第03讲 含参一元二次不等式讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2026-2027学年高中数学不等式专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦含参一元二次不等式核心考点，按二次项系数是否含参、能否因式分解分层梳理，通过知识要点构建“三个二次”关系框架，结合7类题型归纳（如分类讨论、由解集求参数、恒成立问题），设置考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破难点。 讲义突出分类讨论与数形结合思想，如恒成立问题分R上、区间上、给定参数范围三类情境设计例题，培养学生数学思维与推理能力。设置基础巩固、提升练习、思考题分层训练，配合典型例题变式拓展，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第03讲 含参一元二次不等式 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 3 题型01：二次项系数不含参且能因式分解 3 题型02：二次项系数不含参且不能因式分解 4 题型03：二次项系数含参且能因式分解 4 题型04：二次项系数含参且不能因式分解 5 题型05：由一元二次不等式的解确定参数 5 题型06：一元二次不等式恒成立问题 6 （一）一元二次不等式在R上的恒成立问题 6 （二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 7 （三）给定参数范围求x范围的恒成立问题 8 题型07：一元二次不等式在某区间有解问题 8 巩固提升 8 提升练习 11 思考题 11 含参一元二次不等式是高中数学的核心考点，也是高考的高频题型，常以选择题、填空题或解答题的形式出现，分值占比高。 一．考查方向： 1. 对参数进行分类讨论，求解不等式的解集； 2. 已知不等式的解集，求参数的值或取值范围； 3. 结合函数、导数、数列等知识，考查恒成立、存在性问题。 二．易错点： 1.忽略二次项系数为0的情况（此时不等式不再是一元二次不等式）； 2.分类讨论时逻辑混乱，遗漏判别式的符号判断； 3.比较根的大小时，未考虑参数对根的影响。 1. 基础目标： ①理解含参一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的基本解法； ②能对二次项系数、判别式、根的大小进行分类讨论，写出不等式的解集。 2. 能力目标： ①能根据不等式的解集，逆向求解参数的值或范围； ②能解决含参不等式的恒成立、存在性问题，转化为函数最值问题； ③培养分类讨论、数形结合、等价转化的数学思想。 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} x≠－ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． ①方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决， ②对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 ③三个“二次”之间的关系 讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 五 :解含参数的一元二次不等式的步骤 题型01：二次项系数不含参且能因式分解 【典型例题1】解关于的不等式：()． 【典型例题2】已知关于x的不等式． (1)当时，解上述不等式； (2)当时，解上述关于x的不等式． 【典型例题3】解关于x的不等式，． 【变式训练1-1】解关于x的不等式 (1) (2) 【变式训练1-2】已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． 题型02：二次项系数不含参且不能因式分解 【典型例题1】解决下列问题： (1)求解关于的不等式：； (2)设集合，若集合中有3个元素，求的范围. 【变式训练2-1】解关于的不等式. 题型03：二次项系数含参且能因式分解 【典型例题1】解关于的不等式． 【典型例题2】若，解不等式． 【典型例题3】（1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 【典型例题4】已知关于的不等式. (1)若关于的不等式的解集为，求的值 (2)当时，解上述关于的不等式. 【变式训练3-1】解关于x的不等式: . 【变式训练3-2】已知， ，求关于的不等式的解集. 【变式训练3-3】设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围. 【变式训练3-4】不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练3-5】（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练3-6】已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【变式训练3-7】解关于x的不等式 【变式训练3-8】(1)当时，解关于的不等式； (2)已知，，当时，证明：，并指出取等号条件． 题型04：二次项系数含参且不能因式分解 【典型例题1】已知. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求解上述不等式：. 【变式训练4-1】解关于的不等式：． 【变式训练4-2】解关于x的不等式，其中. 题型05：由一元二次不等式的解确定参数 【典型例题1】已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____. 【典型例题2】已知关于x的不等式的解集为，则（       ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【典型例题3】关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（       ） A． B． C． D．4 【典型例题4】已知函数. (1)若关于的不等式的解集是，求的值. (2)若，求关于的不等式的解集. 【变式训练5-1】已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（       ） A．或 B． C．{x|} D．{x| } 【变式训练5-2】【多选】已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（       ） A． B．1 C．2 D．8 【变式训练5-4】若关于的不等式的解集是，则 （    ） A． B． C． D． 【变式训练5-5】关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式训练5-8】若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【变式训练5-9】若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________. 【变式训练5-10】已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练5-11】关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式训练5-12】关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练5-13】已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围． 题型06：一元二次不等式恒成立问题 （一）一元二次不等式在R上的恒成立问题 【典型例题1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【典型例题2】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【典型例题3】若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-】已知函数，则“函数的图象恒在轴的下方”是“”的（       ） A．既不必要又不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【变式训练6-1-1】关于的不等式的解集为，则实数的范围是（       ） A． B． C． D．或 【变式训练6-1-2】已知，“对恒成立”的一个充要条件是（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-1-3】“”是“使成立”为假命题的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-1-4】关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． （二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典型例题1】若对任意的恒成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为当，， 所以，， 即m的取值范围是 故选：A 【典型例题2】已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___． 【解析】由题意，，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的最大值是． 故答案为：. 【变式训练6-2-1】不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．a＞5 B．a≥5 C．﹣5＜a＜5 D．﹣5≤a≤5 【变式训练6-2-2】“”是“在上恒成立”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-2-3】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-2-4】已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________. （三）给定参数范围求x范围的恒成立问题 【典型例题1】已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 【变式训练6-3-1】已知当时,恒成立,则实数的取值范围是 ____________. 【变式训练6-3-2】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型07：一元二次不等式在某区间有解问题 【典型例题1】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____． 【典型例题2】若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练:7-1】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 【变式训练7-2】若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 10．已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 三、填空题 12．若，则不等式的解集为 ． 13．已知关于的不等式的解集为，则的值 . 14．某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 15．若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 四、解答题 16．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 17．）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 18．已知命题:“实数满足”命题:“都有意义”. (1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围; (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 20．已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 21.已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 22.设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 23.已知不等式有解，求m的取值范围． 24.已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 提升练习 25.已知函数（）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①y＜0的解集为； ②； ③y的最小值为． (1)请写出这两个条件的序号，求y的解析式； (2)求关于x的不等式（）的解集． 26.根据要求完成下列问题： (1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 思考题 27.方程的三个根1、2、3将数轴划分为四个区间，即，，，．试在这四个区间上分别考察的符号，从而得出不等式与的解集．一般地，对、、，且，试分别求不等式与的解集．（提示：、、相互之间可能相等，需要分情况讨论） 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 含参一元二次不等式 目 录 思维导图 1 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 题型归纳 3 题型01：二次项系数不含参且能因式分解 3 题型02：二次项系数不含参且不能因式分解 6 题型03：二次项系数含参且能因式分解 7 题型04：二次项系数含参且不能因式分解 14 题型05：由一元二次不等式的解确定参数 17 题型06：一元二次不等式恒成立问题 23 （一）一元二次不等式在R上的恒成立问题 23 （二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 25 （三）给定参数范围求x范围的恒成立问题 27 题型07：一元二次不等式在某区间有解问题 27 巩固提升 29 提升练习 42 思考题 44 含参一元二次不等式是高中数学的核心考点，也是高考的高频题型，常以选择题、填空题或解答题的形式出现，分值占比高。 一．考查方向： 1. 对参数进行分类讨论，求解不等式的解集； 2. 已知不等式的解集，求参数的值或取值范围； 3. 结合函数、导数、数列等知识，考查恒成立、存在性问题。 二．易错点： 1.忽略二次项系数为0的情况（此时不等式不再是一元二次不等式）； 2.分类讨论时逻辑混乱，遗漏判别式的符号判断； 3.比较根的大小时，未考虑参数对根的影响。 1. 基础目标： ①理解含参一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式的基本解法； ②能对二次项系数、判别式、根的大小进行分类讨论，写出不等式的解集。 2. 能力目标： ①能根据不等式的解集，逆向求解参数的值或范围； ②能解决含参不等式的恒成立、存在性问题，转化为函数最值问题； ③培养分类讨论、数形结合、等价转化的数学思想。 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} x≠－ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． ①方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决， ②对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 ③三个“二次”之间的关系 讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 五 :解含参数的一元二次不等式的步骤 题型01：二次项系数不含参且能因式分解 【典型例题1】解关于的不等式：()． 【解析】原不等式化为， ①或时，不等式为，所以不等式的解集为； ②当或时，，不等式的解集为； ③当或时，，不等式的解集为． 综上所述：当①或时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为；③当或时，不等式的解集为． 【典型例题2】已知关于x的不等式． (1)当时，解上述不等式； (2)当时，解上述关于x的不等式． 【答案】(1)不等式解集为：； (2)答案见解析. 【分析】（1）由，，解不等式即可； （2），讨论与1的大小即可. 【详解】（1）当时，. . 则不等式解集为：. （2）注意到， ①当时，不等式解集为：； ②当时，不等式解集为空集； ③当时，不等式解集为：. 【典型例题3】解关于x的不等式，． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】将不等式化为，分，和，求出不等式的解集即可. 【详解】由得，． 因为， 所以①当，即时，不等式的解集为：； ②当，即时，，不等式无解； ③当时，即时，不等式的解集为：． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式训练1-1】解关于x的不等式 (1) (2) 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】（1）方程，即， 方程的解为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）方程，即， 方程的解为， 因为， 所以， 所以不等式的解集为. 【变式训练1-2】已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接解二次不等式即可； （2）变形得，分，，讨论，通过确定的大小来解二次不等式. 【详解】（1）由已知得， 解得或. 实数a的取值范围； （2）， 令，得， 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为， 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 题型02：二次项系数不含参且不能因式分解 【典型例题1】解决下列问题： (1)求解关于的不等式：； (2)设集合，若集合中有3个元素，求的范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）讨论判别式可解不等式； （2）由（1）可知时满足题意，又集合中有3个元素，可得. 【详解】（1）注意到. ①当，即时，此时不等式解集为空集； ②，即时，此时不等式解集为； ③，即时，此时不等式对应方程的解为： ，又， 则不等式解集为：. 综上，当时，解集为；时，解集为；时，解集为. （2）由（1）可知，时满足题意，又注意到， 结合中有3个元素，则， 得. 故的范围是. 【变式训练2-1】解关于的不等式. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 （2）， 当时，， 方程的两个根分别为或， 则由，得， 当时，，原不等式化为，得， 当时，，不等式无解， 综上， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 题型03：二次项系数含参且能因式分解 【典型例题1】解关于的不等式． 【解析】若，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1． 若，原不等式等价于，解得或x>1． 若，原不等式等价于． ①当时，，无解； ②当时，，解，得； ③当时， ，解，得； 综上所述，当时，解集为或；    当时，解集为{x|x>1}； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【典型例题2】若，解不等式． 【答案】 【分析】根据题意，，转化不等式，求解即可． 【详解】解：∵，∴， 原不等式可化为， 解得． 故原不等式的解集为． 【典型例题3】（1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可； （2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可. 【详解】（1）原不等式化为， 当时，可得，解得， 当时，的根为且，解得或， 当时，可得，解得； 当时，的根为且，解得或； 当时，由解得，故不等式解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）由题意得，且，解得， 不等式可化为， 即，解得或， 故不等式解集为. 【典型例题4】已知关于的不等式. (1)若关于的不等式的解集为，求的值 (2)当时，解上述关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由为方程的根，结合韦达定理得出的值； （2）分类讨论的值，由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以为方程的根， 即， （2）若，关于的不等式， 当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得，由解不等式可得， 当时，化简不等式可得，解不等式可得或， 综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或. 【变式训练3-1】解关于x的不等式: . 【答案】答案见解析 【分析】对，，进行分类讨论进而解方程即可. 【详解】①当时，不等式化为，解得， 此时不等式的解集为; ②当时，原不等式化为， 解得不等式的解集为:； ③当时，原不等式化为: ， 解得不等式的解集为:. 综上所述，当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为 【变式训练3-2】已知， ，求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】讨论，、、且三种大情况，解不等式得到答案. 【详解】①当时，不等式的解为. ②当时，令解得； 当时，，解得； 当时，，不等式的解集为R； 当且时，由基本不等式得， 解得或. 综上：当时，不等式解集为； 当时， 不等式解集为； 当时， 不等式的解集为R； 当且时，不等式的解集为或. 7.已知关于的不等式：，当时解不等式． 【解析】原不等式可变形为：， 当时，，所以，即原不等式的解集为； 当时，，所以，即原不等式的解集为； 当时，，令，所以， 若时，，所以原不等式的解集为， 若时，，所以原不等式的解集为， 若时，，所以原不等式的解集为， 综上可知：时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为； 时，原不等式的解集为． 【变式训练3-3】设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围. 【解析】由题意，令，解得两根为，由此可知， 当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得； 当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式训练3-4】不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得恒成立，分别对，，讨论， 结合二次不等式、二次函数图像与性质即可求出答案. 【详解】由不等式的解集为等价于恒成立， 当时，成立，符合条件； 当时，根据二次函数图像开口向上，肯定会有函数值大于0，故不符合； 当时，只需让，解得， 综上所述，a的取值范围为， 故答案为： 【变式训练3-5】（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可. 【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 【变式训练3-6】已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）讨论和，结合二次函数性质解不等式即可得出答案； （2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集. 【详解】（1），恒成立， 当时，成立， 当时，则，即，即 综上所述. （2） 当时，，则 当时，令，则，或，此时，∴或 当时，即时， 当，即时， 当时，即时， 综上所述:当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，； 当时，解集为 【变式训练3-7】解关于x的不等式 【答案】答案见解析. 【分析】对参数分类讨论，结合一元二次不等式的求解，讨论每种情况下不等式解集即可. 【详解】当时，原不等式等价于，解得， 故不等式解集为； 当时，原不等式等价于， 其对应二次方程的两根为， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为. 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式训练3-8】(1)当时，解关于的不等式； (2)已知，，当时，证明：，并指出取等号条件． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）先解出的两个根，对根的大小分类讨论，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据“1”的代换，结合基本不等式的解法，即可证明．然后列出等号成立的条件，求解即可. 【详解】（1）由已知， 解可得或. 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为或； 当时，即时，不等式的解集为或. 综上所述，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或. （2）因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 题型04：二次项系数含参且不能因式分解 【典型例题1】已知. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求解上述不等式：. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）①当时，原不等式即：，符合题意； ②当时，不等式恒成立，必有： 且，解得：， 综上：实数的取值范围为：； （2）， 当时，，由可得： ，或； 当时，，由可得：； 当时，由（1）知：不等式的解为； 当时，，由可得： ， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 ， 【变式训练4-1】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【详解】当时，不等式为，解得：，则不等式解集为； 当时，； ①当时，且； 令，解得：，； 若，则，的解为， 即不等式的解集为； 若，则，的解为或， 即不等式的解集为； ②当，即时，不等式为，解得：， 即不等式的解集为； ③当，即时，恒成立，即不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式训练4-2】解关于x的不等式，其中. 【答案】答案见解析. 【分析】对进行分类讨论，求出解集，讨论的标准为当不等式是一元一次不等式时，当不等式是一元二次不等式时，再通过开口方向，根的判别式的大小，进行讨论求出答案. 【详解】当时，，解得：， 当时， ①当即时，解集为， ②当即时，此时不等式为，解集为； ③当，即时，解集为； 当时， ④当，即时，解集为R， ⑤当，即时，解集为或； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为R， 当时，解集为或. (2) （2） 当时，不等式为，其解集为， 当时，， 所以当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 综上：时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 题型05：由一元二次不等式的解确定参数 【典型例题1】已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____. 【解析】∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|}， ∴，是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得a＝﹣12，b＝﹣2. 则不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3. ∴不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）. 故答案为：（﹣2，3）. 【典型例题2】已知关于x的不等式的解集为，则（       ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【解析】关于的不等式的解集为选项正确； 且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得， 则，则，C选项错误； 不等式即为，解得选项正确； 不等式即为，即，解得或选项正确. 故选：. 【典型例题3】关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（       ） A． B． C． D．4 【解析】由且不等于1， 由题意得，，解得. 故选：D. 【典型例题4】已知函数. (1)若关于的不等式的解集是，求的值. (2)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得，再求解二次不等式可得； （2）将二次不等式因式分解，再分情况讨论二次方程的根的大小求解即可. 【详解】（1）由于不等式的解集是， 则是的两根，且， 代入得，解得， 于是原不等式可转化为， 此时解集为，所以. （2）由得，即. 因为，令，得或， ①当时，，此时不等式解集为； ②当时，，此时不等式解集为； ③当时，，此时不等式解集为； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式训练5-1】已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（       ） A．或 B． C．{x|} D．{x| } 【解析】由一元二次不等式的解集为或，可设函数解析式为：， 将代入得，又，所以， 故选：D. 【变式训练5-2】【多选】已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【解析】对A，不等式的解集为， 故相应的二次函数的图象开口向下， 即，故A错误； 对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根， 则有，， 又，故，故B，C正确； 对D，，，又，，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练5-3】已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（       ） A． B．1 C．2 D．8 【解析】的解集为，则的两根为，， ∴，∴，，则，即， ，当且仅当时取“=”， 故选：C. 【变式训练5-4】若关于的不等式的解集是，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，是方程的两根，根据韦达定理便可求解． 【详解】关于的不等式的解集是， ，是方程的两根， ， 解得， ， 故选：B． 【变式训练5-5】关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解. 【详解】的解集是，，得， 则不等式， 即，解得：， 所以不等式的解集是. 故选：D 【变式训练5-6】已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确．故选：BCD 【变式训练5-7】已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 【变式训练5-8】若不等式的解集是的子集，则a的范围是（　　） A．[－4，3] B．[－4，2] C．[－1，3] D．[－2，2] 【答案】A 【分析】原不等式可化为，后通过讨论与1的大小解不等式，结合解集是的子集可得答案. 【详解】原不等式可化为. 当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即； 当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求； 当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即. 综上可得：. 故选：A. 【变式训练5-9】若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________. 【解析】不等式等价于.令，解得或. 当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【变式训练5-10】已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】原不等式变形为，时，原不等式才有解．且解为， 要使其中只有5个整数，则，解得． 故选：D． 【变式训练5-11】关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由不等式，可得， 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立， 综上可得，实数的取值范围是.故选：C. 【变式训练5-12】关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（    ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可. 【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. 【变式训练5-13】已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为关于的一元二次不等式的解集中有且仅有4个正整数， 所以，不等式的解为，且，故选：D． 【方法技巧与总结】 三个“二次”之间的关系 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围． 题型06：一元二次不等式恒成立问题 （一）一元二次不等式在R上的恒成立问题 【典型例题1】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意，当时，不等式恒成立，故 解得，故实数的取值范围是 故选：A 【典型例题2】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，则，解得， 综上可得，. 故选：D. 【典型例题3】若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】∵命题“存在，使” 是假命题，则其否定“任意， ” 为真命题,∴ ，所以 .故选： C. 【变式训练6-1-】已知函数，则“函数的图象恒在轴的下方”是“”的（       ） A．既不必要又不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【解析】因为二次函数的开口方向向下，所以有，则， 即，满足函数的图像在轴的下方. 又因为， 所以“函数的图像在轴的下方”是“0”的必要不充分条件. 故选：C 【变式训练6-1-1】关于的不等式的解集为，则实数的范围是（       ） A． B． C． D．或 【解析】当时，该不等式为，解集为，不成立； 当时，由不等式的解集为，得， 解得， 故选：B. 【变式训练6-1-2】已知，“对恒成立”的一个充要条件是（       ） A． B． C． D． 【解析】当时，，对恒成立； 当时，若，对恒成立， 则必须有，解之得， 综上，的取值范围为. 故“对恒成立”的一个充要条件是， 故选：B 【变式训练6-1-3】“”是“使成立”为假命题的（       ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】“使成立”为假命题，则“使成立”为真命题，当时成立，当，则，，∴，综合得，则“”是的充分不必要条件. 故选：B. 【变式训练6-1-4】关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】不等式的解集是，即对于，恒成立， 即，当时，，当时，， 因为，所以，综上所述. 故选：A. （二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【典型例题1】若对任意的恒成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为当，， 所以，， 即m的取值范围是 故选：A 【典型例题2】已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___． 【解析】由题意，，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的最大值是． 故答案为：. 【变式训练6-2-1】不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．a＞5 B．a≥5 C．﹣5＜a＜5 D．﹣5≤a≤5 【解析】根据题意，设f（x）＝x2﹣2（a﹣2）x+a， 若x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则f（x）＜0在区间（1，5）上恒成立，必有，即， 解可得：a≥5；故选：B． 【变式训练6-2-2】“”是“在上恒成立”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】在上恒成立， 即在上恒成立， 故 “”是“”的必要不充分条件 故选：B 【变式训练6-2-3】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】由得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式 则不等式的解集是的子集， 又由得， 当，，符合； 当，，则，， 当，，符合， 故实数的取值范围为. 故选：C. 【变式训练6-2-4】已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________. 【解析】， ①当时，； ②当时，， ，， ， 综上所述：. 故答案为：. （三）给定参数范围求x范围的恒成立问题 【典型例题1】已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D． 【解析】令， 则不等式恒成立转化为在上恒成立． 有，即， 整理得：， 解得：或． 的取值范围为． 故选：C． 【变式训练6-3-1】已知当时,恒成立,则实数的取值范围是 ____________. 【解析】设,则对成立等价于,即,解之得或,即实数的取值范围是. 【变式训练6-3-2】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】令，对一切均大于0恒成立， 所以 ，或， 或， 解得或，，或， 综上，实数的取值范围是，或. 故选：A. 题型07：一元二次不等式在某区间有解问题 【典型例题1】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____． 【解析】当时，不等式为有实数解，所以符合题意； 当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意； 当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得， 所以， 综上所述：的取值范围是， 故答案为：. 【典型例题2】若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】关于的不等式在内有解，等价于在内， 令， 因为抛物线的对称轴为， 所以当时，取最大值， 所以， 故选：B 【变式训练:7-1】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解， 所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【变式训练7-2】若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则，令， 所以当，单调递增， 当，单调递减， 又，所以， 所以. 故选：C 一、单选题 1．已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：A 2．不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 3．已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解. 【详解】由题图知抛物线开口向上，所以， 抛物线与轴交点纵坐标为正，所以， 因为，所以， 由韦达定理， 即，，对称轴， 则.所以A错误，B,C正确. 不等式 可化为， 即，解得 或. 所以不等式的解集是.D正确. 故选：A. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式不等式求出集合A，再求交集即可. 【详解】因为, 所以. 故选：B. 5．已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式，根据充分、必要条件判断即可. 【详解】由解得， 则A项是命题p的充要条件，故A错误； 由， 则B项是命题p的充分条件，故B错误； 由，且， 则C项是命题p的一个必要不充分条件，故C正确； 由，且， 则D项是命题p的既不充分也不必要条件，故D错误； 故选：C. 6．在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案 【详解】根据给出在上定义运算， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 7．不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 8．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 二、多选题 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．（m为任意实数） D． 【答案】ABC 【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题. 【详解】因为抛物线开口向下，则， 又因为抛物线的对称轴为直线，则，可得， 且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则， 对于选项A：可得，故A正确； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：抛物线的对称轴为直线，可知当时，y有最大值， 则（m为任意实数）， 所有（m为任意实数），故C正确； 对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 则抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 可知当时，，所以，故D错误． 故选：ABC. 10．已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 【答案】ABD 【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断. 【详解】对于A，时，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为，A正确； 对于B，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，所以，B正确； 对于C，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，C错误； 对于D，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 【答案】BCD 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 13．已知关于的不等式的解集为，则的值 . 【答案】3 【分析】对原不等式等价变形，分是否等于2进行讨论，根据一元二次不等式、方程之间的关系即可求解. 【详解】， 当时，原不等式等价于，故不符合题意， 当时，根据一元二次不等式解集可得，解得， 而当时，原不等式等价于或，故符合题意； 综上所述，的值为3. 故答案为：3. 14．某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ． 【答案】 【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得． 【详解】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 故答案为： 15．若存在，使得成立，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】借助一元二次函数图像位置即可求解. 【详解】根据题意即不等式有解， 由 得或 故答案为：或 四、解答题 16．夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 17．）已知关于的不等式的解集为或． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可； （2）代入参数，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为或， ∴，且和4是方程的两实数根， 由根与系数的关系知，，解得； （2）由（1）知，时， 不等式为， ∴不等式的解集是. 18．已知命题:“实数满足”命题:“都有意义”. (1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围; (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果. （2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）当时，由，得， 即：若为真命题，则； 若为真命题，即恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 故． 故若为假命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围为． （2）对于，且． 对于，，则：或． 因为是的充分不必要条件， 所以，解得． 故的取值范围是. 19．（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）通过讨论的系数，即可求解. （2）因式分解，通过讨论根的个数及大小即可求解. 【详解】当，不等式为恒成立，符合题意； 当时，由题意可得：，即， 解得：， 综上可知：的取值范围是 （2）由, 整理得 ， 当时，得，解集为； 当时，得，解集为； 当时，，得或，解集为； 当时，，得，解集为； 当时，，得或，解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20．已知函数． (1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【详解】（1）即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． （2）不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 21.已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）函数类型不定，需对的系数分类讨论，结合图象即得答案. （2）对应函数类型不定，需对的系数分类讨论，对应方程有根大小不定，需分类讨论，结合图象即得答案. 【详解】（1）由已知得，在R上恒成立. ①当时，显然不满足题意. ②当时，只需满足，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）不等式，即为， 即，可化为. ①当，即时，，解集为； ②当，即时，，解集为或; ③当，即时， i 当，即时，解集为； ii 当，即时，解集为； iii 当，即时，解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 22.设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒成立问题. （2）解不等式时要对进行分类讨论. 【详解】（1）不等式. 当时，，即不等式仅对成立，不满足题意，舍. 当时，要使对一切实数恒成立. 则解得. 综上，实数的取值范围为. （2）当时，解得. 当时，. ①若，的解为； ②若，当即时，解得. 当时，，的解为或. 当时，，的解为或. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 23.已知不等式有解，求m的取值范围． 【答案】或 【解析】（1）当时，原不等式化为，解集为空集，故不满足题意； （2）当时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意； （3）当时，由题意可得：， 因为，解得； 综上所述：当或时，不等式有解. 24.已知函数，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； (3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程、不等式的关系，即可求出，的值； （2）将不等式有解（能成立）问题转化为二次函数最值问题解决即可； （3）构造函数，讨论的解集恰有个整数即可. 【详解】（1）∵关于的不等式的解集为或， ∴方程的两根为，， ∴， ∴解得，. （2）令， 若关于的不等式在上有解，则在上有解， ∴只需使在区间上的最小值. 图象是开口向上，对称轴为的抛物线， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ①当，即时，在区间上单调递增， ∴，解得， 此时，； ②当，即时， 在区间上单调递减， ∴，解得， 此时，； ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，解得或， 此时，； 综上所述，实数的取值范围是. （3）令 若关于的不等式的解集中恰有个整数， 则的解集中恰有个整数， ， ①当，即时，解集为，不合题意； ②当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得， ∴此时； ③当，即时，解集为， 若解集中恰有个整数，则这个整数为，，， ∴，解得， ∴此时； 综上所述，实数的取值范围是. 提升练习 25.已知函数（）只能同时满足下列三个条件中的两个： ①y＜0的解集为； ②； ③y的最小值为． (1)请写出这两个条件的序号，求y的解析式； (2)求关于x的不等式（）的解集． 【答案】(1)①③； (2)答案见解析 【分析】（1）依次考虑组合①②；①③和②③，排除不符题意的，确定①③，即得解析式； （2）由（1）确定的解析式，整理待求不等式，得，就参数进行分类讨论不等式的解集. 【详解】（1）若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下， 此时y＜0的解集不可能为，故不符合题意； 若选①③，∵函数y＜0的解集为， ∴－1，3是方程的根， ∴函数图象对称轴为x＝1， 由， 则b＝－2a，c＝－3a， 又∵y的最小值为－4， ∴当x＝1时，， 解得a＝1，所以， 则； 若选②③，a＝－1，函数图象开口向下， 则y无最小值，不符合题意． 综上，应选：①③，且． （2）由， 化简得， 即， 若m＜0，则不等式的解集为或； 若m＝0，则不等式的解集为R； 若m＞0，则不等式的解集为或； 综上，当m＜0时，不等式的解集为或； 当m＝0时，不等式的解集为R； 当m＞0时，不等式的解集为或． 26.根据要求完成下列问题： (1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； (2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在，、或、 (2) 【分析】（1）由题意可得：，根据真子集关系求实数的取值范围，根据子集关系求实数的取值范围，进而得解； （2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题：根据二次不等式分类讨论求解；进而得解. 【详解】（1）因为， 因为A，则或或， 若，则，的值不存在； 若，则，解得； 若，则，无解； 综上所述：； 因为，则或或或， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，则，无解； 若，则，解得； 综上所述，或； 所以存在、的值，当、或、时，满足A、. （2）因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，， 命题：不等式有解， 当时，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 思考题 27.方程的三个根1、2、3将数轴划分为四个区间，即，，，．试在这四个区间上分别考察的符号，从而得出不等式与的解集．一般地，对、、，且，试分别求不等式与的解集．（提示：、、相互之间可能相等，需要分情况讨论） 【答案】答案见解析 【分析】对于不等式与根据题设方法即可得解；对于不等式与分，，，讨论，结合条件即可得解. 【详解】由可得或， 所以不等式的解集为， 由可得或， 所以不等式的解集为； 对于不等式和，： ①当时， 由可得，解得， 所以不等式的解集为， 由可得，解得且， 所以不等式的解集为； ②当时， 由可得，解得且， 所以不等式的解集为， 由可得，解得， 所以不等式的解集为； ③当时， 由可得，解得， 所以不等式的解集为， 由可得，解得， 所以不等式的解集为； ④当时， 由可得或， 所以不等式的解集为， 由可得或， 所以不等式的解集为； 【点睛】方法点睛：对于解高次不等式或，，先求对应方程的n个根（可能有相等的根），这n个根将数轴划分为个区间，即，，，试在这个区间上分别考察的符号即可根据不等式求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $