专题03二次函数的应用 暑假预习讲义 2025-2026学年沪科版九年级数学上册

专题03二次函数的应用暑假预习讲义 预习目标 1.掌握利用二次函数解决实际应用题完整解题流程：审题梳理数量关系、合 理设定自变量、列出二次函数解析式、结合生活场景划定自变量取值范围，最 后借助顶点性质求解最值并检验结果合理性。 2.吃透本节三大必考题型解题思路：矩形篱笆围建最大面积问题、商品调价 最大销售利润问题、抛球、拱桥、喷水等抛物线轨迹实物模型问题，能依托图 像与函数式子互相转化解题。 3.熟练运用配方法、顶点公式求取二次函数最大（小）值，牢记核心规则： 顶点最值只有落在自变量取值区间内才有效，区间外最值需要取端点数值计 算，杜绝直接套用顶点坐标的错误习惯。 4.学会在拱桥、投篮类曲线问题中自主建立平面直角坐标系，将实物点位转 化为坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，进而求解高度、跨度、运动时长 等实际量。 5.梳理本节高频易错点：忽略自变量实际取值限制、顶点最值与区间端点最 值混淆、坐标系建立不合理导致列式出错；逐步强化数学建模与数形结合思 维，为二次函数压轴综合题型筑牢基础。 题型梳理 1.实际问题与二次函数的联系 2最大面积问题 预习必备 3.最大利润问题 4抛物线型实际运动轨迹 试卷第1页，共3页 5.最值分类讨论 6.二次函数综合 知识梳理 7高频易错点 1.图形问题（常考） 2.图形运动问题（常考+重点） 3拱桥问题（常考） 4销售问题（常+重难点） 5投球问题（常考） 6.喷水问题（常考） 常考题型 7增长率问题 8.其他实际应用问题 精讲精练 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.相似三角形问题 强化题型 解答题7题 知识梳理 知识点总览：二次函数应用题两大核心类型 实际问题求解思路通用流程： ①审题，找到变量，设自变量x、函数y: ②根据等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a0); ③确定自变量x的实际取值范围（重中之重，极易遗漏）： ④判断顶点横坐标是否在取值范围内，分情况求最大值/最小值： 试卷第2页，共3页 ⑤结合问题写出最终答案。 核心原理： a>0,抛物线开口向上，顶点处取得最小值；a<0,抛物线 开口向下，顶点处取得最大值。 △若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则最值出现在区间端点。 知识点1：实际问题与二次函数的练习转化 转化 实际问题 数学模型 回归 (抛物线形实物与轨迹问题) (二次函数的图象和性质) 拱桥问题 转化的关键 建立恰当的平面直角坐标系 抛物线形运 动轨迹问题 ①能够根据实际距离准确地得出 点的坐标； ②选择运算简便的方法解决问题 知识点2类型一：最大面积问题 常见场景：矩形面积、围栏围场地、窗户、隧道截面、内接多边形面积等。 解题思路 1.用含x的代数式表示图形两条关键边长： 2根据面积公式建立二次函数： 3.根据限制条件写出x取值范围： 4利用顶点求面积最值。 试卷第3页，共3页 典型模型：围栏问题 用总长固定的篱笆围成矩形场地（一边靠墙），设垂直墙边长为x,写出面积S 关于x的函数，求最大面积。 △易错： 篱笆长度不要重复计算靠墙的一边。 知识点3类型二：最大利润问题（考试高频） 相关等量关系：单件利润=售价-进价 总利润=单件利润×销售量 两类常见设问 涨价模型：售价上涨，销量随之减少： 降价模型：售价下调，销量随之增加。 标准步骤 ①设涨价（降价）x元； ②表示出新单价、单件利润、变化后的销售量： ③列出总利润的二次函数： ④根据售价、销量为正数，确定自变量取值范围： ⑤求函数最大值。 试卷第4页，共3页 △重要提醒： 部分题目要求售价为整数，求出顶点后需要检验取邻近整数对比 利润。 知识点4类型三：抛物线型实际运动迹（抛物线建模） 1常见场景：投篮、抛小球、喷泉、桥梁拱洞、隧道、炮弹飞行。核心思路： 建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求解高度、水平 距离等问题。 2常见设问： 求抛物线解析式： 求最大高度： 判断物体能否通过指定位置； 求落地时水平距离。 3.坐标系建法技巧： 优先把原点放在顶点、起点或者地面交点，简化计算。 知识点5最值分类讨论核心表格（预习重点） b 设二次函数y=ax2+bx+c1(a≠0)，顶点横坐标x=2a 自变量取值范围m≤x≤ 试卷第5页，共3页 开和方向 顶点位置 最值结论 a>0(开口向 x=X0时，y最小= 4ac-b2 最值大在端点x=m或 4a xo在区间[m,n]内 上) x=n a>0(开口向 x在区间左侧 区间内y随x增大而增大；x=m最小，x=n最 上) Xo<m a>0(开口向 x在区间右侧 区间内y随x增大而减小；x=n最小，x=m最 上) Xo>n 大 a<0(开口向 x=X时，y最大= 4ac-b2 4a: 最小值在端点x=m或 xo在区间[m,n]内 下) x=n a<0(开口向 x在区间左侧 区间内y随x增大而减小：x=m最大，x=n最 下) Xo<m 小 a<0(开口向 x在区间右侧 区间内y随x增大而增大；x=n最大，x=m最 下) Xo>n 小 知识点6二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问求抛物线上动点到定点/定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最 题 值（结合对称点转化） 用“铅垂高X水平宽”“割补法”求动点与定点围成图形的面积，分析面 面积问题 积最值 试卷第6页，共3页 问题类型 核心知识点 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角/特殊角（如45°）的存在性 特殊三角形份类讨论等腰/直角/等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方 问题 程求解 特殊四边形 分析平行/矩形/菱形/正方形的存在性，利用对边平行/相等、对角线 问题 性质列条件 相似三角形 找对应角/对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 问题 知识点7高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 忽略自变量取 直接套用顶点公式求最值，不 顶点不在取值区间时，最值只能 值范围 检验顶点横坐标是否在范围内 在区间端点取得 面积/利润模 混淆边长表达式、利润公式， 严格牢记：总利润=单件利润 型列式错误 符号出错 销量；面积=长×宽 单位不统 题目单位不一致直接代入计算 列式前统一所有长度、价格单位 取值忽略实际 长度、数量不能为负数，人 自变量范围必须满足x>0等现实 意义 数、商品数量一般≥0 条件 坐标系建模出 坐标轴原点随意选取，坐标符 优先将关键点放在坐标轴上，简 错 号混乱 化计算 混淆最大、最 开口向上强行求最大值，开口 a>0有最小值；a<0有最大值 小值 向下求最小值 试卷第7页，共3页 常考题型精讲精练 题型1.图形问题（常考） 【典例】如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为l0m的篱笆围成一个长方形菜园 ABCD 设D边长为m,菜园面积为m,则'与之间的函数关系为 墙 D 菜园 B 【答案】 y=-2x2+10x 【分析】本题考查了与图形有关的二次函数的应用；根据题意表示出长方形的长AB,由 长方形面积即可得到函数式， 【详解】解：由题意知，AB=10-2x, y=x(10-2x)=-2x2+10x y=-2x2+10x 故答案为： 【跟踪专练1】.如图，正方形ABCD边长为l,E,F,G,H分别为各边上的点且不与顶点重 合，AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象 大致是() H D 试卷第8页，共3页 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，设 4E为5，则4H=1-x,根据EH=E+=+-得出二次函数表达式，根据三 次函数性质得出结论， 【详解】解：：正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH, ∴.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=1 ∴.BE=CF=DG=AH △AEH≌△BFE≌ACGF≌△DHG(SAS) 设AE为x,则AH=1-x, EH=AE2+AH2=x2+(1-x)2 根据勾股定理，得 即5=r+0-=2x-2x+1c0<x<1), -21 :所求函数是一个开口向上，对称轴是直线X=一2×22的抛物线， 故选：B 【跟踪专练2】如图，用60m长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形 试卷第9页，共3页 养牛场，己知此长方形养牛场的面积为(m)】 且与墙平行的边长为(m) (1)求y与x之间的函数解析式： ②当边长(m)为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值。 【答案】0)=-0.5r2+30x (2)当x=30m时，面积y取最大值为450m2 【分析】(1)先用含x的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函 数解析式即可： (2)利用二次函数性质即可得到答案. 【详解】(1)解：根据已知条件，与墙平行的边长为x(m), 则垂直于墙的边长为：2 60-x=(30-0.5x)m, ÷y=30-0.5)=-0.5x2+30x (2)解：y=-0.5r+30x=-0.50x-302+450 .当x=30m时，面积y取最大值为450m2. 【跟踪专练3】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位： )，现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占 ym2 面积为 试卷第10页，共3页 (1)求y与x的函数表达式： (2)若改造后观花道的面积为l3m,求x的值： (3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值. 【答案】)=r-14r+48(0<x<6) (2)x的值为1 3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为。m2 【分析】(1)利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式： (2)将y=48-13=35代入函数解析式求出x的值： (3)利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值。 【详解】(1)解：由题意可得： y=(8-x)(6-x) =x2-14x+48(0<x<6) (2)解：由题意可得：y=48-13=35」 则x2-14x+48=35. 即x-1x-13)=0 x=1x2=13 解得： 经检验得：x=13不合题意，舍去， 答：x的值为1： 试卷第11页，共3页 y=x2-14x+48 (3)解： =(x-7)}-1 当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小， 故当x=0.5时，y最大，y=165 49 16 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为4 -m2 题型2.图形运动问题（常考+重点） 【典例】如图，动点P在线段AB上（不与点A,B重合），分别以AB,AP,BP为直径作 半圆，记图中所示的阴影部分面积为y,线段AP的长为x.当点P从点A移动到点B时，y 随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是() B 【答案】C 【分析】假设AB=1,则BP=1-x,然后根 y=SB一S华预一S半国即求出y关于的函 数关系式即可得到答案。 【详解】解：假设AB=1,则BP=AB-AP=1-x, y=S半圆AB一S半圆AP一S半圆BP 试卷第12页，共3页 2】 =-x2rr-2x+1） 88 故选C 【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式 是解题的关键， 【跟踪专练1】如图1，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，已知动点P以lm/s的速度从 点4向点P运动：动点P的速度是点P的5倍，从点P向点C运动.若点P.0同时出 发，当点P到达点B时，点恰好到达点C处，此时两点都停止运动.图2是△BP吧的面 积(m)与点P的运动时间()之间的函数关系图象（点M为图象的最高点），则平行四 边形ABCD的面积为一m ◆y(m) 12 t(s) 图1 图2 【答案】96 【分折1题意可知：A:8C=l,5,设4B=a,则BC=5a,过点P作PE垂直 于CB的延长线于点E,过点A作AF垂直于CB的延长线于点F,由二次函数图象可知， 西数的顶点纵坐标为12，得出“=8，则BC=8V5,在Rt.ABF由，∠ABF=60 ，在 中， ,得出 AF=4V3 ,进而根据平行四边形的面积公式，即可求解. 试卷第13页，共3页 【详解】解：由题点可知：B.BC=l,5,设4B=a.则BC=5a 如图，过点P作PE垂直于CB的延长线于点E, D PA=1,则PB=a-1,B0=5t, 在RtAPBE中，∠PBE=180°-∠ABC=60°， PE= 2 (a-t) *vx 1 则 化简得：y=+a 2(a-0 32,3 4 4 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12， 3)2 0- a 4 3 a2=12 16 4× 3 4 .a2=64 :a为正数， a=8 4B=8,则8c=85 如图，过点A作AF垂直于CB的延长线于点F, 在Rt△ABF中，∠ABF=60°，则∠BFA=30°， FB=14B-4 2 ..AF=4V3 试卷第14页，共3页 ∴.S.ABcD=BC×AF=4v3×8V3=96 故答案为：96 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质， 勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，数形结合是解题的关键 【跟踪专练2】如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12,动点E、F同时从点A 出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF,以EF为边向下作正方形EFGH,设点E运动的路程为 x(0<x<12 ,正方形EFGH和等腰Rt△MBC重合部分的面积为. 备用图 ()当x=2时，y=一；当x=8时，y= (2)求点E在整个运动过程中y的最大值。 【答案】(1)8：32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函 数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二 次函数的图象与性质是解题的关键： (I)由题意先得出当正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上时的AE的长， 然后分别求当x=2和x=8时，y的值即可： (2)由(1)可分①当0<x≤4时，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为正方 形EFGH的面积，②当4<x<12时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进 行求解 【详解】(I)解：当正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上时，如图所示： 试卷第15页，共3页 ,四边形EFGH是正方形， ∴.EF=EH=GH=FG,∠EHG=∠FGH=90°， ∴.∠EHB=∠FGC=90°， :在等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠B=∠C=45°，AE=AF=x, .△AEF,.EHB.FGC都是等腰直角三角形， ∴.EF=V2x=EH=FG=HG, .BE=CF=2EH=2x, .'AE+BE=3x=AB=12. .x=4, ∴，当x=4时，即AE=AF=4,正方形EFGH的边GH在等腰Rt△ABC的斜边BC上； 当x=2时，则有AE=AF=2, :BE=CF=AB-AE=10,EF=EH=GH=FG=22, 此时正方形EFGH在等腰Rt△ABC内部， :y=SE方8w=EF2=8 当x=8时，则有AE=AF=8,如图所示： E B M H G 试卷第16页，共3页 .BE=AB-AE=4, .EM=5BE=25 2 同理可得：EF=EH=GH=FG=82, 此时y=EM·EF=32； 故答案为：8：32： (2)解：由(1)可分：①当O<x≤4时，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积 为正方形EFGH的面积，即'=SE方nom=BF=2r ∴当0<x≤4时，y随x的增大而增大， ∴.当x=4时，y有最大值，最大值为32： ②当4<x<12时，如图， E B M H 此时正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y=EM·EF, AE=x, :'BE=AB-AE=12-x, w号E=2-】 2 Mm22=32x-2x=O0 ,当x=6时，y有最大值，最大值为36： 试卷第17页，共3页 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36， 【跟踪专练3】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNP№的边长均为 10cm,CA与MW在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后点 A与点N重合 B D C M N (①)试写出两图形重叠部分的面积(cm)与线段M的长度x(cm)之间的函数关系式. (2)当点A从点M开始向右移动lm时，重叠部分的面积是多少？ 答案1y2(06x<10刀 (2)2cm1 【分析】(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长 度可得出y与x的关系： (2)将x=lCm代入可得出重叠部分的面积. 【详解】(I)解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让△ABC向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为AM=x, y=2x(0<x<10)B (2)解：当MA=lcm时， 即x=1, 重叠部分的面积 1 题型3.拱桥问题（常考） 【典例】“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗 试卷第18页，共3页 “半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头.卢沟桥主 桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面 13 直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y=一 121 x-1)'+k则主桥拱最高点P与其 在水中倒影P'之间的距离为()米。 A 22x A.11 B.13 C.22 D.26 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质，由O1=2知道抛物线经过点 A(22,0) 进而 求出k的值，最高点P与其在水中倒影P'之间的距离即为2k. 【详解】解：由题意知0A=2,抛物线经过点 (22,0 ,代入解析式中： 3 得到：0=12 22-11)2+k, 解得k=13, 1113) ∴抛物线的顶点坐标为 P-13) ∴.主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为2×13=26米， 故选：D 【跟踪专练1】某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为y= 32+10 1 ,为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面AB高为7米的点E、F处悬挂了两个救生 圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为米， 试卷第19页，共3页 【答案】8 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方 程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键。 令y=7,则y=+10,解方程可得x三二4，飞三4，然后根据EF=为，一x即可求出 这两个救生圈间的水平距离EF 【详解】解：令y=7,则 3x2+10=7, x=-4x2=4 解得： .EF=x2-x=4-（-4)=8 故答案为：8」 【跟踪专练2】如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为 8m,宽为2m,隧道的最高点P距地面6m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式. (2)一辆货车高为4m,宽2m,能否从该隧道通过？请说明理由， (3)在(2)的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由. 【答案】0四y=x-4+6 (2)能通过，理由如下： 解：令y=4,则有4=-4x-4+6 试卷第20页，共3页 解得5=4+22名=4-2V5 x-x=4v2>2 货车可以通过： (3)能通过，理由如下： 由(2)可知-=42>2×2 货车可以通过 【分析】(1)设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式： (2)令y=4,解出x的值，然后将-与车宽2m作比较即可求解： (3)隧道内设双行道后，将(2)求出y=4时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比 较 4,6) 【详解】(1)解：由题意可知抛物线的项点坐标 设抛物线的方程为'=a(x-4)'+6 A(0,2) “点 在抛物线上， .2=a(0-4)}+6 1 .a=-4 y=-4-4+6 (2)略 (3)略 【跟踪专练3】如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度 为l0m,桥洞与水面的最大距离是5m.经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系 的方案（如图）. 试卷第21页，共3页 -10m 方案一 方案二 方案三 ()你选择的方案是一 (填“方案一”“方案二”或“方案三”)，则B点坐标是 (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式： (3)因降暴雨水位上升lm,此时水面宽为多少？ 【答案】)方案一， 方案， B(5,0) B(10,0) B(5,-5) 方案三， 1 1 (2)方案一，y= +5:方案y=-矿+5：方案三，y=号 3)4v5m 【分析】(1)根据水面的宽度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,求出点B坐标： (2)三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶 点坐标，设解析式为顶点式，再代入(1)中点B坐标，即可求出抛物线解析式： (3)任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升lm代入对应抛物线解析式，求解即 可 【详解】(1)解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得OB=5m、B(5,0) 选择方案二： 由题意得OB=10m.·B(10,0) 选择方案三： 由对称性可知点A与点8关于》轴对称，。-=10，=5 又°桥洞与水面的最大距离是5m,六为=-5 试卷第22页，共3页 .B(5,-5) (2)解：分情况讨论： 0,5) 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为 =-ax2+5 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为 B(5,0) 代入 得0=-25a+5 1 解得a=。 5 :抛物线解析式为少=+5， 5 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为1(5,5) “抛物线开口向下，故设抛物线解析式为'=-a(x-5)+5 B(10,0) 代入 得0=-25a+5 1 解得a=。 5, :抛物线解析式为y=(-5列+5： 1 0(0,0) 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为 y=-ax2 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为 代入 (5,-5) 得-5=-25a 1 解得a=。 5 1 :抛物线解析式为少=- (3)解：选择方案三中的解析式， yg=-5 试卷第23页，共3页 .暴雨水位上升1m后，代入y=4,得4=-5， 解得=25或25 ÷水面宽为25-(25)=4W5m 题型4.销售问题（常+重难点） 【典例】“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品 (这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处 理)，经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时， 日销售量会增加2件.已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元， 设每件电子产品售价为x(元)，主播每天的利润为w(元)，则w与x之间的函数解析 式为() A.w=(9-x)[200+2(x-50)】 B.w=(6x-99)儿200+2(0x-50)] C w=(x-50)[200+2(99-x)] D.w=(x-50)[200-2(99-x] 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是理解利润计算公式：总利润=每件利润×销售 量，每件利润为售价减成本(50元)，销售量基于刚开始的销售量(200件)和售价变化 (每下降1元增加2件)计算，据此进行分析，即可作答. x-50) 【详解】解：依题意，每件利润为 元， ,售价从99元降至x元， 则下降(9- 元， 2(99-x) ∴销售量增加 件， ∴总销售量 [200+29-刃件。 :"=(6x-50)[200+2(99-x] 试卷第24页，共3页 故选C. 【跟踪专练1】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销 量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若 要使每天销售饮料获利1440元，设每箱应降价x元，可列方程为. 【答案】(02-x)100+20x)=1440 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键。 设每箱降价x元，则每箱的销售利润为12-)元，平均每天可售出100+20x)箱，利用总 利润=每箱的销售利润×日销售量，即可列出关于x的一元二次方程 【详解】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为2-)元，平均每天可售出 (100+20x) 箱， 根据题意得：(12-x)100+20x)=1440 故答案为：(12-x)100+20)=1440 【跟踪专练2】近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车 公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元)满 足关系式y=50x+36(500≤x≤180，且x为50的整数倍)，公司需要为每辆租出的 车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元. (I)求w与x的函数关系式.（利润=租金-支出） (2)公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新 规定：每辆车每天的租金不超过800元.请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？ 【答案】(1)w= 0r+40r-7200(500≤x≤180且x为50的整数倍) 5 (2)这7天公司获得的总利润最多为86400元 【分析】(1)根据利润w等于每辆车的利润乘以租出的车辆数y,列式计算即可： (2)根据二次函数的性质分别求出前3天和后4天的利润最大值，然后相加即可得出获得 的总利润最大值。 试卷第25页，共3页 w=（x-200)y 【详解】(1)解：根据题意得 =(x-200) 50r+36 产+40x-720(500≤x≤180，且x为50的整数倍)： 50 (2)解：w= 1 x2+40x-7200=- 50 动-10o0f+12x0， 50s0. ∴.前3天：当x=1000时，w取得最大值，最大值为12800， ~当x<1000时，w随着x的增大而增大，后4天每辆车每天的租金不超过800元， :后4天：当x=80时，v的最大值为50（80-10+1280=1200， :.12800×3+12000×4=86400(元). 答：这7天公司获得的总利润最多为86400元. 【跟踪专练3】某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元 时，年销售量为8万棵。 (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少0.1万棵， 设每棵定价提高到'元(30<1≤50) 每年的销售总收入为'万元. ①求y关于t的函数关系式： ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值. (②)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育，设改良培育后的价格为x元( 4800 8x- 30<x≤50)，该基地投入 x)万元作为培育费用.问该绿植的年销售量a至少达到 多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(00y=-0.05+9.5(30<1≤50) ②1=40 (2)年销售量4至少应达到11万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之 和 试卷第26页，共3页 【分析】(1)①根据题意列出关系式即可： ②根据总收入列一元二次方程计算： (②)根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题 【详解】(1)解：①由题意得，销售量为8-2-30)x0.1=-0.05+9,5(万棵)， ∴每年的销售总收入y=(-0.051+9,5)r=-0.052+9.5(30<1≤50) ②由题意得0.0512+9.51=300. 整理得t2-190t+6000=0, 解得1=405=150 .30<t≤50， ∴.t=40: 4800 (2)解：由题意，需满足ax≥30×8+8x- x成立， 即a≥- 4800,240 +8成立， 令w=-4800,240 x21 8 设=m,则w=-4800m2+240m+8=-4800 1 1)2 m +11 40 ,30<x≤50， 1 1 .50 ≤m< 30 1 即m=40时，w有最大值11 .a≥11， 即年销售量a至少应达到11万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之 和。 题型5.投球问题（常考） 试卷第27页，共3页 【典例】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 之间的关系是y= x2+2x+ 12 3 3,他推出铅球的距离为() A.2m B.3m C.8m D.10m 【答案】D 析】本题主要考查三次函数的实际应用，令y三0，求解方程2之+了x+了=Q 3 可： 12 25 【详解】解：令y=0,则2+3+行0， x1=10,x2=-2 解得： (舍)， ∴他推出铅球的距离为10m; 故选：D 【跟踪专练1】掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目.一男生 (图1)在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度m） 与水平距 窝(m)之同的函数关系如（图2)所示，已知该男生掷球时的起点高度是2m,当水平距 离为5m时，实心球行进至最高点4m处.根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科 考试项目评分标准（男生)：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于10m ,则此项考试得分为满分20分.按此评分标准，该男生在此项考试中 得满分（选 填：“能”或“不能”). 试卷第28页，共3页 Ay/m x/m (图1) (图2) 【答案】能 【分析】本题考查二次函数的实际应用 根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点 0,2 的坐标求出'关于的函数表达 式，令y=0,求出落地点坐标即可与10m进行比较，从而作出判断. 【详解】解：由思可知抛物线的顶点为5,4)， 故可设'关于的函数表达式为”=(x-5+4 把起始点0,2代入表达式，得2=25+4，解得4号 25 ∴y=- 2-5+4: 2 令y=0p0=房-列+4， 解得=5+5V2,=5-52<0 (负值舍去). .5+5V2>10 ∴·该男生在此项考试中能得到满分 故答案为：能. 【跟踪专练2】为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后 的运动路线可以看作是抛物线的一部分.如图，在某次练习中，小明投掷时出手点P距水 平地面的高度OP为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地 面的高度是3米，记落地点为M,以O为原点，OM所在直线为x轴，OP所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 试卷第29页，共3页 Ky/m 3m 0←—4m M x/m (I)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (②)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断 该次练习小明同学能否得满分 【答案】(1)y=- 3(x-4}+3: 4 (2)小明此次练习能得满分. 理由：由（少知的线表达式为y=高一4+3，出手点与落电点的水子距离：即店 O和点M之间距离， 3 当y=0时，0=40x-4+3, 解得=4+2V10 x2=4-2N10 点M坐标为 4+2i0,0)或4-2i0.0 :点M在x轴正半轴， :（4-20,0)(不符合愿意，舍去)， ∴.0M=4+2V10 36<40<49 .6<210<7 .10<4+210<11 ·小明此次练习能得满分。 【分析】(1)根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式： (2)根据(1)中的抛物线表达式求出x轴交点坐标，对比交点到原点的距离和10大小关 系即可 试卷第30页，共3页 4,3) ⊙，点P坐标为 ,1.8) 【详解】(1)解：根据题意可知，抛物线的顶点为 设抛物线的顶点式为：y=a(x-4)+3 1.8=a(0-4)2+3 3 ..a=- 40 :能物线的表达式为：=名-4矿+3。 (2)略 【跟踪专练3】如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知 球门OB为2.44m,球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为 6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m.现以0为原点，建立如图所示的平面直 角坐标系。 y(m) 0 / 8 x(m) (I)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）： (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动_米射门， 才能让足球经过点0正上方2.25m处. 【答案】（①）抛物线的解析式为：y= =2红-2+3，不能射进球门 (2)1 【分析】(1)判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点A的坐标 代入可得a的值，进而取x=0,求得对应的y的值，与2.44比较，即可判断能否射进球 门： (2)移动后的抛物线的解析式为：y= 12x-2-0+3,把(0,225代入求得合适的m的 值即可 试卷第31页，共3页 【详解】(1)解：由题意得：抛物线的顶点坐标为(2,3)， 六设抛物线的解析式为： y=a(x-2)2+3 A(8,0) 经过点 ∴.0=a(8-2)2+3 1 解得：a=12, :抛物线的解析式为：y= x-2)2+3 12 1 8 当x=0时，y=- ×4+3= >2.44 12 3 ∴不能射进球门： 1 (2)解：设向后方移动nm:则移动后的抛物线的解析式为：y= (x-2-n)2+3 12 0,2.25) 经过点 .2.25= 1(0-2-m2+3, 1 (n+2)2=0.75×12 ∴.n+2=3或n+2=-3, %1=1n2=-5 解得： (不合题意，舍去)， ∴.向后移动lm才能让足球经过点0正上方2.25m处. 【点晴】本题考查二次函数的应用.用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关 键：用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左 加右减. 题型6.喷水问题（常考） 【典例】某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP,安置 在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 试卷第32页，共3页 OP的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离 x(m) 与水流喷出的高度 m之间的关系式为y=号+号+2，则水流喷出的最大高度是《) A.5.5m B 5m c.4.5m D 4m 【答案】D 【分析】将少=2x+ 9 3x+2配方成顶点式求解即可. 2x2+4x+2= 4 2 【详解】y=- (x-3)2+4 3 9 ∴.当x=3时，y取得最大值4， ∴.水流喷出的最大高度是4m. 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和 数形结合的思想解答 【跟踪专练1】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,喷头A向 外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水 流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x+2x+(x>0),则水流喷出 的最大高度是。 m y/m x/m 试卷第33页，共3页 1 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵 坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可， 【单解】解：？抛物线解折式为y=+2+子-(-+. 7 ∴抛物线的顶点坐标为 4 11 ∴水流喷出的最大高度是4m 11 故答案为：4： 【跟踪专练2】消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还 设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火 灾。一次消防车演练时，水流喷出的高度(m)与水平距离(m)之间的关系式是： y=-x2+mx+n(x>0) 水从距离地面的管道口点A喷出，点A正下方为车与地面接触点 O,水流形状如图所示。 81 8 (I)已知该消防车在距车水平方向8m处水流达到最高，最高点离地面81m,求该二次函数 的解析式及OA的长. (2)若消防车停在与建筑有6宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 【答案】)y=-+16x+170A=17 (2)此时水流恰能扑灭高度为77m楼层的火势 y=-x-+mx+n 8,81) 【分析】(1)已知二次函数 的顶点坐标为 写出该函数的顶点式为 试卷第34页，共3页 y=-(x-8)2+81=-x2+16x+17 再将x=0代入解析式进行计算，得到 A(0,17 ,则 OA=17,即可解答： (2)将x=6代入二次函数解析式进行求解即可. y=-x+mx+n 8,81) 【详解】(1)解：已知二次函数 的顶点坐标为 ,写出该函数的顶点 式为 y=-(x-8)2+81=-x2+16x+17 将x=0代入解析式，得 y=-02+16×0+17=17 A(0,17) .0A=17. =-x2+16x+17OA 7m 答：二次函数的解析式为 的长为 (2)消防车与建筑间隔6m宽的绿化带，因此水流到达建筑位置对应的水平距离x=6，将 x=6代入二次函数解析式： y=-62+16×6+17=-36+96+17=77(m) ∴此时水流恰能扑灭高度为77m楼层的火势. 【跟踪专练3】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图 1)，喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方0.5m处.喷头喷出的水流在忽略空气阻 力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原 点，建立如图2所示的平面直角坐标系(x轴在水面水平方向，y轴竖直向上)·经测量， 2,1.5) 在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为 之后落回水面上的C点. 图1 图2 试卷第35页，共3页 (1)求该抛物线的表达式； (2)求音乐喷泉水池的半径OC的长： (3)公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5m时，视觉效果最好. ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点B的坐标 m,川，请求出 与m的函数关系式： ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比.原方案的最 高点高度为1.5m,新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同.请你计算新方 案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 【答案】)y=-0.25(x-2)}2+1.5 2(2+v5)m (5-m2 (30”=50-20m(0<n<5且m≠2.5)：②0.6倍 (2,1.5) (0,0.5) 【分析】(1)由题意，抛物线的顶点坐标为 且过点 运用待定系数法 求解即可： (2)令y=0,代入解析式求一元二次方程即可： (3)①设新抛物线的表达式为y=a(x-m+n(a≠0)， 运用待定系数法即可求解； ②由题意得m=2,代入计算即可 B(2,1.5) A(0,0.5) 【详解】(1)解：由题意，抛物线的顶点坐标为 ,且过点 设抛物线的表达式为y=a(x-2)+1.5 将10,05)代入表达式，得05=a(0-2少+15 解得a=-0.25. 六抛物线的表达式为y=-0.25(x-2+15 试卷第36页，共3页 (2)解：令y=0,则0=-0.25(x-2+15 解得=2+6.名=2-6 (舍)· 故音乐喷泉的水池半径0C的长为(2+v6)m (3)解：①设新抛物线的表达式为'=a(r-m+n(a≠0) am+n=0.5, 将A(0,0.5)c(5,0)代入得a(5-m}+n=0, (5-m) 解得”=50-20m(0<n<5且m≠2.5). ②由题意得m=2, (5-m2(5-22 =0.9 50-20m50-20×2 ,喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比， 0.9 功率比为1.5 =0.6 故新方案功率是原方案的0.6倍. 题型7增长率问题 【典例】某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万 只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程() A.180(1-x)2=461 B.180(1+x)}2=461 C.4610-2=180 D.4611+x2=180 【答案】B 【分析】利用4月份该厂家口罩产量=2月份该厂家口罩产量×(0+从2月份到4月份该厂家 02 口罩产量的平均月增长率’，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解。 试卷第37页，共3页 【详解】解：根据题意得 80(1+x)2=461 故选：B 【点晴】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次 方程是解题的关键。 【跟踪专练1】某厂加工一种产品，现在的年产量是40万件，计划今后两年增加产量.如 果每年的增长率都为x,那么两年后这种产品的年产量y(万件)与x之间的函数表达式 为 (要求化成一般式)· y=40x2+80x+40 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键。 每年的增长率都为x,第一年后的产量 401+)件，即可得第二年后的产量是 401+0+x)=400+,即可求解。 40(1+x) 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是 件， 第二年后的产量y=401+=40r+80x+40.闻y=40r2+80r+40 y=40x2+80x+40 故答案为： 【跟踪专练2】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是 7.26万元 墙 养鸡场 (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率： (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围 成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与 墙平行的一边的长度. 【答案】(1)10%： 试卷第38页，共3页 (2)40米 【分析】(1)设李明这两年纯收入的年平均增长率为x,根据题意列出方程 6(1+x)2=7.26 ,即可求解： 100-a (2)设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为2一米，再根 据长方形的面积公式列出方程即可求解， 【详解】(1)解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x,根据题意可得 6(1+x)2=7.26 x=0.1=10%x2=-2.1 解得， (不合题意，舍去) 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为10%： (2)解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为α米，根据题意可得 100-a .a=1200 2 解得， 41=4042=60 (不合题意，舍去) 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米. 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方 程。 【跟踪专练3】为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的 实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设。 (1)根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求 该市这两年旧房改造户数的平均年增长率： (2)该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均 20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申 报的最高投入费用是多少元？ 【答案】(1)20%；(2)6125000（元） 【分析】(1)设平均增长率为x,根据题意列式求解即可： (2)设多改造y户，最高投入费用为"元，根据题意列式 试卷第39页，共3页 w=(300+a)×(20000-50a)=-50(a-50)+612500 然后根据二次函数的性质即可求出 最大值 【详解】解：(1)设平均增长率为x,则x>0, 由题意得： 3(1+x2=4.32 解得：x02或x=-2.2(舍)， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%： (2)设多改造a户，最高投入费用为W元， 由题意得：w=(300+a)×(2000-50a)=-50(a-50}+612500 50,抛物线开口向下， .当a-50=0,即=50时，w最大，此时=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据 二次函数的性质进行求解 题型8其他实际应用问题 【典例】，飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解 析式是s=60t-1.5,其中t的取值范围是() A.t≥0 B.0≤t≤20 C.20≤t≤40 D.0≤t≤40 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 将函数解析式写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案， 【详解】解：s=60t-1.52 =-1.5(e-40) =-1.5[(2-40t+400）-400 =-1.5(t-20)+600 试卷第40页，共3页 :当t=20时，s取最大值600，飞机停止滑行， ,.t的取值范围是0≤t≤20 故选B 【跟踪专练1】兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味 和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评 为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”.如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截 面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽 28cm,碗深0A=9.8cm,则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm(碗的厚度不计)· 【答案】16 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用碗口宽度和深度 求出抛物线上一点的坐标，代入求出解析式，再根据汤面下降的高度求出此时液面的纵坐 标，代入解析式求出横坐标，进而求出宽度. 【详解】设抛物线的解析式为'=心， 由题意可知，碗口BC宽28cm,碗深OA=9.8cm,且抛物线关于y轴对称， 1 所以点C的横坐标为2×28=14，纵坐标为9.8：即点C的坐标为14,9.8)， C(14,9.8 将点 代入y=a,得9.8=ax14 9.8 解得a=196 =0.05 y=0.05x2 所以抛物线的解析式为 当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，汤面的高度为 .8-6.6=3.2(cm) 令y=3.2,则3.2=0.05x2, 试卷第41页，共3页 .x2=64, 1=8,x32=-8 解得 此时碗中汤面的水平宽度为片=8-（←-8别=16(cm) 【跟踪专练2】如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着 陆.己知起跳点E与着陆坡上的计分参照点K的竖直距离为45m,水平距离为83m.按如 图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线 y=- +x+c 80 y/m◆ 50 40 30 20 10 K. 80200000000原被 (I)求C的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度： (2)请通过计算，判断着陆时他能越过K点吗？ 【答案】I)c=45,该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为50m (2)运动员着陆时他能越过K点 E(0,45) 【分析】(1)由题意可得， ，将其代入抛物线解析式即可得到C的值，进而求出 抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，利用函数的性质即可求解； (2)在函数解析式中令y=0,求出x的值，再与83比较，即可判断。 E(0,45) 【详解】(1)解：由题意可得， 1 1 1 将E(0,45)代入y=- 0+2+c,得5=一 ×0+二×0+C, 80 2 解得c=45, s 2+ 80 +45 1 化为顶点式为y=（怎-20+50， 试卷第42页，共3页 1 <0 80 当x=20时，y有最大值，最大值为50， ∴.c=45,该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度为50m: (2)由(1)可得，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线 y=- x2+ x+45 80 2 1 令y=0:则80r+ x+45=0 解得=20+2010.与=20-20N10 x>0 V10>3 ,且 .3=20-20W10<0 舍去， .x=20+20W10 10>V9.225=3.15 .20W10>63 .20+20W10>83 即运动员着陆时他能越过K点。 【跟踪专练3】问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与 数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律. 叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度'(Cm)与纸杯的个数 x(个)之间是一次函数关系，相关数据如表. 纸杯个数x 1 2 3 (个) 纸杯高度y( 9 9.5 10 10.5 cm 叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是 杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子.小天发现叠放 试卷第43页，共3页 所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数m变化而变化，并在平面直角坐标系 中描点4，)，(2,3》，(3,6)，(5,15)等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图 4): 012345678910m 图1 图2 图3 图4 (1)求n与m之间的函数表达式： (2)小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为31cm的柜子里（图 2)·求一摞最多能叠的杯子总数： (3)小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放， 用含a的代数式表示杯子叠放后的层数. 1 1 【答案】①n=2m+ m (2)一摞最多能叠的杯子总数为45个： -1+V1+8a (3)杯子叠放后的层数为2· 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)求出'关于x的函数关系式，求出y=31时的自变量的值即可： (3)令n=a,求出m的值即可 【详解】(1)解：由题意，设n=am2+bm, a+b=1 把(1,1)，(2,3)，代入，得4a+2b=3, 1 22 解得 1 b= 2 试卷第44页，共3页 ..n= m 2m (2)解：设y=+t, k+t=9 把(1,9)，(2,9.5)代入，得2k+1=9.5, [k=0.5 解得t=8.5, y=0.5x+8.5, ∴当y=0.5x+8.5=31时，解得x=45: 答：一摞最多能叠的杯子总数为45个： 1 (3)解：由(1)可知：n=m2+5m, 2 2 当”2m+m=a 1 -l±V1+8a m= 2 时，解得 2 *m>0. m=-l++8a -1+V1+8a 答：杯子叠放后的层数为 2 题型9.线段周长问题 【典例】如图，抛物线)=r-2x-3 x轴于A、B两点(A在B的右侧)，交y轴于点 C,点于D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD ,则线段AB的最小值是— 试卷第45页，共3页 V34-3W2 【答案】 2 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知 识，先根据抛物线解析式求出点A,B,C坐标，从而得出OA=2,OB=3,OC=6,再根据 勾股定理求出AC的长度，然后根据翻折的性质得出A在以D为圆心，PA为半径的圆弧 上运动，当D,A,B在同一直线上时，BA最小，即可求解， 【详解】解：令=0，则"=r-2x-3=0 y=0 =-1,x2=3 解得 9 A(3,0),B(-1,0) 0A=3,0B=1, 令x=0,则y=-3, ,C(0,-3) ∴.0C=3, 4C-32 ,D为AC中点， DA=DC=3 , :△APD由△APD沿DP折叠所得， 试卷第46页，共3页 .DA=DA', .A在以D为圆心，DA为半径的圆弧上运动， .当D,A,B在同一直线上时，BA'最小， D 33 :点D是线段AC的中点，则点 (2’ 2 则BD= √34 2 =BD-AD=34-3V2 则BA最小 2, V34-3√2 故答案为： 2 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线 4于 y=4r≥0和抛物线yc2≥0于A、B两点，过点A作4Cx铂交抛物线 1 BD 点C,过点B作BD∥x轴交抛物线y=4x2于点D.则AC的值为() D/B 1 B.2 C.4 D.4 试卷第47页，共3页 【答案】C 【分】本超考金了=次通数图象上点的标特江，设4如).则A 根据 11 BD 题意得出C(4m,4m2) 04m,4m 即可求得BD,AC,从而求得AC, :AC∥x轴交抛物线y=4于点C,BD∥x轴交抛物线y=4r于点D, .BD=m- 3 m= 4m AC=4m-m=3m 3 AC 3m 4 故选：C 【跟踪专练2】如图，点P是抛物线'=r+hr+ 的顶点，点B、点D在抛物线上， AB PA/l BC/∥x轴，AB⊥PA,BC⊥CD,若PA=BC=m,则CD的值为(） B.5 C.3 D.} 【答案】C 试卷第48页，共3页 1)2 【分1先把脑线解折式化顶可得+分+护，即 b.c-ib :再结合P1=BC=m以及图形可求得点及、点C的纵坐标为m+C-4b,点D的纵坐标为 6,然后求出AB=m2、CD=3m2,最后代入求出比例即可. 、2 【详解】解：)=++c-气x++c 4· ∴点 .PA=BC=m, 点B的横坐标为2b+m,点C和点D的横坐标为b+2m, 12 ∴.点B、点C的纵坐标为2 b+m+b+c-b=m+C-4b,点D的纵坐标为 2 4 ,1)2 5b+2m+5b+c-b2=4m2+c-b2 2 4 4 AB=m2+c-二b2 =3m2 4 )-m CD-4m+ AB m 1 CD-3m3' 题型10.面积问题 【奥例]】如图。平面直角坐标系0中，二次高数=- 的图像与轴交于点A、B,与 y轴交于点C.若点D是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形ACBD的面积 为4，则点D坐标为 试卷第49页，共3页 B 【答案】 (2,3) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，先求出A、B、C的坐标，再根据 S四边形ACBD=S△MBC十S△ABD=4 求出点D的纵坐标，进而求出点D的坐标即可. y=x2- 【详解】解：在 中，当少=r-1=0 时，s 时，x=,当=0时 4(-1,0,Boc0) ∴AB=2,OC=1, 四边形ACBD的面积为4， S四边形HCBD=S△Bc+SABD=4 2x2-%+2×2x1=4, 'o=3 在少21 中，当=x2-1=3 时，=2 .D(2,3) (2,3) 故答案为： 试卷第50页，共3页 y=-x2+2x 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为A,在x轴下方 作垂直于y轴的直线BC交抛物线于点B、C,连接AB、AC,若点B到x轴的距离是点A 到x轴距离的3倍，则△ABC的面积为一· 【答案】8 【分析】根据抛物线解析式得到点A的坐标，易得点A到BC的距离、线段BC的长度，所 以根据三角形的面积公式解答即可. 【详解解：由抛物线=-r+2x=-(x-旷+l知，顶点4(， :点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍， yg=-3 则-x2+2x=-3, =3,x2=-1 解得 :BC1y轴， B(-1,-3)C(3,-3) .BC=4 1 5ac=2×4x4=8 试卷第51页，共3页 【跟踪专练2】已知抛物线=(-2-1与'轴交于点D0,3),其顾点为点A,与x轴交 于B,C两点(B在C的左侧)，连接DB,DC,若在抛物线上存在一点P,使得 Sae=Sac,则P的坐标是()， A(2,-1) B.(0.5,1.25) c.(3+5,3+25)D.(2-5,2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，面积问题，正确掌握相关性质内容是解题的关 0D=3OC=3,BC=3-1=2 键.先分别求出 ,结 Saoe=Sac,列式代入数值计算， 即可作答 【详解】解：依题意，抛物线上存在一点P, 故连接PC,OP,DC,BD,如图所示： VA O 点 D(0,3) OD=3, y=(-2-1与x轴交于B,C两点(B在C的左侧)， ∴令y=0,则0=(x-2-1 解得 =1x2=3, 试卷第52页，共3页 B(1,0),C(3,0) 0C=3,BC=3-1=2, :抛物线上存在一点P,使得 S△Poc=SADBC 1 1 C×yp=-×BC×OD .2 2 3×yp=2×3 则 即%2 把=2代入=(-2-1，得2=-2-1， 解得5=2-V5,与=2+5， 观察四个选项，唯有2-V5,2列符合愿意。 故选：D 题型11角度问题 y=-x2-3x+4 【典例】如图，已知抛物线 ,点P是抛物线上一动点.当点P在第二象 限，∠PBA=45°时，点P的坐标是 【答案】 (-3,4) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接 试卷第53页，共3页 PB,作PD上x轴于D,先求出B,0),设Pm,-m-3m+4 ,则PD=-m2-3m+4 BD=1-m △PBD PD=BD -m2-3m+4=1-m 求出 为等腰直角三角形，得出 即 ,求出 m的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【详解】解：如图，连接PB,作PD⊥x轴于D, VA 在少=-r-3x+ 中，令少=0 0,则x-3x+4=0 x=-4x2=1 解得： .B(1,0) :点P是抛物线上一动点， P(m,-m2-3m+4 设 ,则PD=-m2-3m+4,BD=1-m, ∠PBA=45° ∴.△PBD为等腰直角三角形， ∴.PD=BD,即-m2-3m+4=1-m, 解得：m=-3或m=1, ,点P在第二象限， .m=-3, :m-3m+4=-(-3}-3x(-3)+4=4 .P(-3,4) 试卷第54页，共3页 （-3,4) 故答案为： 【跟踪专练1】若直线：y=2x+a与抛物线y=x+2x-3交于M、N两点，则当 ∠MON=90°时，a值为. VA 15 【答案】 2 1 【分析】根据直线：y=-2x+a与抛物线y=x2+2x-3交于M、N两点，可列出关于x 的一元二次方程并求解，可得到x的值：过点M和点N作MG⊥VG交于G,通过直 角三角形勾股定理，推导得MG2+NG2=OM2+ON2,将M、N两点坐标代入，通过代入 一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于a的方程并求解. 【详解1解：直线：y=+a与抛物线)=+2x-3交于M,N丙点 设M,N两点坐标分别为：M(,y),N(3,),且2x+a=r+2x-3, 2x2+5x-6-2a=0 x+x=一2 5 xx2=-3-a, 如图，过点M和点N作MG⊥NG交于G, ∴.MG2+NG2=MW2 当∠M0N=90°时，OM2+ON2=MW2, 试卷第55页，共3页 ..MG2+NG2=OM2+ON2 MG2=(-2)},NG2=(x-x)},0M2=x2+2,0N2=32+2 0-}+(6-=2+++2, .-xx2=y2 1 1 %=-2+a,h=-2+a, -（** .5x2-2a(x+3)+4a2=0 x3=-3-a, 3-a-2引4-0 4a2=15 a=tvi5 2, 6 故答案为： 2. A A B 试卷第56页，共3页 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识： 解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成 求解。 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=r+hr-3过 A(-3,0)B(1,0) 点 4 ，点C,D均在抛物线上，其中点C的横坐标为3，点D在直线4C的下方，当 ∠ACD=45°时，点D的坐标是 4 35 【答案】 (3’9 【分析】已知抛物线过A、B两点，将两点坐标代入抛物线解析式，求出a、b的值，确定 抛物线表达式。 已知点C横坐标，将其代入抛物线表达式，求出点C的纵坐标，确定点C坐标. 过点A作AE⊥CD于点E,过点E作FG∥x轴，过A、C作AF⊥FG于点F,证明 4 -y= -x 3 ,得 ,设 则 △AEF≌△ECG(AAS) x+3=13。解得 AF=EG,EF=CG E(x,y) -y 9 1 X=- 9 3,即113 求出直线 的解析式 y=- E- 11, 联立抛物线解析式得 y=2x- CD 9 x2+2x-3=2x- 1 9,解得x=3，即得了9 试卷第57页，共3页 y=ax2+bx-3、,A(-3,0)B(L,0) 【详解】解：·抛物线 过 y=a(x+3)x-1)=a(x2+2x-3) 用交点式得： 对比常数项-3a=-3,得a=1, y=x2+2x-3 因此抛物线解析式为： ?点C横坐标为3， 代入抛物线得名店 +2x4-3=3 3 9 413 过点A作AE⊥CD于点E,过点E作FG∥x轴，过A、C作AF⊥FG于点F,CG⊥FG于 点G, 则∠AFG=∠CGF=∠AEC=90°， .∠AEF+∠EAF=90°，∠AEF+∠CEG=90°， ∴∠EAF=∠CEG. ∠ACD=45°， ,∠CAE=90°-∠ACD=45°， 、△AEF≌△ECG(AAS) .AF=EG,EF=CG. 设E() 则水=-G=xB=x+3CG 9y, 4 3-r 一y= t43=13 试卷第58页，共3页 1 x29 解得 13 y=一 9 (gg》 设直线CD的解析式为y=mr+n, 4 13 m+n= J 9 则 1 13, m+n=- 9 9 「m=2 11 解得n=-9, 直线cD解析式为y=2x- 9 联立抛物线解析式得x2+2x-3=2x- 9 化简得2=16 9 解得-号（对应点C,=手 4 代入CD解析式得 试卷第59页，共3页 435 题型12.特殊三角形问题 y=x2-2mx+m2-1 【典例】在平面直角坐标系中，己知抛物线 与x轴交于点A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,若△ABC为直角三角形，则m的值为() A.3 B +v2 C.0 D.2 【答案】C 【分析】先化简抛物线解析式，求出A、B、C三点的坐标，判断直角位置，只有∠ACB可 能为直角，再利用勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到m的值. 【详解】解：y=-2mr+m2-1=(x-m-1 (x-m)2=1 ，得 ,解得名=m-1名=m+1 点A在点B左侧，：4(m-10),B(m+1,0 ,可得AB=2, 令=0，得=m-1 :C0,m-,c不与4，B重合，故m-1*0, 若△ABC为直角三角形，分情况讨论： 若∠A=90°， ,AB在x轴上， ∴AC⊥x轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即m-1=0,得m=1, 此时m2-1=0,C与A重合，舍去： 若∠B=90°，同理得m+1=0,m=-1, 此时m2-1=0,C与B重合，舍去： 因此只有∠ACB=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB2, 试卷第60页，共3页 计算得4C=(m-+(m-,8C2=(m+1+(m-,AB=4, 代入等武得：(m-+(m-+(m++(m2-=4 解得m=0或m=1, 舍去不符合题意的m=±1，得m=0 【跟踪专练1】已知抛物线 =2-4红+6与销交于点和点，点C为抛物线上的一 动点，当△ABC为直角三角形时，则点C的坐标为 -2+√151-2-151 【答案】 22或22 【分折1由题意易得4(-3,0)，8(，0)，设C,-2r-41+6）,然后根据两点间距离公式可得 AC2=(-3-+[0-(-2r2-4+6]=(+3+2r+4-6, BC2=(-1+(-22-41+6-0=(-1+(2r2+4-6.AB2=(-3-12+(0-02=16 进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可. 【详解】解：令’=0时，则有0=-2-+6.解得 1=1,x2=-3 不妨令点A在点B的左侧， 4(-3,0,B1,0) 设C-22-41+6) .AC2=(-3-}+[0-(-2r-4+6=(+3}+(2r2+4-6, BC2=(t-1+(-22-4+6-0=(t-1+(2r2+41-6 AB2=(-3-1)+(0-0)2=16 当△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，根据勾股定理得：AC2+AB2=BC2, 试卷第61页，共3页 :.+3y+(22+41-6+16=-+(2r2+41-6. 解得t=-3,此时点T与点A重合，故不符合题意： 当乙ABC=0°时，同理可得：+3)+(2+4-6矿°=16+-+(2r2+41-6, 解得：t=1,此时点T与点B重合，故不符合题意： 当∠4CB=90°时，同理可得：+3)+(2r+4-6矿+-+(2r+4-6=16, s5-4625之西 2, 4=l4=3 不符合题意， .t=-2+压-2-5 2或2， 当1=2*店 2时，则22-41+6=-2× 2+西-42+6-8 2 2 当2则62 2-154x2-15+6=2: 2 2 -2+151-2-151 综上所述：当。ABC为直角三角形时，点c的坐标为 2’2或2一2 【跟踪专练2】二次函数'= 的函数图象如图，点位于坐标原点，点 ,A,4,4…在 '销的正平轴上，点8品，品，品“在二次西数=父 位于第一象限的图象上，A484, △48,4.△48,4，△48，A…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 4oB1A1 的斜边长为() 试卷第62页，共3页 A.20 B.20V2 C.22 D.222 【答案】C 【分析】由于484，A4B,4△4B4 ,…,都是等腰直角三角形，因此可得出直线 AB,y=x,求出8,4的坐标，得出的长： B A 利用 的坐标，得直线 线48。)=+2，求出8,4坐标，得出4的长：用同样的方 4,…的边长，然后根据各边长的特点得出一般化规律，求得4的长。 AAs 法可求得 【详解】解：：等腰直角三角 △4BAA AB1、y=x 为原点；直线6： .y=x y=x2 B A 的坐标为(1,1)，则为(0,2) :A42 4为(0,2)，直线48：y=+2 82,4,六444，则40,6 4(0,6),直线 ,B,.y=x+6 ..B3 3,9),446 由上面AA2,A1A4,AA6,可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的 斜边长依次加2 ∴.△A10BA11的斜边长为2+10×2=22， 试卷第63页，共3页 综上，由此可以推 A0A=22 故选C 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特 征，函数的交点，等腰直角三角形性质等知识点，解答此题的难点是推知 An-14n 的长。 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，边长为8的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O,AD∥x轴，以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线将正方形分割成几部 分.则图中阴影部分的面积是一· 【答案】32 【分析】本题考查了二次函数与特殊的四边形综合，轴对称的性质，明确阴影部分面积的 表示是解题的关键. 由题意知，以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两点的抛物线关 1 于x轴对称，根据S影一2S方影CD,计算求解即可。 【详解】解：由题意知，以O为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B,C两 点的抛物线关于x轴对称， S影=2S正方形4m=2 ×82=32 故答案为：32 【跟踪专练1】如图，已知二次函数y=(x+2 图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,在 对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的 坐标 试卷第64页，共3页 【答案1（-2,4或24) 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质. 根据二次函数的性质求出 BQ4),4-2,0,设P(-2）, 根据平行四边形的性可知 =4 ,即t=4,即可求出点P的坐标 4,则B04) 【详解】解：当x=0时，y=(x+2=4 当少=0时，(x+2°=0 解得：x=-2, :4(-20) 设P(-2) :以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形， .PA=OB :44 ∴.t=±4， 即P(-2,4P(-2-4) 或 故答案为： （-2,49或-2,4) 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点1、E在抛物线 y=ax2 上，过点A、E分 别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F,分别过点E、F作线段AB的垂线，垂足为点C 试卷第65页，共3页 D.若E点坐标为 2,4) 四边形CDFE的邻边之比为：2时，则线段AB的长为 A.4或2v6 B.2645 或 c.25或W5 D.4V5 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出CD=EF=4,进而根据四边形CDFE的邻 边之比为1：2，分类讨论，设点A横坐标为m表示出A的坐标，进而即可求解。 【详解】解：依题意CDFE是矩形； (2,4) 把点 代入y=x中得4=4a, 解得a=1, 点？列 .F(-2,4) ∴.CD=EF=4, ,四边形CDFE的邻边之比为1：2时， 当CD=2CE时，则CE=2 A(m,6) 设点A横坐标为，则 代入少 得m6 解得=6或m=6 (舍去). 试卷第66页，共3页 AB=2m=2√6 当CD=2CE时，则cE=8 A(m,12) 设点A横坐标为m,则 f代入少 得m-12 解得m23 m=-2V5 或 (舍去). AB=2m=43 2V6.4V5 综上所述线段4B的长为26或 故选：B 题型14.相似三角形问题 y=-x2+6x+3 【典例】如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 交y轴于点A,过A作 AB‖x 轴，交抛物线于点B,连接06.点P为抛物线上1B上方的一个点，连接P以A,作 OB AB PQ⊥AB OB ∠APQ=∠B 垂足为H,交于点Q.当 时，点P的坐标为 B (4,11) 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用 试卷第67页，共3页 所学知识解决问题，先求得点 0,3》,今y=-×+6x+3=3,求得4B的长，证明 HP AH △ABO∽AHPA'则AB=AO:即可求解. 【详解】解：对于'=-r+6r+3 则=3 令=0 故点1(03) 令y=-r2+6x+3=3 解得=0 或6， 敢点P63) 故AB=6: 设P(m-m2+6m+3) ~ABI‖x轴，PO⊥AB ∠AHP=∠OAB=90°， :∠APQ=LB △ABOD△HPA, HP AH 故ABA0’ -m2+6m m .6 3, 解得m=4。 :P41四 P(4,11) 故答案为： y=ax2(a>0) 【跟踪专练1】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 型抛物线图象. 1 F0, 发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 4a)的距离MF,始终等于它到 试卷第68页，共3页 1 定直线：y=一4a的距离MN(该结论不需要证明)，他们称：定点F为图象的焦点，定 直线为图象的准线，y=一4a叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点， FH =20F=- 1 2a. 如图2所示，己知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线 及准线I于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,则a的值为 YA H H 图1 图2 1 【答案】40.25 【分析】本题考查了阅读运用新知识能力，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和 性质等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论.作AG⊥I于G,作BK⊥I于K, BK BC BK BC 由BK∥FH∥AG得△CBK∽aCFH,△CBK∽aCAG,从而FHCF'AG=AC,即可求 得结果。 【详解】解：如图，作AG⊥1于G,作BK⊥1于K, H G 图1 图2 :.AG=AF=4.BK=BF,FH= 2a :BK∥FH∥AG. 试卷第69页，共3页 △CBK∽△CFH,△CBK∽ACAG, BK BC BK BC FH CF'AG AC, BF 2BF 2 BF 2BF 13BF343BF+4 2a ..a=- 4 故答案为：4. y=-x2+3x+4 【跟踪专练2】，如图，在平面直角坐标系中， 与轴交于A,B两点(A 在B的左侧)，与轴交于点C,点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM∥x MD 轴，且与BC延长线相交于点M,连接AP交BC于点D'则DB的最大值为() 】 3 4 A B. 4 C. 3 D.1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设MB与AP 交于点D,求出4-，0，B(4,0),则有BC解析武为=-+4，设P飞，-+3+4)，则 M(t2-31,-2+31+4) 然后证明△PDM∽△ADB,由性质得 0PM+=-0-2+4 BD AB 5 5,最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应 用是解题的关键。 【详解】解：设MB与AP交于点D, 试卷第70页，共3页 B 由少=-x+3x+4 ，当y=0时，-+3x+4=0, 解得：方=-】5=4 :1-10）B40) .AB=5, 当x=0时，y=4, .C(0,4) 设BC解析式为y=c+b 「4k+b=0 k=-1 b=4,解得：b=4, ∴，BC解析式为y=-x+4, 设P+3+4) :PM∥x轴， :M(-3-r+3+4) ,PM=t-(t2-3t)=-t2+4t ,PM∥x轴， .△PDM∽△ADB, M0、PMf5-20 BDAB MD 4 当1=2时，则DB的最大值为5， 试卷第71页，共3页 故选：A 解答题 1.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园 的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）.若设花园的边长AB为x 米，面积为y平方米。 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由： (3)当x是多少时，矩形花园面积'最大？最大面积是多少？ 【答案】》=-2r+36x.8≤x<18 (2)当x=17时，满足条件的花园面积能达到34平方米 (3)当x=9时，y最大，最大面积是162平方米 【分析】(1)根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围： (2)把y=34代入解方程并检验取值： (3)配方法求二次函数在定义域内的最值， 【详解】(1)解：：AB=x米，三边栅栏总长为36米， .BC=(36-2x 米 y=(66-2）,即y=-2r+36 墙长20米， .0<36-2x≤20. 解得8≤x<18 (2)解：令y=34,则-2x2+36x=34, 试卷第72页，共3页 整理，得x2-18x+17=0, 解得x=17或x=1. 8≤x<18. x=17, 当x=17时，满足条件的花园面积能达到34平方米. (3)解：将=-2r2+36 =-2(x-9)2+162 化为顶点式为 8≤x<18, ∴当x=9时，y最大，最大面积是162平方米 2.如图O,在等腰直角三角形1BC中，∠4CB=90°，4C=BC=42 动点P从点1出 发向终点C运动（不与点A、C重合），速度为每秒V巨个单位长度.过点P作PQ⊥AB 于点2，以PO为边向右侧作矩形POMN,且PN=2PD.设点P运动时间为t秒. 图① 备用图 (I)用含t的代数式表示线段PN的长 (2)当点N落在边BC上时，求t的值： B)当点M在线段AB上时（不与点B重合），设矩形POMN与△ABC重叠部分的面积为S ,求S与t之间的函数关系式. 【答案】(1)PN=2t: (2)点N落在边BC上时，t的值为2： 2(0<t≤2) 3、 8 -6+321-322t 试卷第73页，共3页 【分析】(1)先得出∠A=∠B=45°，又四边形POMN是矩形，则PO=MN, ∠PQM=90 ∠A=∠APQ=45° AO=PO PO=t 从而有 ,所以 ,然后通过勾股定理得 再代入即可求解： (2)可得△ABC、△APO、△BNM都是等腰直角三角形，又四边形POMN是矩形，则 A0=PO=BM=MN=t PN=OM=2t AB=8 AO+OM+BM=AB 。 ,所以 ,即 t+2t+t=8,然后求出t的值即可： .8 （3)分当0<1≤2时，当2<1≤兮时，两种情况求解即可。 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，AC=BC, .∠A=∠B=45°， :四边形PQMN是矩形， .PQ=MN,∠PQM=90, .∠AQP=90° .∠A=∠APQ=45° ∴.A0=P2, ..40+PO=4P P0+Pg2=(2, P№=t, .PN=2P№=2t, 故答案为：2t, (2)解：当点N落在边BC上时，如图， 试卷第74页，共3页 B 同(I)理可得△ABC、△APO、△BNM都是等腰直角三角形， :四边形POMN是矩形， .A0=PO=BM=MN=t,PN=OM =2t, :∠1CB=90°AC=BC=4V2 ∴4B=VAC2+BC2=V42)+(42=8. :.40+OM+BM=AB,+2t+=8, .t=2, ∴，点N落在边BC上时，t的值为2； 解：当点与点g重合时1+28,1 3 当0<t≤2时， 重叠部分的面积S就是矩形POMN的面积，此时，S=t×21=2r: 8 当2<1≤3时，如图， :四边形POM是矩形， ∴.∠N=90°，QM∥AB, ∴∠A=LB=∠MFB=∠EFN=∠MEF=45°， 试卷第75页，共3页 :.△APO、△BMF、△NEF都是等腰直角三角形， .A0=PO=1,PN=OM=2t, .BM =MF=8-3t ,NF=MN-MF=t-(8-3t)=4t-8 5=2r2-2（4-8=-6d2+32-32 22(0<t≤2) 综上所述： 6+32-322<1》 y=-x2+bx+c 3.如图，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的 坐标为30)，点℃的坐标为 ,3)，直线！经过B、C两点. (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标： (2)点P在线段BC上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相 交于点M,再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N,当PM=)MW 时，求点P的坐标： 【答案】1)y=-2+2x+3 顶点坐标亿4) ②点P的坐标为+5,2-2)成2-5.5+) 【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； 试卷第76页，共3页 (2)首先求出直线6C的解折式为=-x+3,设P飞-1+3)，则M,-+21+3列 N(2-4-+21+3列，则PM=-+3,MN=2-24,由题意可得方程-+31=2-2刘， 求解方程即可。 【详解】(1)解：将点 B(3,0).C0,3)代入y=-r+br+c -9+3b+c=0 c=3 b=2 解得c=3 y=-x2+2r+3 y=-x2+2x+3=-(x-1}+4 ∴顶点坐标 1,4) (2)解：设直线BC的解析式为 =kx+b 3k+b=0 将B(3,0),C(0,3)代入得，b=3 [k=-1 解得b=3 ∴.直线BC的解析式为y=-x+3 如图，设P-1+3),0<1<3,则M,-+21+) 试卷第77页，共3页 :抛物线对称轴为直线x=1,MN⊥y轴 .点M和点N关于对称轴对称 .N2-4,-+21+3) PM=-t2+21+3-(-t+3)=-t2+3tMN=|2-t-t=|2-21 PM =IMN f+3=-24 f+31=2-20)或+3=2-2刘 当+3=2-20时，整理得-21-1=0 解得1=1+2,5=1-2 (舍去) .P+2,2-2) 当-+31=)（2-20）时，整理得-4+1=0 解得5-2+V5 (舍去)，4=2-5 P2-5,5+, 综上所述，点P点坐标为 +5,2-2)威2-5,5+ =x2-4x-5 4.如图，抛物线 与”轴交于小B两点（点4在点B的左侧），点C在抛物 试卷第78页，共3页 线上且横坐标为6. (I)求点A、B、C的坐标； (2)点D在抛物线上且与点C关于对称轴对称，连接AC、BC、CD,在抛物线上是否存在点 4 P,使得S,D-Sc,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案11-10)，B(50)C(6,7) ②存在点P,使得点P满足要求，点P的坐标为2+214刊或2-2314)或-10)或 (5,0) y=0 y=x2-4x- ,即可得点小B的坐标，将X=6代入 =x2-4x-5 【分析】将 代入 即可得点C的坐标： 由点A、BC的坐标，可得△ABC的面积与抛物线的对称轴，从而得△PCD的面积及D点 坐标，得CD=8,再根据△PCD的面积即可求得点P的坐标， 【详解】(1)解：令y=0,则x2-4x-5=0, 解得x=-1或5， .A(-1,0)B(5,0) ,点C的横坐标为6， 六当x=6时，y=6-4×6-5=7, ∴.C(6,7) 试卷第79页，共3页 (2)解：如图， P)A\O BP)主 A(-1,0),B(5,0), ∴AB=6,抛物线的对称轴为x=2, “点D在抛物线上且与点C关于对称轴对称， C(6,7） 对称轴为r=2, D(-27）,点C到轴的距离为 .CD=8, 41 4×1x6×7=28 AB×y=3×2 xCD,-x8,-28,即，-=7， 当点P在CD上方时，，~7=7 ,即2-4x-5-7=7, 解得x=2+V23或2-V23 ∴P(2+V23,14,p(2-V2314) 当点P在CD下方时，7-，=7 即=0 .P(-1,0),P(5,0) 综上，存在点P,使得点P满足要求，点P的坐标为2+2压.14)或2-2314)成(-10)或 (5,0) 【点晴】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特 试卷第80页，共3页 征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度 时，要考虑加绝对值符号。 5.如图，已知抛物线y= +b+c与轴相交于A-60,BL0.与y销相交于点C 直线I⊥AC,垂足为C (1)求该抛物线的表达式： (2)若直线I与该抛物线的另一个交点为D,求点D的坐标： P(m,n） (3)设动点 在该抛物线上，当∠P1C=45°时，求m的值。 【答案】山)y=2 2+2x-3 21 -1,-5) (2)点D的坐标为 (3)m=-5或3 【分析】(1)用待定系数法即可求解： 1 2 (2)证明 CED∽△40C' 则DECE 即=22，即可求解： OCAO 3 6 (3)延长AP交直线I于点M,当∠PAC=45°时，证明△ACM为等腰直角三角形，利用 AC=CM,即可求出点M的坐标，再利用点M的坐标，求出直线AM的解析式，再与抛 物线解析式联立即可求出m的值. 【详解】(1)解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： 1 ×36-6b+c=0 2 b= 2+b+c=0 ,解得： 2 C= -3 试卷第81页，共3页 1 ∴抛物线的表达式为y= 2)解：过点D作DE⊥y轴于点E, 而直线I1AC,A0⊥y轴， 0 DE 图1 .∠CDE+LDCE=90°，∠DCE+∠0CA=90°， .∠CDE=∠OCA. .·∠AOC=∠CED=90°， .△CED∽△AOC, DE CE :OC AO' 4(-60B00)C(0,-3) .A0=6,0C=3, 设D52产+-3 12,5 则DE=-CE=3 2 1 22,解得、0（舍去）或” -Y 3 6 x=0 5 当x==1时，y=7x2+2x-3=-5, -1,-5) 故点D的坐标为 (3)设直线I的表达式为y=x+b 试卷第82页，共3页 将C0-3)D(-15) 代入得： b=-3 [b=-3 -k+b=-5,解得：k=2 ∴直线1的表达式为y=2x-3, 延长AP交直线I于点M,设点 M(t,2t-3) ∠PAC=45°，直线I⊥AC, ∴.△ACM为等腰直角三角形，则AC=CM, ÷6+3”=-0+(21-3+3,解得1=3或1=-3， 点M的坐标为3)或3-) 3,3) 当M的坐标为 ,3》时，设直线1M的表达式为 y=太x+A,如图所示 Y 将M(3),4(-6,0代入得： 3k+b=3 -6队+b=0,解得：b=2, 直线AM的表达式为y=3r+2, 1 5 1 令)+x3x+2,解得：X=6(舍去)或x= 2 3 5 .点P的横坐标m= 3 试卷第83页，共3页 当4的坐标为3-9) 时，设直线4M的表达式为'=，x+6,如图所示 M 将M(-3,-).4(-60) 代入得： -3k2+b2=-9 k2=-3 -6k2+b2=0,解得：b2=-18, ∴.直线AM的表达式为y=-3x-18, 1 5 令2+2-3=-3x-18,解得：x-6(舍去)或x=-5 .点P的横坐标m=-5: 5 综上，m=-5或3· 6.如图，抛物线'=r-2x+k C(0,-3) 与x轴交于A,B两点，与y轴交于 (1)设抛物线'=-2x+ 的顶点为M,求四边形 BMC 的面积. (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使得四边形ABDC的面积最大？若存在，请求 出D的坐标；若不存在，说明理由. 试卷第84页，共3页 y=x2-2x+k BCO (3)在抛物线 上求点，使得 是以BC为直角边的直角三角形。 【答案】(1)9： 315 22-4 682,5)或4) 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点M的坐标和点A,点B的 坐标，连接AC,CM,BM,OM ScM=SA+S+S0M列式求解即可： ,根据 2)连接4C,CD,BD,0D,设Dd.d-21-30<d<3),根据 .ac=3c+5n+Sm可有5a-d- 32,75 -2d-2+ 8,据此可得答案： (3)分两种情况：点B为直角顶点和点C为直角顶点，分别画出示意图，讨论求解即 可 【详解】(1)解：把点C的坐标代入抛物线的解析式得k=-3, 六抛物线的解析式为)=r-2x-3=(x--4 ∴抛物线的顶点坐标为4)，即M(L4) 在少=2-2- 3中，当=0时，-2x-3=0,解得=-段=3。 .A(-1,0),B(3,0) OA=l,0B=3, c0-3) .0C=3: 如图所示，连接AC,CM,BM,OM, 试卷第85页，共3页 M SAACMB=S△Aoe+S△oCw+SABOM 2X1x3+x1x3+号×3x4 1 2 ≥9； (2)解：如图所示，连接1C,CD,BD,0D,设D(d,d-2d-3)0<d<3) SAABDC=S△Moc+S△ocD+S△BoD 1×3+1x3d±号×3-12+2d+3) 、3 9 2+2d+6 2 2 =-325 d-2)+8, 3 20, 3 :.当d=2时，SMBc有最大值， -2a--22 此时 试卷第86页，共3页 315 点D的坐标为24： (3)解：如图所示，当点B为直角顶点时，设直线BH交y轴于点H, 0 ·B30),C0-3) ∴.0B=OC=3, ∠B0C=90°， .∠0BC=∠0CB=45°， :∠CB0=90° .∠OB0=∠CB0-∠OBC=45°， 又∠BOH=90°， “△BOH是等腰直角三角形， ∴.OH=OB=3, :H(0,3) 设直线B0的解析式为 =K+b'(K'≠0) [3k'+b'=0 lb=3, [k'=-1 b=3, ∴.直线BQ的解析式为y=-x+3 试卷第87页，共3页 y=-x+3 x=-2「x=3 联立得y=x2-2x-3,解得y=5或y=0, -2,5) ∴.点Q的坐标为 如图所示，当点C为直角顶点时， :直线y=-x+3与直线BC垂直，直线CQ与直线BC垂直， ∴.直线CQ与直线y=-x+3平行， ∴可设直线CO的解析式为y=-x+b", c0-3) b”=-3, ∴.直线CQ的解析式为y=-x-3, y=-x-3 x=1x=0 联立得y=x2-2x-3,解得y=-4或y=-3, 1,-4) 点Q的坐标为 综上所述，点Q的坐标为-2,5)或么，4) 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=r+r+c经过点1(4,0)、点B(08),直线 AC与y轴交于点 (0,-4) P是抛物线上A、B两点之间的一点(P不与点A、B重合)， 过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D,过点P作PE⊥AC于点E. 试卷第88页，共3页 (1)求抛物线所对应的函数表达式. (2)若四边形PBCD为平行四边形，求点P的坐标. (3)求点卫E横坐标的最大值 【答案】)=r2+2xr-8 (2)点P的坐标为 -3,-5) 17 3)8 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)先求得直线AC所对应的函数表达式，设点 (m,m2+2m-8) 利用平行四边形的性 质列式计算即可求解： (3)设点E的横坐标为n,过点E作EF⊥PD于点F,用m表示出的二次函数，利用二 次函数的性质求解即可. 【详解】)解：抛物线y=+bx+经过点4(4,0)、点B(0,-8), 16-4b+c=0 c=-8 b=2 解得：c=-8, 二这条抛物线所对应的函数表达式为》=+2x-8 (②)解：设直线4C的解析式为：)=+”，点1(40，点C0,4 在直线4C上， 试卷第89页，共3页 -4k+t=0 ∴.t=-4 k=-1 解得：t=4, .直线AC所对应的函数表达式为：y=-x-4, y=x2+2x-8 ,点P在抛物线 上， ∴设点P(m,m2+2m-8) PD∥y轴， D(m,-m-4) 点 PD=-m-4-（m2+2m-8)=-m2-3m+4 四边形PBCD是平行四边形， .PD=BC,即-m2-3m+4=4, m1=0m2=-3 解得： :点P不与点B重合， .m=-3, 点P的坐标为3-) 3)解：：点4(-4.0)与C04) ，点 ∴OA=0C, ·∠A0C=90°， ∴.∠AC0=45°， PD∥y轴， .∠PDE=∠AC0=45°. 试卷第90页，共3页 PE⊥AC于点E, .∠PED=90°， ∴.∠PDE=∠DPE=45° 设点E的横坐标为，如图，过点E作EF⊥PD于点F, A B :△DPE是等腰直角三角形， :EF-PD,即a-m=PD, =m+号0m+m-3+4++ ,-4<m<0, 1 17 .当m=-2时，n最大，且n的最大值为8· 试卷第91页，共3页 专题03二次函数的应用暑假预习讲义 1. 掌握利用二次函数解决实际应用题完整解题流程：审题梳理数量关系、合理设定自变量、列出二次函数解析式、结合生活场景划定自变量取值范围，最后借助顶点性质求解最值并检验结果合理性。 2. 吃透本节三大必考题型解题思路：矩形篱笆围建最大面积问题、商品调价最大销售利润问题、抛球、拱桥、喷水等抛物线轨迹实物模型问题，能依托图像与函数式子互相转化解题。 3. 熟练运用配方法、顶点公式求取二次函数最大（小）值，牢记核心规则：顶点最值只有落在自变量取值区间内才有效，区间外最值需要取端点数值计算，杜绝直接套用顶点坐标的错误习惯。 4. 学会在拱桥、投篮类曲线问题中自主建立平面直角坐标系，将实物点位转化为坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，进而求解高度、跨度、运动时长等实际量。 5. 梳理本节高频易错点：忽略自变量实际取值限制、顶点最值与区间端点最值混淆、坐标系建立不合理导致列式出错；逐步强化数学建模与数形结合思维，为二次函数压轴综合题型筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.实际问题与二次函数的联系 2.最大面积问题 3.最大利润问题 4.抛物线型实际运动轨迹 5.最值分类讨论 6.二次函数综合 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.图形问题(常考) 2.图形运动问题(常考+重点) 3.拱桥问题(常考) 4.销售问题(常+重难点) 5.投球问题(常考) 6.喷水问题(常考) 7.增长率问题 8.其他实际应用问题 9.线段周长问题 10.面积问题 11.角度问题 12.特殊三角形问题 13.特殊四边形问题 14.相似三角形问题 强化题型 解答题7题 知识点总览：二次函数应用题两大核心类型 实际问题求解思路通用流程： 1 审题，找到变量，设自变量x、函数y； 2 根据等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a0)； 3 确定自变量x的实际取值范围（重中之重，极易遗漏）； 4 判断顶点横坐标是否在取值范围内，分情况求最大值 / 最小值； 5 结合问题写出最终答案。 核心原理： a>0，抛物线开口向上，顶点处取得最小值； a<0，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。 ⚠️若顶点横坐标不在自变量取值区间内，则最值出现在区间端点。 知识点1:实际问题与二次函数的练习转化 知识点 2 类型一：最大面积问题 常见场景：矩形面积、围栏围场地、窗户、隧道截面、内接多边形面积等。 解题思路 1.用含x的代数式表示图形两条关键边长； 2.根据面积公式建立二次函数； 3.根据限制条件写出x取值范围； 4.利用顶点求面积最值。 典型模型：围栏问题 用总长固定的篱笆围成矩形场地（一边靠墙），设垂直墙边长为x，写出面积S关于x的函数，求最大面积。 ⚠️易错：篱笆长度不要重复计算靠墙的一边。 知识点 3 类型二：最大利润问题（考试高频） 相关等量关系： 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润 销售量 两类常见设问 涨价模型：售价上涨，销量随之减少； 降价模型：售价下调，销量随之增加。 标准步骤 1 设涨价（降价）x元； 2 表示出新单价、单件利润、变化后的销售量； 3 列出总利润的二次函数； 4 根据售价、销量为正数，确定自变量取值范围； 5 求函数最大值。 ⚠️重要提醒：部分题目要求售价为整数，求出顶点后需要检验取邻近整数对比利润。 知识点 4 类型三：抛物线型实际运动轨迹（抛物线建模） 1.常见场景：投篮、抛小球、喷泉、桥梁拱洞、隧道、炮弹飞行。 核心思路：建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求解高度、水平距离等问题。 2.常见设问： 求抛物线解析式； 求最大高度； 判断物体能否通过指定位置； 求落地时水平距离。 3.坐标系建法技巧： 优先把原点放在顶点、起点或者地面交点，简化计算。 知识点5最值分类讨论核心表格（预习重点） 设二次函数 y=ax2+bx+c\(a≠0)，顶点横坐标 x0=-，自变量取值范围 m xn 开口方向 顶点位置 最值结论 a>0（开口向上） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最小=；最值大在端点x=m或x=n a>0（开口向上） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而增大；x=m最小，x=n最大 a>0（开口向上） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而减小；x=n最小，x=m最大 a<0（开口向下） x0在区间[m,n]内 x=x0时，y最大=；最小值在端点x=m或x=n a<0（开口向下） x0在区间左侧x0<m 区间内y随x增大而减小；x=m最大，x=n最小 a<0（开口向下） x0在区间右侧x0>n 区间内y随x增大而增大；x=n最大，x=m最小 知识点6二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点7高频易错点汇总 易错知识 错误典型表现 正确标准 忽略自变量取值范围 直接套用顶点公式求最值，不检验顶点横坐标是否在范围内 顶点不在取值区间时，最值只能在区间端点取得 面积 / 利润模型列式错误 混淆边长表达式、利润公式，符号出错 严格牢记：总利润 = 单件利润 × 销量；面积 = 长 × 宽 单位不统一 题目单位不一致直接代入计算 列式前统一所有长度、价格单位 取值忽略实际意义 长度、数量不能为负数，人数、商品数量一般≥0 自变量范围必须满足x>0等现实条件 坐标系建模出错 坐标轴原点随意选取，坐标符号混乱 优先将关键点放在坐标轴上，简化计算 混淆最大、最小值 开口向上强行求最大值，开口向下求最小值 a>0有最小值；a<0有最大值 题型1.图形问题(常考) 【典例】如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为的篱笆围成一个长方形菜园，设边长为，菜园面积为，则与之间的函数关系为________． 【跟踪专练1】．如图，正方形边长为分别为各边上的点且不与顶点重合，，设小正方形的面积为为x，则S关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【跟踪专练2】如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【跟踪专练3】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 题型2.图形运动问题(常考+重点) 【典例】如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【跟踪专练1】如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为_____． 【跟踪专练2】如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【跟踪专练3】如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 题型3.拱桥问题(常考) 【典例】“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 【跟踪专练1】某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 【跟踪专练2】如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为，宽为，隧道的最高点P距地面． (1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式． (2)一辆货车高为，宽，能否从该隧道通过？请说明理由． (3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由． 【跟踪专练3】如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 题型4.销售问题(常+重难点) 【典例】“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，设每箱应降价x元，可列方程为________． 【跟踪专练2】近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【跟踪专练3】某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 题型5.投球问题(常考) 【典例】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 【跟踪专练1】掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 【跟踪专练2】为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式； (2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【跟踪专练3】如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 题型6.喷水问题(常考) 【典例】某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    【跟踪专练2】消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾．一次消防车演练时，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是：，水从距离地面的管道口点喷出，点正下方为车与地面接触点，水流形状如图所示． (1)已知该消防车在距车水平方向处水流达到最高，最高点离地面，求该二次函数的解析式及的长． (2)若消防车停在与建筑有宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 【跟踪专练3】某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1），喷泉的喷头位于圆形水池的中心点O正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内，以水池中心O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点B的坐标为，之后落回水面上的C点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求音乐喷泉水池的半径的长； (3)公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为时，视觉效果最好． ①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出n与m的函数关系式； ②为了控制成本，喷泉的驱动功率与最高点B的纵坐标（最大高度）成正比．原方案的最高点高度为，新方案与原方案的音乐喷泉所在的抛物线的对称轴相同．请你计算新方案需要消耗的功率是原方案的多少倍？ 题型7.增长率问题 【典例】某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为________（要求化成一般式）． 【跟踪专练2】向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【跟踪专练3】为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 题型8.其他实际应用问题 【典例】．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，其中t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）． 【跟踪专练2】如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点与着陆坡上的计分参照点的竖直距离为，水平距离为．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线． (1)求的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度； (2)请通过计算，判断着陆时他能越过点吗？ 【跟踪专练3】问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律． 叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，相关数据如表． 纸杯个数（个） 1 2 3 4 … 纸杯高度（） 9 9.5 10 10.5 … 叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．小天发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化，并在平面直角坐标系中描点，，，等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）： (1)求与之间的函数表达式； (2)小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为的柜子里（图2）．求一摞最多能叠的杯子总数； (3)小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含的代数式表示杯子叠放后的层数． 题型9.线段周长问题 【典例】如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的右侧），交y轴于点C，点于D是线段的中点，点P是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是 ___． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于A、B两点，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D．则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练2】如图，点是抛物线的顶点，点、点在抛物线上，轴，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型10.面积问题 【典例】如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 【跟踪专练2】已知抛物线与轴交于点，其顶点为点，与轴交于两点（在的左侧），连接，若在抛物线上存在一点，使得，则的坐标是（   ）． A． B． C． D． 题型11.角度问题 【典例】如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是________________________． 【跟踪专练1】若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，点C，D均在抛物线上，其中点C的横坐标为，点D在直线的下方，当时，点D的坐标是______． 题型12.特殊三角形问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【跟踪专练1】已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，，，…都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为(　　) A．20 B． C．22 D． 题型13.特殊四边形问题 【典例】如图，边长为8的正方形的中心在直角坐标系的原点O，轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是_____． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 题型14.相似三角形问题 【典例】如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 _____________． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点O为的中点，．如图2所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A、B、C．若，，则a的值为_________． 【跟踪专练2】．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 2．如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 4．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于． (1)设抛物线的顶点为M，求四边形的面积． (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使得四边形的面积最大？若存在，请求出D的坐标；若不存在，说明理由． (3)在抛物线上求点Q，使得是以为直角边的直角三角形． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，直线与y轴交于点．P是抛物线上A、B两点之间的一点（P不与点A、B重合），过点P作轴，交直线于点D，过点P作于点E． (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)若四边形为平行四边形，求点P的坐标． (3)求点E横坐标的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $