4.4 两个三角形相似的判定课时训练 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本练习通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，以相似三角形判定定理为核心，从单一概念辨析到复杂几何变换综合，培养推理意识与创新思维，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|相似三角形基本判定（AA、SAS、SSS）|选择题1-5直接考查判定定理，填空题9-10强化基础条件补充，培养推理意识| |中档层|相似与几何图形（正方形、梯形）、函数结合|选择题6-8涉及反比例函数与相似计算，填空题11-12融入梯形吸管模型，发展几何直观| |提升层|相似与旋转、翻折等变换综合|解答题15-16通过旋转探究数量关系，16题拓展不同直角三角形分割，体现创新意识|

4.4 两个三角形相似的判定 课时练习 一、选择题 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形不一定相似的是（　　） A．有一个角是120°的两个等腰三角形 B．有一个角是60°的两个等腰三角形 C．两个等腰直角三角形 D．有一个角是45°的两个等腰三角形 3．已知Rt△ABC，∠BCA=90°，过点C作一条射线，使其将△ABC分成两个相似的三角形.观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．如图，点在的边上，添加一个条件，使得.以下是天翼和徍琛的做法.下列说法不正确的是（　　） 天翼的做法：添加条件. 证明：，，.（两组角对应相等的两个三角形相似） 徍琛的做法：添加条件. 证明：，， .（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．徍琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．徍琛的做法添加的条件有问题 5．如图，是边上一点，连接，则添加下列条件后，仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四个边长均为的正方形如图摆放，其中三个顶点位于坐标轴上，其中一个顶点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图， 为线段 上的一点， 与 交于点， 与 交于点 交 于点， 则下列结论中错误的是 （　　） A．△APD∽△PGD B．△APG∽△BFP C．△PCF∽△BCP D．△CGE∽△CBP 8．如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，若，可添加的一个条件是　 　（填写一个条件即可） 10． 如图，这是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，点P、X、Y是小正方形的顶点，Q为边上一点，连接．若平分这个图形的面积，则的值为　 　． 11．如图，有一个侧面为梯形的容器，高为，内部倒入高为的水．将一根长为的吸管如图放置，若有露出容器外，则吸管在水中部分的长度为　 　． 12．如图，正方形中，点为边上一点，点为左侧一点，，若，，则　 　． 三、解答题 13．如图，△ABC的顶点均为网格中的格点. （1）选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）. （2）证明：△ADE∽△ABC. 14．如图，AC、BD交于点E， ，且BD平分 ． （1）求证： ∽ ． （2）若 ， ， ，求AB的长． 15．已知，在中，，于点，是上一点，满足：；将绕点顺时针旋转，交于点． （1）如图， （ⅰ）试说明：； (ⅱ)若，请探究与的数量关系，并说明理由； （2）如图，若是线段的中点，求的值． 16．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°． （1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由． （2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数． （3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项． 2．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定 【解析】本题主要考查了相似三角形的判定 根据相似三角形的判定定理进行求解． 【解答】A选项，正确，根据两角对应相等来判定； B选项，正确，根据三边对应成比例来判定； C选项，正确，根据两角对应相等来判定； D选项，45°的角可能是顶角，也可能是底角，没有指代清楚，故错误． 故选D． 3．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定；尺规作图-垂线 【解析】【解答】解：①由作图可知：，，又，故与相似，故本图符合题意，①正确； ②由作图可知： ，，又，故与相似，故本图符合题意，②正确； ③由作图可知：以为直径的圆与交于点D，即，，又，故与相似，故本图符合题意，③正确； 故答案为：D． 【分析】①和②根据尺规作图可得：，据此可得，再根据同角的余角相等可得，利用相似三角形的判定定理可得与相似，据此判断①和②；③根据直径所对的圆周角等于，可推出，再根据同角的余角相等得，据此判断③，综合可选出选项. 4．【答案】B 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：根据题意，已知∠A=∠A，再添加一组对应角相等（根据有两个角相等的三角形相似），可以使得△ADB∽△ABC，所以天翼的做法的添加条件以及证明过程没有问题；根据题意，已知∠A=∠A，只能添加可以使得△ADB∽△ABC（根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似），所以徍琛的做法添加的条件及证明过程有问题. 故答案为：B． 【分析】根据已知∠A=∠A，只需添加两组对应边成比例夹角为∠A或者添加一组对应角相等，即可求解。 5．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴，∴A不符合题意； B、∵∠A=∠A，，∴，∴B不符合题意； C、∵无法证出，∴C符合题意； D、∵，∠A=∠A，∴，∴D不符合题意； ​​​​​​​故答案为：C. 【分析】利用相似三角形的判定方法逐项分析判断即可. 6．【答案】B 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：如图： 过点D作DE⊥y轴于点E， 由题意得，∠ABF=∠BFC=90°，AB=FC=1，BF=2，AD=3. ∴. ∵∠EDA+∠EAD=∠EAD+∠BAO=90°，∠FBC+∠ABO=∠ABO+∠BAO=90° ∴∠EDA=∠BAO=∠FBC. ∴△EDA∽△FBC∽△OAB. ，. 即， ∴，， ∴，. ∴， ∴点E的坐标为 ∴ 故答案为：B. 【分析】过点D作DEy轴于点E，由题意可得AB，BF，FC，AD，BC的长，证得△EDA∽△FBC∽△OAB.利用相似三角形的性质可求得ED，AE，OA，OB的长，于是可得点D的坐标，从而可求k值. 7．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∠D=∠D，∠CPD=∠A得△APD~△PGD，故A选项正确； 由∠A=∠B=∠CPD得∠APG+∠AGP=∠APG+∠BPF，得∠BPF=∠AGP，又∠A=∠B，得△APG~△BFP，故B正确； ∠CPD=∠B，∠C=∠C，得△PCF~△BCP，故C正确； 若△CGE~△CBP则∠CGE=∠B，而∠CGE=∠AGP，∠A=∠B，得∠A=∠AGP，题目没有条件能够证明这一点，故D错误； 答案：D. 【分析】分别由题中的条件判断各个选项即可. 8．【答案】A 【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：连接AC与BD相交于H，连接AF、BF、FH，如图， ∵ ∴ 由折叠得： ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ 由旋转得： ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴A、B、F、H共圆， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：A. 【分析】连接AC与BD相交于H，连接AF、BF、FH，根据三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后结合折叠的性质可得到：进而证明即可证明为等腰直角三角形，即进而根据旋转的性质得到：结合已知条件证明为等边三角形，即进而利用"SAS"证明则进而推出A、B、F、H共圆，则进而利用勾股定理求出BH的长度，进而得到BD的长度，最后利用三角形面积计算公式计算即可求解. 9．【答案】或或 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵， ∴， 即， ∴若，可添加的一个条件是或或． 故答案为：或或． 【分析】先由根据等式性质推出，再根据相似三角形的判定方法“如果有两组角对应相等的两个三角形相似”可添加或；根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以添加. 10．【答案】 【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：设QY=x，小正方形的边长为1， 根据题意可得PQ下面的部分的面积为：S△+S正方形=×5×（1+x）+1=5， 解得：x=， ∴XQ=1-=， ∴， 故答案为：. 【分析】设QY=x，根据“平分这个图形的面积 ”列出方程S△+S正方形=×5×（1+x）+1=5，求出x的值，再求出即可. 11．【答案】 【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：如图所示： 由题意知：AE∥BF，BC=18－2=16 ∴△ACE∽△BCF ∴ ∴，解得AC=12 ∴吸管在水中部分的长度为12． 故答案为：12. 【分析】根据A型相似△ACE∽△BCF，得出对应边成比例，代入数值，求出AC即可. 12．【答案】 【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-AAS 【解析】【解答】延长AF、CB交于点G，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥DC，AB=DC=BC， ∴∠ABG=∠C=90°， ∵∠AFE=∠FED=90°， ∠AFE+∠FED=180°， ∴AF∥DE， ∴∠G=∠DEC， 在△ABG和△DCE中， ∠G=∠DEC， ∠ABG =∠C ， AB = DC， ∴△ABG≌△DCE(AAS)， ∴BG=CE，AG=DE=4， ∴GE=BG+BE=CE+BE=BC=AB， ∵AB⊥GE，EF⊥AG，且EF=3， ∴xGE·AB=AB2=x4x3=S△AGE， ∴AB=2或AB=-2(不符合题意，舍去)， 故答案为：2. 【分析】延长AF、CB交于点G，连接AE，由正方形的性质得AB∥DC，AB=DC，则∠ABG=∠C=90°，再证明AF∥DE，则∠G=∠DEC，可证明△ABG≌△DCE，得BG=CE，AG=DE=4，推导出GE=BC=AB，则xGE×AB=AB2=x4x3=S△AGE，求得AB=2. 13．【答案】（1）解：如图，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一， （2）证明：∵AD=2AB，AE=2AC， ∴， 又∵∠BAC=∠DAE， ∴△ △ADE∽△ABC . 【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换 【解析】【分析】（1）延长AB至点D使AD=2AB，延长AC至点E，使AE=2AC，再连接ED，△ADE就是所求的三角形； （2）由作图过程易得，∠BAC=∠DAE，根据两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ABC . 14．【答案】（1）证明：∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠D， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠DBA， ∴∠D＝∠DBA， 又∵∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CED； （2）解：∵△AEB∽△CED， ∴ ， 又∵BC＝CD＝12，EC＝6，AE＝4， ∴ ， ∴AB＝8． 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【分析】 (1) 通过证明 ∠D＝∠DBA 结合 ∠AEB＝∠CED 即可得证； (2)由(1)得 ，即可求出AB的长。 15．【答案】（1）解：（i）证明：，， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转，交于点， ， ， ， ； (ⅱ)； 理由：过作于， 由知，， ， ， ， ， 在和中， ≌， ， ； （2）解：如图，过作于， 是线段的中点， ， 由知， ， ， ， ：：． ，， ， ， ：：：， ． 【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【分析】(1)作FH⊥AB，证明≌，再结合等腰三角形的性质可得结论； (2)作FG⊥AB于点G，得结合等腰三角形的性质求出面积比. 16．【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下． ∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°， ∴△ACD∽△C′A′D′， ∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′， ∴△BCD∽△C′B′D′． （2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似． 理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°， ∴△ACD∽△B′C′D′， ∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°， ∴△BAD∽△B′A′D′． （3）可以，如下图， 设， 作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′． 理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=， ∴△ACD∽△C′A′D′， ∵，， ∴△BCD∽△C′B′D′． 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【分析】（1） 由题意可得∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，然后有两组角对应相等的两个三角形相似进行解答； （2）当∠CAD=∠C′B′D′=15°时， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似； 【拓展思考】设∠A=α，∠B=90°-α，∠A′=β，∠B′=90°-β，作∠ACD=β交AB于D，作∠A′C′D′=α交 A′B′于D′，则∠A=∠A′C′D′=α，∠ACD=∠A′=β，∠B=∠B′C′D′=90°-α，∠BCD=∠B′=90°-β，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断. 1 学科网（北京）股份有限公司 $