题型4 与空间角有关的探究性问题 ( 解题贴士 ： 与空间角有关的探究性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系 ， 把几何对象上动点的坐标用参数 （ 变量 ） 表示 ， 将几何对象坐标化 ， 这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组 . 若方程或方程组在题设范围内有解 ， 则通过参数的值反过来确定几何对象的位置 ； 若方程或方程组在题设范围内无解 ， 则表示满足题设要求的几何对象不存在 . ) 【例4】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 【变式1】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【解】（1）设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 【变式2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，，平面，所以平面． （2）由平面，得，，故， 设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系， ，，，，， 设，，， 平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则： ， 解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时． 【变式3】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解】（1）证明：记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直． 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为． 则，令 ， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得． 所以． ◆题型5 与空间距离有关的探究性问题 ( 解题贴士 ： 与空间距离有关的探究性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系 ， 把几何对象上动点的坐标用参数 （ 变量 ） 表示 ， 将几何对象坐标化 ， 这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组 . 若方程或方程组在题设范围内有解 ， 则通过参数的值反过来确定几何对象的位置 ； 若方程或方程组在题设范围内无解 ， 则表示满足题设要求的几何对象不存在 . ) 【例5】（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1 (1)证明：MP⊥BH； (2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由． 【解】（1）证明：因为在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1， 连接，所以， 所以四边形为菱形，故， 由长方体得，由，知, 由，得， 由，得. （2）存在点满足条件，. 证明如下： 假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则, 而，， 所以， 则， 另一方面， 故， 综上所述存在点满足条件，. 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【解】（1）证明如下： 连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 【变式3】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，． (1)求证：平面平面； (2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 【解】(1)证明：因底面底面，则， 又平面，则平面， 又平面，则平面平面. (2)不存在，理由如下： 以为原点，建立空间直角坐标系，如图． 由，设，于是， 其中， 则． 由，可得． 假设存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等， 则，由， 可得． 又， 其判别式，故方程无解， 即线段上不存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等． AI 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． (1)证明：平面． (2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【解】（1），分别为，的中点， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ，， 平面，平面， 平面． （2）取的中点，连接，取中点，连接， ，，，， ∵平面平面，平面，平面平面， 平面． ∵四边形是边长为2的正方形，为中点， ，， 分别以，，所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，则，，，， 假设存在点到点，，，距离都相等， 解得，，即， ∴点存在，且点为与的交点； （3）设平面、平面的法向量分别为，， 由（2）知，，，， 令，． 令，． 设平面、平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为． 2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【解】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【解】（1）取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 4．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解】（1）连接,连接， 四边形为正方形，为中点，为BC的中点，， 平面，平面，平面； （2）取的中点，的中点，连接，， 为等边三角形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 设直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设， ，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，， 则点到平面的距离为， 解得，或（舍）， 在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 5．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面； (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 【解】（1）在圆柱中，母线底面，而底面，则， 由是圆的直径，得，而平面， 因此平面，又平面，则， 而平面，所以平面. （2）假设在线段上存在一点，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由， 得，则，   ，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，得， 由平面与平面BCD所成角的余弦值为，得， 解得，所以在线段上存在一点，满足题意，此时. 6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面 (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由． 【解】（1）因为与均为等腰直角三角形，， 所以，即， 所以， 设，则，则 所以，即， 连接AE，因为E为BC中点，， 所以四边形ADCE为正方形，则， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以A为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面在面内，所以即为平面的法向量， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则， 所以，而平面与平面的夹角为锐二面角或直角， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （2）由（1）得 假设存在点，设， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或1， 故存在点Q为端点P或端点B时，使直线与平面所成角的正弦值为 7．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 8.（25-26高二下·浙江宁波·期末）在长方体中，，，E为棱上一动点.    (1)求证：； (2)当平面时，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 【解】（1）因为长方体，且， 所以平面，且， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面，平面，所以 . （2）以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设（），则，，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 因为平面，所以，即，解得， 所以线段的长度为1 ；    （3）由（2）知，，，平面的法向量， 底面正方形的内切圆圆心为，半径. 设内切圆上的点，，则， 所以. 点P到平面距离， 设，， 则 ，其中，， 当时，取最大值，为， 所以点P到平面距离的最大值为 . 9.（25-26高一下·重庆·期末）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与 ，如图2.    (1)设为中点，求证:平面； (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 【解】（1）取中点，连接，如图， 因为是中点，所以且， 又因为为的中点，则且，所以且， 所以是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）存在，使得直线与平面所成角的余弦值为，理由如下： 假设存在，使得直线与平面所成角的余弦值为， 在平行四边形中，，是中点，则， 又，所以是等边三角形，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以，所以， 又，，平面，所以平面， 取中点，连接，则，，由平面得， 因为，平面， 所以平面， 以为原点，为轴，为轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，又， 所以， 设直线与平面所成角为，平面的一个法向量是，则 ，所以， 所以, 解得（舍去）. 10．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【解】（1）法一：证明：∵，平面，平面， ∴平面. 同理：平面. ∵，平面，平面， ∴平面平面. 又∵平面， ∴平面. 法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图）， 则，，，，， 设，则. 依题意，是平面的一个法向量. 又因为， ∴，即. ∴. 又∵因为直线平面， ∴平面. （2） 由（1）可得：，，，，， ∴，，，， 假设存在这样的点，且满足：， ∴. ∴. 设平面的法向量为，则 ，即. 假设，则，，∴ 设点到平面的距离为， ∴. 在△中，，. . ∴. ∴. ∵， ∴，符合题意， ，即点为线段上靠近的三等分点. 11．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，.，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，， ， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以 即平面与平面的夹角的正弦值为. （3）由（2）可得，则， 假设线段上存在一点，满足， 则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则得或. 故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为. 12．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题： (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的最大正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为平面平面，所以点到平面的距离等于， 所以， 所以. （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，其中， ， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 当且仅当时，直线与平面所成角的正弦值最大，且其最大值为. （3）由（2）知、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，令，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 若平面平面，则，即，解得， 因此不存在这样的点使得平面平面. 13．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图1，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1)求证：； (2)若点是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为. 【解】（1）在长方形中，，，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面，所以. （2）过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线，分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由点是线段上的一动点， 设，， 则 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 解得，点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 14.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【解】（1）由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. （2）因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：    则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，，    所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，，    所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 空间向量的综合问题 常考题型·精准突破 题型1 立体几何中的翻折问题 题型2 立体几何中的最值（范围）问题 题型3 位置关系探究性问题 题型4 与空间角有关的探究性问题 题型5 与空间距离有关的探究性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 立体几何中的翻折问题 ( 解题贴士 ： 翻折问题的解题策略 （ 1 ） 确定翻折前后变与不变的关系 ： 画好翻折前后的平面图形与立体图形 ， 分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变 . 一般地 ， 位于 “ 折痕 ” 同侧的点、线、面之间的位置关系不变 ， 而位于 “ 折痕 ” 两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化 ； 对于不变的关系应在平面图形中处理 ， 而对于变化的关系则要在立体图形中解决 ； （ 2 ） 确定翻折后关键点的位置 ： 所谓的关键点 ， 是指翻折过程中运动变化的点 . 因为这些点的位置移动 ， 会带动与其相关的点、线、面的关系变化 . 只有分析清楚关键点的准确位置 ， 才能以此为参照点 ， 确定其他点、线、面的位置 ， 进而进行有关的证明与计算 . ) 【例1】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值． 【变式1】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．    (1)证明：平面平面； (2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 【变式2】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 【变式3】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.      (1)求证：平面； (2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值. ◆题型2 立体几何中的最值（范围）问题 ( 解题贴士 ： 立体几何中最值 （ 范围 ） 问题的解题策略 在动态变化过程中产生的体积最大 （ 小 ） 、距离最大 （ 小 ） 、角的范围等问题 ， 常用的解题思路是 ： （ 1 ） 直观判断 ： 在变化过程中判断点、线、面在何位置时 ， 所求的量有相应最大、最小值 ， 即可求解 ； （ 2 ） 函数思想 ： 通过建系或引入变量 ， 把这类动态问题转化为目标函数 ， 从而利用代数方法求目标函数的最值 . ) 【例2】（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．    (1)求证：； (2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【变式1】（25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)证明：； (3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长． 【变式2】（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点. (1)若点为的中点，求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. ◆题型3 位置关系探究性问题 【例3】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且． (1)设平面平面，证明： ； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求点到平面的距离． 【变式3】（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. (1)若平面，求二面角的大小； (2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. ◆题型4 与空间角有关的探究性问题 ( 解题贴士 ： 与空间角有关的探究性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系 ， 把几何对象上动点的坐标用参数 （ 变量 ） 表示 ， 将几何对象坐标化 ， 这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组 . 若方程或方程组在题设范围内有解 ， 则通过参数的值反过来确定几何对象的位置 ； 若方程或方程组在题设范围内无解 ， 则表示满足题设要求的几何对象不存在 . ) 【例4】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【变式2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ◆题型5 与空间距离有关的探究性问题 ( 解题贴士 ： 与空间距离有关的探究性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系 ， 把几何对象上动点的坐标用参数 （ 变量 ） 表示 ， 将几何对象坐标化 ， 这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组 . 若方程或方程组在题设范围内有解 ， 则通过参数的值反过来确定几何对象的位置 ； 若方程或方程组在题设范围内无解 ， 则表示满足题设要求的几何对象不存在 . ) 【例5】（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1 (1)证明：MP⊥BH； (2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由． 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【变式3】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，． (1)求证：平面平面； (2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面． (1)证明：平面． (2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 4．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 5．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．    (1)求证：平面； (2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由． 6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面 (1)求平面与平面的夹角的余弦值； (2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由． 7．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8.（25-26高二下·浙江宁波·期末）在长方体中，，，E为棱上一动点.    (1)求证：； (2)当平面时，求线段的长度； (3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值. 9.（25-26高一下·重庆·期末）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与 ，如图2.    (1)设为中点，求证:平面； (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 10．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 11．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的正弦值； (3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 12．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题： (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的最大正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 13．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图1，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. (1)求证：； (2)若点是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为. 14.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $