2.1.2等式性质与不等式性质—不等式的性质导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“等式性质与不等式性质——不等式的性质”，引导学生类比等式性质探索并掌握不等式7条基本性质，通过知识回顾衔接实数大小比较、作差法等旧知，搭建新知初探的学习支架，帮助理解不等式与等式性质的异同。 资料亮点在于设计合作探究环节，通过小组讨论分析性质异同及条件陷阱，结合作差法证明培养逻辑推理，典例精析与当堂达标覆盖选择、证明等题型提升应用能力，思维导图梳理性质及前提，学习反思促进总结，发展学生的推理能力与应用意识。

人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.2《等式性质与不等式性质——不等式的性质》 导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题： 2.1 等式性质与不等式性质——不等式的性质 课 时： 第2课时（共2课时） 课 型： 新授课 班 级： 姓 名： 🎯 【课标要求】 1. 通过类比等式的基本性质，探索并掌握不等式的7条基本性质，理解不等式与等式性质的异同； 2. 能运用不等式性质对式子进行变形，并判断相关命题的真假； 3. 能利用不等式性质证明简单不等式、求代数式的取值范围，发展逻辑推理素养。 ⭐ 【重点难点】 📌 学习重点 不等式的7条基本性质及其简单应用 🧨 学习难点 性质4（可乘性）的分类讨论；利用性质证明不等式 📖 【预习导学】 ◆ 一、知识回顾（类比等式） 1. 现实世界的数量关系中，相等关系用等式表示，不等关系用 __________ 来表示。 2. 实数大小比较的基本事实： a > b ⇔ __________； a = b ⇔ __________； a < b ⇔ __________。 比较两个实数的大小，通常转化为比较它们的 __________ 与 0 的大小关系。 3. 作差比较法的一般步骤：作差 → __________ → 判断差与0的大小 → 得出结论。 4. 重要不等式：对任意 a,b∈R，有 a² + b² ≥ __________，当且仅当 __________ 时等号成立。 ◆ 二、新知初探（不等式的基本性质） 1. 【等式性质回顾】等式的5条基本性质： ① 若 a = b，则 __________（对称性）；② 若 a = b，b = c，则 __________（传递性）； ③ 若 a = b，则 a ± c = __________；④ 若 a = b，则 ac = __________； ⑤ 若 a = b，c ≠ 0，则 __________。 2. 【性质1·对称性】 a > b ⇔ __________。 3. 【性质2·传递性】 a > b，b > c ⇒ __________。 4. 【性质3·可加性】若 a > b，则 a + c __________ b + c。由此可得移项法则：不等式中任意一项改变 __________ 后可移到另一侧。 5. 【性质4·可乘性】若 a > b，则： • 当 c > 0 时，__________（不等号方向不变）； • 当 c < 0 时，__________（不等号方向______）。 6. 【性质5·同向可加性】若 a > b，c > d，则 __________。 7. 【性质6·同向正数可乘性】若 a > b > 0，c > d > 0，则 __________。 8. 【性质7·正数乘方性】若 a > b > 0，n∈N，n≥2，则 __________。 ◆ 三、预习疑惑 _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 🔍 【合作探究】 🧠 以小组为单位，围绕下列问题展开讨论，寻找不等式性质背后的「为什么」！ ◆ 探究一：等式与不等式性质的「同」与「异」 【问题1】若 a = b，则 b = a；若 a > b，是否也有 b > a？请举「天平」或「身高」的例子说明不等式的「对称性」有何特点。 【问题2】等式两边同乘任意数，等式仍成立；不等式两边同乘一个数，结论是否也一样？若同乘负数，会发生什么？请用具体数字举例验证。 【思考💡】你能用「作差法」严格证明：当 c < 0、a > b 时，ac < bc 吗？（提示：ac − bc = c(a − b)，分析差的符号） ◆ 探究二：同向可加与同向可乘——条件与陷阱 【问题3】性质5告诉我们「同向不等式可以相加」。那么「同向不等式可以相减」吗？即：若 a > b，c > d，能否推出 a − c > b − d？请举例或证明说明。 【问题4】性质6要求 a > b > 0，c > d > 0 才能推出 ac > bd。若去掉「都是正数」这一条件（例如含负数），结论还成立吗？请举一个反例，并总结使用性质6时需注意什么。 ◆ 探究三：真假命题辨析——绕开易错点 【问题5】判断下列命题的真假，若为假命题请举一反例： ① 若 a > b，则 ac² > bc²； ② 若 a > b > 0，则； ③ 若 a < b < 0，则 a² > b²。 💡 【典例精析】 🎯 典型例题，精讲精练——学会运用不等式性质进行推理与变形！ 📘 例1（不等式性质辨析·单选） 已知实数 a、b、c 满足 a > b，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. a² > b² B. ac > bc C. ac² > bc² D. a + c > b + c 【解析】__________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 📗 例2（利用性质判断命题·多选） （多选）如果 a < b < 0，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. a + c < b + c C. a² < ab D. a·|c| < b·|c| 【解析】__________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 📙 例3（利用性质证明不等式·能力提升） 已知 a > b > 0，c < d < 0，e < 0，求证： . 【证明】__________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ✏️ 【当堂达标】（建议用时：10分钟） ⏰ 趁热打铁！独立完成下列小题，检验本节课学习效果（满分42分）。 1. 若 a、b 为实数，且 a > b，则下列各式恒成立的是（ ）（8分） A. (a−1)² > (b−1)² B. a³ > b³ C. 2a < 2b D. a² > b² 2. （多选）已知 a > b > 0，则下列不等式中正确的是（ ）（10分） A. a − b > 0 B. a² > b² C. D. a + c > b + c 3. 已知 1 ≤ a ≤ 3，2 ≤ b ≤ 5，试分别求 a + b 与 a − b 的取值范围。（12分） 【解析】 4. ★ 能力提升：已知 a > b > 0，c < 0，求证： 。（12分） 【证明】 📝 【课堂小结 & 课后作业】 🧠 知识框架 请用思维导图梳理本节不等式的7条性质，并注明每条性质使用的前提条件： 📚 课后作业 【必做】教材 P42 习题 2.1 第 5、6、7 题； 【选做】利用不等式性质证明：若 a > b > 0，则> ； 【拓展】查阅「柯西与不等式」的相关历史，写100字数学小随笔。 🌟 【学习反思】 今日收获： _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 存在困惑： _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ✍️ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯。 🏆 参考答案与解析 🏆 ✍️ 做完后再对答案，效果最佳！ 📖 一、预习导学答案 【知识回顾】 1. 不等式 2. a − b > 0；a − b = 0；a − b < 0；差 3. 化简（变形） 4. 2ab；a = b 【新知初探】 1. ① b = a；② a = c；③ b ± c；④ bc；⑤ 2. b < a 3. a > c 4. ＞（即 a + c > b + c）；符号 5. ac > bc；ac < bc；改变 6. a + c > b + d 7. ac > bd 8. an > bn 🔍 二、合作探究参考 【问题1】 若 a > b，则 b > a 不成立，不等式具有单向性（反对称性）。举例：小明身高170cm、小红身高160cm，则小明身高＞小红，但不能反过来说小红＞小明。 【问题2】 不等式不具有「同乘任意数方向不变」的性质：同乘正数方向不变，同乘负数方向必须改变。例如 3 > 2，两边同乘 −1 得 −3 < −2，方向发生反转。 【思考】 由 a > b ⇒ a − b > 0，又 c < 0，故 c(a − b) < 0，即 ac − bc < 0 ⇒ ac < bc。 【问题3】 同向不等式不能直接相减。反例：5 > 3，4 > 1，但 5 − 4 = 1 并不大于 3 − 1 = 2（即 1 < 2），结论不成立。 【问题4】 不成立。反例：a = 2，b = −3，c = 1，d = −4，则 ac = 2，bd = 12，ac < bd。使用性质6必须同时保证「同向」和「均为正数」两个前提。 【问题5】 ① 假（当 c = 0 时 ac² = bc²，等号成立）； ② 真（两边同除以正数 ab，得，即）； ③ 真（由 a < b < 0 得 |a| > |b| > 0，由性质6平方得 a² > b²）。 💡 三、典例精析详解 例1 【答案】D 【解析】 A：反例 a = 1，b = −2，则 a² = 1 < 4 = b²；B：当 c < 0 时，ac < bc；C：当 c = 0 时，ac² = bc² = 0；D：由性质3（可加性），两边同加 c，得 a + c > b + c，恒成立。故选 D。 例2 【答案】AB 【解析】 A：由 a < b < 0，两边同除以正数 ab，得（A正确）；B：由性质3两边同加 c，得 a + c < b + c（B正确）；C：由 a < b 且 a < 0，两边同乘负数 a，不等号改变方向，得 a² > ab（C错误）；D：当 c = 0 时 a·|c| = b·|c| = 0（D错误）。故选 AB。 例3 【证明】 第一步（比较分母大小）：因为 c < d < 0，所以 −c > −d > 0；又 a > b > 0，由性质6（同向正数可加）：a + (−c) > b + (−d) > 0，即 a − c > b − d > 0。 第二步（取倒数）：由 a − c > b − d > 0，两边同除以正数 (a − c)(b − d)，得。 第三步（同乘负数 e）：又 e < 0，由性质4两边同乘负数 e，不等号方向改变，得 。 证毕。 ✏️ 四、当堂达标详解 1. 【答案】B 【解析】 A：反例 a = 1，b = −3，(a−1)² = 0 < 16 = (b−1)²；B：函数 y = x³ 在 R 上单调递增，故 a > b ⇒ a³ > b³（正确）；C：y = 2ˣ 为增函数，故 2ᵃ > 2ᵇ；D：a = 1，b = −2 时 a² = 1 < 4 = b²。故选 B。 2. 【答案】ABD 【解析】 A：由 a > b 得 a − b > 0（正确）；B：a > b > 0 由性质7得 a² > b²（正确）；C：a > b > 0 两边同除 ab 得 （C错误）；D：由性质3两边同加 c 得 a + c > b + c（正确）。故选 ABD。 3. 【解析】 a + b 的范围：由 1 ≤ a ≤ 3，2 ≤ b ≤ 5，据性质5得 1+2 ≤ a+b ≤ 3+5，即 3 ≤ a+b ≤ 8。 a − b 的范围：由 2 ≤ b ≤ 5 得 −5 ≤ −b ≤ −2，据性质5得 1+(−5) ≤ a+(−b) ≤ 3+(−2)，即 −4 ≤ a − b ≤ 1。 4. 【证明】 因为 a > b > 0，两边同除以正数 ab（性质4），得 ，即 > 0。又 c < 0，由性质4，不等式 两边同乘负数 c，不等号方向改变，得 。证毕。 🌟 认真订正，错题整理到错题本，反复回顾哦！加油！💪 ✦ 第 1 页 ✦ 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1.2《等式性质与不等式性质——不等式的性质》 导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题： 2.1 等式性质与不等式性质——不等式的性质 课 时： 第2课时（共2课时） 课 型： 新授课 班 级： 姓 名： 🎯 【课标要求】 1. 通过类比等式的基本性质，探索并掌握不等式的7条基本性质，理解不等式与等式性质的异同； 2. 能运用不等式性质对式子进行变形，并判断相关命题的真假； 3. 能利用不等式性质证明简单不等式、求代数式的取值范围，发展逻辑推理素养。 ⭐ 【重点难点】 📌 学习重点 不等式的7条基本性质及其简单应用 🧨 学习难点 性质4（可乘性）的分类讨论；利用性质证明不等式 📖 【预习导学】 ◆ 一、知识回顾（类比等式） 1. 现实世界的数量关系中，相等关系用等式表示，不等关系用 __________ 来表示。 2. 实数大小比较的基本事实： a > b ⇔ __________； a = b ⇔ __________； a < b ⇔ __________。 比较两个实数的大小，通常转化为比较它们的 __________ 与 0 的大小关系。 3. 作差比较法的一般步骤：作差 → __________ → 判断差与0的大小 → 得出结论。 4. 重要不等式：对任意 a,b∈R，有 a² + b² ≥ __________，当且仅当 __________ 时等号成立。 ◆ 二、新知初探（不等式的基本性质） 1. 【等式性质回顾】等式的5条基本性质： ① 若 a = b，则 __________（对称性）；② 若 a = b，b = c，则 __________（传递性）； ③ 若 a = b，则 a ± c = __________；④ 若 a = b，则 ac = __________； ⑤ 若 a = b，c ≠ 0，则 __________。 2. 【性质1·对称性】 a > b ⇔ __________。 3. 【性质2·传递性】 a > b，b > c ⇒ __________。 4. 【性质3·可加性】若 a > b，则 a + c __________ b + c。由此可得移项法则：不等式中任意一项改变 __________ 后可移到另一侧。 5. 【性质4·可乘性】若 a > b，则： • 当 c > 0 时，__________（不等号方向不变）； • 当 c < 0 时，__________（不等号方向______）。 6. 【性质5·同向可加性】若 a > b，c > d，则 __________。 7. 【性质6·同向正数可乘性】若 a > b > 0，c > d > 0，则 __________。 8. 【性质7·正数乘方性】若 a > b > 0，n∈N，n≥2，则 __________。 ◆ 三、预习疑惑 _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 🔍 【合作探究】 🧠 以小组为单位，围绕下列问题展开讨论，寻找不等式性质背后的「为什么」！ ◆ 探究一：等式与不等式性质的「同」与「异」 【问题1】若 a = b，则 b = a；若 a > b，是否也有 b > a？请举「天平」或「身高」的例子说明不等式的「对称性」有何特点。 【问题2】等式两边同乘任意数，等式仍成立；不等式两边同乘一个数，结论是否也一样？若同乘负数，会发生什么？请用具体数字举例验证。 【思考💡】你能用「作差法」严格证明：当 c < 0、a > b 时，ac < bc 吗？（提示：ac − bc = c(a − b)，分析差的符号） ◆ 探究二：同向可加与同向可乘——条件与陷阱 【问题3】性质5告诉我们「同向不等式可以相加」。那么「同向不等式可以相减」吗？即：若 a > b，c > d，能否推出 a − c > b − d？请举例或证明说明。 【问题4】性质6要求 a > b > 0，c > d > 0 才能推出 ac > bd。若去掉「都是正数」这一条件（例如含负数），结论还成立吗？请举一个反例，并总结使用性质6时需注意什么。 ◆ 探究三：真假命题辨析——绕开易错点 【问题5】判断下列命题的真假，若为假命题请举一反例： ① 若 a > b，则 ac² > bc²； ② 若 a > b > 0，则 ； ③ 若 a < b < 0，则 a² > b²。 💡 【典例精析】 🎯 典型例题，精讲精练——学会运用不等式性质进行推理与变形！ 📘 例1（不等式性质辨析·单选） 已知实数 a、b、c 满足 a > b，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. a² > b² B. ac > bc C. ac² > bc² D. a + c > b + c 【解析】__________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 📗 例2（利用性质判断命题·多选） （多选）如果 a < b < 0，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. a + c < b + c C. a² < ab D. a·|c| < b·|c| 【解析】__________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 📙 例3（利用性质证明不等式·能力提升） 已知 a > b > 0，c < d < 0，e < 0，求证： . 【证明】__________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ✏️ 【当堂达标】（建议用时：10分钟） ⏰ 趁热打铁！独立完成下列小题，检验本节课学习效果（满分42分）。 1. 若 a、b 为实数，且 a > b，则下列各式恒成立的是（ ）（8分） A. (a−1)² > (b−1)² B. a³ > b³ C. 2a < 2b D. a² > b² 2. （多选）已知 a > b > 0，则下列不等式中正确的是（ ）（10分） A. a − b > 0 B. a² > b² C. D. a + c > b + c 3. 已知 1 ≤ a ≤ 3，2 ≤ b ≤ 5，试分别求 a + b 与 a − b 的取值范围。（12分） 【解析】 4. ★ 能力提升：已知 a > b > 0，c < 0，求证：。（12分） 【证明】 📝 【课堂小结 & 课后作业】 🧠 知识框架 请用思维导图梳理本节不等式的7条性质，并注明每条性质使用的前提条件： 📚 课后作业 【必做】教材 P42 习题 2.1 第 5、6、7 题； 【选做】利用不等式性质证明：若 a > b > 0，则> ； 【拓展】查阅「柯西与不等式」的相关历史，写100字数学小随笔。 🌟 【学习反思】 今日收获： _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 存在困惑： _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ✍️ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯。 ✦ 第 1 页 ✦ 学科网（北京）股份有限公司 $