北京市第四中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

初一数学 （试卷满分为110分，考试时间为100分钟） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．下列各数中，无理数是（ ） A． B． C． D． 2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线，若，则（ ） A． B． C． D． 5．下列运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，以正东方向为x轴正方向、正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，已知北京四中的坐标为，那么北京四中道元校区的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是（ ） A．19 B．29 C．-1 D．1 8．下列调查中适合采取全面调查的是（ ） A．检测“神舟23号”载人飞船的零件的质量是否合格 B．检测一批LED灯的使用寿命 C．检测一批家用轿车的抗击能力 D．了解某市居民的月平均收入 9．下列命题是真命题的有（ ）个 ①同位角相等； ②垂线段最短； ③经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④0的平方根与算术平方根都是0； ⑤1是1的一个平方根； ⑥如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于G，交于H，给出下列结论： ① ② ③ ④ 其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．若，则__________． 12．若，，则__________． 13．北京四中的校园建筑以正六边形为标志性设计元素，如图1为道元校区的元素广场，图2为有公共边的两个正六边形，则__________． 14．某兴趣小组研究了5个班级的平均身高和平均体重，并画成了如图所示的散点图，观察可以发现，去掉点__________后，剩下的4个点大致分布在一条直线附近． 15．已知，则__________． 16．已知，将含有的直角三角板按如图方式摆放，其中，，与的角平分线交于点G，则__________． 17．关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 18．已知博物馆有四个展厅，分别为A，B，C，D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 三、解答题（本大题共8小题，共64分） 19．（20分） （1）计算：． （2）解方程组：． （3）解不等式组：． （4）已知，求代数式的值． 20．（5分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移n个单位长度，再向下平移n个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度，）． （1）当时，在图中画出平移后的，并直接写出各顶点的坐标； （2）当三个顶点中恰有两个在坐标轴上时，直接写出n的值． 21．（6分）某校七年级学生共600人，为进一步了解七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了50名学生进行一分钟跳绳次数测试，测试结果一分钟跳绳次数（x）水平划定为：不合格；合格；良；优．现以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表、频数分布直方图和扇形图，如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 第一组 6 第二组 8 第三组 a 第四组 18 第五组 6 请结合图表完成下列问题： （1）表中的__________，并将频数分布直方图补充完整； （2）扇形统计图中__________，“第一组”所对应的圆心角的度数是__________； （3）根据以上调查结果，估计该校七年级学生中一分钟跳绳成绩达到良及以上有多少人． 22．（6分）在2026年5月举办的北京四中道元校区第三届艺术节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，相关进价和售价情况如表所示． 校服熊 校服兔 进价（元／个） 50 52 售价（元／个） 55 59 （1）校学生会在艺术节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）． （2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，学生会结算全天所得全部利润不少于2036元，那么校学生会中午需要紧急采购“校服熊”多少个？“校服兔”多少个？ 23．（5分）在数学学习中，运用整体思想经常能将运算变得简单．例如解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知a，b，c满足，则__________； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为__________； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 24．（7分）已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． （1）若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； （2）当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． （3）分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 25．（7分）我们已经学习了平方差公式，下面我们来研究其更一般的形式——“等幂差”公式，并应用“等幂差”公式解决问题． 【旧知回顾】平方差公式，立方差公式． （1）因式分解：__________； 【发现规律】 （2）化简：__________； （3）猜想：__________； 【新知运用】 （4）证明：是6的倍数； （5）证明：对任意正整数n，都是21的倍数． 26．（8分）如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． （1）若，则__________； （2）如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 四、附加题（本大题共3小题，共10分） 1．（3分）各边长皆为正整数，且最大边长为n的三角形称为“n阶整三角形”． （1）5阶整三角形有__________个； （2）n阶整三角形有__________个． （三边对应相等的三角形视为同一个三角形） 2．（4分）在平面直角坐标系中，对于点和实数a，称点为点P的“a阶变换点”．例如：的“2阶变换点”为． （1）若点P的“3阶变换点”为，则点P的坐标为__________； （2）对于不在坐标轴上的点，若其“a阶变换点”Q的坐标为（k为非零实数），则称点为“a阶变换”的特征点，实数k为“a阶变换”的特征值： ①若为“2阶变换”的特征点，则__________； ②“a阶变换”的特征值为__________（用含a的代数式表示）； ③设点、、、的“a阶变换点”分别为点E、F、G、H，若四边形与四边形相交，则a的取值范围是__________． 3．（3分）给定正整数，称n行n列的数表是一个n阶数表，其中表示第i行第j列的元素．若n阶数表A满足如下性质，则称其为“好数表”： ①主对角线元素为0，即； ②非主对角线元素均为0或1； ③关于对角线对称的元素和为1，即时； ④每列元素之和都大于1． （1）请从下列选项中选出“好数表”：__________ A． B． C． （2）若n阶数表A为“好数表”： ①n的最小值为__________； ②数表A单列元素之和最大为__________（用含n的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $