第3章 一次函数 小结与评价 教学设计—2025-2026学年湘教版数学八年级下册

该初中数学一次函数单元复习资料采用大单元教学设计，通过知识图谱引导学生自主构建知识结构图，结合回顾思考细化常量变量、函数概念、三种表示法及正比例函数、一次函数的定义图像性质，系统串联知识间内在联系。 其亮点在于典例分层设计，从基础参数取值问题到实际方案优化、函数与几何综合题，培养学生抽象能力、模型意识和推理能力，单元测试卷助力教师精准把握学情，提升复习针对性与学生知识巩固效果。

第3章 一次函数 小结与评价 教学设计 课题 一次函数 小结与评价 单元 第3章 学科 数学 年级 八下 核心素养 能力培养 1.通过复习，理解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，掌握函数的三种表示方法，能结合图象分析简单的函数关系，会求自变量的取值范围和函数值. 2.结合知识点复习和例题1参数取值问题，理解正比例函数和一次函数的定义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画函数图象，能结合图象讨论函数的增减变化，能利用函数分析和解决简单实际问题. 3.通过一次函数与二元一次方程的关系的复习能从变化的角度用函数的观点加深对二元一次方程的认识，构建和发展相互联系的知识体系. 4.进行探究性学习，以例5的方案为问题情境，例6函数中的几何问题进一步体会建立数学模的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力. 复习目标 1.通过复习理解常量、变量的意义和函数的概念，掌握函数的三种表示方法，能结合图象分析简单的函数关系，会求自变量的取值范围和函数值. 2.结合知识点复习和例题1参数取值问题，理解正比例函数和一次函数的定义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画函数图象，能结合图象讨论函数的增减变化，能利用函数分析和解决简单实际问题. 3.通过复习能从变化的角度用函数的观点加深对二元一次方程的认识. 4.进行探究性学习，以例5的方案为问题情境，例6函数中的几何问题进一步体会建立数学模的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力. 复习重点 理解解常量、变量的意义和函数的概念，掌握函数的三种表示方法，理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式. 复习难点 运用函数知识分析和解决实际问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 知识图谱 通过对一次函数的学习，你能画出本单元的知识图谱吗？请你通读本章的内容，画出本章的知识结构图. 学生自主复习，自主复习教材，最后形成知识结构图，教师及时点评，展示学生的成果. 回顾反思，掌握知识点间的联系，用知识结构图的形式，引起学生的注意，激发学生探索数学奥秘的热情，强化对知识的理解与掌握. 回顾思考 1. 函数的定义是什么？函数有哪些表示法？它们各有什么优点？ 如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取得的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y是x 的函数记作y ＝f (x). 这时把 x 叫作自变量,把 y 叫作因变量. 对于自变量 取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值记作f (a). 函数的三种表示方法1：图象法. 建立一个平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值(即因变量的对应值)为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形成为这个函数的图像. 这种表示函数关系的方法称为图象法. 用图象法表示函数关系的优点是，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化，一目了然. 函数的三种表示方法2：列表法. 列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值， (即因变量的对应值). 这种表示函数关系的方法称为列表法. 用列表法表示函数关系的优点是，自变量取的值与因变量的对应值看得很清楚. 函数的三种表示方法3：公式法. 用式子表示函数关系的方法称为公式法，这样的式子称为函数解析式. 用公式法表示函数关系的优点是，可以方便地计算函数值. 函数解析式的一般形式是: 因变量=关于自变量的代数式,同时注明自变量的取值范围. 2. 函数 y = f（x）的图象上任一点的坐标是什么？坐标为（a，f（a））的点是否在函数y = f（x）的图象上？ 函数 y = f（x）的图象上任一点的坐标是（x，f（x））,坐标为（a，f（a））的点在函数y = f（x）的图象上. 3. 什么是正比例函数？正比例函数的图象是什么？它具有哪些性质？ (1)定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. (2)图象与性质： 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx. k＞0时，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大； k＜0时，直线经过第二、四象限，y随x的增大反而减小. 4. 什么是一次函数？如何画一次函数 y = kx + b的图象？它与正比例函数y = kx的图象有什么关系？一次函数具有哪些性质？ (1)定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. (当b=0时，y=kx＋b变即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数) (2)图象与性质： 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移).一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. 画出一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象的步骤： ⑴先选取两点，通常选点(0,b)与点( - ,0)； ⑵在坐标平面内描点(0,b)与点(- ,0)； ⑶过点(0,b)与点( - ,0)画一条直线,这条直线就是一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象. 5. 举例说明如何用待定系数法求一次函数的表达式. 例 如图，点N(0，6)，点M在x轴的负半轴上，ON＝3OM. (1)点M的坐标为________； (2)求直线MN的表达式． 解：(1)（－2，0） （2）解：设直线MN的表达式为y＝kx＋b（k≠0）. 分别把M（－2，0），N（0，6）代入， 得解得 ∴直线MN的表达式为y＝3x＋6. 求一次函数解析式的方法叫做待定系数法. 求解步骤:“设→代→解→写” 6. 举例说明一次函数与二元一次方程的关系. 例 一次函数y1=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为(　B　) A. x=2 B. x=-1 C. y=2 D. y=-1 变式 一次函数y1=kx+b的图象如图所示， 则不等式kx+b<0的解集为________． x<-1 数形结合(找交点,画分界线,辨左右） 7. 举例说明如何用一次函数解决简单实际问题. 例 李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？ 解：设一次函数的解析式为y=kx＋b， 将点(0,35)，(160,25)代入，得: ， 解得: 所以一次函数的解析式为y=- x＋35. 再将x=240代入 y=- x＋35， 得y=- ×240＋35=20， 即到达乙地时油箱剩余油量是20升． 注意：根据图像建立数学模型. 注意事项： 1. 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 2. 一次函数的因变量随自变量的变化是均匀的，即自变量每增加 1个最小单位，因变量都增加（或减少）相同的数量. 3. 一次函数y = kx + b的自变量的取值范围是全体实数.在实际问题中，要根据具体情况来确定自变量的取值范围. 4. 研究函数问题时，结合图象有助于我们更全面地掌握函数的 特征. 5. 如果实际问题中因变量 y 与自变量 x 之间是一次函数关系，那么找出自变量与因变量的两组对应值，就可以用待定系数法求出这个一次 函数的表达式. 通过提问的方式，学生自主回答，抽取部分同学对部分遗漏的知识及时补充，老师对学生的回答及时评价. 通过知识结构图只能形成一定的知识脉络，再次通过知识细化的强调复习，唤醒学生对本章知识的强化理解，为后续例题和练习测评作铺垫. 典例讲解 例1 已知函数 y=(m-1)x+1-m2. （1）若这个函数是一次函数，则m的取值范围为_________； （2）若这个函数是正比例函数，则m的值为_________. 解：（1）m-1≠0， m≠1 （2）得m=-1 例2 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限； 解：(1)1-2m>0，解得m< (2)1-2m≠0且m-1<0，即m<1,且m≠ (3)1-2m<0且m-1<0，解得<m<1 变式 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1的图象不经过第一象限，则m的取值范围是______．<m≤1 例3 若把一次函数y=2x-2向上平移3个单位长度，得到图象解析式是(　　) A. y=2x+1 B. y=2x-5 B. y=5x-2 D. y=-x-2 数：两直线系数k的关系为：相等 ； 形：两直线的位置关系为：平行． 平移规律：上加下减 变式 若把一次函数y=2x-2向右平移3个单位长度，得到图象解析式是(　　) A. y=2x+1 B. y=2x-8 C. y=5x-2 D. y=-x-2 直线的平移转化为点的平移，k值不变 例4 已知点（3，y1），（-2，y2）在一次函数y=-2x+2的图象上，则y1_______y2．< 变式 已知点（a-1，y1）， （2a，y2）在一次函数y=kx+2(k<0)的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是_______．a>-1 例5 为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆． (1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来； (2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为(50－x)个，依题意，得： 解得 ∴31≤x≤33 ∵x 是整数，x 可取 31,32,33， ∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个； ②A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个； ③A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个． 方法一：方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元) 方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)； 方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)． 方法二：成本为y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)． 根据一次函数的性质，y 随 x 的增大而减小， 故当 x＝33 时，y 取得最小值为33×800＋17×960＝42720(元)．即最低成本是 42720 元． 例6 如图，直线l：y=x+6分别交x 轴, y轴于点A, B, 点C与点 A关于y轴对称. 动点P, Q 分别在线段AC, AB上(点 P不与点A, C重合), 满足∠BPQ=∠BAO. (1)点A的坐标是____, 点B的坐标是____, BC=____． (2)当点P在什么位置时, △APQ≌△CBP？并说明理由． 解: (1)∵y=x+6, ∴当x=0时, y=6, 当y=0时, x=-8, 即点A的坐标是(-8, 0), 点B的坐标是(0, 6). ∵点C与点A关于y轴对称, ∴点C的坐标是(8, 0), ∴OA=8, OB=6, OC=8, 由勾股定理得BC==10. (2)当点P的坐标是(2, 0)时, △APQ≌△CBP. 理由：∵OA=8, P(2, 0), ∴AP=8+2=10=BC. ∵ ∠ BPQ = ∠ BAO, ∠ BAO + ∠ AQP + ∠APQ=180°, ∠APQ+∠BPQ+∠CPB=180°, ∴∠AQP=∠CPB. ∵点A和点C关于y轴对称, ∴∠PAQ=∠BCP. 在△APQ和△CBP中, ∴△APQ≌△CBP(AAS), ∴当点P的坐标是(2, 0)时, △APQ≌△CBP． 学生独立思考，展示成果，教师引导、点评，最后规范解题过程. 加深对一次函数概念的理解， 加深对一次函数图像的性质简单运用，熟悉k,b的作用. 理解正比列函数和一次函数之间的平移变换关系. 加深对一次函数性质的理解. 以方案为问题情境，进一步体会建立数学模的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力. 结合图象利用函数的基本性质，分析和解决简单几何问题.提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力. 课堂小结 （板书设计） 学生相互交流，回顾总结，教师及时评价. 通过小结，帮助学生梳理本节课复习内容，强化记忆，共同提高. 作业布置 完成本单元《单元测试卷》 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $