专题04反比例函数 暑假预习讲义 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

专题04反比例函数暑假预习讲义 1. 吃透反比例函数核心定义，牢记三种等价书写形式y=、xy=k、y=kx-1(k≠0)}，精准区分反比例函数、一次函数、二次函数的结构差异；明确自变量x≠0、函数值y≠0的取值要求，能快速判别解析式是否属于反比例函数。 2. 掌握待定系数法求解反比例函数解析式，仅需一组x、y对应数值或图像上一个点坐标，即可算出比例系数k；可结合路程、面积、工程等生活场景，提炼变量反比例关系，列出函数式子并限定自变量合理范围。 3. 熟练运用描点法绘制反比例函数双曲线图像，熟记图像整体特征：双曲线永不与坐标轴相交；依据k正负判定图像分布象限，k>0图像在一、三象限，k<0图像在二、四象限。 4. 准确掌握函数增减变化规律：增减性仅限同一象限内讨论，牢记k>0每一象限内y随x增大而减小，k<0每一象限内y随x增大而增大，规避跨象限判断增减性的典型错误。 5. 了解反比例函数对称性：图像既是中心对称图形（对称中心为坐标原点），又是轴对称图形，熟记两条对称轴直线y=x、y=-x；初步感知k的几何意义，过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形面积恒等于|k|。 6. 梳理本节高频易错考点：忽略k≠0前提、跨象限判定增减性、自变量取值范围遗漏实际约束；类比之前所学函数知识，完善函数体系框架，提升数形结合读图、析图解题能力。 预习必备知识梳理 1.反比例函数的定义 2.反比例函数解析式的确定 3.反比例函数的图象画法 4.反比例函数图象与性质 5反比例函数K的几何意义 6.反比例函数与一次函数综合 7.反比例函数应用 8.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.用反比例函数描述数量关系 2.由定义判断反比例函数 3.由反比例函数的定义求参数 4.求反比例函数值 5.由反比例函数函数值求自变量 6.判断反比例函数图象 7.反比例函数图象判断解析式 8.判断反比例函数的增减性 9.由反比例函数增减性求参数 10.判断反比例图象所在象限 11.比较反比例函数值/自变量大小 12.反比例函数对称性求点坐标 13双曲线分布象限求参数范围. 14由比例系数求特殊图形面积 15.由图形面积求比例系数 16.求反比例函数解析式 17.实际问题与反比例函数 18.反比例函数与几何综合 19.一次与反比例函数图象综合判断 20.一次与反比例函数交点问题 21.一次与反比例函数实际应用 22.反比例与二次函数综合判断 强化题 解答题10题 知识点01：反比例函数定义 1 定义 一般地，形如y=（k 为常数，(k≠0）的函数叫做反比例函数。 x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。 2 三种等价表达形式 1 分式形式：y=（k≠0） 2 乘积形式：xy=k (k 3 负指数形式：y=kx−1 (k 3 自变量取值范围 解析式层面：x0； 无实际背景时，自变量取不等于 0 的全体实数； 实际应用题中，根据现实条件进一步限制取值。 ⚠️辨析：y=、y=+1 不是反比例函数。 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） ⚠️关键易错：必须强调在每一个象限内，不能直接说 “全体定义域上y随x增大增大 / 减小”。 知识点05:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点06：反比例函数与一次函数综合 1.求交点：联立 ，消元得到一元二次方程求解； 2.若有两个交点，两点关于原点中心对称； 3.根据图象位置，求解不等式>ax+b、<ax+b 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 知识点08:高频易错点汇总 易错分类 详细错误表现 完整正确结论 细致避坑提示 概念判定 忽略k≠0；整理后x次数不是-1仍判定为反比例函数 三种解析式统一要求k≠0，自变量次数必须为-1 判断前先将式子整理成标准乘积式核查 增减性描述 直接写 “在全体定义域内，y 随 x 增大而增大 / 减小” 增减性仅在同一个象限内成立，跨象限无规律 考试答题必须带上 “在每个象限内” 限定语 图像特征 画图时让双曲线与坐标轴相交；两支曲线连在一起 x≠0，y≠0，双曲线无限靠近坐标轴，永不相交；两支独立分开 描点时分正负取值，左右两支分开画 交点计算 联立函数后不计算判别式，直接默认两个交点 联立得到一元二次方程，Δ决定交点个数，可能 0、1、2 个交点 综合大题求交点前先判断Δ正负 函数值比较 跨象限直接根据 x 大小判断 y 大小 必须以x=0和交点横坐标分段讨论，不能跨象限直接比较 先画图划分区间，再对比上下图像 实际应用题 列出函数后不标注自变量取值范围 时间、长度、效率等量均大于 0，(x>0) 写出解析式后立刻补充x的取值范围 对称性使用 忘记双曲线关于原点对称，求对称点坐标出错 (a,b)在图像上，则(-a,-b)、(b,a)、(-b,-a)均在图像上 求坐标优先用原点对称快速计算 题型1.用反比例函数描述数量关系 【典例】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的_________ 【跟踪专练2】点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣） 题型2.由定义判断反比例函数 【典例】．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【跟踪专练2】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型3.由反比例函数的定义求参数 【典例】点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【跟踪专练2】若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4.求反比例函数值 【典例】下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【跟踪专练2】函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型5.由反比例函数函数值求自变量 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【跟踪专练1】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【跟踪专练2】已知反比例函数（）的部分对应值如下表所示，下列选项正确的是（） … 1 2 … … c … A．若，则 B．若，则 C． D． 题型6.判断反比例函数图象 【典例】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，y1＞y2，则实数k的取值范围是__． 【跟踪专练2】小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B． C． D． 题型7.反比例函数图象判断解析式 【典例】．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k1，k2，k3的大小关系是______．    【跟踪专练2】根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型8.判断反比例函数的增减性 【典例】下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【跟踪专练2】在下列函数图象上任取不同两点、，当时，的是（     ） A． B． C． D． 题型9.由反比例函数增减性求参数 【典例】在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【跟踪专练2】已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型10.判断反比例图象所在象限 【典例】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【跟踪专练1】如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【跟踪专练2】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 题型11.比较反比例函数值/自变量大小 【典例】已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_____．（填“”、“”或“”）． 【跟踪专练2】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型12.反比例函数对称性求点坐标 【典例】如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 题型13双曲线分布象限求参数范围. 【典例】如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【跟踪专练2】反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型14由比例系数求特殊图形面积 【典例】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【跟踪专练1】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【跟踪专练2】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 题型15.由图形面积求比例系数 【典例】如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 题型16.求反比例函数解析式 【典例】反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【跟踪专练2】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 题型17.实际问题与反比例函数 【典例】某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【跟踪专练2】如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 题型18.反比例函数与几何综合 【典例】如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 【跟踪专练2】如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型19.一次与反比例函数图象综合判断 【典例】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是______； ______． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 题型20.一次与反比例函数交点问题 【典例】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【跟踪专练2】如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型21.一次与反比例函数实际应用 【典例】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【跟踪专练1】如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【跟踪专练2】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 题型22.反比例与二次函数综合判断 【典例】关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【跟踪专练1】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【跟踪专练2】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 2．已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 3．小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 4．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 6．如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1． (1)直接写出的值是___________； (2)如图2，若点在第一象限，过点的直线与轴交于点．求证：． 7．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 8．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04反比例函数暑假预习讲义 1. 吃透反比例函数核心定义，牢记三种等价书写形式y=、xy=k、y=kx-1(k≠0)}，精准区分反比例函数、一次函数、二次函数的结构差异；明确自变量x≠0、函数值y≠0的取值要求，能快速判别解析式是否属于反比例函数。 2. 掌握待定系数法求解反比例函数解析式，仅需一组x、y对应数值或图像上一个点坐标，即可算出比例系数k；可结合路程、面积、工程等生活场景，提炼变量反比例关系，列出函数式子并限定自变量合理范围。 3. 熟练运用描点法绘制反比例函数双曲线图像，熟记图像整体特征：双曲线永不与坐标轴相交；依据k正负判定图像分布象限，k>0图像在一、三象限，k<0图像在二、四象限。 4. 准确掌握函数增减变化规律：增减性仅限同一象限内讨论，牢记k>0每一象限内y随x增大而减小，k<0每一象限内y随x增大而增大，规避跨象限判断增减性的典型错误。 5. 了解反比例函数对称性：图像既是中心对称图形（对称中心为坐标原点），又是轴对称图形，熟记两条对称轴直线y=x、y=-x；初步感知k的几何意义，过双曲线上任意一点作坐标轴垂线，围成矩形面积恒等于|k|。 6. 梳理本节高频易错考点：忽略k≠0前提、跨象限判定增减性、自变量取值范围遗漏实际约束；类比之前所学函数知识，完善函数体系框架，提升数形结合读图、析图解题能力。 预习必备知识梳理 1.反比例函数的定义 2.反比例函数解析式的确定 3.反比例函数的图象画法 4.反比例函数图象与性质 5反比例函数K的几何意义 6.反比例函数与一次函数综合 7.反比例函数应用 8.高频易错点汇总 常考 题型 精讲 精练 1.用反比例函数描述数量关系 2.由定义判断反比例函数 3.由反比例函数的定义求参数 4.求反比例函数值 5.由反比例函数函数值求自变量 6.判断反比例函数图象 7.反比例函数图象判断解析式 8.判断反比例函数的增减性 9.由反比例函数增减性求参数 10.判断反比例图象所在象限 11.比较反比例函数值/自变量大小 12.反比例函数对称性求点坐标 13双曲线分布象限求参数范围. 14由比例系数求特殊图形面积 15.由图形面积求比例系数 16.求反比例函数解析式 17.实际问题与反比例函数 18.反比例函数与几何综合 19.一次与反比例函数图象综合判断 20.一次与反比例函数交点问题 21.一次与反比例函数实际应用 22.反比例与二次函数综合判断 强化题 解答题10题 知识点01：反比例函数定义 1 定义 一般地，形如y=（k 为常数，(k≠0）的函数叫做反比例函数。 x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。 2 三种等价表达形式 1 分式形式：y=（k≠0） 2 乘积形式：xy=k (k 3 负指数形式：y=kx−1 (k 3 自变量取值范围 解析式层面：x0； 无实际背景时，自变量取不等于 0 的全体实数； 实际应用题中，根据现实条件进一步限制取值。 ⚠️辨析：y=、y=+1 不是反比例函数。 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） (1)列表：选取 x0 的多组对应值，正负值均取，计算 y。 (2)描点：在平面直角坐标系中描出对应点。 (3)连线：用平滑曲线连接各点，注意两个分支不相连，且无限靠近坐标轴但永不相交。 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） ⚠️关键易错：必须强调在每一个象限内，不能直接说 “全体定义域上y随x增大增大 / 减小”。 知识点05:比例系数 k 的几何意义（难点 + 高频考点） 过反比例函数 y= 图象上任意一点 P(x,y)，分别作 x 轴、y 轴的垂线： 1.与坐标轴围成的矩形面积 S=∣xy∣=∣k∣ 2.与坐标轴围成的直角三角形面积 S=∣k∣ 结论：面积只与 ∣k∣ 有关，与点的位置、k 正负无关。 知识点06：反比例函数与一次函数综合 1.求交点：联立 ，消元得到一元二次方程求解； 2.若有两个交点，两点关于原点中心对称； 3.根据图象位置，求解不等式>ax+b、<ax+b 知识点07:反比例函数的实际应用 （一）常见建模固定场景（总量恒定，两变量乘积不变） 行程问题：路程 s 固定，速度 v=； 工程问题：工作总量 W 固定，工作效率 P=； 几何面积：矩形、三角形面积固定，底与高、长与宽成反比例； 物理场景：压强、电阻、密度等定量公式。 （二）标准解题完整步骤 审题：找出题目中固定不变的总量； 设元：设出自变量 x 和因变量 y； 建模：根据 “总量 = 变量 1× 变量 2” 列出反比例关系式 y=； 定范围：结合实际意义限定自变量取值（时间、速度、长度均为正数，x>0）； 求解：根据题干要求求对应数值； 作答：检验结果是否符合现实，规范写出答案。 （三）图像应用特点 实际问题中自变量 (x>0)，因此图像只有双曲线第一象限单支，不存在二、三、四象限部分。 知识点08:高频易错点汇总 易错分类 详细错误表现 完整正确结论 细致避坑提示 概念判定 忽略k≠0；整理后x次数不是-1仍判定为反比例函数 三种解析式统一要求k≠0，自变量次数必须为-1 判断前先将式子整理成标准乘积式核查 增减性描述 直接写 “在全体定义域内，y 随 x 增大而增大 / 减小” 增减性仅在同一个象限内成立，跨象限无规律 考试答题必须带上 “在每个象限内” 限定语 图像特征 画图时让双曲线与坐标轴相交；两支曲线连在一起 x≠0，y≠0，双曲线无限靠近坐标轴，永不相交；两支独立分开 描点时分正负取值，左右两支分开画 交点计算 联立函数后不计算判别式，直接默认两个交点 联立得到一元二次方程，Δ决定交点个数，可能 0、1、2 个交点 综合大题求交点前先判断Δ正负 函数值比较 跨象限直接根据 x 大小判断 y 大小 必须以x=0和交点横坐标分段讨论，不能跨象限直接比较 先画图划分区间，再对比上下图像 实际应用题 列出函数后不标注自变量取值范围 时间、长度、效率等量均大于 0，(x>0) 写出解析式后立刻补充x的取值范围 对称性使用 忘记双曲线关于原点对称，求对称点坐标出错 (a,b)在图像上，则(-a,-b)、(b,a)、(-b,-a)均在图像上 求坐标优先用原点对称快速计算 题型1.用反比例函数描述数量关系 【典例】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的_________ 【答案】反比例函数 【分析】由是的正比例函数，是的反比例函数，可得y=am（a≠0），（k≠0），由此可得y= ，即可得y是x的反比例函数. 【详解】∵y是m的正比例函数， ∴y=am（a≠0）， ∵m是x的反比例函数， ∴（k≠0）， ∴y= ， ∴y是x的反比例函数. 故答案为反比例函数. 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数定义，熟练掌握两种函数的定义是解决问题的关键． 【跟踪专练2】点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣） 【答案】B 【分析】将点（﹣1，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可． 【详解】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝﹣1×2＝﹣2， ∴y＝ A.∵，故点（2，﹣）不在y＝图象上； B.∵，故点（2，﹣1）在y＝图象上； C.∵，故点（-2，﹣1）不在y＝图象上； D.∵，故点（1，﹣）不在y＝图象上； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 题型2.由定义判断反比例函数 【典例】．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【跟踪专练1】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 题型3.由反比例函数的定义求参数 【典例】点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 【跟踪专练1】若点与点都在反比例函数的图象上，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数图象上点的坐标特征，点的横纵坐标之积等于比例系数，列出方程求解． 【详解】解：点与点都在反比例函数的图象上， ，且． ． （反比例函数中，故）， ，解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入反比例函数解析式得到，再由a≠0即可得到k的取值范围． 【详解】解：将点代入反比例函数中得： ， ∴， 又∵反比例函数的图象与坐标轴无交点， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是将点代入反比例函数解析式，并能判定a≠0． 题型4.求反比例函数值 【典例】下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 【跟踪专练1】已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比函数的图像，掌握反比例函数图象上的点坐标满足函数解析式成为解题的关键． 把代入反比例函数的解析式即可求得n的值． 【详解】解：把代入反比例函数的解析式可得：． 故答案为3． 【跟踪专练2】函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数自变量的取值范围，采用特殊值法、排除法将不适合题意的图象排除即可． 采用特殊值法，取和，分别计算的值，根据图象利用排除法即可得出答案． 【详解】解：当时，取， 则， 故排除、选项， 当时，取， 则， 故排除选项， 故选：． 题型5.由反比例函数函数值求自变量 【典例】已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 【跟踪专练1】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 【跟踪专练2】已知反比例函数（）的部分对应值如下表所示，下列选项正确的是（） … 1 2 … … c … A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式，将用表示后，逐一判断选项即可 【详解】解：反比例函数为，结合表格中的取值可得：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； A、若，则，整理得，此时，即，故A错误； B、若，则，即，故B错误； C、，， ， ，故C错误； D、，， ，故D正确 题型6.判断反比例函数图象 【典例】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数， ∵， ∴两支曲线分别位于第二、四象限内， 故选A． 【跟踪专练1】设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，y1＞y2，则实数k的取值范围是__． 【答案】﹣1＜k＜1 【分析】根据函数值的大小关系，判别函数的图象位置，根据位置判定比例系数的大小，再解不等式． 【详解】因为A（x1，y1），B（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1＜0＜x2，y1＞y2， 所以函数图象分支在二、四象限 所以k2-1<0 解得﹣1＜k＜1 故答案为：﹣1＜k＜1 【点睛】考核知识点：反比例函数的图象．数形结合，熟记反比例函数的性质是关键． 【跟踪专练2】小华同学利用计算机软件练习绘制函数的图象，下列图象中可能是函数（为常数）的图象的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据反比例函数图象的平移变换特点，以及代入特殊点排除错误选项即可得到答案． 【详解】解：令得，故函数过原点，所以排除； 的图象可由反比例函数向右平移个单位，再向上平移个单位得到，经过上述变化可得到选项，不能得到． 题型7.反比例函数图象判断解析式 【典例】．如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 【跟踪专练1】如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k1，k2，k3的大小关系是______．    【答案】k1＜k3＜k2. 【分析】由反比例函数图像性质可知，函数在一三象限时，k＞0，图像在二四象限时，k＜0.在第一象限内取同一x值（作垂直于x轴的虚线辅助理解），y越大，则k越大.据此进行解答即可. 【详解】解：由图可知，k1＜0，k2＞0，k3＞0.如下图，作虚线辅助理解，    当取同一x值时，由图可知y2＞y3，则k2＞k3, 故答案为k1＜k3＜k2. 【点睛】由本题解题过程可知，|k|越大，图像开口越大. 【跟踪专练2】根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由二次函数图象可得到，由此可判断反比例函数和一次函数的图象所过象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 由二次函数图象知， ∴， 令得， 图象与轴交于， 由二次函数图象知抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：B． 题型8.判断反比例函数的增减性 【典例】下列函数中，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项B：中，，随增大而增大，不符合题意； 选项C：是反比例函数，仅在每个象限内满足随增大而增大，不符合题意； 选项D：中，，随增大而减小，符合题意． 【跟踪专练1】已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 【跟踪专练2】在下列函数图象上任取不同两点、，当时，的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目要求当时，即函数在给定区间内随的增大而减小，只需根据一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 题目要求时，即函数在给定区间内随的增大而减小. 对选项A：是一次函数，， ∴ 随的增大而增大，不符合要求； 对选项B：，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求； 对选项C：是反比例函数，， ∴ 当时，随的增大而减小，符合要求； 对选项D：，开口向下，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求． 题型9.由反比例函数增减性求参数 【典例】在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 【跟踪专练2】已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像和性质，根据时，可知反比例函数在第三象限内随的增大而减小，由此得出比例系数，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上，且时，， ∴该反比例函数在第三象限内随的增大而减小， ， ， ． 故选：D． 题型10.判断反比例图象所在象限 【典例】若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】先利用已知点求出k的值，再根据k的符号判断函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第一、三象限． 【跟踪专练1】如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 【跟踪专练2】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 题型11.比较反比例函数值/自变量大小 【典例】已知反比例函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题可根据反比例函数的增减性比较函数值大小，先判断比例系数的符号，得到函数的增减规律，再结合两点横坐标的范围即可比较和的大小． 【详解】反比例函数中，， 函数图像在二、四象限， 在每个象限内，随的增大而增大． 点，都在第二象限，且， ． 【跟踪专练1】如果函数（a为常数）的图象上有两点、，那么函数值_____．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质：当时，在图象的每一支上y随x的增大而增大进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴在图象的每一支上y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【跟踪专练2】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 题型12.反比例函数对称性求点坐标 【典例】如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性．掌握反比例函数的图象关于原点成中心对称是解本题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形， ∴反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选A． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 题型13双曲线分布象限求参数范围. 【典例】如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 观察只有选项B的数值符合要求， ∴的值可以是5． 【跟踪专练1】如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 【跟踪专练2】反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 题型14由比例系数求特殊图形面积 【典例】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 【跟踪专练1】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 题型15.由图形面积求比例系数 【典例】如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 【跟踪专练1】如图，双曲线经过正方形的顶点，已知，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的“”的几何意义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 又∵双曲线在第三象限， ∴． 【跟踪专练2】如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 题型16.求反比例函数解析式 【典例】反比例函数的图像经过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点代入，得，解得． 【跟踪专练1】如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到点C的坐标，再代入反比例函数中可求得k值． 【详解】解：设与y轴相交于点D， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，即轴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 【跟踪专练2】如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 题型17.实际问题与反比例函数 【典例】某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 【跟踪专练1】“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 【跟踪专练2】如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 题型18.反比例函数与几何综合 【典例】如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象和的图象之间，且轴，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A的坐标可排除选项A和B，根据时，，可排除选项D，从而可确定选项C符合题意． 【详解】解：设 点在反比例函数的图象上，轴， ∴，，故选项A，B不符合题意； 当时，， ∴，故选项D不符合题意； ∴点B的横坐标为2，纵坐标大于1且小于，故选项C符合题意． 【跟踪专练1】如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的横坐标为，纵坐标为 ，得出第个三角形的面积为，然后分别计算即可；再将代入化简得出，即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，且横坐标依次增加，点横坐标为 点的横坐标为，纵坐标为 第个三角形（即序号为的三角形）的底边长为，高为 第个三角形的面积为 ①的面积为，②的面积为，③的面积为，④的面积为，，⑦的面积为，⑧的面积为 ，， ． 【跟踪专练2】如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 题型19.一次与反比例函数图象综合判断 【典例】在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 【跟踪专练1】已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是______； ______． 【答案】 1 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解． 【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是， 分式方程 的解是，， 故答案为：，． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 题型20.一次与反比例函数交点问题 【典例】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 【跟踪专练1】如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 【跟踪专练2】如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 题型21.一次与反比例函数实际应用 【典例】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 【跟踪专练2】某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 题型22.反比例与二次函数综合判断 【典例】关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象综合，先理解题意，再进行分类讨论，分别得出当时，则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限；当时，则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限；再结合选项，进行分析，即可作答． 【详解】解：当时，， 则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限； 当时，， 则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限； 观察四个选项，唯有C选项符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 【跟踪专练2】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 解答题 1．写出下列各问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数： (1)三角形的面积是常数时，它的某一边的长是该边上的高的函数； (2)百米赛跑中，某运动员的平均速度是他的成绩（跑完全程的时间）的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，是反比例函数 (2) 函数关系式为，是反比例函数 【分析】本题考查函数关系式的建立以及函数类型的判断： （1）根据三角形面积公式列函数关系式，再判断即可； （2）根据路程、速度和时间的关系列函数关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：， ， 是常数且， 是常数且， 是的反比例函数． （2）解：， ， 是常数且， 是的反比例函数． 2．已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 【答案】 【分析】先根据题意可知反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大，再根据，点在第二象限可得答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大． ∵，点在第二象限， ∴． 3．小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是． （2）解：把代入， ， ． （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交． （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为． 4．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 6．如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1． (1)直接写出的值是___________； (2)如图2，若点在第一象限，过点的直线与轴交于点．求证：． 【答案】(1) (2) 证明：点在直线上，且点在第一象限， ． ∵轴， ，． 当时，， ． ，则． ． ． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据函数图象在第一象限即可得到答案； （2）根据题意得到，求出，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵轴，且点A是反比例函数图象上任意一点， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴； （2）略 7．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 8．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求n的值； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，得出反比例函数的解析式，再将点B的坐标代入该解析式，即可求出n的值； （2）求出点B的坐标，根据图象，写出一次函数图象低于反比例函数图象时x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； ∴， 将代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴由图可知，当或时． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $