专题05 命题 （4大知识点+8大题型+强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修一暑假班预习提升讲义

本讲义聚焦高中数学“命题”核心知识点，系统梳理命题的概念（含定义、“若α则β”形式及集合描述）、分类（真/假命题及判断方法）、子集与推出关系（定义、传递性），从基础概念到逻辑关系构建递进式学习支架。 资料亮点在于题型分层设计（判断、改写、真假判断等），方法点拨明确（如命题判断需陈述句且可辨真假），结合实际情境题（如“努力学习”逻辑分析），培养数学思维与表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升应用意识。

2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题05 命题 知识点一、命题的概念： 1、定义：用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题； 2、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； 【注意】 （1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个，要分清哪个是条件哪个是结论 （2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。 （3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题 知识点二、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 知识点三、子集与推出关系： 推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈，＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题． 知识点一、命题的概念 题型01：命题的判断 【方法点拨】命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 1.下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 2.下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 3.下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 4.下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 【答案】② 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题； 对于②：，不能判断真假，故不是命题； 对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题. 故答案为：② 题型02：指出命题的条件和结论 5．命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 【答案】 且 【详解】命题：若，则且， 则条件p：，结论q：且. 故答案为：；且 6.命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是 ． 【答案】这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 【分析】先将命题改写成“如果…，那么…”，的形式，从而可得命题的结论. 【详解】命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”可改写为 “如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直” 故答案为：这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直 7.下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句，是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误. 故选：B. 8.老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 【答案】A 【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可. 【详解】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确. 对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误； 对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误； 对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误. 故选：A 9．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1），互为相反数． （2），． （3），． 10.将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【详解】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 11.写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 【答案】（1）条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等. （2）条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等. （3）条件：a，b都是偶数；结论：是偶数. （4）条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同. （5）条件：；结论：. （6）条件：；结论：方程有实数解. 【分析】根据命题的定义即可得出答案. 【详解】（1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； 条件：两个三角形相似；结论：两个三角形的对应角相等. （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； 条件：四边形是平行四边形；结论：四边形的对角相等. （3）若a，b都是偶数，则是偶数； 条件：a，b都是偶数；结论：是偶数. （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同. 条件：两个实数的积为正数；结论：两个实数的符号相同. （5）若，则 条件：；结论：. （6）若，则方程有实数解. 条件：；结论：方程有实数解. 题型03：命题的改写 【方法点拨】将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 12．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 13.把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 【详解】（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 14.判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 15.将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 【答案】答案见解析． 【分析】确定出命题的条件和结论后改写． 【详解】（1）条件是：两个数的绝对值相等，结论是：它们相等．“若p，则q”的形式： 若两个数的绝对值相等，则它们也相等； （2）条件是：两条线段是一个矩形的两条对角线，结论是：这两条线段相等，“若p，则q”的形式： 若两条线段是一个矩形的两条对角线，则它们相等； （3）条件是：平面上的点在一个角的角平分线上，结论是：这个点到角的两边的距离相等．“若p，则q”的形式： 若平面上的点在一个角的角平分线上，则这个点到角的两边的距离相等； （4）条件是：两个三角形的两个角分别相等，结论是：这两个三角形相似．“若p，则q”的形式： 若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似． 知识点二、命题的真假 题型04：命题的真假判断 【方法点拨】由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 16.在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 【答案】且（答案不唯一） 【详解】由，知同号，即且或且， 故答案为：且（答案不唯一） 17.下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【解题思路】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【解答过程】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C. 18.下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【解答过程】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D. 19.对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【详解】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 题型05：已知命题的真假求参数 【方法点拨】由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 20.设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出的取值范围即可. 【解答过程】解：由题知，则为真命题， 则，故. 故答案为：. 21.若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【解题思路】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【解答过程】若甲、乙命题均为假命题，则， 可得， 所以若甲、乙命题至少有一个是真命题，则或. 故答案为：. 22．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 23．命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】当命题为真命题时，可得，即. 所以当命题为假命题时，可得或. 故答案为：或 知识点三、推出关系及综合提升 题型06：推出关系 24.判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【答案】(1)，但β推不出α (2) (3)，但． 【知识点】指出命题的条件和结论、方程与不等式、整数与整除 【分析】对于（1），可举例分析判断；对于（2），（3）解出方程，结合举反例判断. 【详解】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但β推不出α．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即α推不出β 25.判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 【答案】(1)真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形 (2)假命题， 两个三角形的周长相等两个三角形全等 (3)假命题， (4)真命题，平面内两条直线和均垂直于直线 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据题意，结合平行四边形的性质，全等三角形的性质，以及一元二次方程的解和平行线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）解：假命题，两个三角形的周长相等两个三角形全等. （3）解：假命题，由方程，解得或，所以命题为假命题， 即. （4）解：真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 题型07：综合提升 26.已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】分别求出当命题、为真命题时，实数的取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 27.已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 28.命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 一、填空题 1.下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号） ①若，则x，y互为相反数；    ②面积相等的三角形全等； ③若，则有实数解；    ④若，则． 【答案】①③ 【分析】①叙述正确，为真命题，面积相等的三角形不一定全等，②为假命题；，则③为真命题；若，则，故④为假命题. 【详解】若，则x，y互为相反数，叙述正确，故①为真命题； 面积相等的三角形不一定全等，故②为假命题； 若，则，故有实数解，则③为真命题； 若，则，故④为假命题. 故答案为：①③. 2.下列语句 ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格③2不是素数④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【分析】根据命题的概念即得. 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 3.将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写． 【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 4.能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为 【答案】， 【分析】本题先假设成立，再求出，最后令值即可. 【详解】解：-假设成立，则， 当时，，此时、是不相等的正数， 故命题为真命题的一组，的值为：， 故答案为：， 【点睛】本题考查利用命题的真假求参数值，答案不唯一，是开放性试题. 5.下列命题： ①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根； ②如果，那么除以的余数是或； ③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数； ④已知a，，若，则. 其中是假命题的序号为 . 【答案】③④ 【分析】在的情况下，利用确定方程均有实根，由此可知①正确； 分别在和确定除以的余数，知②正确； 通过反例可确定③④错误. 【详解】对于①，方程为一元二次方程，； 当时，若，则，方程有实根；①正确； 对于②，若，则，则除以的余数是； 若，则，则除以的余数是； 综上所述：如果，那么除以的余数是或，②正确； 对于③，若，，，则是的倍数，但此时均不是的倍数，③错误； 对于④，若，则，④错误. 故答案为：③④. 6.若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 7.若和或都是假命题，则的范围是 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 8.命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【解题思路】根据数集之间的关系判断真假即可. 【解答过程】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真. 9.已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【解答过程】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 10.命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 11.命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 【答案】满足满足 【分析】分析可知所有满足条件的元素都满足条件，结合子集关系分析得解. 【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足. 故答案为：满足满足. 12.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题 13.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【解题思路】根据命题的定义即可求解. 【解答过程】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D. 14.下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 15.关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意； 假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题； 综上，只有命题乙为假命题，符合题意. 故选：B. 16.设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或者p假q真，由此列出不等式，从而可得出答案. 【详解】解：若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真， 当p真q假，则，解得， 或，无解， 综上，. 故选：C. 三、解答题 17.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. （1）实数的平方是非负数； （2）等底等高的两个三角形是全等三角形； （3）当 时， ； （4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 【答案】答案见解析 【分析】找到原命题的条件部分和结论部分，进而将命题改写成“若p，则q”的形式. 【详解】（1）若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题； （2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不符合全等三角形的条件； （3）若，则，是假命题，比如若，则 ； （4）若一个点在一个角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等，是真命题. 【点睛】本题考查命题及其真假的判断，把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论不太明显，需要补充条件，需要注意的是命题改写的形式不唯一. 18．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解题思路】根据命题的概念和命题的形式，对（1）（2）（3）逐一进行求解即可. 【解答过程】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 19.已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，可列出不等式，求解即可得出答案； （2）根据真假，可列出关于的不等式，进而可求出答案. 【详解】（1）∵关于的方程有实数根，∴，即， ∴若q为真命题，实数a的取值范围为：. （2）∵为真命题，为假命题， ∴，解得. ∴. 20. 设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 21. 给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据p为真，对进行分类讨论，即可求出a的取值范围； （2）先根据为真命题，求出的范围，再根据p与q都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题，则一真一假，即可求出的取值范围. 【详解】解：（1）若p为真命题，即对于任意实数都有恒成立， 当时，满足题意， 当时，则 ， 解得：， 综上所述：； （2）若为真命题，即关于的方程有实数根， 则， 解得：， 若p与q都是假命题， 则， 解得：， 若p与q中至少有一个为真命题， 则； （3）若p与q中有且仅有一个为真命题， 则或， 解得：或， 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题05 命题 知识点一、命题的概念： 1、定义：用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题； 2、命题的表示方法： 命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； 【注意】 （1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个，要分清哪个是条件哪个是结论 （2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可。 （3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题 知识点二、命题的分类： 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段. ③真命题的确定：直接法和反证法. 知识点三、子集与推出关系： 推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈，＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题，只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题． 知识点一、命题的概念 题型01：命题的判断 【方法点拨】命题的判断方法： 判断一个语句是不是命题,关键看两点:第一,是不是陈述句,第二,是否可以判断真假,这两个条件缺一不可。一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题。 1. 下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 2.下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 3.下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 4.下列语句不是命题的是 ．（填序号） ①若，，则；②；③． 题型02：指出命题的条件和结论 5．命题：若，则且，条件p： ，结论q： . 6.命题“平行四边形的对角线既互相平分，又互相垂直”的结论是 ． 7.下列语句是命题的是（    ） A．是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 8. 老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 9．指出下列命题中的条件p和结论q． (1)若，则x，y互为相反数． (2)如果，则． (3)当时，． 10.将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 11.写出下列命题的条件和结论. （1）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等； （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等； （3）若a，b都是偶数，则是偶数； （4）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同； （5）若，则； （6）若，则方程有实数解. 题型03：命题的改写 【方法点拨】将含有大前提的命题改写为“若,则”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件中。改写前后命题的真假不发生变化。 12．命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 13.把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 14.判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 15.将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）绝对值相等的数也相等； （2）矩形的对角线相等； （3）角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）两角分别相等的两个三角形相似. 知识点二、命题的真假 题型04：命题的真假判断 【方法点拨】由命题的条件通过推理一定可以得出命题的结论,则该命题为真命题; 由命题的条件通过推理不一定能得出命题的结论,则该命题为假命题。 16.在横线上填上一个结论，使命题“已知为实数，若，则 ”是假命题． 17.下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 18.下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19.对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 题型05：已知命题的真假求参数 【方法点拨】由命题的真假确定参数的取值范围问题的步骤：第一步,明确题设条件的含义；第二步,将问题转化为不等式恒成立问题；第三步,利用恒成立问题的求解方法求出参数的取值范围。 20.设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 21.若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 22．已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 23．命题存在实数，使得能成为三角形的三边长.若命题为假命题，则的取值范围是 . 知识点三、推出关系及综合提升 题型06：推出关系 24.判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 25.判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 题型07：综合提升 26.已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 27.已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 28.命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 一、填空题 1.下列四个命题，其中真命题是 ．（填序号） ①若，则x，y互为相反数；    ②面积相等的三角形全等； ③若，则有实数解；    ④若，则． 2.下列语句 ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格③2不是素数④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 3.将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式 . 4.能够说明“存在不相等的正数，使得”是真命题的一组的值为 5.下列命题： ①如果实系数一元二次方程满足，那么这个方程有实根； ②如果，那么除以的余数是或； ③设，如果是的倍数，那么中至少有一个是的倍数； ④已知a，，若，则. 其中是假命题的序号为 . 6.若和或都是假命题，则的范围是 7.若和或都是假命题，则的范围是 8.命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 9.已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 10.命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 11.命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 12.已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 二、选择题 13.下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 14.下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 15.关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 16.设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 三、解答题 17.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假. （1）实数的平方是非负数； （2）等底等高的两个三角形是全等三角形； （3）当 时， ； （4）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 18．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 19.已知 ，：关于的方程有实数根. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p为真命题，q为假命题，求实数的取值范围. 20. 设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 21. 给定两个命题，p：对于任意实数都有恒成立；q：关于的方程有实数根； （1）若p为真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p与q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围； （3）如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $