专题01 统计案例综合（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-公式应用-实际建模”为主线，系统覆盖统计案例核心题型，通过典例变式实现方法迁移，培养数据分析与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相关系数|1典例+3变式|意义辨析与计算步骤|从概念内涵到数值计算，构建线性相关性判断体系| |回归分析|5题型（含非线性）|最小二乘法、残差/决定系数分析|样本中心→回归方程→模型评估，形成完整回归建模链条| |独立性检验|3题型|卡方计算与关联性判断|概念理解→公式应用→实际决策，实现分类变量关系推断|

专题01 统计案例综合 （题型突破·举一反三） 题型01 相关系数的意义及辨析 题型02 相关系数的计算 题型03 样本中心点的相关问题 题型04 求回归直线方程 题型05 残差的计算 题型06 决定系数的计算及分析 题型07 非线性回归的问题 题型08 独立性检验的概念及辨析 题型09 卡方的计算 题型10 独立性检验解决实际问题 ▌题型01 相关系数的意义及辨析 样本相关系数 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多． (2)样本相关系数r＝． (3)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【注意】　样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关； 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 【典例1】（25-26高二下·贵州黔西南·期中）对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，． 【变式1-1】（25-26高二下·广东清远·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个变量的样本数据，得到样本相关系数分别为，，，，则成对样本数据的线性相关程度最强的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】因为， 所以乙的线性相关程度最强. 【变式1-2】（25-26高二下·河南郑州·期末）某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（     ） A．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 B．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 C．花瓣长度和花萼长度没有相关性 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】对于AB，散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故A错误，B正确； 对于C，根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故C错误； 对于D，由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱， 即取出的数据的相关系数不一定是，故D错误. 【变式1-3】（25-26高二下·山东济南·期末）已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 第一组散点图的点整体呈下降趋势，两变量为负相关，∴，不符合题意； ∵ 第二组散点图的点整体呈上升趋势，两变量为正相关，∴，不符合题意； 观察散点图可知第一组数据的散点更贴近拟合直线，线性相关程度更强，∴，故C错误，符合题意； ∵且，∴，不符合题意. ▌题型02 相关系数的计算 样本相关系数 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多． (2)样本相关系数r＝． (3)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【典例2】（25-26高二下·湖南·期末）某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步时x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 【答案】0.95 【详解】由参考数据可知，， 所以. 【变式2-1】（25-26高二下·广东·期末）将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，其中，此样本的相关系数，记关于的线性回归方程为．经计算可知：，则的值为（   ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以， 由. 解得，所以． 【变式2-2】（25-26高二下·广东珠海·期末）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：） 【答案】 【分析】先计算样本均值，再根据相关系数公式分别计算分子、分母后代入求值即可. 【详解】由题意得，，，，， 故. 【变式2-3】（25-26高二下·山西·期中）网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 【答案】B 【分析】代入相关系数公式求解即可. 【详解】由题意，得，，， ，所以． ▌题型03 样本中心点的相关问题 最小二乘法和经验回归方程 (1)有关概念 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． (2)计算公式 【注意】(1)经验回归直线过点() (2)经验回归方程＝x＋中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分 【典例3】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）根据对数据绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，得，． 又回归直线经过点，所以，解得． 【变式3-1】（25-26高二下·河北石家庄·期末）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则_______． 9 9.5 10 10.5 11 11 10 6 5 【答案】8 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知， ， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得. 【变式3-2】（25-26高二下·河南洛阳·期末）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据：，，，，根据数据，得出y关于x的经验回归方程为，则c的值为________. 【答案】4 【详解】， ， ，解得． 【变式3-3】（25-26高二下·江西吉安·期末）已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点，，，得到y关于x的回归方程为，则m的值为（     ） A．3.6 B．3.2 C．2.7 D．2.5 【答案】C 【详解】，则， 则，得 ▌题型04 求回归直线方程 最小二乘法和经验回归方程 (1)有关概念 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． (2)计算公式 【注意】(1)经验回归直线过点() (2)经验回归方程＝x＋中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分 【典例4】（25-26高二下·江苏徐州·期末）为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 【答案】(1)0.992 (2)，116分． 【分析】（1）根据所给数据计算出相关系数. （2）先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测. 【详解】（1）因，， ，         ，     ，         ． （2）由（或者）， ，         故得，             当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到80分钟时的数学成绩为116分． 【变式4-1】（25-26高二下·吉林长春·期末）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天中该作物的高度变化． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 (1)观察表格数据可知，天数与作物高度之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出作物高度关于天数的经验回归方程（其中，用分数表示）； (2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差． 参考公式：，． 参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题中数据和公式进行求解即可； （2）利用代入法，结合残差的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， 所以作物高度关于天数的经验回归方程为； （2）把代入中，得， 所以预测第22天该作物的高度的残差为. 【变式4-2】（25-26高二下·山东临沂·期末）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 【答案】(1)0.98，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 (2)，1.24 【分析】（1）先求出，然后根据相关系数公式求出，再根据的值即可对该成对样本数据的线性相关程度做出判断； （2）根据回归直线过样本点的中心求出，进而得到回归直线方程，将代入回归直线方程求出，即可求出残差. 【详解】（1），          ，                         ，                      由相关系数，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； （2）由回归方程可知， 因为回归直线过样本点的中心，即，解得，           所以y关于x的线性回归方程为，           将代入上式可得，     所以年龄为60岁时的残差为． 【变式4-3】（25-26高二下·山东菏泽·期末）某高中统计高二年级某班5个学习小组的序号与小组内主动完成周末拓展习题的人数，统计结果如下表： （小组序号） 1 2 3 4 5 （主动完成拓展习题的人数） 2 2 3 4 4 已知主动完成拓展习题的人数与小组序号具有线性相关关系． (1)求主动完成拓展习题的人数关于小组序号的经验回归方程； (2)从这5个学习小组中随机抽取3组，设抽取到组内主动完成拓展习题的人数不低于3人的小组个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 参考公式：，．参考数据： 【答案】(1) （或） (2)X的分布列为： 数学期望（或1.8） 【详解】（1）∵ 由题意得，，，，又，， ∴ ， ∴ ， ∴ 所求经验回归方程为. （2）∵ 5个小组中，主动完成拓展习题人数不低于3人的小组共有3个，低于3人的小组共有2个， ∴ 随机抽取3组，随机变量X的所有可能取值为1,2,3，且X服从参数的超几何分布， ∴ ， ， ， ∴ X的分布列为： ∴ 数学期望. ▌题型05 残差的计算 残差及残差分析 (1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值．通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为残差． (2)作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (3)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 【典例5】（25-26高二下·甘肃平凉·期末）（多选）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（     ） 胸径 树高 A．树高与胸径正相关 B．胸径每增加，树高一定增加 C． D．当胸径时，树高的残差为 【答案】ACD 【分析】应用回归直线性质判断A，B，计算样本中心求参数判断C，计算预测判断D. 【详解】对于A：经验回归方程斜率为正，树高与胸径正相关，A正确； 对于B：胸径每增加1cm，树高是平均增加1.32m，并非一定增加，不符合回归分析的统计意义，B错误； 对于C：计算得样本均值，回归直线过样本中心点， 代入回归方程得， 所以，解得，C正确； 对于D：时预测值，残差为，D正确， 【变式5-1】（25-26高二下·吉林长春·期末）某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（     ） A．由数据可判断与负相关 B．经验回归方程相应的直线经过点 C．当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D．当售价为元/件时，样本点的残差为 【答案】C 【分析】根据相关性的概念、样本中心点的定义、残差的计算、及根据样本中心点求参数，利用回归方程进行数据估计，逐项判断即可. 【详解】由表格数据可得：， 根据线性回归方程必过样本中心点，即，故B正确； ，故可判断与负相关，A正确； 当时，，，故D正确； 当时，，故C错误. 【变式5-2】（25-26高二下·河北保定·期末）（多选）两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3 4 6 5 3 4.5 4 根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．变量和正相关 D．点对应的残差为0.2 【答案】AC 【分析】根据平均数公式可判断A；根据经验回归直线过点，可求出，进而可判断B；根据经验回归直线方程中的系数可判断C；根据残差定义可判断D. 【详解】对于A，由表中数据得，故A正确； 对于B，因为经验回归直线过点， 又，所以， 所以，解得，故B错误； 对于C，由得的系数为正数， 所以变量和正相关，故C正确； 对于D，将代入得， 所以点对应的残差为，故D错误. 【变式5-3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）某人形机器人公司近5年的年利润情况如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程是，则当时的残差为（   ） 年份代码 1 2 3 4 5 年利润千万元 9 10 21 26 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据经验回归直线过样本中心点求出对应的真实年利润，再计算时的预测值，最后按照残差定义计算残差. 【详解】年份代码的平均值， 因为经验回归方程过样本中心点，代入得， 又，所以，解得， 当时，预测值，真实值， 因此残差. ▌题型06 决定系数的计算及分析 残差平方和与决定系数R2 (1)残差图法：在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． (3)决定系数R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越小，模型拟合效果越差，R2越大，模型拟合效果越好． 【注意】决定系数R2的取值范围是0≤R2≤1 刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法：残差比较均匀地落在水平带状区域内，则说明选用的模型比较合适． (3)决定系数R2法：R2＝ 越接近1，表明模型的拟合效果越好． 【典例6】（25-26高二下·河南郑州·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若一组样本数据所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B．设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C．若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D．线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于，则拟合效果越好 【答案】BD 【详解】对于A选项，若一组样本数据所有样本点都在直线上，且该直线的斜率为， 故这组样本数据的线性相关系数，故A错误； 对于B选项，设、为两个随机事件，， 若，则， 由独立事件的定义可知，事件、相互独立，故B正确； 对于C选项，若关于的线性回归方程为， 当时，，故样本点的残差为，故C错误； 对于D选项，线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于，则拟合效果越好，故D正确. 【变式6-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（     ） A．数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B．若随机变量X服从二项分布，且，则 C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．若随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【分析】由极差、众数的定义判断A，根据二项分布的均值公式列方程求参数，再由方差公式求方差判断B，由残差散点图分布的水平带状区域的实际意义判断C，利用正态分布的对称性求概率判断D. 【详解】A，数据1，2，2，3，4，5的极差为4，众数为2，所以极差与众数之和为6，错误； B，若随机变量X服从二项分布且，则，得， 所以，正确； C， 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，正确； D，若随机变量X服从正态分布且，则，正确. 【变式6-2】（25-26高二下·黑龙江·期末）某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号 1 2 3 4 5 固化剂比例 2 4 6 8 10 拉伸强度 1 1.5 2.5 4.5 5.5 (1)求关于的经验回归方程； (2)求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； (3)根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值． 参考公式：经验回归方程为，其中：，，． 【答案】(1) (2)，拟合效果较好 (3) 【分析】（1）求出，结合公式求出，继而即可求解； （2）结合公式求出决定系数，由越接近1，模型拟合效果越好可判断； （3）结合（1）的结论得，解不等式即可求解. 【详解】（1）， ， ， ，， 所以. （2）， ， ， ， ， 所以， ， ， 决定系数越接近1，模型拟合效果越好，因此该线性回归模型的拟合效果较好. （3），解得， 所以添加固化剂比例的最小值为. 【变式6-3】（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 【答案】D 【详解】由题设，均值，去掉后，新均值，变大， 均值，去掉后，新均值，变小，A错误， 由散点图可知，是偏离其余点的离群点，去掉后，剩余点更贴近一条直线， 所以x和y为正相关且相关性变强，即相关系数的绝对值越接近1，故去掉后变大，B错误，D正确； 线性相关性越强，模型拟合效果越好，残差平方和越小，因此去掉后残差平方和变小，C错误. ▌题型07 非线性回归的问题 【典例7】（25-26高二下·山东济宁·期末）某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 (1)请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） (2)通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ (3)为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 【答案】(1)经验回归方程为；第5天的残差. (2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②拟合效果更好. (3)连续天后优化时效最好 【分析】（1）利用最小二乘估计可算出，的值，即可得到经验回归方程. （2）（ⅰ）由可得，再利用最小二乘估计即可；（ⅱ）计算出，再跟比较即可得结果. （3）计算出回归时效函数，利用导数判断的单调性，求出取得最大值时的值. 【详解】（1）由已知得， 所以. 所以. 所以经验回归方程为. 第5天的残差. （2）（ⅰ）因为，所以. 所以 所以关于的非线性经验回归方程为 （ⅱ）模型①中的决定系数， 已知模型②中的决定系数，即，所以模型②拟合效果更好. （3）根据（2）结果选择模型②， 则 所以 令，即，得. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. 因为，则，. 所以. 所以在连续天后优化时效最好. 【变式7-1】（25-26高二下·河北承德·期末）变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 【答案】 【分析】取对数，非线性关系转化为线性关系，与已知对照求出得解. 【详解】据题意，将取自然对数得， 与给定的经验回归方程对比，得，，所以． 因此原回归方程为． 当时，． 【变式7-2】（2018·广东茂名·一模）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 【答案】(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的决定系数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， 所以y关于x的线性回归方程为：. （2）（i）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当时,（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【变式7-3】（25-26高三下·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. ▌题型08 独立性检验的概念及辨析 独立性检验的理解 (1)零假设：设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互为对立事件，故要判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联，需要判断假定关系H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)是否成立． (2)独立性检验的公式 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立． (3)临界值：对任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α.称xα为α的临界值．临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (5)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【注意】χ2越小，独立性越强，相关性越弱；χ2越大，独立性越弱，相关性越强 【典例8】（25-26高二下·全国·期末）根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下面给出的临界值表， 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 可知下列判断中正确的是（    ） A．有的把握认为变量与独立 B．有的把握认为变量与不独立 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 【答案】D 【详解】解：因为，所以可以认为变量与不相互独立， 这个结论犯错误的概率不超过． 【变式8-1】（2026高二·全国·专题练习）对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【分析】由卡方值，根据独立性检验规则即可做出判断. 【详解】由题可知， 根据独立性检验规则，表明没有充分证据推断跳绳与性别有关， 可以认为爱好跳绳与性别无关． 【变式8-2】（2026·四川眉山·模拟预测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．研究两个变量之间的关联程度，若相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越弱； B．在评估模型拟合效果时，决定系数越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好； C．通过样本数据得到的经验回归直线一定经过样本点的中心； D．设关于分类变量与的独立性检验的原假设与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关． 【答案】BC 【分析】对于A根据相关系数的性质分析判断；对于B根据决定系数的性质分析判断；对于C根据回归方程过样本中心点分析判断；对于D根据独立性检验思想分析判断. 【详解】因为相关系数绝对值越接近1两个变量的线性相关程度越强，故A选项错误. 因为决定系数越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好，故B选项正确. 因为回归直线一定经过样本均值点，故C选项正确. 因为，应拒绝原假设，即认为与有关联，而非无关，故D选项错误. 【变式8-3】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）以下四个命题中错误的是（    ） A．在独立性检验中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量相关的可能性就越大 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在回归直线方程中，变量每增加1个单位时，平均增加2个单位 D．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 【答案】C 【分析】借助独立性检验的性质、决定系数定义、回归直线方程性质与相关系数定义逐项判定即可得. 【详解】对A：由独立性检验的性质可知，的值越大，则两个变量相关的可能性就越大，故A正确； 对B：由决定系数定义可得，越大，则说明模型拟合的效果越好，故B正确； 对C：在回归直线方程中，变量每增加1个单位时，平均减少3个单位，故C错误； 对D：由，，接近，故变量y和x之间具有很强的线性相关性， 而且是负相关，故D正确. ▌题型09 卡方的计算 (1)定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表，最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}中样本点的个数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}中样本点的个数；中间的四个数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}(x，y＝0，1)中样本点的个数；右下角格中的数n是样本空间中样本点的总数． (2)独立性检验的公式 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立． (3)临界值：对任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α.称xα为α的临界值．临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 【典例9】（25-26高二下·广东汕头·期末）体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校200名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 (1)试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室外运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； (3)小明每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小明第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 附：，. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能认为该学校学生喜欢室内外运动项目与性别有关联 (2)， (3) 【分析】（1）计算统计量与对应的临界值比较，判断是否拒绝原假设； （2）确定服从二项分布，代入二项分布的期望、方差公式求解； （3）分第二天选择室内、室外两类情况，用全概率公式计算第三天选择室内的概率. 【详解】（1）假设：该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别无关联. 由列联表得，，，，， 代入卡方公式：， 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为喜欢室内外运动项目与性别有关联. （2）用频率估计概率，该校学生喜欢室外运动项目的概率， 抽取10名学生中喜欢室外运动的人数服从二项分布. 由二项分布期望公式得：； 由二项分布方差公式得：. （3）设事件为“小明第二天选择室内运动”，则为“小明第二天选择室外运动”，设事件为“小明第三天选择室内运动”. 由题意得，，，. 由全概率公式：， 故小明第三天选择室内运动的概率为. 【变式9-1】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）羽毛球广受大众喜爱，某厂商推出碳纤维材质的碳音人造羽毛球，相比传统天然羽毛球性价比更高，使用者看法各不相同.现调查男性、女性羽毛球爱好者各100名，统计结果如下：样本中偏好碳音羽毛球的人数占总人数的45%，其中偏好碳音羽毛球的女性爱好者有50人. 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为两种羽毛球的偏好与性别有关联？ (2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音羽毛球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音羽毛球的人数为X，求X的分布列和数学期望． (3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附：，其中 α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)补充列联表如下： 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 在的独立性检验下，不能认为两种羽毛球的偏好与性别有关联. (2)X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望（或） (3) 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列表列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算，由此可得结论； （2）根据男性两类偏好人数的比例，确定分层抽样抽取的10人中偏好碳音和天然羽毛球的人数，再确定服从超几何分布，计算取各可能值的概率得到分布列，再计算期望； （3）将样本频率视为概率，分别计算随机抽取一人是男性且偏好碳音的概率、随机抽取一人偏好碳音的总概率，再根据条件概率公式计算所求概率. 【详解】（1）由题意可知，样本总人数为200人，偏好碳音羽毛球的人数为(人)； 由表可得偏好碳音羽毛球的女性有50人，则偏好碳音羽毛球的男性有(人)； 男性总人数为100人，则偏好天然羽毛球的男性有(人)； 女性总人数为100人，则偏好天然羽毛球的女性有(人). 则列联表补充如下： 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 根据列表中的数据，计算； 在的独立性检验下，不能认为两种羽毛球的偏好与性别有关联. （2）男性羽毛球爱好者中，偏好碳音羽毛球40人，偏好天然羽毛球60人. 按分层抽样抽取10人，则抽取的10人中，偏好碳音羽毛球的人数为(人)，偏好天然羽毛球的人数为(人). 从这10人中随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3. ；； ；. 的分布列为： 0 1 2 3 . （3）设事件为“抽取一人是男性”，事件为“抽取一人偏好碳音球”. 由羽毛球俱乐部的男女比例为，则，. 由样本频率估计概率可知，，. 由全概率公式得. . 其为男性的概率为. 【变式9-2】（25-26高二下·河南郑州·期末）某中学为了解高二年级学生对“数学社团”的参与意愿与性别是否有关，现从学校高二年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学社团与性别有关联”？ (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人作为社团骨干，记人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 【答案】(1) 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 参与数学社团的意愿与性别无关 (2) 【分析】（1）先根据题意补全列联表，再根据零假设进行独立性检验得出结论即可； （2）先根据分层抽样分别得到抽取男生和女生的人数，进而根据随机变量服从超几何分布即可求出其分布列及其数学期望． 【详解】（1）依题意得列联表 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 零假设：愿意参与数学社团与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为愿意参与数学社团的意愿与性别无关； （2）由题意可知，选出人中，男生人数为人，女生人数为人， 则的所有可能取值为，，，， ，， ，， 所以的分布列为： 所以． 【变式9-3】（25-26高二下·陕西西安·期末）年美加墨世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男生 女生 合计 收看 不收看 合计 已知在这名同学中随机抽取人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是 (1)请将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“通过电视收看世界杯”与性别有关？ (2)若从这名同学中的男同学中随机抽取人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为，求的分布列和均值． 参考公式：， 【答案】(1)补全后的列联表如下： 男生 女生 合计 收看 10 6 16 不收看 6 8 14 合计 16 14 30 依据小概率值的独立性检验，不能认为“通过电视收看世界杯”与性别有关。 (2)的分布列为： 0 1 2 均值为。 【分析】（1）首先根据收看电视的有16人，依次补全列联表，计算后比较临界值，即可判断； （2）根据超几何分布概率公式求分布列和数学期望. 【详解】（1）由条件可知，收看电视的人有，则收看电视的女生有6人， 不收看电视的人有14人，不收看的男生有6人，如下依次补全列联表， 补全后的列联表如下： 男生 女生 合计 收看 10 6 16 不收看 6 8 14 合计 16 14 30 依据小概率值的独立性检验，不能认为“通过电视收看世界杯”与性别有关。 （2）， ，， 的分布列为： 0 1 2 均值. ▌题型10 独立性检验解决实际问题 【典例10】（25-26高二下·上海·期末）班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示． (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)极差为，第75百分位数为 (2) 将列联表如下补充完整为 男生 女生 总计 健康手机使用 11 14 25 非健康手机使用 9 11 20 总计 20 25 45 提出原假设：认为性别与“健康手机使用”无关，确定显著性水平． ．因此，接受原假设，即没有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关． (3)， 【分析】（1）根据极差以及百分位数公式求解即可. （2）首先补全列联表，再根据卡方公式代入计算，求解即可. （3）根据古典概率公式以及条件概率求解即可. 【详解】（1）极差为． 根据茎叶图，男生有20人，则，所以第百分位数为第项和第项数据的平均数， 即第75百分位数为． （2）略 （3）由题，手机使用时长大于16小时的男生有4人，其中位于有0人， 手机使用时长大于16小时的女生有4人，其中位于有2人． ，，． 故． 【变式10-1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）2024年6月，我省正式进行“”高考新模式．我县某校为调研新高考模式下，学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级1000名学生的选科情况，部分数据如表： 性别科目 男生 女生 合计 物理 400 历史 250 合计 550 1000 (1)根据所给数据完成上述表格，依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别是否有关； (2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取8人，组成数学学习小组，一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 科目 男生 女生 合计 物理 400 200 600 历史 150 250 400 合计 550 450 1000 认为该校学生选择物理或历史与性别有关，该推断犯错误的概率不大于0.001； (2) 0 1 2 3 数学期望为 【分析】（1）先根据总人数和已知数据补全列联表，计算卡方统计量后与临界值比较，得出独立性检验结论； （2）先按分层抽样规则确定抽取的名历史类学生中男女生人数，再根据超几何分布计算对应概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）补全列联表： 科目 男生 女生 合计 物理 400 200 600 历史 150 250 400 合计 550 450 1000 零假设为：该校学生选择物理或历史与性别无关 , 由于, 假设不成立, 依据小概率值的独立性检验, 推断该校学生选择物理或历史与性别有关，该推断犯错误的概率不大于0.001. （2）选择历史科目的学生共人，其中男生人、女生人，分层抽样抽取人的抽样比为， 因此抽取的小组中男生人数为，女生人数为， 随机变量的所有可能取值为，服从超几何分布： , , , ， 因此的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【变式10-2】（25-26高二下·河北石家庄·期末）为了研究学生课后复习习惯与英语成绩的关系，某校英语学习兴趣小组在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了50名学生，调查他们的英语成绩和课后是否坚持背单词的情况，统计数据如下： 英语成绩优秀人数 英语成绩非优秀人数 合计 坚持每天背单词人数 15 5 不坚持每天背单词人数 18 合计 50 (1)完成上述列联表，并估计本校高二年级学生中不坚持每天背单词且英语成绩优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析英语成绩优秀与坚持每天背单词是否有关联？ (3)从样本中坚持每天背单词的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到英语成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) 英语成绩优秀 英语成绩非优秀 合计 坚持每天背单词 15 5 20 不坚持每天背单词 12 18 30 合计 27 23 50 ； (2)有关联； (3) 0 1 2 3 【详解】（1）完整列联表为： 英语成绩优秀 英语成绩非优秀 合计 坚持每天背单词 15 5 20 不坚持每天背单词 12 18 30 合计 27 23 50 由表可知，不坚持每天背单词且英语成绩优秀的人数是12，总人数是50， 所以估计本校高二年级学生中不坚持每天背单词且英语成绩优秀的概率为； （2）零假设：英语成绩优秀与坚持每天背单词无关联 其中，，，，， 由于，根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以英语成绩优秀与坚持每天背单词有关联． （3）坚持每天背单词的学生共20人，其中英语成绩优秀15人，非优秀5人，从中随机抽取3人，的所有可能值为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ， 故. 【点睛】 【变式10-3】（25-26高二下·河北沧州·期末）素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩．某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2026年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据：，． (1)请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名． （ⅰ）补充下面的列联表； 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 （ⅱ）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)（ⅰ） 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联 【分析】（1）根据给定数据及最小二乘法求回归直线方程； （2）（i）由已知表格数据完善列联表；（ii）由卡方公式求卡方值，结合独立性检验的基本思想得结论. 【详解】（1），， ，则， 则关于的经验回归方程为； （2）（ⅰ）将所给数据进行整理，得到如下列联表： 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）设零假设：游客参观万峰林与参观马岭河峡谷独立， 根据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 统计案例综合 （题型突破·举一反三） 题型01 相关系数的意义及辨析 题型02 相关系数的计算 题型03 样本中心点的相关问题 题型04 求回归直线方程 题型05 残差的计算 题型06 决定系数的计算及分析 题型07 非线性回归的问题 题型08 独立性检验的概念及辨析 题型09 卡方的计算 题型10 独立性检验解决实际问题 ▌题型01 相关系数的意义及辨析 样本相关系数 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多． (2)样本相关系数r＝． (3)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【注意】　样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关； 当r<0时，称成对样本数据负相关； 当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系． 当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 【典例1】（25-26高二下·贵州黔西南·期中）对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·广东清远·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个变量的样本数据，得到样本相关系数分别为，，，，则成对样本数据的线性相关程度最强的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-2】（25-26高二下·河南郑州·期末）某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（     ） A．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 B．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 C．花瓣长度和花萼长度没有相关性 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【变式1-3】（25-26高二下·山东济南·期末）已知两组成对样本数据的散点图如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． ▌题型02 相关系数的计算 样本相关系数 (1)一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多． (2)样本相关系数r＝． (3)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 【典例2】（25-26高二下·湖南·期末）某田径协会开展竞走的步长和步时之间的关系的课题研究，得到相应的实验数据： 步时x（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：） 90 95 99 103 117 则该课题研究竞走的实验数据中的步长和步时之间的相关系数为________．（精确到0.01） 参考公式：相关系数；参考数据：，，，． 【变式2-1】（25-26高二下·广东·期末）将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标和某植物分布的数量，得到样本，其中，此样本的相关系数，记关于的线性回归方程为．经计算可知：，则的值为（   ） 参考公式：． A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·广东珠海·期末）某工厂统计了甲产品在2024年7月至12月的销售量（单位：万件），得到以下数据： 月份 7 8 9 10 11 12 销售量 11 12 14 15 18 20 根据表中所给数据，可得相关系数__________．（结果保留2位小数） （参考公式：相关系数，参考数据：） 【变式2-3】（25-26高二下·山西·期中）网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 ▌题型03 样本中心点的相关问题 最小二乘法和经验回归方程 (1)有关概念 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． (2)计算公式 【注意】(1)经验回归直线过点() (2)经验回归方程＝x＋中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分 【典例3】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）根据对数据绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·河北石家庄·期末）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则_______． 9 9.5 10 10.5 11 11 10 6 5 【变式3-2】（25-26高二下·河南洛阳·期末）某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据：，，，，根据数据，得出y关于x的经验回归方程为，则c的值为________. 【变式3-3】（25-26高二下·江西吉安·期末）已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点，，，得到y关于x的回归方程为，则m的值为（     ） A．3.6 B．3.2 C．2.7 D．2.5 ▌题型04 求回归直线方程 最小二乘法和经验回归方程 (1)有关概念 ＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． (2)计算公式 【注意】(1)经验回归直线过点() (2)经验回归方程＝x＋中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分 【典例4】（25-26高二下·江苏徐州·期末）为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 60 75 80 95 105 (1)求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）； (2)该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩． （附：， ，， ，，，） 【变式4-1】（25-26高二下·吉林长春·期末）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天中该作物的高度变化． 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14 (1)观察表格数据可知，天数与作物高度之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出作物高度关于天数的经验回归方程（其中，用分数表示）； (2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差． 参考公式：，． 参考数据：，． 【变式4-2】（25-26高二下·山东临沂·期末）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 【变式4-3】（25-26高二下·山东菏泽·期末）某高中统计高二年级某班5个学习小组的序号与小组内主动完成周末拓展习题的人数，统计结果如下表： （小组序号） 1 2 3 4 5 （主动完成拓展习题的人数） 2 2 3 4 4 已知主动完成拓展习题的人数与小组序号具有线性相关关系． (1)求主动完成拓展习题的人数关于小组序号的经验回归方程； (2)从这5个学习小组中随机抽取3组，设抽取到组内主动完成拓展习题的人数不低于3人的小组个数为随机变量，求的分布列与数学期望． 参考公式：，．参考数据： ▌题型05 残差的计算 残差及残差分析 (1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值．通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为残差． (2)作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (3)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 【典例5】（25-26高二下·甘肃平凉·期末）（多选）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（     ） 胸径 树高 A．树高与胸径正相关 B．胸径每增加，树高一定增加 C． D．当胸径时，树高的残差为 【变式5-1】（25-26高二下·吉林长春·期末）某环保企业为响应国家“双碳”绿色发展战略，对新型绿色节能耗材进行市场优化调研．该企业拟定多种不同的售价开展试销，并统计连续个月的耗材月销售量（单位：千件）与销售单价（单位：元／件）的对应数据，如下表所示： 若关于的经验回归方程为，则下列说法错误的是（     ） A．由数据可判断与负相关 B．经验回归方程相应的直线经过点 C．当售价为元/件时，预测月销售量为千件 D．当售价为元/件时，样本点的残差为 【变式5-2】（25-26高二下·河北保定·期末）（多选）两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3 4 6 5 3 4.5 4 根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．变量和正相关 D．点对应的残差为0.2 【变式5-3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）某人形机器人公司近5年的年利润情况如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程是，则当时的残差为（   ） 年份代码 1 2 3 4 5 年利润千万元 9 10 21 26 A． B． C． D． ▌题型06 决定系数的计算及分析 残差平方和与决定系数R2 (1)残差图法：在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． (3)决定系数R2法：可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越小，模型拟合效果越差，R2越大，模型拟合效果越好． 【注意】决定系数R2的取值范围是0≤R2≤1 刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法：残差比较均匀地落在水平带状区域内，则说明选用的模型比较合适． (3)决定系数R2法：R2＝ 越接近1，表明模型的拟合效果越好． 【典例6】（25-26高二下·河南郑州·期末）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若一组样本数据所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数 B．设、为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 C．若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 D．线性回归分析可用决定系数判断模型拟合效果，越趋近于，则拟合效果越好 【变式6-1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）（多选）下列说法中正确的是（     ） A．数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B．若随机变量X服从二项分布，且，则 C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D．若随机变量X服从正态分布，且，则 【变式6-2】（25-26高二下·黑龙江·期末）某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号 1 2 3 4 5 固化剂比例 2 4 6 8 10 拉伸强度 1 1.5 2.5 4.5 5.5 (1)求关于的经验回归方程； (2)求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； (3)根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值． 参考公式：经验回归方程为，其中：，，． 【变式6-3】（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 ▌题型07 非线性回归的问题 【典例7】（25-26高二下·山东济宁·期末）某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 (1)请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） (2)通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ (3)为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 【变式7-1】（25-26高二下·河北承德·期末）变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 【变式7-2】（2018·广东茂名·一模）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且决定指数. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数. 【变式7-3】（25-26高三下·山东·开学考试）为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． ▌题型08 独立性检验的概念及辨析 独立性检验的理解 (1)零假设：设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互为对立事件，故要判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联，需要判断假定关系H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)是否成立． (2)独立性检验的公式 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立． (3)临界值：对任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α.称xα为α的临界值．临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． (5)χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【注意】χ2越小，独立性越强，相关性越弱；χ2越大，独立性越弱，相关性越强 【典例8】（25-26高二下·全国·期末）根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下面给出的临界值表， 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 可知下列判断中正确的是（    ） A．有的把握认为变量与独立 B．有的把握认为变量与不独立 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 【变式8-1】（2026高二·全国·专题练习）对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【变式8-2】（2026·四川眉山·模拟预测）（多选）下列结论正确的是（     ） A．研究两个变量之间的关联程度，若相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越弱； B．在评估模型拟合效果时，决定系数越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好； C．通过样本数据得到的经验回归直线一定经过样本点的中心； D．设关于分类变量与的独立性检验的原假设与无关，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断不成立，即认为与无关． 【变式8-3】（25-26高二下·天津滨海新区·期中）以下四个命题中错误的是（    ） A．在独立性检验中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量相关的可能性就越大 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．在回归直线方程中，变量每增加1个单位时，平均增加2个单位 D．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 ▌题型09 卡方的计算 (1)定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如表所示： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表，最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}中样本点的个数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}中样本点的个数；中间的四个数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}(x，y＝0，1)中样本点的个数；右下角格中的数n是样本空间中样本点的总数． (2)独立性检验的公式 χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立． (3)临界值：对任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使P(χ2≥xα)＝α.称xα为α的临界值．临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． (4)基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 【典例9】（25-26高二下·广东汕头·期末）体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校200名学生，得到的统计数据如下表所示： 喜欢室外运动项目 喜欢室内运动项目 合计 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 (1)试根据的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联？ (2)用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室外运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差； (3)小明每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为.已知小明第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率. 附：，. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式9-1】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）羽毛球广受大众喜爱，某厂商推出碳纤维材质的碳音人造羽毛球，相比传统天然羽毛球性价比更高，使用者看法各不相同.现调查男性、女性羽毛球爱好者各100名，统计结果如下：样本中偏好碳音羽毛球的人数占总人数的45%，其中偏好碳音羽毛球的女性爱好者有50人. 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为两种羽毛球的偏好与性别有关联？ (2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音羽毛球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音羽毛球的人数为X，求X的分布列和数学期望． (3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附：，其中 α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【变式9-2】（25-26高二下·河南郑州·期末）某中学为了解高二年级学生对“数学社团”的参与意愿与性别是否有关，现从学校高二年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学社团与性别有关联”？ (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人作为社团骨干，记人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：， 【变式9-3】（25-26高二下·陕西西安·期末）年美加墨世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男生 女生 合计 收看 不收看 合计 已知在这名同学中随机抽取人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是 (1)请将上面的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为“通过电视收看世界杯”与性别有关？ (2)若从这名同学中的男同学中随机抽取人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”的人数为，求的分布列和均值． 参考公式：， ▌题型10 独立性检验解决实际问题 【典例10】（25-26高二下·上海·期末）班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图2所示． (1)求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； (2)根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 (3)班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式10-1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）2024年6月，我省正式进行“”高考新模式．我县某校为调研新高考模式下，学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级1000名学生的选科情况，部分数据如表： 性别科目 男生 女生 合计 物理 400 历史 250 合计 550 1000 (1)根据所给数据完成上述表格，依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析认为该校学生选择物理或历史与性别是否有关； (2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取8人，组成数学学习小组，一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【变式10-2】（25-26高二下·河北石家庄·期末）为了研究学生课后复习习惯与英语成绩的关系，某校英语学习兴趣小组在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了50名学生，调查他们的英语成绩和课后是否坚持背单词的情况，统计数据如下： 英语成绩优秀人数 英语成绩非优秀人数 合计 坚持每天背单词人数 15 5 不坚持每天背单词人数 18 合计 50 (1)完成上述列联表，并估计本校高二年级学生中不坚持每天背单词且英语成绩优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析英语成绩优秀与坚持每天背单词是否有关联？ (3)从样本中坚持每天背单词的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设抽取到英语成绩优秀的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【变式10-3】（25-26高二下·河北沧州·期末）素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩．某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2026年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据：，． (1)请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名． （ⅰ）补充下面的列联表； 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 （ⅱ）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $